Pappus Alexandrinus, Synagoge, ed. Friedrich Hultsch, 3

Search the Perseus Catalog for:

← Previous Next →

1 α΄. Ἐὰν ἦ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ἀναγραφῇ τυχόντα παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΖΗ,
καὶ αἱ ∠Ε ΖΗ ἐκβληθῶσιν ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΘΒ, γίνεται τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΖΗ παραλληλόγραμμα ἵσα τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΘΒ περιεχομένῳ παραλληλογράμμῳ ἐν γωνίᾳ ἥ ἐστιν ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ∠ΘΒ.

Ἐκθεβλήσθω γὰρ ἡ ΘΒ ἐπὶ τὸ Κ, καὶ διὰ τῶν Α Γ
τῇ ΘΚ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΑΛ ΓΜ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜ. ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστιν τὸ ΑΛΘΒ, αἱ ΑΛ ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι. ὁμοίως καὶ αἱ ΜΓ ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι, ὥστε καὶ αἱ ΛΑ ΜΓ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι. καὶ αἱ ΛΜ ΑΓ ἄρα ἴσαι τε
καὶ παράλληλοί εἰσιν· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΛΜΓ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΓ, τουτέστιν συναμφοτέρῳ ¹ τῇ τε ὑπὸ ΒΑΓ καὶ ὑπὸ ∠ΘΒ· ἴση γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ∠ΘΒ τῇ ὑπὸ ΛΑΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ∠ΑΒΕ παραλληλόγραμμον τῷ ΛΑΒΘ ἴσον ἐστίν (ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν τῆς ΑΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΑΒ ∠Θ), ἀλλὰ τὸ ΛΑΒΘ τῷ ΛΑΚΝ ἴσον ἐστίν (ἐπί τε γὰρ τῆς
αὐτῆς βάσεώς ἐστιν τῆς ΛΑ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΛΑ ΘΚ), καὶ τὸ Α∠ΕΒ ἄρα τῷ ΛΑΚΝ ἴσον ἔστίν. διὰ τὰ αὺτὰ καὶ τὸ ΒΗΖΓ τῷ ΝΚΓΜ ἴσον ἐστίν· τὰ ἄρα ∠ΑΒΕ ΒΗΖΓ παραλληλόγραμμα τῷ ΛΑΓΜ ἴσα ἐστίν, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΓ ΘΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΓ,
ἥ ἐστιν ἴση συναμφοτέραις ταῖς ὑπὸ ΒΑΓ ΒΘ∠. καὶ ἔστι τοῦτο καθολικώτερον πολλῷ τοῦ ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις ἐπὶ τῶν τετραγώνων ἐν τοῖς στοιχείοις δεδειγμένου.

2 β΄. Ἡμικύκλιον ἐπὶ τῆς ΑΒ ῥητὴν ἔχον τὴν διάμετρον, καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση καὶ τῇ ΑΒ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΓ,
καὶ ἐφαπτομένη ἡ Γ∠, καὶ δίχα ἡ Β∠ περιφέρεια τῷ Ε σημείῳ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ· ὅτι ἡ ΓΕ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.

Ἑἰλήφθω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Ζθωσαν ΖΕ. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ Ζ∠Γ, ἐν ἡμι
κυκλίῳ ἐστὶν τῷ ἐπὶ τῆς ΖΓ, οὗ κέντρον ἐστὶν τὸ Β. καὶ τῆς Β∠ ἐπιζευχθείσης ἰσόπλευρον γίνεται τὸ ΒΖ∠ τρίγωνον, ὥστε διμοίρου μέν ἐστιν ἡ ὑπὸ ∠ΖΒ γωνία, τρίτου δὲ ἡ ὑπὸ ΕΖΒ. ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ διάμετρον ἡ ΗΕ· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΓΖ∠ τρίγωνον τῷ ΕΖΗ ² τριγώνῳ, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΖΓ πρὸς τὴν Γ∠, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. ἐπίτριτον δὲ τὸ ἀπὸ ΖΓ τοῦ ἀπὸ Γ∠· ἐπίτριτον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ ὃν ιϚ΄ πρὸς ιβ΄, τοῦ δὲ ἀπὸ ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ ὃν ξδ΄ πρὸς ιϚ΄. καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΓ ἄρα
πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ λόγος ἐστὶν ὃν ξδ΄ πρὸς ιβ΄. ἔστω δʼ ἡ ΖΒ τετραπλασία τῆς ΒΘ· καὶ ἔστιν τῆς ΒΖ διπλασίων ἡ ΖΓ· λόγος ἄρα τῆς ΖΓ πρὸς τὴν ΖΘ, ὃν η΄ πρὸς ε΄ , καὶ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΓ ὃν ε΄ πρὸς γ΄ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΓ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ λόγος ἐστὶν ὃν ξδ΄ πρὸς κε΄. ἐδείχθη
δὲ τοῦ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ λόγος ὃν ξδ΄ πρὸς ιβ΄· καὶ τοῦ ἀπὸ ΘΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ λόγος ἐστὶν ὡς κε΄ πρὸς ιβ΄ αἱ ΘΖ ΖΗ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΘΖ τῆς ΖΗ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ. καὶ ὅλη ἡ ΖΘ σύμμετρός ἐστιν ῥητῇ τῇ
ΑΒ· ἀποτομὴ ἄρα τετάρτη ἐστὶν ἡ ΘΗ. ῥητὴ δὲ ἡ ΖΓ καὶ ἡ διπλῆ αὐτῆς· ἡ ἄρα δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ΖΓ ΗΘ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων. καὶ δύναται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ ἡ ΓΕ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ.

3 Ὅτι δὲ ἡ ΓΕ δύναται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ, οὕτως ἔσταιε
δῆλον ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΘ ΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘ ΘΗ, ἔστιν δὲ καὶ τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΖ ἴσα τῷ ἀπὸ ΕΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΖΘ ΘΗ ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΖ πρὸς τὸ
ἀπὸ ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΖΘΗ. καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα. καὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΓΕ τοῖς ἀπὸ ΕΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ, ἴσα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ ΓΕ ΕΘ ΘΖ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΓ ΕΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ μετὰ τοῦ ³ δὶς ὑπὸ ΖΘΗ, τουτέστιν τῷ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΘ· λοιπὰ ἄρα τὰ ἀπὸ ΕΓ ΖΘ ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΕΖ ΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ. ὧν τὸ ἀπὸ ΖΘ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ ΘΓ (τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΘ ἐστὶν κε΄, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΓ θʼ, καὶ τὸ ἀπὸ ΕΖ ιϚ΄)·
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΖΓ ΗΘ.

4 γ΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ ῥητὴν ἔχον τὴν διάμετρον, καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω ἡ Γ∠, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ∠Β, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ὑπὸ Γ∠Β γωνία ὑπὸ τῆς ∠Ζ· ὅτι ἡ ∠Ζ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει ἡ ἐκ δύο
ὀνομάτων τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ Η κέντρον τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΗ, καὶ ἐπὶ τῆς Η∠ γεγράφθω ἡμικύκλιον τὸ ΗΒ∠, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Ζ ἐπὶ τὸ Κ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ περιφέρεια τῇ ΚΗ. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἡ ΚΛ.
καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου ἐστὶν πλευρὰ ἡ ΒΗ, ἡμίσεια δὲ τῆς ἑξαγώνου ἡ ΚΛ (ἐκβαλλομένη γὰρ τὴν διπλῆν τῆς ΚΗ περιφερείας ὑποτείνει), διπλασία ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΓΚ τῆς ΚΛ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΚΛΓ· ἐπίτριτον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΚΓ τοῦ ἀπὸ ΓΛ, τουτέστιν
τὸ ἀπὸ ∠Γ τοῦ ἀπὸ ΓΛ· αἱ ∠Γ ΓΛ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ∠Γ τῆς ΓΛ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ μείζων ἡ ∠Γ σύμμετρός ἐστιν ῥητῇ τῇ ΑΓ· ἐκ δύο ῥνομάτων ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ Λ∠, ῥητὴ δὲ ἡ Η∠· ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η∠Λ χμρίον
⁴ δυναμένη ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐκ δύο ὀνομάτων. δύναται δὲ αὐτὸ ἡ ∠Κ (διὰ γὰρ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ Η∠Κ τρίγωνον τῷ ∠ΛΚ τριγώνῳ ἐστὶν ὡς ἡ Η∠ πρὸς ∠Κ, ἡ Κ∠ πρὸς ∠Λ)· ἡ ∠Κ ἄρα ἐκ δύο ὀνομάτων ἐστίν. καὶ ἐτεὶ διμοίρου ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία καὶ ἴση ἡ ΗΒ τῇ ΗΓ, ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΗΓ τρίγωνον. ἤχθω δὴ κάθετος ἡ ΒΘ· διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΓ, τουτέστιν ἡ ∠Γ, τῆς ΓΘ. καὶ ἐδείχθη τὸ ἀπὸ ∠Γ τοῦ ἀπὸ ΓΛ ἐπίτριτον· τὸ ἄρα ἀπὸ ΛΓ τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΓΘ· αἱ ∠Γ ΓΘ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ΛΓ τῆς ΓΘ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ ἀσυμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ τὸ ἔλασσον ὄνομα τὸ ΓΘ σύμμετρόν ἐστιν ῥητῇ τῇ ΑΓ· ἡ ΛΘ ἄρα ἀποτομή ἐστιν πέμπτη.

καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ὑπὸ ∠ΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΗ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΒΗΘ ΒΗ∠ τρίγωνα , τὸ δὲ ὑπὸ ∠ΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΚΗ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΚΗΛ ΚΗ∠ τρίγωνα, ἔστιν ἅρα ὡς τὸ ὑπὸ ∠ΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΗ , οὕτως τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ. καὶ ἐναλλάξ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ∠ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ κοινὸν γὰρ ὕψος τὸ ∠Η· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΗ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΖΗ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ· διελόντι ⁵ ἄρα ἐστὶν ὡς Θ∠ πρὸς ΛΗ , οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ. καὶ ἐδείχθη ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ∠ΗΛ τῷ ἀπὸ ΗΚ ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ∠Η ΛΘ τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΛΘ ἀποτομὴ πέμπτη, ἡ δὲ ΔΗ ῥητή· ἡ ἄρα ΚΖ ἡ μετά ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιοῦσά ἐστιν. ἐδείχθη
δὲ καὶ ἡ ∠Κ ἐκ δύο ὀνομάτων· λοιπὴ ἄρα ἡ ∠Ζ ὑπεροχή ἐστιν ἡ ὑπερέχει ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς μετά ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης.

6 δ΄ Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Ε, διάμετρος δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ἐφαπτομένη ἡ Α∠ συμπίπτουσα τῇ
ΒΓ κατὰ τὸ ∠, καὶ διήχθω ἡ ∠Ζ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚΗ ΗΛΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΕΛ.

Γεγονέτω καὶ ἤχθω τῇ ΚΛ παράλληλος ἡ ΘΞΜ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΖΘ
κάθετος ἡ ΕΝ· ἴση ἔρα ἐστὶν ἡ ΖΝ τῇ ΝΘ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ τῇ ΜΖ· οὕτως ⁶ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΘΝΞ. τῇ ὑπὸ τῶν ΝΖΜ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΞ· οὕτως ἄρα ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α Ν Ξ Θ σημεῖα οὕτως ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΝΘ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΑΞΘ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ τῶν ΑΕΛ· οὕτως ἄρα ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α Ν Ε ∠ σημεῖα.
ἔστιν δέ ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑ∠ ΕΝ∠.

7 Συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑ∠ ΕΝ∠, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α ∠ E Ν σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΝ∠ τῇ ὑπὸ ΑΕ∠. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΕ∠ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΑΞΘ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς Ε∠
ΞΘ ἐν κύκλῳ ἄρα τὰ Α Ν Ξ Θ σημεῖα ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΑΞ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΝΞ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΘΑΞ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΜ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ τῇ ΝΞ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΖΝ τῇ ΝΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗE, οὕτως ἡ μὲν ΞΜ πρὸς
ΕΚ , ἡ δέ ΘΞ πρὸς ΛΕ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΞΜ πρὸς ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΞ πρὸς ΛΕ. καὶ ἐναλλάξ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΕ τῇ ΛΕ.

8 ε΄. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ Α.∠ ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΖ, ἔστω δέ ἡ ΕΗ
ἴση τῇ ΗΖ· ὅτι καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΗΚ ἐστὶν ἴση.

Ἤχθω τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΜ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῖ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΑ ΛΖ ΛΓ ΛΜ ΛΕ ΛΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΜΓ τῇ ΓΖ. καὶ ἔστιν ἡ ΜΓʼ πρὸς βρθὰς τῇ ΓΛ·
⁷ ἴση ἔρα ἐστὶν ἡ τῇ ΛΜ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Α∠ τῇ ΜΓ, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΜΓ. ἐστιν δὲ καὶ ἡ ΑΛ τῇ ΛΓ ἴση, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΛ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΜΓΛ ἐστὶν ἴση· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΜ, τουτἐστιν τῇ ΛΖ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστὶν ἴση ἡ
ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΕΖ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΗ τῇ ΗΚ.

9 Ϛ΄ Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ Α∠ ∠Γ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ διήχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ· ὅτι καὶ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστὶν ἴση. Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου
τὸ Α, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΛ ΛΑ ΛΗ ΛΖ ΜΓ. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑΛ ΕΗΛ, ἐν κύκλῳ ἐστίν τὰ E A H Λ σημεῖα ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν
ΗΑΛ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΗΕΛ γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΛΗΖ ΜΓΖ, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Μ Η Ζ Γ σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΓΛ γωνία,
τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΑΛ , τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΕΛ, τῇ ὑπὸ τῶν ΗΖΛ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ. καὶ ἔστιν κάθετος ἡ ΛΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ.

10 Ἐὰν ὦσιν τρεῖς κύκλοι τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένοι καὶ ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων, καὶ ὁ περιλαμβάνων αὐτοὺς
κύκλος δοθεὶς ἔσται τῷ μεγέθει. προγράφεται δὲ τάδε.

11 ζ΄. Γετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν καὶ δοθεῖσαν ἑκάστην τῶν ΑΒ ΒΓ Γ∠ ∠Α εὐθειῶν· δεῖξαι δοθεῖσαν τὴν ἐπιζευγνύουσαν τὰ θειῶν· β σημεῖα τὴν Βθειῶν·.

⁸

Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ κάθετοι ἥχθωσαν ἐπὶ μὲν τὴν ΓΔ ἡ ΑΗ, ἐπὶ δέ τὴν AΓ ἡ ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν ἢ ἐν ἀριθμοῖς, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΒE, δοθεῖσα ἄρα ἔσται β καὶ ἑκάστη τῶν ΑE EΓ· ΑΓ
ΒΕ (καὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ὂν τῷ ἀπὸ BΓ γίνεται δοθέν καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ, ὥστε ἑκάστη τῶν ΑΕ ΕΓ ΒΕ ἔσται δοθεῖσα). πάλιν
ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν ΑΓ Γ∠ ∠Α εὐθειῶν, καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΑΗ, δοθεῖσά ἐστι καὶ ἑκάστη τῶν ∠Η ΗΓ ΑΗ (καὶ γὰρ ἡ ὑπεροχή τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ἀ παρά τὴν Γ∠ παραβληθεῖσα ποιεῖ δοθεῖσαν τὴν τῆς
Γ∠ πρὸς Η∠ ὑπεροχήν, ὡς ἔστι λῆμμα· ὥστε καὶ ἑκάστην τῶν ∠Η ΗΓ ΑΗ δεδόσθαι.. καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ ἔστιν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἥ τε ΑΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν EΖ. καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΕ λόγος· δοθεῖσα ἄρα
ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΓΖ ΖΕ. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΒΓ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΖΒ ΒΓ ΓΖ δοθεῖσα. ἤχθω δὴ κάθετος ἐτὶ τὴν ΓΖ ἡ ΒΘ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΖΘ ΘΓ· ΒΘ· ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν ∠Θ ΘΒ δοθεῖσά ἐστι. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΘ∠ δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν
ἡ Β∠.

⁹

Ἄλλως.

12 η΄· Ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἡ ΜΕ καὶ ἐκβεβλήοθω ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν Α∠ ∠Γ· ΓΑ, καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ ΕΓ, καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ
ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ, ἔστιν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς EΖ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ. δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΑ λόγος: δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ
ΓΕ πρὸς ΕΖ λόγος. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. ἦν δὲ καὶ ἡ ∠Ε δοθεῖσα καὶ ὅλη ἄρα ἡ ∠Ζ ἔσται δοθεῖσα. κατά ταὐτὰ δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν
ΒΖ ΖΓ· ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΕ. καὶ δοθεὶς ὁ τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ λόγος). ἤχθω δὴ πάλιν ἀπὸ τοῦ ∠ κάθετος ἡ ∠Η· δοθεῖσα ἄρα ἑκατέρα τῶν ΖΗ ΗΓ, ὣστε καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΗ Η∠ δοθεῖσά ἐστι. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ Η γωνία δοθεῖσα ἅρα ἐστὶν καὶ ἡ Β∠.

13 θ΄. Ἰσοι κύκλοι τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δοθέντες, ὧν κέντρα τὰ Α Β, καὶ δοθὲν σημεῖον τὸ Γ, καὶ διὰ τοῦ Γ ἐφαπτόμενος τῶν κύκλων, ὧν κέντρα τὰ Α Β, γεγράφθω ὁ ΓΕΖ ὅτι δοθεῖσά ἐστιν αὐτοῦ ἡ διάμετρος.

Ἐπεζεύχθωσαν αἱ EΖΗ ΓΖΘ ΓΜΠ ΑΓΕ ΠΖΚ ΘΚ
ΘΗ· γίνεται δὴ παράλληλος ἡ ΗΘ τῇ ΓΕ διὰ τὸ τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΖΓ ΗΖΘ ἴσας εἶναι, καὶ ὁμοίας ¹⁰ τὰς ΕΠΖ ΗΚΖ περιφερείας καὶ τὸ ΕΓΖ τρίγωνον ἰσογώνιον τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ΘΚ τῇ ΠΓʼ ἐστὶν παράλληλος. καὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ κύκλοι, ὧν τὰ κέντρα τὰ Α Β· ἴση ἄρα ἡ ΖH τῇ ∠Ε. ἤχθωσαν κάθετοι
αἱ ΑΣ ΒΛ ἴση ἄρα ἡ ΑΣ τῇ ΒΛ· ὥστε καὶ ἡ μὲν ΒΜ τῇ ΜΑ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ΛΜ τῇ MΣ δύο γὰρ τρίγωνά ἐστιν τὰ BΛM
ΑΣΜ τὰς δύο γωνίας τὰς κατά κορυφὴν ἴσας ἔχοντα καὶ τὰς πρὸς τοῖς Λ Σ σημείοις ὀρθάς, ἔχει δὲ καὶ μίαν πλευράν μιᾷ πλευρᾷ
ἴσην τὴν ΒΛ τῇ ΑΣ). καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν ΜΛ ∠Β ΜΣ ΣΑ οὕτως καὶ ἡ ΖΗ ΜΕ καὶ ΒΛ ΛΣ· οθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα
τῶν ΒΜ ΜΑ εὐθειῶν. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΓ ΓΒ δοθεῖσά ἐστιν (θέσει γὰρ τὰ Α B Γ σημεῖα) δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· καὶ ἡ ΓΜ ἄρα δοθεῖσα ἔσται (καθέτου ἀχθείσης ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ). καὶ ἐπεὶ
δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΝΡ διάμετρος τοῦ κύκλου, ἀλλὰ καὶ ¹¹ ἡ MA δοθεῖσα , καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΜΡ δοθεῖσά ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστιν τὸ ὑπὸ ΝΜΡ, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΗΜΖ , τουτέστιν τὸ
ὑπὸ ΕΜΖ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΜΠ. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΜ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΠ. ἐπεὶ οὖν θέσει καὶ μεγέθει ἐστὶν κύκλος,
οὗ κέντρον τὸ Α , καὶ δοθεῖσα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει ἡ ΓΠ, καὶ διηγμέναι αἱ ΠΖ∠ ΓΖΘ, ὥστε παράλληλον εἶναι τῇ ΓΠ τὴν
ΚΘ , δοθεῖσά ἐστιν ἡ διάμετρος τοῦ περὶ τὸ ΓΖΠ τρίγωνον κύκλου, τουτέστιν τοῦ ΓΕΖ.

14 ί. Τρίγωνον τὸ ΑBΓ ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν, καὶ σημεῖον ἐντὸς τὸ ∠, καὶ ὧ ὑπερέχει ἡ Α∠ τῆς
Γ∠, τούτῳ ὑπερεχέτω καὶ ἡ Γ∠ τῆς ∠Β, καὶ ἔστω ὑπεροχὴ δοθεῖσα· ὅτι ἑκάστη τῶν Α∠
∠Γ ∠Β δοθεῖσά ἐστιν. Ἐπεὶ ἡ τῶν Α∠ ∠Γ ὑπεροχή δοθεῖσά ἐστιν , ἔστω τῇ
ὑπεροχῇ ἴση ἑκατέρα τῶν ΑΕ ΒΖ· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ Ε∠ ∠Γ ∠Ζ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. γεγράφθω περὶ κέντρον τὸ ¹² ∠ κύκλος ὁ ΓΕΖ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον δοθεῖσά ἐστιν ἡ ∠Ζ. ἧς ἡ ΒΖ ἐστὶν δοθεῖσα ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ Β∠ ἐστὶν δοθεῖσα. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν Α∠ ∠Γ δοθεῖσά ἐστιν· ἑκάστη ἄρα τῶν Α∠ ∠Γ ∠Β ἐστὶν δοθεῖσα.

15 ια΄. Τὰ μὲν οὖν λήμματα ταῦτα, τὸ δὲ ἀρχαϊκόν· τρεῖς
κύκλοι ἄνισοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων δοθείσας ἔχοντες τὰς διαμέτρους, ὧν κέντρα τὰ Α Β Γ, καὶ περὶ αὐτοὺς κύκλος ἐφαπτόμενος αὐτῶν ὁ ∠ΕΖ, οὗ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν διάμετρον.

Ἔστω δὲ αὐτοῦ τὸ
κέντρον τὸ Η, καὶ ἐπὶ τὰ κέντρα τὰ Α Β Γ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΑΓ ΓΒ καὶ ἔτι αἱ ΗΑ∠ ΗΒΖ ΗΓΕ. ἐπεὶ οὖν
αἱ διάμετροι τῶν κύκλων, ὧν κέντρα τὰ Α Β Γ, δοθεῖσαί εἰσιν, γενήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ δοθεῖσα.
καὶ αἱ τῶν ΑΗ ΗΓ ΗΒ διαφοραὶ δοθεῖσαι· διὰ ἄρα τὸ προγεγραμμένον δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε δοθεῖσά ἐστιν ἡ διάμετρος τοῦ ∠ΕΖ κύκλου. καὶ τοῦτο μὲν ἐνθάδε μοι πέρας
ἔχει, τὰ δὲ λοιπὰ ὑπογράψω.

¹³

16 ιβ΄ Ἕστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΓΒΑ, καὶ διήχθω ἡ Γ∠, καὶ ἴση ἔστω ἡ ΓΒ συναμφοτέρῳ τῇ AB △Γ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴv AΓ αἱ ΒΕ △Ζ ὅτι ἡ AΖ διπλασίων ἐστὶν τῆς BΕ.

Κείσθω γὰρ τῇ μὲν AΕ ἴση ἡ ΕΗ, τῇ δὲ ΑΒ ἴση ἡ
ΒΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΘ ΘΗ ΘΖ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ. ἐπεὶ ἡ ΓΒ ἴση ἐστὶν συναμφοτέρᾳ τῇ ΑΒ ∠Γ, ὧν ἡ ΒΘ τῇ BΑ ἐστὶν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΓ λοιπῇ τῇ Γ ∠ ἐστὶν ἴση καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ ∠ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς
∠Γ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΗ γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ ΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν Γ ΑΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν Γ ΑΗ, ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς
ἀπὸ τῆς ΑΒ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΓΖ γωνίᾳ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΘΑΗ ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΖΓ ἐστὶν ἴση καὶ ἡ ὑπὸ ΘΗΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΘΖΗ ἐστὶν ἴση. καὶ κάθετος
ἦκται ἡ ΘΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΒΘ ΑΚΘ, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὸ ΑΒΘΚ τετράπλευρον ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΚΑ. ἡμίσους δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΘΑ· ἡμίσους ἅρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΑ. ὀρθὴ δέ
ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΚ. τῆς ¹⁴ δὲ ΕΚ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΖ (ἐπείπερ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΗ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ΖΚ τῇ ΚΗ)· καὶ τῆς ΕΒ ἄρα διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΖ, ὅπερ: ~

17 τγ΄. Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΑΒ ∠, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΒ τῇ Β ∠, καὶ τῇ Β ∠ πρὸς ὀρθάς ἤχθω
ἡ ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒE, καὶ αὐτῇ πρὺς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ τὸ κέντρον τὸ Η, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ· ὅτι ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕ ∠ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῶν ∠ΕΘ γωνίᾳ.

Ἤχθω ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὴν ΒΕ κάθετος ἡ ΗΚ·
ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΕ. καὶ ἔστιν ἀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν Β ∠E· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ BΚ Κ ∠ ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗK τῇ ΕΖ, καὶ ἐπεὶ ἐζήτουν τὴν ὑπὸ τῶν ΚΕ ∠ γωνίαν τῇ ὑπὸ τῶν ∠ΕΘ γωνίᾳ ἴσην, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ∠Κ τῇ ΚΕ, ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΕ ∠ γωνία
τῇ ὑπὸ Κ ∠Ε, ὅτι ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ∠ΕΘ ἴση ἐστίν , ὅτι ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Κ τῇ ΕΘ.

Ἤχθω καὶ τῇ σΕ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Γ ∠ ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ BΛ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΚΛ τῇ ∠Ε ἐστὶν παράλληλος, ἡ δὲ ΚΗ τῇ EΖ, ζητεῖται
δὲ καὶ ἡ Κ ∠ τῇ ΕΘ παράλληλος, ὅτι ἄρα διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ μὲν ΚΛΗ τρίγωνον τῷ Κ ∠Ζ τριγώνῳ, τὸ δὲ ∠ΚΗ τῷ ΕΘΖ, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΛΗ πρὸς ΗK, ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΕ, ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς Η ∠, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ· ὅτι ἄρα καὶ ὡς ἡ ΛΗ πρὸς Η ∠, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΘ (διʼ ἴσου γάρ)·
ὅτι ἄρα καὶ ἁς ἡ Λ ∠ πρὸς τὴν ∠Η, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΖ (διελόντι γάρ). ὑπέκειτο δέ καὶ ὡς ἡ ∠Θ πρὸς ¹⁵ ΘΖ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠ ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Λ ∠ πρὸς ∠Η, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ , τουτέστιν ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠· ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ Λ ∠ τῇ ΑΗ· ὃτι ἄρα καὶ ἡ ΛΑ τῇ ∠Η ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ Ἀὲ τῇ Β ∠ ἐστὶν ἴση ὅτι ἄρα καὶ ἡ ΛΒ τῇ ΗΒ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ ἡ ΒΗ ἑκατέρᾳ
τῶν Λ ∠ ΑΗ ἐστὶν ἴση ὅτι ἄρα καὶ ἡ ΒΛ τῇ Λ ∠ ἐστὶν ἴση. ἔστιν δέ· ἐπεὶ γάρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ∠Ε, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ∠Κ τῇ ΚΕ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν BΚΛ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΚ ∠. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ BΚ τῇ Κ ∠ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ∠ΚΛ
ἐστὶν ἴση, καὶ ἡ ΒΛ ἄρα τῇ Λ ∠ ἐστὶν ἴση.

18 Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ᾗ ∠Κ τῇ ΚΕ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ΚΕ ∠ ἀλλʼ ἡ μέν ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΕ ∠ τῇ ὑπὸ ΒΚΛ ἐστὶν ἴση διὰ τὰς ΚΛ Ε ∠
παραλλήλους· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση. ἔστιν δέ καὶ ἡ BΚ εὐθεῖα τῇ Κ ∠ ἴση καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΛ βάσει τῇ Λ ∠ ἐστὶν ἴση, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΛΒ ∠ τῇ ὑπὸ B ∠Α, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ∠ΑΒ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΑΒΗ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒ ∠ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ
ΛΒΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ∠ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ Β ∠Η τῇ ὑπὸ ΒΑΛ ἐστὶν ἴση δύο δὴ τρίγωνά ἐστιν τὰ Β ∠ΗΒΑΛ τὰς δύο γωνίας ταῖς δύο γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευράν τὴν ΑΒ τῇ Β ∠ ἴση ἔρα ἡ μέν ΒΗ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ ∠Η τῇ ΛΑ, ὥστε καὶ ἡ Λ ∠ τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν
ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠, ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ, ἴση δὲ ¹⁶ ἡ ΑΗ τῇ Λ ∠, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Λ ∠ πρὸς ∠Η, ἡ ∠Θ πρὸς ΘΖ· συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΛΗ πρὸς Η ∠, ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΘ. ἔστιν δέ καὶ ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗK, ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΕ ἐξ ἰσου ἄρα καὶ ὡς ἡ ΚΗ πρὸς Η ∠, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ. καὶ ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖΘ τῇ ὑπὸ ΚΗ ∠ διὰ τὸ παραλλήλους
εἶναι τὰς ΕΖ ΚΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΖ τῇ ὑπὸ Κ ∠Η· παράλληλος ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ Κ ∠ τῇ ΕΘ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΚΕ ∠ γωνία τῇ ὑπὸ ∠ΕΘ.

19 ιδ΄ Φέρεται ἔν τισιν ἀρχαία πρότασις τοιαύτη ὑποκείσθω τρία ἡμικύκλια ἐχαπτόμενα ἀλλήλων τὰ ΑΒΓ ΑκείσθωΕ
ΕΖΓ, καὶ εἰς τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον, ὃ δὴ καλοῦσιν ἄρβηλον, ἐγγεγράφθωσαν κύκλοι ἐφαπτόμενοι τῶν τε ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν , ὡς οἱ περὶ κέντρα τὰ Η Θ Κ Λ δεῖξαι τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ Η κέντρου κάθετον ἐπὶ τὴν ΑΓ ἴσην τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ
τὸ Η. κύκλου, τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετον διπλασίαν τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Θ κύκλου, τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετον τριπλασίαν, καὶ τὰς ἑξῆς καθέτους τῶν οἰκείων διαμέτρων ολλαπλασίας κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμοὺς ἐπʼ ἄπειρον γινομένης τῆς τῶν κύκλων
ἐγγραφῆς. δειχθήσεται δὲ πρότερον τὰ λαμβανόμενα.

20 τέ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΖΒ ΒΜ περὶ κέντρα τὰ Α Γ ἐχαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Β, καὶ μείζων ἔστω ὁ ΒΜ, ἄλλος δέ τις ἐφαπτόμενος αὐτῶν κατὰ τὰ Κ Λ περὶ κέντρον τὸ Η ὁ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ
(πεσοῦνται δὴ διὰ τῶν Κ Λ) , καὶ ἡ ἐπὶ τὰ Κ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη τεμεῖ μὲν τὸν ΖΒ κύκλον, συμπίπτει δὲ τῇ διὰ τῶν Α Γ κέντρων ἐκβαλλομένη εὐθείᾳ διὰ τύ μείζονα εἶναι τὴν ΑΚ πλευρὰν τῆς Γ ∠ τοῦ ΑΚ ∠Γ τραπεζίου συμπιπτέτω οὖν κατὰ τὸ Ε τέμνουσα τὸν κύκλον
κατὰ τὸ ∠· δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς BΓ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ.

Ἔστιν δὲ φανερόν ἐπιζευχθείσης τῆς Γ ∠· γίνεται γὰρ ἰσογώνια τὰ Γ ∠Λ ΛΚΗ τρίγωνα τάς κατά κορυφὴν γωνίας πρὸς τῷ Λ ἴσας ἔχοντα καὶ περὶ τὰς Γ Η γωνίας τὰς
πλευράς ἀνάλογον ἔχοντα, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ∠ΓΗ ΓΗΑ γωνίας ἐναλλάξ, καὶ παράλληλον τὴν Γ ∠ τῇ ΑΗ, καὶ ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν ΕΓ, τὴν ΑΚ πρὸς Γ ∠, τουτέστιν τὴν ΑΒ πρὸς BΓ.

21 Καὶ τὸ ἀναστρόφιον δὲ φανερόν ἐστιν. ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς
ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ Κέστιν ἐπʼ τὐθείας γίνεται τῇ ∠Ε.

Παράλληλός τε γάρ ἐστιν ἡ ΑΚ τῇ Γ ∠ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς βΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς Γ ∠· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ Κ ∠ τῇ ∠Ε. εἰ γὰρ
ἡ διὰ τῶν Κ Ε οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ ∠, ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, γίνεται ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς ΓΘ, ὅπερ ἀδύνατον. ὁμοίως οὐδὲ τοῦ ∠ ἐκτὸς ἥξει τέμνουσα τὴν Γ ∠ ἐκβληθεῖσαν, ¹⁷ βληθεἴσαν, οἷον κατὰ τὸ Ν· ἔσται γὰρ πάλιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΑΚ πρὸς ΓΝ, ὅπερ ἀδύνατον ἔστιν γὰρ πρὸς τὴν Γ ∠.

Ἢ οὕτως. διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΕ παράλληλος ἡ ΚΝ ἤχθω, καὶ γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓΝΚ, καὶ ἴση ἡ ΑΚ
τῇ ΓΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΓΝ, πρὸς Γ ∠ , διελόντι ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, ἡ Ν ∠ τρὸς ∠Γ. ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΝ, πρὸς Ν ∠, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς Γ ∠. καὶ περὶ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Ν Γ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν ὅμοιον
ἄρα ἐστὶν τὸ Ε ∠Γ τρίγωνον τῷ ∠ΝΚ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ε ∠Γ γωνία τῇ ὑπὸ Ν ∠Κ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΓΝ· εὐθεῖα ἄρα καὶ ἡ Κ ∠Ε.

22 Λέγω δὴ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EΒ.

Ἔπεὶ γὰρ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ,
τουτέστιν πρὸς ΓΖ, ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ ἡ ΒΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΖ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΕ πρὸς Κ ∠. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΚΕ πρὸς Ε ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΕ Ε ∠, ὡς δὲ ἡ ΒΕ πρὸς EΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ BΕΖ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΛΕ Ε ∠
τῷ ὑπὸ ΒΕ ΕΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΕΛ τῷ ἀπὸ EΒ.

23 ιϚ΄ . ∠ύο ἡμικύκλια τὰ BΗΓ· BΕ ∠, καὶ ἐφαπτόμενος αὐτῶν κύκλος ὁ ΕΖΗΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου αὐτοῦ τοῦ Α κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν BΓ βάσιν τῶν ἡμικυκλίων ἡ ΑΜ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ
κύκλου, οὕτως ἐπὶ μέν τῆς πρώτης καταγραφῆς ἀμφότερος ἡ ΓΒ B ∠ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης οὕτως ἡ τῶν ΓΒ Β ∠ ὑπεροχὴ πρὸς συναμφότερον τὴν ΓB B ∠, τουέστιν τὴν Γ ∠.

Ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ BΓ παράλληλος ἡ ΘΖ. ἐπεὶ
οὖν δύο κύκλοι οἱ BΗΓ· EΖΗΘ ἐχάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Η, καὶ διάμετροι ἐν αὐτοῖς παράλληλοί εἰσιν αἱ BΓ ΖΘ, εὐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Η Θ B καὶ ἡ διὰ τῶν Η Ζ Γ, πάλιν ἐπεὶ δύο κύκλοι οἱ ΒΕ ∠ EΖΗΘ ἐχάπτονται ἀλλήλων κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι διάμετροί εἰσιν
αἱ ΘΖ B ∠, εἐθεῖα ἔσται ἥ τε διὰ τῶν Ζ Ε B καὶ ἡ δμὼ τῶν Θ Ε ∠. ἤχθωσαν καὶ ἀπὸ τῶν Θ Ζ σημείων κάθετοι αἱ ΘΚ ΖΛ· ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΗΙ ΒΘΚ τριγώνων ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΒΚ, καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ
ΗΒ ΒΘ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΖΛ ΒΕ ∠ τριγώνων ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΒΛ, καὶ τὸ ὑπὸ ∠Β ΒΛ ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΒ ΒΘ τῷ ὑπὸ ΖΒ ΒΕ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΓΒ ΒΚ τῷ ὑπὸ ∠Β ΒΛ , ἂν δέ ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὸ ∠
¹⁸ πίπτῃ, τῷ ἀπὸ τῆς Β∠. ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης καταγραφῆς ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β∠, οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΚ, ὥστε καὶ συναμφότερος ἡ ΓΒ Β∠ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠, οὕτως, καὶ συναμφότεπος ἡ ΛΒ ΒΚ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὺτῶv τὴν ΚΛ. καὶ ἔστι συναμφοτέρου μέν τῆς ΛΒ ΒΚ ἡμίσεια ἡ ΒΜ (διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΚΜ τῇ ΜΛ), τῆς δὲ ΛΚ ἡμίσεια ἡ ΜΚ· καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΓΒ Β ∠ πρὸς τὴν Γ ∠, οὕτως ἡ ΒΜ πρὸς ΜΚ, τουτέστιν πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου. ἐτι δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης καταγραφῆς, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΓΒΚ ἴσον ἐδείχθη καὶ κοινῶς τῷ ὑπὸ ∠ΒΛ, ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς Β ∠, οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒK. συνθέντι ὡς ἡ Γ ∠ πρὸς ∠Β, ἡ ΚΛ πρὸς ΚΒ· ὥστε καὶ ὡς ἡ Γ ∠ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ Β ∠ ὑπεροχήν, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν τῶν ΛΒ ΒΚ ὑπεροχήν. καὶ ἔστι τῆς μὲν ΚΛ ἡμίσεια ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἀντὶ τῆς ΛΜ, ἡ δὲ ΒΜ ἡμίσεια τῆς τῶν ΛΒ ΒΚ ὑπεροχῆς διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΛΜ τῇ ΜΚ, ὥστε καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, οὕτως ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης καταγραφῆς συναμφότερος ἡ ΓΒ Β ∠ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τῆς τρίτης ἡ τῶν ΓΒ Β ∠ ὑπεροχὴ πρὸς συναμφότερον τὴν ΓΒ ∠, τουτέστιν τὴν Γ ∠ ἀνάπαλιν γάρ.

¹⁹

24 Συνθεωρεῖται δʼ ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑM. διὰ γὰρ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΘΚ ΖΛΓ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς τὴν ΛΓ, καὶ τὸ ὑπὸ ΒΚ ΛΓ ἴσον τῷ ὑπὸ ΘΚ ΖΛ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΜ.

Γίνεται δὲ καὶ διὰ μὲν τὸ εἶναι ὡς τὴν BΓ πρὸς τὴν Γ ∠, οὕτως τὴν ΒΛ πρὸς ΚΛ, τὸ ὑπὸ ΒΓ καὶ τῆς ΚΛ, τουτέστιν τῆς τοῦ κύκλου διαμέτρου, ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΛ ∠Γ, διὰ δὲ τὸ εἶναι ὡς τὴν Β ∠ πρὸς τὴν Γ ∠ , οὕτως τὴν BΚ πρὸς ΚΛ, τὸ ὑπὸ τῆς B ∠ καὶ τῆς ΚΛ, τουτέστιν τῆς τοῦ
κύκλου διαμέτρου, ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΚ ∠Γ.

25 ιζ´. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων γεγράφθω κύκλος ὁ ΘΡΤ ἐφαπτόμενος τῶν τε ἐξ ἀρχῆς ἡμικυκλίων καὶ τοῦ ΕΗΘ κύκλου κατὰ τὰ Θ P Γ σημεία, καὶ ἀπὸ τῶν Α Π κέντρων κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴν ΒΓ· βάσιν αἱ ΑΜ ΠΝ
λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΜ μετά τῆς διαμέτρου τοῦ ΕΗ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον αὐτοῦ, οὕτως ἡ ΠΝ πρὸς τὴν τοῦ ΘΡΤ κύκλου διάμετρον.

Ἤχθω τῇ Β ∠ τρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ· ἐφάπτεται ἄρα τοῦ ΒΗΓ ἡμικυκλίου. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΠ ἐκβεβλήσθω
ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ διὰ τό προδειχθέν ὡς συναμφότερος ἡ ²⁰ δευτέρα καταγραφή ΓΒ ∠ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τὴν Γ ∠, οὕτως καὶ ἡ ΒΜ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης καταγραφῆς πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΗΘ κύκλου, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας καὶ τρίτης ὡς ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν πρὸς συναμφόιερον, τουτέστιν ὡς ἡ τῶν ΓΒ Β ∠ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν Γ ∠, οὕτως ἡ MΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου
τοῦ ΕΗΘ κύκλου, καὶ ἡ ΒΝ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΘΡΤ κύκλου ἔσται ἄρα καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ΒΝ, ἡ ΑΘ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἅ7Θ κύκλου πρύς τὴν ²¹ ΘΠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΘΡΤ κύκλου. ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΝ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΠ (ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΖΜ ἔσται ὡς ἡ ΜΒ πρὸς τὴν ΒΝ, οὕτως ἡ MΖ πρὸς τὴν ΖΞ). καὶ ὡς ἄρκ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΠ, οὕτως ἡ ΑΘ ἐκ τυῦ κέντρου τοῦ ΕΗΘ κύκλου πρὸς τὴν ΘΠ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΘΡΤ
κύκλου. καὶ τῶν ΕΗΘ ΡΘΤ κύκλων ἐχάπτεταί τις κύκλος ὁ ΒΡΕ∠ κατὰ τὰ P Ε σημεῖα διὰ ἄρα τὸ προδειχθὲν ιε´ θεώρημα ἡ τὰ P Ε σημεῖα ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον πεσεῖται, καὶ ἴσον ἔσται τὸ ὑπὸ ΕΖP περιεχόμενον ὠρθογώνιον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΖ τετραγώνῳ.
ἐστιν δὲ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΒ τετραγώνῳ ἴσον τὸ ὑπὸ ΕΖΡ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΖΒ τῷ ἀπὸ ΖΘ· ἴση ἄρα ἡ ΒΖ τῇ ΖΘ. ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ μὲν ΜΑ ἐκβληθεῖσα τέμνει τὴν τοῦ ΕΗΘ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Σ, ἢ δὲ ΠΝ τέμνει τὴν τοῦ ΘΡΤ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ο σημεῖον, ἴση ἄρα
ἐστὶν ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΑΣ, ἡ δὲ ΠΟ τῇ ΠΘ, καὶ ἡ τὰ Ο Σ σημεῖα ἐπιζευγνύουσα ἥξει διὰ τοῦ Θ ἴση γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΘΑΣ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΠΟ γωνίᾳ ἐναλλάξ, καὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΘΣ τρίγωνον τῷ ΠΘΟ τριγώνῳ , καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ ΑΠ· εὐθεῖα ἅρα ἐστὶν καὶ ἡ διὰ τῶν
Σ Θ Ο σημείων ἀπαγομένη. ἥξει δὲ καὶ διὰ τοῦ Β· εὐθεῖα γὰρ ἡ ΘΟΒ διὰ τὶ εἶναι ὡς τὴν ΒΖ πρὸς ΖΘ , οὕτως τὴν ΟΠ πρὸς τὴν ΠΘ , ἴσων οὐσῶν τῶν ὑπὸ ΒΖΘ ΟΠΘ γωνιῶν ἐν παραλλήλοις ταῖς ΒΖ ΟΠ· καὶ τοῦτο ²² γὰρ προδέδεικται ιε´. ἐπιζευχθεῖσα δὲ καὶ ἡ ΒΠ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΜΑ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ. ἐπεὶ οὖν ἦν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΝ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΠ, οὕτως ἡ ΑΖ πρὸς ΖΠ καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΠ, ἔσται καὶ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς ΒΠ, ἡ ΑΣ πρὸς ΠΟ καὶ ἡ ΣΚ πρὸς
ΠΟ· ἴση ἄρα ἡ AΣ ΣΚ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΑΚ ὅλῃ τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΕΗΘ κύκλου ἐστὶν ἴση, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΚΣ, οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς ΟΠ, ἔσται καὶ ὡς ἡ ΜΚ πρὸς τὴν ΚΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΜΑ μετά τῆς διαμέτρου τοῦ ΕΗΘ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον, οὕτως ἡ ΝΠ πρὸς
τὴν τοῦ ΘΡΤ κύκλου διάμετρον, ὅπερ: ~

26 ιη´ Τούτων προτεθεωρημένων ὑποκείσθω ἡμικύκλιον τὸ ΒΗΓ, καὶ ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ τυχὸν σημεῖον εἰλήφθω τὸ ∠, καὶ ἐπὶ τῶν Β∠ ∠Γ ἡμικύκλια γεγράφθω τὰ ΒΕ∠ ∠ΥΓ, καὶ ἐγγεγράφθωσαν εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῶν τριῶν
περιφερειῶν τὸν καλούμενον ἄρβηλον κύκλοι ἐχαπτόμενοι τῶν ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν, ὡς οἱ περὶ τὰ κέντρα τὰ Α ΠΟ, καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων αὐτῶν κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν αἱ ΑΜ ΠΝ ΟΣ· λέγω ὅτι ἡ μὲν ΑΜ ἴση ἐστὶν τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου , ἡ δὲ
ΠΝ διπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου, ἡ δὲ ΟΣ τριπλῆ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου, καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν οἰκείων διαμέτρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμούς.

Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ παράλληλος τῇ BΓ, καὶ
²³ αἱ ΘΚ ΖΛ· ἔσται δὴ κατὰ τὰ προγεγραμμένα τὸ μὲν ὑπὸ ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον τῷ ὑπὸ ΜΒ Β∠, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΓ ΓΛ τῷ ὑπὸ ΚΓ∠. καὶ διὰ τοῦτο ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς ΛΓ· ἑκάτερος γὰρ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Β∠ πρὸς ∠Γ (ἐπεὶ γὰρ τὸ
ὑπο ΓΒ ΒΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΛΒ Β∠, ἔστιν ἅρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΛ, οὕτως ἡ ∠Β πρὸς ΒΚ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β∠, οὕτως ἡ ΛΒ πρὸς ΒΚ· διελόντι ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β, ἡ ΛΚ πρὸς ΚΒ· ἀνάπαλιν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Γ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΛ· πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ ΓΛ ἴσον ἐστὶν τῷ
ὑπὸ ΚΓ Γ∠, ἔστιν ἔρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΓΛ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠, ἡ ΚΓ πρὸς τὴν ΓΛ· διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ B∠ πρὸς ∠Γ, οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΓ· ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν Γ∠, ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως
ἡ KΛ πρὸς τὴν ΛΓ)· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚ ΓΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ. προδέδεικται δὲ τὸ ὑπὸ ΒΚ ΛΓ ἴσον καὶ τῷ ἀπὸ ΑΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΚΛ, τουτέστιν τῇ ΖΘ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου. ἐπεὶ δὲ καὶ τοῦτο ²⁴ προδέδεικται ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΜ μετὰ τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΠΝ πρὸς τήν τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου διάμετρον, καὶ ἔστιν ἡ ΑΜ μετὰ τῆς ΖΘ διπλῆ τῆς ΖΘ, ἔσται καὶ ἡ ΠΝ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου διπλῆ. ἡ ΠΝ ὥρα μετὰ τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Π κύκλου τριπλασία
τῆς διαμέτρου, καὶ ἔστιν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἡ ΟΣ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ περὶ τὸ Ο κύκλου καὶ ἡ ΟΣ ἄρα τριπλασία τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ 0 κύκλου. καὶ ὁμοίως καὶ ἡ τοῦ ἑξῆς κύκλου κάθετος τῆς διαμέτρου τετραπλασία, καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν καθʼ αὐτὰς διαμέτρων εὑρεθήσονται
πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμούς, καὶ τοῦτο συμβαῖνον ἐπὶ τὸ ἄπειρον ἀποδειχθήσεται.

27 Ἂν δʼ ἀντὶ τῶν BΗΓ. ∠ΥΓ περιφερειῶν εὐθεῖαι ὦσιν ὀρθαὶ πρὸς τὴν
Β∠, ὡς ἐπὶ τῆς τρίτης ἔχει καταγραφῆς, τὰ αὐτὰ συμβήσεται περὶ τούς ἐγγραφομένους
κύκλους· αὐτόθεν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κέντρου κάθετος ἐπὶ τὴν Β∠ ἴση γίνεται
τῇ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου διαμέτρῳ.

Ἂν δὲ αἱ μὲν ΒΗΓ ΒΕ∠ μένωσιν
περιφέρειαι, ἀντὶ δὲ τῆς ∠ΥΓʼ περιφερείας εὐθεῖα ὑποτεθῇ (ὡς ἐπὶ τῆς τετάρτης ἔχει καταγραφῆς) ἡ ∠Ζ ὀρθὴ πρὸς τὴν ΒΓ, τῆς μὲν BΓ πρὸς τὴν Γ∠ τετραγωνικὸν ἐν ἀριθμοῖς λόγον
ἐχούσης, σύμμετρος ἔσται ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος τῇ διαμέτρῳ μέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου, εἰ δὲ μή, ἀσύμμετρος. καθόλου γὰρ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον δυνάμει ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου, ὡς ἑξῆς δείκνυται. οἷον ἐὰν ἦ τετραπλασία μήκει ἡ ΒΓ τῆς Γ∠, γίνεται διπλῆ μήκει ἡ ∠Ζ, τουτέστιν
ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος, τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Α κύκλου , καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Π τριπλῆ, δʼ ἀπὸ τοῦ O τετραπλῆ, καὶ ἑξῆς κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριθμούς.

28 ιθ´ Τὸ ὑπερτεθὲν λῆμμα. ἡμικύκλια τὰ BΗΓ ΒΑ∠, καὶ ἀρθὴ ἡ ∠Ε, καὶ κύκλος ἐφαπτόμενος ὁ ΘΗΖΑ· ὅτι
ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ μήκει, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ΘΗΖΑ κύκλου δυνάμει.

Ἤχθω διάμετρος ἡ ΘΖ· εὐθεῖαι ἄρα αἱ ΖΑΒ ΘΑ∠. κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ· ἔσται ἄρα διὰ τὰ προδεδειγμένα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ ΒΚ περιεχόμενον χωρίον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς1Β∠
τετραγώνῳ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΒ∠, οὕτως ἡ ΒΒ∠ πρὸς Β∠Κ, τουτέστιν πρὸς ΘΖ. ὡς δὲ ἡ ΒΒ∠ πρὸς ΘΖ, ἡ Β∠Α πρὸς ΘΑ, ὡς δὲ ἡ Β∠Α πρὸς ΑΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ²⁵ Ζ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΖ (ὀρθογώνιον γάρ ἐστιν τὸ ΘΖ∠, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν ἡ ΖΑ)· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς Γ∠, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Ζ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ΘΗΖΑ κύκλου.

29 κ´ . Ἔτι καὶ τοῦτο διὰ τῶν προγεγραμμένων λημμάτων
τεθεώρηται. ἔστω ἡμικύκλια τὰ ΑΒΓ Α∠Ε, καὶ γεγράφθωσαν ἐφαπτόμενοι τῶν περιφερειῶν αὐτῶν κύκλοι οἱ περὶ τά κέντρα τὰ Ζ Η Θ, καὶ οἱ συνεχεῖς αὐτοῖς ὡς ἐπὶ τὸ Α. ὅτι μὲν οὖν ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Ζ κύκλου δῆλον,
λέγω δʼ ὅτι καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Η κάθετος τριπλασία τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Η κύκλου, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Θ πενταπλασία, καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν ἐκ τῶν κέντρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς περισσούς ἀριθμούς.

Ἐπεὶ γὰρ προδέδεικται ὡς ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος μετὰ
τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον, οὕτως ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος πρὸς τὴν ἰδίαν διάμετρον, καὶ ἔστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου ἡμιολία τῆς διαμέτρου, τῆς ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἔσται τριπλασία. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν
διάμετρον , οὕτως ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος πρὸς τὴν διάμετρον, ἡ δʼ ἀπὸ τοῦ Η κάθετος μετὰ τῆς διαμέτρου πρὸς τὴν διάμετρον λόγον ἔχει ὃν ἔχει τὰ πέντε πρὸς τὰ δύο, ἕξει καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετος πρὸς τὴν διάμετρον τὸν αὐτὸν λόγον· τῆς ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἔσται πενταπλασία.
ὁμοίως δειχθήσονται καὶ αἱ ἑξῆς κάθετοι τῶν ἐκ τῶν κέντρων πολλαπλάσιαι κατὰ τοὺς ἑξῆς περισσοὺς ἀριθμούς.

30 κα΄. Τὸ ἐπὶ τῆς ἕλικος τῆς ἐν ἐπιπέδῳ γραφομένης θεώρημα προὔτεινε μὲν Κόνων ὁ Σάμιος γεωμέτρης , ἀπέδειξεν δὲ Ἀρχιμήδης θαυμαστῇ τινι χρησάμενος ἐπιβολῇ. ἔχει δὲ γένεσιν ἡ γραμμὴ τοιαύτην.

31 Ἔστω κύκλος οὗ κέντρον μὲν
τὸ Β, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΒΑ. κεκινήσθω ἡ ΒΑ εὐθεῖα οὕτως ὥστε τὸ μὲν Β μένειν, τὸ δὲ Α ὁμαλῶς φέρεσθαι κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἅμα δὲ αὑτῇ
ἀρξάμενόν τι σημεῖον ἀπὸ τοῦ Β φερέσθω κατʼ αὑτῆς ὁμαλῶς ὡς ἐπὶ τὸ Α, καὶ ἐν ἴσῳ χρὸνῳ τό τε ἐπὸ τοῦ Β σημεῖον τὴν ΒΑ διερχέσθω καὶ τὸ Α τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν γράψει δὴ τὸ κατὰ τὴν ΒΑ κινούμενον
σημεῖον ἐν τῇ περιφορᾷ γραμμὴν οἵα ἐστὶν ἡ ΒΕΖΑ, καὶ ἀρχὴ μὲν αὐτῆς ἔσται τὸ Β σημεῖον, ἁρχὴ δὲ τῆς περιφορᾶς ἡ ΒΑ, αὐτὴ δὲ ἡ γραυμὴ ἕλιξ καλεῖται. καὶ τὸ ἀρχικὸν αὑτῆς ἐστι σύμπτωμα τοιοῦτον.

32 Ἥτις γὰρ ἂν διαχθῇ πρὸς αὖτὴν ὡς ἡ ΒΖ καὶ ἐτβληθῇ,
ἔστιν ὡς ἡ ὅλη τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν Α∠Γ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ εὔθεῖα πρύς τὴν ΒΖ.

Τοῦτο δὲ συνιδεῖν ῥᾴδιον ἐκ τῆς γενέσεως· ἐν ᾧ μὲν γὰρ τὸ Α σημεῖον τὴν ὅλην κύκλου περιφέρειαν
διέρχεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ Β τὴν ΒΑ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Α τὴν Α∠Γ περιφέρειαν, ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἀκὸ τοῦ Β τὴν ΒΖ εὐθεῖαν. καὶ εἰσὶν αἱ κινήσεις αὗται ἑαυταῖς
ἰσοταχεῖς, ὥστε καὶ ἀνάλογον εἶναι.

33 Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο ὅτι, αἵτινες ἂν διαχθῶσιν ἀπὸ ²⁶ τοῦ B πρὸς τὴν γραμμὴν εὐθεῖαι ἴσας περιέχουσαι γωνίας, τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχουσιν.

34 κβ΄. Δείκνυται δέ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ἕλικος καὶ τῆς εὐθείας τῆς ἐν ἀρχῇ τῆς περιφορᾶς τρίτον μέρος τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κύκλου.

Ἔστω γάρ ὅ τε κύκλος καὶ ἡ προειρημένη γραμμή, καὶ ἐκκείσθω παραλληλόγραμμον ὀρθογόνιον τὸ ΚΝΛΠ, καὶ ἀπειλήφθω μὲν ΑΓ περιφέρεια μέρος τι τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἡ δέ ΚΡ εὐθεῖα τῆς ΚΠ τὸ αὐτὸ μέρος, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΓΒ καὶ ἡ ΒΑ, καὶ τῇ μὲν ΚΝ παράλληλος
ἡ ΡΤ, τῇ δέ ΚΠ ἡ ΩΜ, καὶ περὶ τὸ Β κέντρον περιφέρεια ἡ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, οὕτως ἡ ὅλη τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ (τοῦτο γάρ ἐστιν τὸ ἀρχικὸν τῆς ἕλικος σύμπτωμα) , ὡς δὲ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια πρὸς
τὴν ΓΑ, ἡ ΠΚ πρὸς ΚΡ, ὡς δέ ἡ ΠΚ πρὸς τὴν ΚΡ, ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΩ, τουτέστιν ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΡΩ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς τήν ΓΖ, ᾗ ΓΡ πρὸς ΡΩ. καὶ ἀναστρέψαντι· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΩ. ἀλλʼ ὡς
μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ , οὕτως ὁ ΑΒΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΖΒΗ τομέα. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ PΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΩ, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΚΤ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν ΝΤ πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΜΤ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα· καὶ
ὡς ἄρα ὁ ΓΒΑ τομεὺς πρὸς τὸν ΖΒΗ τομέα, οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΚΤ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα τὸν ²⁷ NT πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ MT παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα.

35 ὁμοίως δὲ ἐὰν τῇ μέν ΑΓ ἴσην θῶμεν τὴν Γ∠, τῇ δὲ ΚΡ ἴσην τήν ΡΧ, καὶ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν, ἔσται ὡς ὁ ∠ΒΓ τομεύς πρὸς τὸν ΕΒΘ , μῦτως ὁ ἀπὸ τοῦ ΡΦ παραλληλογράμμου κύλινδρος περὶ ἄξονα
τὸν ΓΦ τπρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΞΦ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα. τῷ δʼ αὐτῷ τρόπῳ ἐφοδεύσαντες δείξομεν ὡς ὅλον τὸν κύκλον πρὸς πάντα τὰ ἐγγεγραμμένα τῇ ἕλικι ἐκ τομέων σχήματα, οὕτως τὸν ἀπὸ τοῦ ΝΠ παραλληλογράμμου κύλινδρον περὶ ἄξονα τὸν ΝΛ πρὸς
πάντα τὰ τῷ ἀπὸ τοῦ ΚΝΛ τριγώνου περὶ τὸν ΛΝ ἄξονα κώνῳ ἐγγραφόμενα ἐκ κυλίνδρων σχήματα, καὶ πάλιν ὡς τὸν κύκλον πρὸς πάντα τά περιγραφόμενα τῇ ἕλικι ἐκ τομέμων σχήματα, οὕτως τὸν κύλινδρον πρὸς πάντα τὰ τῳ αὐτῷ κώνῳ ἐκ κυλίνδρων περιγραφόμενα σχήματα, ἐξ οὗ
φανερὸν τι ὡς ὁ κύκλος πρὸς τὸ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας σχῆμα, οὕτως ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κῶνον. τριπλάσιος δὲ ὁ κύλινδρος τοῦ κονοῦ· τριπλάσιος ἅρα καὶ ὁ κύκλος τοῦ εἰρημένου σχήματος.

36 κγ΄. Γῷ δʼ αὐτῷ τρόπῳ δείξομεν ὅτι, κἂν διαχθῇ τις
εἰς τὴν ἕλικα ὡς ἡ ΒΖ καὶ διὰ τοῦ περὶ τὸ κέντρον τύ Β γραφῇ κύκλος, τὸ περιεχύμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς ΖΕΒ ἕλικος καὶ τῆς ΖΒ εὐθείας τρίτον μέρος ἐστὶν τοῦ περιεχομένου σχήματος ὑπό τε τῆς ΖΗΘ περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν.

37 Ἡ μέν οὖν ἀπόδειξις τοιαύτη τίς ἐστιν, ἔξῆς δὲ γράφομεν θεώρημα περὶ τὴν αὐτὴν γραμμὴν ὑπάρχον ἱστορίας ἄξιον.

κδ΄. Ἔστω γὰρ ὅ τε κύκλος ὁ προειρημένος ἐν τῇ γενέσει. ²⁸ καὶ ἡ ἕλιξ αὐτὴ ἡ ΑΖΕΒ λέγω ὅτι, ἥτις ἂν διαχθῇ ὡς ἡ ΒΖ, ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΕΒ ἕλικος καὶ τῆς ΒΖ εὐθείας περιεχόμενον, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΖΒ κύβον.

Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Ζ κύκλος περὶ κέντρον τὸ B ὁ ΖΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΖΕΒ γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς
ΖΕΒ γραμμῆς καὶ τῆς ΖΒ εὐθείας περιεχόμενον σχῆμα, οὕτως ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΖΗΘ περιφερείας καὶ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν περιεχόμενον σχῆμα (ἑκάτερον γάρ
ἑκατέρου τρίτον ἐδείχθη μέρος), ὁ δὲ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν καὶ τῆς ΖΗΘ περιφερείας ἀπολαμβανόμενον χωρίον τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΖΗΘ κύκλον καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ ΖΗΘ κύκλος πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΒΘ εὐθειῶν καὶ
τῆς ΖΗΘ περιφερείας ἀπολαμβανόμενον χωρίον, ἀλλʼ ὡς μὲν ὁ ΑΓ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΖΗΘ κύκλον, οὕτως τό ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ, ὡς δέ ὁ ΖΗΘ κύκλος πρὸς τύ εἰρημένον χυρίον , ἡ ὕλη αὐτοῦ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗΘ , τουτέστιν ἡ τοῦ ΑΓ∠ κύκλου περιφέρεια πρὸς
τὴν Γ∠Α τουτέστιν διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΖ, καὶ τὸ μεταξὺ ἄρα τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας σχῆχα πρὸς τὸ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς ΒΖ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΒ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΖ. οὗτος δὲ ὁ
λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΒΖ κύβον.

²⁹

μείου οὕτως ὥστε διὰ παντὸς φέρεσθαι τὸ ∠ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ μὴ ἐκπίπτειν ἑλκομένης τῆς Γ∠ΕΖ διὰ τοῦ Ε. τοιαύτης δὴ κινήσεως γενομένης ἐφ᾿ ἑκάτερα φανερὸν ὅτι τὸ Γ σημεῖον γράψει γραμμὴν οἵα ἐστὶν ἡ ΛΓΜ, καὶ ἔστιν αὐτῆς τὸ σύμπτωμα τοιοῦτον. ὡς ἂν εὐθεῖα προσπίπτῃ
τις ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν γραμμήν, τὴν ἀπολαμβανομένην μεταξὺ τῆς τε ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς ΛΓΜ γραμμῆς ἴσην εἶναι τῇ Γ∠ εὐθείᾳ· μενούσης γὰρ τῆς ΑΒ καὶ μένοντος τοῦ Ε σημείου, ὅταν γένηται τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Η, ἡ Γ∠ εὐθεῖα τῇ ΗΘ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Θ
πεσεῖται· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ΗΘ. ὁμοίως καὶ ἐὰν ἑτέρα τις ἀπὸ τοῦ Ε σημείου πρὸς τὴν γραμμὴν προσπέσῃ, τὴν ἀποτεμνομένην ὑπὸ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας ἴσην ποιήσει τῇ Γ∠ ἐπειδὴ τούτῃ ἴσαι εἰσὶν αἱ προσπίπτουσαι. καλείσθω δέ, φησιν, ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα κανών,
τὸ δὲ σημεῖον πόλος, διάστημα δὲ Γ∠, ἐπειδὴ ταύτῃ ἴσαι εἰσὶν αἱ προσπίπτουσαι πρὸς τὴν ΛΓΜ γραμμήν, αὐτὴ δὲ ἡ ΛΓΜ γραμμὴ κοχλοειδὴς πρώτη (ἐπειδὴ καὶ ἡ δευτέρα καὶ ἡ τρίτη καὶ ἡ τετάρτη ἐκτίθεται εἰς ἄλλα θεωρήματα χρησιμεύουσαι).

40 κζ΄. Ὅτι δὲ ὀργανικῶς δύναται γράφεσθαι ἡ γραμμὴ καὶ ἐπ᾿ ἔλαττον ἀεὶ συμπορεύεται τῷ κανόνι, τουτέστιν ὅτι πασῶν τῶν ἀπό τινων σημείων τῆς ΛΓΘ γραμμῆς ἐπὶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν καθέτων μεγίστη ἐστὶν ἡ Γ∠ κάθετος, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς Γ∠ ἀγομένη κάθετος τῆς ἀπώτερον
μείζων ἐστίν , καὶ ὅτι, εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τοῦ κανόνος καὶ τῆς κοχλοειδοῦς ἐάν τις ᾖ εὐθεῖα, ἐκβαλλομένη τμηθήσεται ὑπὸ τῆς κοχλοειδοῦς, αὐτὸς ἀπέδειξεν ὁ Νικομήδης, ³⁰ καὶ ἡμεῖς ἐν τῷ εἰς τὸ ἀνάλημμα Διοδώρου , τρίχα τεμεῖν τὴν γωνίαν βουλόμενοι, κεχρήμεθα τῇ προειρημένῃ γραμμῇ.

41 Διὰ δὴ τῶν εἰρημένων φανερὸν ὡς δυνατόν ἐστιν γωνίας δοθείσης ὡς τῆς ὑπὸ ΗΑΒ καὶ σημείου ἐκτὸς αὐτῆς
τοῦ Γ διάγειν τὴν ΓΗ καὶ ποιεῖν τὴν ΚΗ μεταξὺ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσην τῇ δοθείσῃ.

Ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΘ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ τῇ δοθείσῃ ἴση ἔστω ἡ ∠Θ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δέ τῷ δοθέντι, τουτέστιν τῇ ∠Θ,
κανόνι δὲ τῷ ΑΒ γεγράφθω κοχλοειδὴς γραμμὴ πρώτη ἡ Ε∠Η συμβάλλει ἄρα τῇ ΑΗ διὰ τὸ προλεχθέν. συμβαλλέτω κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΗ τῇ δοθείσῃ.

42 κη΄. Τινὲς δὲ τῆς χρήσεως ἕνεκα παρατιθέντες κανόνα
τῷ Γ κινοῦσιν αὐτόν, ἕως ἂν ἐκ τῆς πείρας ἡ μεταξὺ ἀπολαμβανομένη τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς Ε∠Η γραμμῆς ἴση γένηται τῇ δοθείσῃ· τούτου γάρ ὄντος τὸ προκείμενον ἐξ ἀρχῆς δείκνυται λέγω δέ κύβος κύβου διπλάσιος εὑρίσκεται). πρότερον δέ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ
συνεχὲς ἀνάλογον λαμβάνονται, ὧν ὁ μὲν Νικομήδης τὴν κατασκευὴν ἐξέθετο μόνον, ἡμεῖς δέ καὶ τὴν ἀπόδειξιν ἐφηρμόσαμεν τῇ κατασκευῇ τὸν τρόπον τοῦτον.

³¹

43 Δεδόσθωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΛ ΛΛ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχές εὑρεῖν, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΛ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς ∠ Ε σημείοις, καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ ∠Λ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω
τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, τῇ δὲ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ προσβεβλήσθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ Α∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ Α∠ ἢ τῇ ΓΖ (τοῦτο γὰρ
ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κοχλοειδοῦς γραμμῆς), καἰ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΚΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΜΑ, καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ.

Ἐπεὶ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε καὶ πρόσκειται αὐτῇ
ἡ ΚΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΚ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ , τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς
ΛΚ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ³² οὔτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἔστι τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ Α∠, τῆς δὲ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ· ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς Α∠, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΚΓ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ,
οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς ΗΖ ΓΘ· καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ Μ∠ πρὸς ∠Α, ἡ ΖΚ πρὸς
ΚΘ. ἴση δέ ὑπόκειται καὶ ἡ Α∠ τῇ ΘΚ ἐπεὶ καὶ τῇ ΓΖ ἴση ἐστὶν ἡ Α∠· ἴση ἄρα καὶ ἡ Μ∠ τῇ ΖΚ· ἴσον
ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Μ∠ τῷ ἀπὸ ΖΚ. καὶ ἔστι τῷ μὲν ἀπὸ Μ∠ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Α, τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΓ, ὧν τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ (ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ Α∠ τῇ ΓΖ)· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΜΑ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ· ὡς ἄρα
ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΜ πρὸς ΒΚ, ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ· ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ, καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΑΛ.

44 κθ΄. Τούτου δειχθέντος πρόδηλον ὅπως δεῖ κύβου δοθέντος κύβον ἄλλον εὑρεῖν κατὰ τὸν δοθέντα λόγον.

Ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος τῆς Α εὐθείας πρὸς τὴν Β, καὶ τῶν Α B δύο μέσαι ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς εἰλήφθωσαν αἱ Γ ∠· ἔσται ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως
ὁ ἀπὸ τῆς Α κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Γ κύβον· τοῦτο γὰρ δῆλον ἐκ τῶν στοιχείων.

45 λ΄. Εἰς τὸν τετραγωνισμὸν τοῦ κύκλου παρελήφθη τις ³³ ὑπὸ Δεινοστράτου καὶ Νικομήδους γραμμή καί τινων ἄλλων νεωτέρων ἀπὸ τοῦ περὶ αὐτὴν συμπτώματος λαβοῦσα τοὔνομα· καλεῖται γάρ ὐπ᾿ αὐτῶν τετραγωνίζουσα καὶ γένεσιν ἔχει τοιαύτην.

Ἐκκείσθω τετράγωνον τὸ ΑΒΓ∠ καὶ περὶ κέντρον τὸ
Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΒΕ∠ καὶ κινείσθω ἡ μὲν ΑΒ οὕτως ὥστε τὸ μὲν Α σημεῖον μένειν τὸ δὲ Β φέρεσθαι κατὰ τὴν ΒΕ∠ περιφέρειαν, ἡ δέ ΒΓ παράλληλος ἀεὶ διαμένουσα τῇ Α∠ τῷ σημείῳ φερομένῳ κατὰ τῆς ΒΑ συνακολουθείτω, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἥ τε ΑΒ κινουμένη
ὁμαλῶς τὴν ὑπὸ ΒΑ∠ γωνίαν, τουτέστιν τὸ Β σημεῖον τὴν ΒΕ∠ περιφέρειαν, διανυέτω , καὶ ἡ ΒΓ τὴν ΒΑ εὐθεῖαν παροδευέτω, τουτέστιν τὸ Β σημεῖον κατὰ τῆς ΒΑ φερέσθω. συμβήσεται δῆλον τῇ Α∠ εὐθείᾳ ἅμα ἐφερμόζειν ἑκατέραν τήν τε ΑΒ καὶ τὴν ΒΓ. τοιαύτης δὴ γινομένης κινήσεμως
τεμοῦσιν ἀλλήλας ἐν τῇ φορᾷ αἱ ΒΓ ΒΑ εὐθεῖαι κατά τι σημεῖον αἰεὶ συμμεθιστάμενον αὑταῖς, ὑφ᾿ οὗ σημείου γράφεταί τις ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν τε ΒΑ∠ εὐθειῶν καὶ τῆς ΒΕ∠ περιφερείας γραμμὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλη, οἵα ἐστὶν ἡ ΒΖΗ, ἣ καὶ χρειώδης εἶναι δοκεῖ πρὸς τὸ τῷ δοθέντι
κύκλῳ τετράγωνον ἴσον εὑρεῖν. τὸ δὲ ἀρχικὸν αὐτῆς σύμτοιοῦτόν ἐστιν. ἥτις γάρ ἂν διαχθῇ τυχοῦσα πρὸς τὴν περιφέρειαν, ὡς ἡ ΑΖΕ, ἔσται ὡς ὅλη ἡ περιφέρεια πρὸς τὴν Ε∠, ἡ ΒΑ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΖΘ· τοῦτο γὰρ ἐκ τῆς γενέσεως τῆς γραμμῆς φανερὸν ἐστιν.

46 λα΄. Δυσαρεστεῖται δὲ αὐτῇ ὁ Σπόρος εὐλόγως διὰ ³⁴ ταῦτα. πρῶτον μὲν γάρ πρὸς ὃ δοκεῖ χρειώδης εἶναι πρᾶγμα, τοῦτʼ ἐν ὑποθέσει λαμβάνει. πῶς γὰρ δυνατόν, δύο σημείων ἀρξαμένων ἀπὸ τοῦ Β κινεῖσθαι, τὸ μὲν κατʼ εὐθείας ἐπὶ τὸ Α, τὸ δὲ κατὰ περιφερείας ἐπὶ τὸ ∠ ἐν ἴσῳ χρόνῳ συναποκαταστῆσαι μή πρότερον τὸν λόγον τῆς ΑB εὐθείας
πρὸς τὴν ΒΕ∠ περιφέρειαν ἐπιστάμενον; ἐν γὰρ τούτῳ τῷ λόγῳ καὶ τά τάχη τῶν κινήσεων ἀνάγκη εἶναι. ἐπεὶ πῶς οἷόν τε συναποκαταστῆναι τάχεσιν ἀκρίτοις χρώμενα, πλὴν εἶ μὴ ἂν κατὰ τύχην ποτέ συμβῇ; τοῦτο δὲ πῶς οὐκ ἀλογον; ἔπειτα δὲ τύ πέρας αὐτῆς ᾧ χρῶνται πρὸς τὸν τετραγμωνισμὸν
τοῦ κύκλου, τουτέστιν καθʼ ὃ τέμνει σημεῖον τὴν Α∠ εὐθεῖαν, οὐχ εὑρίσκεται. νοείσθω δὲ ἐπὶ τῆς προκειμένης τὰ λεγόμενα καταγραφῆς ὁπόταν χὰρ αἱ ΓΒ ΒΑ φερόμεναι συναποκατασταθῶσιν, ἐφαρμόσουσιν τῇ Α∠ καὶ τομὴν οὐκέτι ποιήσουσιν ἐν ἀλλήλαις· παύεται γὰρ ἡ τομὴ
πρὸ τῆς ἐπὶ τὴν Α∠ ἐφαρμογῆς ἥπερ τομὴ πέρας αὖ ἐγένετο τῆς γραμμῆς, καθʼ ὃ τῇ Α∠ εὐθείᾳ συνέπιπτεν. πλὴν εἰ μὴ λέγοι τις ἐπινοεῖσθαι προσεκβαλλομένην τὴν γραμμήν, ὡς ὑποτιθέμεθα τὰς εὐθείας, ἕως τῆς Α∠· τοῦτο δʼ οὐχ ἕπεται ταῖς ὑποκειμέναις ἀρχαῖς, ἀλλʼ ὡς ἂν ληφθείη
τὸ Η σημεῖον προειλημμένου τοῦ τῆς περιφερείας πρὸς τὴν εὐθεῖαν λόγου. χωρὶς δέ τοῦ δοθῆναι τὸν λόγον τοῦτον οὐ χρὴ τῇ τῶν εὑρόντων ἀνδρῶν δόξῃ πιστεύοντας παραδέχεσθαι τὴν γραμμήν μηχανικωτέραν πως οὖσαν καὶ³⁵ εἰς πολλὰ προβλήματα χρησιμεύουσαν τοῖς μηχανικοῖς. ἀλλά πρότερον παραδεκτέον ἐστὶ τὸ δι᾿ αὐτῆς δεικνύμενον πρόθλημα.

47 Τετραγώνου γάρ ὄντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ τῆς μέν περὶ τὲ κέντρον
τὸ Γ περιφερείας τῆς ΒΕ∠, τῆς δέ ΒΗΘ τετραγωνιζούσης γινομένῃς, ὡς προείρηται, δείκνυται, ὡς ἡ ∠ΕΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς
τὴν ΓΘ εὐθεῖαν. εἰ γὰρ μὴ ἔσκιμ, ἤτοι πρὸς μείζονα ἔσται τῆς ΓΘ ἢ πρὸς ἐλάσσονα.

48 Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, πρὸς μείζονα τὴν ΓΚ, καὶ περὶ κέντρον τό Γ περιφέρεια ἡ ΖΗΚ γεγράφθω τέμνουσα
τήν γραμμὴν κατὰ τὸ Η, καὶ κάθετος ἡ ΗΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ∠ΕΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ,
τουτέστιν ἡ Γ∠, πρὸς τὴν ΓΚ, ὡς δὲ ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗΚ περιφέρειαν (ὡς γὰρ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον, ἡ περιφέρεια
τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περιφέρειαν), φανερὸν ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗΚ περιφέρεια τῇ ΒΓ εὐθείᾳ. καὶ ἐπειδὴ διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΗΛ, καὶ ὡς ἦρ ἡ ΖΗΚ πρὸς τὴν ΗΚ περιφέρειαν , οὕτως ἡ ΒΓ εὐθεῖα πρὸς τὴν
ΗΛ. καὶ ἐδείχθη ἴση ἡ ΖΗΚ περιφέρεια τῇ ΒΓ εὐθείᾳ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΗΚ περιφέρεια τῇ ΗΛ εὐθείᾳ, ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ εὐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς μείζονα τῆς ΓΘ.

49 λβ΄. Λέγω δέ ὅτι οὐδέ πρὸς ἐλάσσονα. εἰ γὰρ δυνατόν,
ἔστω πρὸς τὴν ΚΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΖΜΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ Γ∠ ἡ ΚΗ τέμνουσα τὴν τετραγωνίζουσαν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΗ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε. ὁμοίως δὴ τοῖς προγεγραμμένοις δείξομεν καὶ τὴν ΖΜΚ περιφέρειαν τῇ ΒΓ εὐθείᾳ ἴσην , καὶ ὡς τὴν ΒΕ∠ περιφέρειαν πρὸς τὴν Ε∠ τουτἐστιν
ὡς τὴν ΖΜΚ πρὸς τὴν ΜΚ , πὕτως τὴν ΒΓ εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΗΚ. ἐξ ὧν φανερὸν ὅτι ἴση ἔσται ἡ ΜΚ περιφέρεια τῇ ΚΗ εὐθείᾳ , ὅπερ ἄτοπον. οὖκ ἄρα ἔσται ὡς ἧ ΒΕ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΓ ἐθεῖαν, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΓΘ. ἐδείχθη δέ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα·
πρὸς αὐτὴν ἄρα τὴν ΓΘ.

50 Ἔστι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι ἡ τῶν ΘΓ ΓΒ εὐθειῶν τρίτη ἀνάλογον λαμβανομένη εὐθεῖα ἴση ἔσται τῇ ΒΕ∠ περιφερείᾳ, καὶ ἡ τετραπλασίων αὐτῆς τῇ τοῦ ὅλου κύκλου περιφερείᾳ. εὑρημένης δέ τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ ἴσης
εὐθείας πρόδηλον ὡς δὴ καὶ αὐτῷ τῷ κύκλῳ ῥᾴδιον ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι· τὸ γάρ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου, ὡς Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν.

51 λγ΄. Αὕτη μὲν οὖν ἡ γένεσις
τῆς γραμμῆς ἐστιν , ὡς εἴρηται, μηχανικωτέρα, γεμωμετρικῶς δὲ διὰ τῶν πρὸς ἐπιφανείαις τόπων ἀναλύεσθαι δύναται τὸν τρόπον τοῦτον.

Θέσει κύκλου τεταρτημόριον τὸ ΑΒΓ, καὶ διήχθω, ὡς ἔτυχεν, ἡ Β∠, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΕΖ λόγον ἔχουσα ³⁶ δοθέντα πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν· ὅτι πρὸς γρσμμῇ τὸ Ε.

Νοείσθω γὰρ ἀπὸ τῆς Α∠Γ περιφερείας ὀρθοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνεια, καὶ ἐν αὐτῇ ἕλιξ γεγραμμένη δεδομένη τῇ θέσει ἡ ΓΗΘ , καὶ πλευρά τοῦ κυλίνδρου ἡ Θ∠, καὶ
τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθαὶ ἤχθωσαν αἱ ΕΙ ΒΛ ἀνεσταμέναι ὀρθαί, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΘΛ. ἐπεὶ λόγος τῆς ΕΙ εὐθείας πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειάν ἐστιν δοθεὶς διὰ τὴν ἕλικα, δοθεὶς δὲ καὶ ὁ τῆς ΕΖ λόγος πρὸς τὴν ∠Γ, ἔσται καὶ τῆς ΕΖ πρὸς ΕΙ λόγος δοθείς. καὶ
εἰσὶν αἱ ΖΕ ΕΙ παρὰ θέσει· καὶ ἡ ΖΙ ἄρα ἐπιζευχθεῖσα παρὰ θέσει. καὶ ἔστιν κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ· ἐν τέμνοντι ἄρα ἐπιπέδῳ ἡ ΖΙ, ὥστε καὶ τὸ Ι. ἔστιν δὲ καὶ ἐν κυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ (φέρεται γὰρ ἡ ΘΛ διά τε τῆς ΘΗΓ ἕλικος καὶ τῆς ΛΒ εὐθείας καὶ αὐτῆς τῇ θέσει δεδομένης
αἰεὶ παράλληλος οὖσα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ)· πρὸς γραιμμῇ ἄρα τὸ Ι, ὥστε καὶ τὸ Ε. τοῦτο μὲν οὖν ἀνελύθη καθόλου, ἂν δʼ ὁ τῆς ΕΖ εὐθείας πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν ³⁷ λόγος ὁ αὐτὸς ᾖ τῷ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν Α∠Γ, ἡ προειρημένη τετραγωνίζουσα γίνεται γραμμή.

52 λδ΄. Δύναται δὲ καὶ διὰ τῆς ἐν ἐπιπέδῳ γρσφομένης ἕλικος ἀναλύεσθαι τὸν ὅμοιον τρόπον. ἔστω γὰρ ὁ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΑΒ πρὸς
τὴν Α∠Γ περιφέρειαν, καὶ ἐν ᾧ ἡ ΑΒ εὐθεῖα περὶ τὸ Β κινουμένη παροδεύει τὴν Α∠Γ περιφέρειαν, σημεῖον ἐπʼ αὐτῆς ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β παραγινέσθω θέσιν λαβούσης τὴν ΓΒ τῆς ΑΒ, καὶ ποιείτω τὴν ΒΗΑ ἕλικα. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, ἡ Α∠Γ περιφέρεια πρὸς
τὴν Γ∠, καὶ ἐναλλάξ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΖ πρὸς ∠Γ· ἴση ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΖΕ. ἤχθω τῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὴ ἡ ΚΗ ἔση τῇ ΒΗ· ἐν κυλινδροειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς ἕλικος τὸ Κ. ἀλλὰ καὶ ἐν κωνικῇ (ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ΒΚ ἐν κωνικῇ γίνεται ἐπιφανείᾳ ἡμίσειαν ὀρθῆς κεκλιμένη πρὸς τὸ ὑποκείμενον
καὶ ἠγμένῃ διὰ δοθέντος τοῦ Β)· πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Κ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ τῇ ΕΒ παράλληλος ἡ ΛΚΙ, καὶ ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ αἱ ΒΛ ΕΙ· ἐν πλεκτοειδεῖ ἄρα ἐπιφανείᾳ ἡ ΛΚΙ (φέρεται γὰρ διά τε τῆς ΒΛ εὐθείας θέσει οὔσης καὶ διὰ θέσει γραμμῆς πρὸς ᾗ τὸ Κ)· καὶ
τὸ Ι ἄρα ἐν ἐπιφανείᾳ. ἀλλὰ καὶ ἐν ἐπιπέδῳ (ἴση γὰρ ἡ ΖΕ τῇ ΕΙ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΒΗ, καὶ γίνεται παρὰ θέσει ἡ ΖΙ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν ΒΓ)· πρὸς γραμμῇ ἄρα τὸ Ι, ³⁸ ὥστς καὶ τὸ Ε. καὶ δῆλον ὅτι, ἂν ὀρθὴ ἥ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία, ἡ προειρημένη τετραγωνίζουσα γραμμή γίνεται.

53 λε΄. Ὥσπερ ἐν ἐπιπέδῳ νοεῖται γινομένη τις ἕλιξ φερομένου σημείου κατʼ εὐθείας κύκλον περιγραφούσης, καὶ ἐπὶ στερεῶν φερομένου σημείου κατά μιᾶς πλευράς τινʼ
ἐπιφάνειαν περιγραφούσης, οὕτως δέ καὶ ἐπὶ σφαίρας ἕλικα νοεῖν ἀκόλουθόν ἐστι γραφομένην τὸν τρόπον τοῦτον.

54 Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΚΛΜ περὶ πόλον τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ μεγίστου κύκλου τεταρτημύριον γεγράφθω τὸ ΘΝΚ , καὶ ἡ μέν ΘΝΚ περιφέρεια,
περὶ τὸ Θ μένον φερομένη κατὰ τῆς ἐπιφανείας ὡς ἐπὶ τὰ Λ Μ μέρη, ἀποκαθιστάσθω πάλιν ἐπὶ τὸ αὐτό, σημεῖον δέ τι φερόμενον ἐπʼ αὐτῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Κ παραγινέσθω· γράφει δή τινα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἕλικα, οἳα ἐστὶν ἡ ΘΟΙΚ , καὶ ἥτις ἂν ἀπὸ τοῦ Θ γραφῇ μεγίστου
κύκλου περιφέρεια , πρὸς τὴν ΚΛ περιφέρειαν λόγον ἔχει ὃν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν Θ0· λέγω δὴ ὅτι, ἄν ἐκτεθῇ τεταρτημύριον τοῦ μεγίστου ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλου τὸ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠, καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΓΑ, γίνεται ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς ΘΟΙΚ ἕλικος
καὶ τῆς ΚΝΘ περιφερείας ἀπολαμβανομένην ἐπιφάνειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ∠ τομεύς πρὸς τύ ΑΒΓ τμῆμα.

³⁹

Ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΓΖ , καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α γεγράφθω περιφέρεια ἡ ΑΕΖ· ἴσος ἄρα ὁ ΑΒΓ∠ τομεὺς τῷ ΑΕΖΓ (διπλασία μὲν γὰρ ἡ πρὸς τῷ ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΓΖ, ἥμισυ δέ τὸ ἀπὸ ∠Α τοῦ ἀπὺ ΑΓ)· ὅτι ἄρα καὶ ὡς αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι
πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ὁ ΑΕΖΓ τομεύς πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα.

55 ἔστω, ὃ μέρος ἡ ΚΛ περιφέρεια τῆς ὅλης τοῦ κύκλου περιφερείας, καὶ τὸ αὐτὸ μέρος περιφέρεια ἡ ΖΕ τῆς ΖΑ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΕΓ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΑΒΓ τὸ αὐτὸ μέρος. ὃ δέ μέρος ἡ ΚΛ τῆς ὅλης περιφερείας, τὸ
αὐτὸ καὶ ἡ ΘΟ τῆς ΘΟΛ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΘΟΛ τῇ ΑΒΓ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΟ τῇ ΒΓ. γεγράφθω περὶ πόλον τὸν Θ διὰ τοῦ Ο περιφίρεια ἡ ΝΟ , καὶ διὰ τοῦ B περὶ τὸ Γ· κέντρον ἡ ΒΗ. ἐπεὶ οὖν ὡς ἡ ΛΚΘ σφαιρικὴ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ΟΘΝ, ἡ ὅλη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς
τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν οὗ ἡ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶν ἡ Θ0 , ὡς δʼ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν τοῦ τμήματος ἐπιφάνειαν, οὕτως ἐστὶν τύ ἀπὸ τῆς τὰ Θ Λ ἐπιζευγνυούσης εὐθείας τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Θ Ο , ἢ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς
⁴⁰ ΒΓ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ ΚΛΘ τομεύς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ πρὸς τὸν ΟΘΝ , οὕτως ὁ ΕΖΓ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΗΓ. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ ὡς πάντες οἱ ἐν τῷ ἡμισφαιρίῳ τομεῖς οἱ ἴσοι τῷ ΚΛΘ , οἳ εἰσιν ἡ ὕλη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια, πρὸς τούς περιγραφομένους περὶ τὴν ἕλικα τομέας
ὁμοταγεῖς τῷ ΟΘΝ , οὕτως πάντες οἱ ἐν τῷ ΑΖΓ τομεῖς οἱ ἴσοι τῷ ΕΖΓ, τουτέστιν ὅλος ὁ ΑΖΓ τομεύς, πρὸς τούς περιγραφομένους περὶ τὸ ΑΒΓ τμῆμα τούς ὁμοταγεῖς τῷ ΓΒΗ. τῷ δʼ αὐτῷ τρόπῳ δειχθήσεται καὶ ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιράνεια πρὸς τούς ἐγγραφομένους
τῇ ἕλικι τομέας, οὕτως ὁ ΑΖΓ τομεύς πρὸς τοῖς ἐγγραρομένους τῷ ΑΒΓ τμήματι τομέας, ὥστε καὶ ὡς ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ὑπὸ τῆς ἕλικος ἀπολαμβανομένην ἐπιφάνειαν, οὕτως ὁ ΑΖΓ τομεύς, τουτέστιν τὸ ΑΒΗ∠ τεταρτημόριον, πρὸς τὸ ΑΒΓ τμῆμα.

56 συνάγεται
δέ διὸ τούτου ἡ μὲν ἀπὸ τῆς ἕλικος ἀπολαμβανομένη ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ΘΝΚ περιφέρειαν ὀκταπλασία τοῦ ΑΒΓ τμήματος ἐπεὶ καὶ ἡ τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια τοῦ ΑΒΓ∠ τομέως), ἡ δὲ μεταξὺ τῆς ἕλικος καὶ τῆς βάσεως τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπιφάνεια ὀκταπλασία τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου, τουτἐστιν
ἴση τῷ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας τετραγώνῳ.

⁴¹

57 λς΄. Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον εἰς τρία ἴσα τεμεῖν οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι θελήσαντες ἠπόρησαν διʼ αἰτίαν τοιαύτην. τρία γένη φαμὲν εἶναι τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων, καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι, τὰ δὲ στερεά, τὰ δέ γραμμικά, τά μὲν οὖν διʼ εὐθείας καὶ
κύκλου περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτʼ ἂν εἰκότως ἐπίπεδα καὶ γάρ αἱ γραμμαὶ διʼ ὧν εὑρίσκεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δέ λύεται προβλήματα παραλαμβανομένης εἷς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ καὶ πλειόνων, στερεά ταῦτα κέκληται·
πρὸς γάρ τὴν κατασκευὴν χρήσασθαι στερεῶν σχημάτων ἐπιφανείαις, λέγω δέ ταῖς κωνικαῖς, ἀναγκαῖον. τρίτον δέ τι προβλημάτων ὑπολείπεται γένος τὸ καλούμενον γρσμμικόν· γραμμαὶ γάρ ἕτεραι παρά τάς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν ἔχουσαι τὴν γένεσιν
καὶ βεβιασμένην μᾶλλον, ἐξ ἀτακτοτέρων ἐπιφανειῶν καὶ κινήσεων ἐπιπεπλεγμένων γεννώμεναι.

58 τοιαῦται δέ εἶσιν αἵ τε ἐν τοῖς πρὸς ἐπιφανείαις καλουμένοις τόποις εὑρισκόμεναι γραμμαὶ ἕτεραί τε τούτων ποικιλώτεραι καί πολλαὶ τὸ πλῆθος ὑπὸ Δημητρίου τοῦ Ἀλεξανδρέως ἐν ταῖς γραμμικαῖς
ἐπιστάσεσι καὶ Φίλωνος τοῦ Τυανέως ἐξ ἐπιπλοκῆς πλεκτοειδῶν τε καὶ ἑτέρων παντοίων ἐπιφανειῶν εὑρισκόμεναι πολλὰ καὶ θαυμαστὰ συμπτώματα περὶ αὐτάς ἔχουσαι. καί τινες αὐτῶν ὑπὸ τῶν νεωτέρων ἠξιώθησαν λόγου πλείονος, μία δέ τις ἐξ οὐτῶν ἐστιν ἡ καὶ παράδοξος ὑπὸ
τοῦ Μενελάου κληθεῖσα γραμμή. τοῦ δὲ αὐτοῦ γένους ἕτεραι ἕλικές εἰσιν τετραγωνίζουσαί τε καὶ κοχλοειδεῖς καὶ κισσοειμδεῖς.

59 δοκεῖ δέ πως ἁμάρτημα τὸ τοιοῦτον οὐ μικρὸν εἶναι τοῖς γεωμέτραις, ὅταν ἐπίπεδον πρόβλημα διὰ τῶν κωνικῶν ἢ τῶν γραμμικῶν ὑπό τινος εὑρίσκηται, καὶ τὸ σύνολον
ὅταν ἐξ ἀνοικείου λύηται γένους, οἷόν ἐστιν τὸ ἐν τῷ πέμπτῳ ⁴² τῶν Ἀπολλωνίου κωνικῶν ἐπὶ τῆς παραβολῆς πρόβλημα καὶ ἡ ἐν τῷ περὶ τῆς ἕλικος ὑπὸ Ἀρχιμήδους λαμβανομένη στερεοῦ νεῦσις ἐπὶ κύκλον μηδενὶ γάρ προσχρμώμενον στερεῷ δυνατὸν εὑρεῖν τὸ ὑπʼ αὐτοῦ γραφόμενον θεώρημα, λέγω δὴ τὸ τὴν περιφέρειαν τοῦ ἐν τῇ πρώτῃ περιφορά κύκλου
ἴσην ἀποδεῖξαι τῇ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένῃ εὐθείᾳ τῇ ἐκ τῆς γενέσεως ἕως τῆς ἐφαπτομένης τῆς ἕλικος. τοιαύτης δή τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημάτων ὑπαρχούσης οἱ πρότεροι γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῆς γωνίας πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον διὰ τῶν ἐπιπέδων ζητοῦντες οὐχ οἷοί τʼ
ἦσαν εὑρίσκειν· οὐδέπω γὰρ αἱ τοῦ κύνου τομαὶ συνήθεις ἦσαν αὐτοῖς, καὶ διὰ τοῦτο ἠπόρησαν· ὕστερον μέντοι διὰ τῶν κωνικῶν ἐτριχοτόμησαν τὴν γωνίαν εἰς τὴν εὕρεσιν χρησάμενοι τῇ ὑπογεγραμμένῃ νεύσει.

60 Παραλληλογράμμου δοθέντος ὀρθογωνίου τοῦ ΑΒΓ∠
καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΒΓ, δέον ἔστω διαγαγόντα τὴν ΑΕ ποιεῖν τὴν ΕΖ εὐθεῖαν ἴσην τῇ δοθείσῃ.

Γεγονέτω, καὶ ταῖς ΕΖ Ε∠ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ∠Η ΗΖ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά
ἐστιν ἡ ΖΕ καὶ ἔστιν ἴση τῇ ∠Η, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Η. καὶ δοθέν τὸ ∠· τὸ Η ἄρα πρὸς θέσει κύκλου περιψερείᾳ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΒΓ∠ δοθέν καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΖ
Ε∠ δοθὲν ὥρα καὶ τύ ὑπὸ ΒΖ Ε∠, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΗ· ⁴³ τὸ Η ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ. ἀλλὰ καὶ πρὸς θέσει κύκλου περιφερείᾳ· δοθὲν ἄρα τὸ Η.

61 λζ΄. Συντεθήσεται δή τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω τὸ δοθὲν παραλληλόγραμμμον τὸ ΑΒΓ∠, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα τῷ μεγέθει ἡ Μ, καὶ ἵση αὐτῇ ἔστω ∠Κ, καὶ γεγράφθω
διὰ μέν τοῦ ∠ περὶ ἀσυμπτώτους τάς ΑΒΓ ὑπερβολή ἡ ∠ΗΘ (τοῦτο γὰρ ἑξῆς ἀποδείξομεν), διὰ δὲ τοῦ Κ περὶ κέντρον τὸ ∠ κύκλου περιφέρεια ἡ ΚΗ τέμνουσα τὴν ὑπερβολὴν κατὰ τὸ Η, καὶ τῇ ∠Γ παραλλήλου ἀχθείσης τῆς ΗΖ ἐπεζεύχθω ΖΑ λέγω ὅτι ἡ ΕΖ ἴση ἐστὶν τῇ M.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ τῇ ΚΑ παράλληλος ἥχθω ἡ ΗΛ. τὸ ἔρα ὑπὸ ΖΗΛ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΖΗ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Γ∠Α, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΓ Γ∠. ἔσειν ἄρα ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Ε, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΖΗ· ἡ ἄρα Ε∠ ἴση τῇ ΖΗ· παραλληλόγραμμον
ἄρα τὸ ∠ΕΖΗ· ἴση ἄρα ἡ ΕΖ τῇ ∠Η, τουτέστιν τῇ ∠Κ, τουτέστιν τῇ M.

62 λη΄. Δεδειγμένου δή τούτου τρίχα τέμνεται ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος οὕτως.

Ἔστω γὰρ ὀξεῖα πρότερον ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπό τινος
σημείου κάθετος ἡ ΑΓ, καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ΓΖ παραλληλογράμμου ⁴⁴ ἡ ΖΑ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ παραλληλογράμμου ὄντος ὀρθογωνίου τοῦ ΓΖ κείσθω μεταξὺ τῶν ΕΑΓ εὐθεῖα ἡ Ε∠ νεύουσα ἐπὶ τὸ Β ἴση τῇ διπλασίᾳ τῆς ΑΒ (τοῦτο γάρ ὡς δυνατὸν γενέσθαι προγέγραπται)· λέγω δὴ ὅτι τῆς δοθείσης γωνίας τῆς ὑπὸ ΑΒΓ τρίτον
μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΓ.

Τετμήσθω γὰρ ἡ Ε∠ δίχα τῷ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ∠Η ΗΑ ΗΕ ἴσαι εἰσίν· διπλῆ ἄρα ἡ ∠Ε τῆς ΑΗ. ἀλλὰ καὶ τῆς ΑΒ διπλῆ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΑΗ, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗ∠. ἡ δὲ ὑπὸ
ΑΗ∠ διπλασία τῆς ὑπὸ ΑΕ∠, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ∠ΒΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ ἄρα διπλῆ ἐστιν τῆς ὑπὸ ∠ΒΓ. καὶ ἐὰν τὴν ὑπὸ ΑΒ∠ δίχα τέμωμεν, ἔσται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τρίχα τετμημένη.

63 λθ΄. Ἐὰν δὲ ἡ δοθεῖσα γωνία ὀρθὴ
τυγχάνῃ, ἀπολαβόντες τινὰ τὴν ΒΓ ἰσόπλευρον ἐπʼ αὐτῆς γράψομεν τὸ Β∠Γ, καὶ τὴν ὑπὸ ∠ΒΓ γωνίαν δίχα τεμόντες ἕξομεν τρίχα τετμημένην τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν.

64 μ΄. Εσιω δὲ ἀμβλεῖα ἡ γωνία καὶ τῇ ΓΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ Β∠, καὶ τῆς μὲν ὑπὸ ∠ΒΓ τρίτον ἀπειλήφθω μέρος ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒ∠ ὀξείας γωνίας τρίτον ἡ ὑπὸ ΕΒ∠ (ταῦτα γὰρ ἡμῖν προδέδεικται)·
καὶ ὅλης ἄρα τῆς ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τρίτον μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΖ. ἐὰν δὲ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ ἴσην συστησόμεθα προς ἑκατέραν τῶν ΑΒΓ, τρίχα τεμοῦμεν τὴν δοθεῖσαν
γωνίαν.

65 μα΄. Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν πρόβλημα νῦν ἀναλύσομεν. θέσει οὐσῶν δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ καὶ δοθέντος σημείου τοῦ ⁴⁵ ∠ γράψαι διὰ τοῦ ∠ περὶ ἀσυμπτώτους τάς ΑΒΓ ὑπερβολήν.

Γεγονέτω, καὶ γεγράφθω ἡ Ε∠Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ ποῦ ∠ ἐφαπτομένη αὐτῆς ἡ Α∠Γ, καὶ διάμετρος ἡ ΗΒ∠, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠Θ. θέσει ἄρα αἱ Η∠ ∠Θ, καὶ
δοθὲν τὸ Θ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΑΒΓ τῆς ὑπερβολῆς, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΑΓ, ἴση ἄρα ἡ Α∠ τῇ ∠Γ, καὶ τὸ ἀφ᾿ ἑκατέρας αὑτῶν τετράγωνον ἴσον ἐστίν τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ Η∠ εἴδους. ταῦτα γὰρ ἐν τῷ δευτέρῳ τῶν κωνικῶν ἀποδέδεικται. ἐπεὶ οὖν ἴκη ἡ Γ∠ τῇ ∠Α,
ἴση καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΒΘ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΑ. καὶ δοθὲν τὸ Θ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Α· θέσει ἄρα ἡ Α∠Γ. καὶ δοθεῖσα τῷ μεγέθει ἡ ΑΓ, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ πρὸς τῇ Η∠ εἴδει. δοθέν ἄρα καὶ τύ πρὸς τῇ Η∠ εἶδος. καὶ δοθεῖσα
ἡ Η∠ (διπλῆ γάρ ἐστιν τῆς Β∠ τῷ μεγέθει δεδομένης διὰ τὸ δοθέν ἑκάτερον εἶναι τῶν Β Δ)· δοθεῖσα ἔρα καὶ ἡ ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά. γέγονεν δὴ πρόβλημα τοιοῦτον· θέσει καὶ μεγέθει δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῆς τε Η∠ καὶ τῆς ὀρθίας γράψαι περὶ διάμετρον τὴν Η∠ ὑπερβολήν, ἧς
⁴⁶ παρʼ ἣν δύνανται ἔσται ἡ λοιπὴ εὐθεῖα, καὶ αἱ καταγόμεναι τεταγμένως ἐπὶ τὴν Η∠ παράλληλοι ἔσονται θέσει τινὶ εὐθείᾳ τῇ ΑΓ. τοῦτο δὲ ἀναλέλυται ἐν τῷ πρώτῳ τῶν κωνικῶν.

66 μβ΄. Συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἔστωσαν αἱ μὲν τῇ θέσει
δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ ∠, καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Θ, τῇ δὲ ΒΘ ἴση ἡ ΘΑ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α∠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ, ἐπιζευχθεῖσα δέ καὶ ἡ Β∠ ἐκβεβλήσθω καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΗ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς
Η∠ καὶ ἑτέρας τινὸς τῆς Κ, καὶ περὶ διάμετρον τὴν Η∠ καὶ ὀρθίαν τὴν Κ γεγράφθω ὑπερβολὴ ἡ Ε∠Ζ , ὥστε τὰς καταγομένας ἐπὶ τὴν Η∠ παραλλήλους εἶναι τῇ ΑΓ· ἡ ἄρα ΑΓ ἐφάπτεται τῆς τομῆς. καὶ ἔστιν ἡ Α∠ τῇ ∠Γ ἴση (ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ) , καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἀφ᾿
ἑκατέρας τῶν Α∠ ∠Γ τέταρτόν ἐστι τοῦ πρὸς τῇ Η∠ εἴδους· αἱ ἄρα ΑΒΓ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς Ε∠Ζ ὑπερβολῆς· γέγραπται ἅρα διὰ τοῦ ∠ περὶ τὰς δοθείσας εὐθείας ἀσυμπτώτους ὑπερβολή.

67 μγ΄. Καὶ ἄλλως τῆς δοθείσης περιφερείας τὸ τρίτον
ἀφαιρεῖται μέρος, χυρὶς τῆς νεύσεως, διὰ στερεοῦ τόπου τοιούτου.

Θέσει ἡ διὰ τῶν Α Γ, καὶ ἀπὸ δοθέντων ἐπʼ αὐτῆς τῶν Α Γ κεκλάσθω ἡ ΑΒΓ διπλασίαν ποιοῦσα τὴν ὑπὸ ΑΓΒ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΓΑΒ· ὅτι τὸ Β πρὸς ὑπερβολῇ. Ἤχθω κάθετος ἡ Β∠, καὶ
τῇ Γ∠ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ∠Ε· ἐπιζευχθεῖσα ἄρα ἡ ΒΕ ἴση ἔσται τῇ ΑΕ. κείσθω καὶ τῇ ∠Ε ἴση ἡ ΕΖ· τριπλασία ἄρα ἡ ΓΖ τῆς Γ∠. εστω καὶ ἡ
ΑΓ τῆς ΓΗ τριπλασία· ἔσται δὴ δοθέν τὸ Η, καὶ λοιπή ἡ ΑΖ τῆς Η∠ τριπλασία. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ ΒΕ ΕΖ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ἀπὸ Β∠ ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ∠Α ΑΖ τῶν οὐτῶν ὑπερυχή, ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΑΖ , τουτέστιν
τὸ τρὶς ὑπὸ Α∠Η, ἴσον τῷ ἀπὸ Β∠· πρὸς ὑπερβολῇ ἄρα τὸ Β, ἧς πλαγία μὲν τοῦ πρὸς ἄξονι εἴδους ἡ ΑΗ, ἡ δέ ὀρθία τριπλασία τῆς ΑΗ. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Γ σημεῖον ἀπολαμβένει πρὸς τῇ Η κορυφῇ τῆς τομῆς τὴν ΓΗ ἡμίσειαν τῆς πλαγίας τοῦ εἴδους πλευρᾶς τῆς ΑΗ.

Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γάρ τὴν ΑΓ τεμεῖν ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΗ τῆς ΗΓ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΑΗ γράψαι διὰ τοῦ Η ὑπερβολήν, ἧς ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά τριπλασία τῆς ΑΗ, καὶ δεικνύναι ποιοῦσαν μὐτὴν τὸν εἰρημένον διπλάσιον λόγον τῶν γωνιῶν. καὶ ἔτι τῆς
δοθείσης κύκλου περιφερείας τὸ γ΄ ἀποτέμνει μέρος ἡ τοῦτον ⁴⁷ γραφομένη τὸν τρόπον ὑπερβολὴ συνιδεῖν ῥάδιον τῶν Α Γ σημείων περάτων τῆς περιφερείας ὑποκειμένων.

68 μδ΄ Ἑτέρως δὲ τὴν ἀνάλυσιν τοῦ τρίχα τεμεῖν τὴν γωνίαν ἢ περιφέρειαν ἐξέθεντό τινες ἄνευ τῆς νεύσεως. ἔστω δὲ ἐπὶ περιφερείας ὁ λόγος· οὐδὲν γὰρ διαφέρει γωνίαν
ἢ περιφέρειαν τεμεῖν.

Γεγονέτω δή, καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας τρίτον ἀπειλήφθω μέρος ἡ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΑΓ· διπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ΑΓβ τῇ Γ∠, καὶ κάθετοι αἱ ∠Ε ΖΒ· ἴση ἄρα
ἡ Α∠ τῇ ∠Γ, ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ δοθὲν ἄρα τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ, καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ. διπλῆ δὲ ἡ ΓΑ τῇ ΑΕ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ· τετραπλάσιον ἔρα τὸ ἀπὸ ΒΓ,
τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ, τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἐπεὶ οὖν δύο δοθέντα ἐστὶν τὰ Ε Γ, καὶ ὀρθὴ ἡ ΒΖ, καὶ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ, τὸ Β ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ. ἀλλὰ καὶ πρὸς θέσει περιφερείᾳ· δοθὲν ἄρα τὸ Β. καὶ ἡ σύνθεσις φανερά.

69 με΄. Τὸ μὲν οὖν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν τρίχα τεμεῖν στερεόν ἐστιν, ὡς προδέδεικται, τὸ δὲ τὴν δοθεῖσαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν εἰς τὸν δοθέντα λόγον τεμεῖν γραμμικόν ἐστιν καὶ δέδεικται μὲν ὑπὸ τῶν νεωτέρων, γραφήσεται δὲ καὶ ὑφ᾿ ἡμῶν διχῶς.

⁴⁸

70 Ἔστω γὰρ κύκλου τοῦ ΚΛΘ περιφέρενει ἡ ΛΘ, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν εἰς δοθέντα λόγον.

Ἐπὶ τὸ κέντρον αἱ ΛΒΘ, καὶ τῇ ΒΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ γεγράφθω
τετραγωνίζουσα γραμμὴ ἡ ΚΑ∠Γ, καὶ κάθετος ἀχθεῖσα ἡ ΑΕ τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως τὸν δοθέντα λόγον
εἰς ὃν διελεῖν θέλομεν τὴν γωνίαν, καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἡ Ζ∠, ἐπεζεύχθω δὲ ἡ Β∠, καὶ κάθετος ἡ ∠Η. ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ∠Η, τουτέστιν πρὸς ΖΕ, ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία πρὸς
τὴν ὑπὸ ∠ΒΓ, διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΕ, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ἡ ἀπὸ ΑΒ∠ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΛΜ περιφέρεια πρὸς ΜΘ.

71 μϚ΄. Ἑτέρως δὲ τέμνεται κύκλου τοῦ ΑΗΓ ἡ ΑΓ περιφέρεια. ὁμοίως ἐπὶ τὸ κέντρον αἱ ΑΒΓ, καὶ γεγράφθω
διὰ τοῦ Β ἕλιξ ἡ ΒΖ∠Γ, ἧς ἡ ἐν τῇ γενέσει εὐθεῖα ἡ ΓΒ, καὶ τῷ δοθέντι λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔοτω ὁ τῆς ∠Ε πρὸς ΕΒ, καὶ διὰ τοῦ Ε περὶ κέντρον τὸ Β κύκλου περιφέρεια ἡ
ΕΖ τέμνουσα τὴν ἕλικα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΖ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η· ἔστιν ἄρα διὰ τὴν ἕλικα ὡς ἡ ∠Β πρὸς ΒΖ, τουτέστιν πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΗΓ περιφέρεια πρὸς ΓΗ, καὶ διελόντι
ὡς ἡ ∠Ε πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΗ περιφέρεια πρὸς ⁴⁹ ΗΓ. ὁ δὲ τῆς ∠Ε πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶν ὁ αὐτὸς τῷ δοθέντι· καὶ ὁ τῆς ΑΗ ἄρα περιφερείας πρὸς τὴν ΗΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ δοθέντι· τέτμηται ἄρα: ~

72 μζ΄. Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὡς δυνατόν ἐστιν ἀπὸ δύο κύκλων ἀνίσων ἴσας περιφερείας ἀφελεῖν.

Γεγονέτω γάρ, καὶ ἀφῃρήσθωσαν ἴσαι αἱ ΑΗΒ ΓΘ∠, ἔστω δὲ μείζων ὁ περὶ κέντρον τὸ Ε· μείζων ἄρα ἡ ὁμοία τῇ ΓΘ∠ τῆς ΑΗΒ. ἔστω οὖν τῇ ΑΗΒ ὁμοία ἡ ΓΘ· λόγος ἄρα ὁ τῆς ΑΗΒ πρὸς ΓΘ δοθείς· ὁ γὰρ αὐτός ἐστιν ταῖς ὅλαις τῶν κύκλων περιφερείαις ἢ ταῖς τῶν κύκλων διαμέτροις.
ἴση δὲ ἡ ΑΗΒ τῇ ΓΘ∠· λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τῆς ΓΘ∠ πρὸς τὴν ΓΘ. καὶ διελόντι. γέγονεν οὖν τέμνειν τὴν ΓΘ∠ περιφέρειαν εἰς δοθέντα λόγον κατὰ τὸ Θ· τοῦτο δὲ προγέγραπται.

73 μη΄. Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν
τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν λόγον ἔχουσαν δοθέντα πρὸς τὴν λοιπήν.

Γεγονέτω, καὶ συνεστάτω τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διὰ τῶν Α Γ κύκλος γεγράφθω ὁ Α∠Γ, καὶ ἐκθεβλήσθω ⁵⁰ ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ ∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Γ. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν δοθεὶς τῆς ὑπὸ τῶν ΓΑΒ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, καὶ ἔστιν τῆς ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ ∠, λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τῆς ὑπὸ ΓΑ∠ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ Α∠Γ, ὥστε καὶ τῆς ∠Γ περιφερείας πρὸς τὴν ΑΓ
λόγος. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ∠ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου εἰς δοθέντα λόγον τέτμηται, δοθέν ἐστιν τὸ Γ, καὶ δοθὲν τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.

Συντεθήσεται δὲ οὕτως. ἔστω γὰρ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔδει ἔχειν ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν πρὸς τὴν
λοιπήν, ὁ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΗ, καὶ τετμήσθω ἡ ΖΗ δίχα τῷ Θ, καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ Α∠Γ περὶ κέντρον τὸ Β καὶ διάμετρον τὴν Α∠, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ∠ περιφέρεια κατὰ τὸ Γ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ∠Γ περιφέρειαν πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς ΖΘ (τοῦτο γὰρ προγέγραπται, καὶ
καθόλου πῶς ἡ δοθεῖσα περιφέρεια εἰς δοθέντα λόγον τέμνεται), καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ ΓΑ Γ∠. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ∠Γ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ὑπὸ ∠ΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ Α∠Γ, οὕτως ἡ ΕΖ κρὸς ΖΘ, καὶ τὰ διπλάσια τῶν ἑπομένων, ὡς ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΑΒ πρὸς
τὴν ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ· ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν λόγον ἔχουσαν τὸν δοθέντα πρὸς τὴν λοιπήν.

74 μθ΄. Δεδειγμένου δὴ τούτου φανερὸν ὡς δυνατὸν ἐγγράψαι πολύγωνον εἰς κύκλον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον
πλευρὰς ἔχον ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ.

⁵¹

75 Πῶς δ᾿ εὑρίσκεται κύκλος οὗ ἡ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ δοθείσῳ εὐθείᾳ, συνιδεῖν εὔκολον. Εὑρήσθω γὰρ τῇ Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ τοῦ Α κύκλου περιφέρεια, καὶ ἐκκείσθω κύκλος τυχὼν ὁ Β, καὶ τῇ περιφερείᾳ αὐτοῦ ἴση διὰ τῆς τετραγωνιζούσης εὑρήσθω ἡ ∠ εὐθεῖα.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν ∠, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Β. λόγος δὲ τῆς ∠ πρὸς Γ· λόγος ἄρα καὶ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου πρδς ἀλλήλας. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Β· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α, ὥστε καὶ αὐτὸς
ὁ Α. καὶ φανερὰ ἡ σύνθεσις.

76 ν΄. Εὐθείας τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένης τῆς ΑΒ γράψαι διὰ τῶν Α Β κύκλου περιφέρειαν λόγον ἔχουσαν τὸν δοθέντα πρὸς τὴν ΑΒ εὐθεῖαν.

Γεγράφθω ἡ ΑΓΒ, καὶ ἐκκείσθω τεταρτημόριον κύκλου
θέσει δεδομένον τὸ ΖΗΕ, καὶ γεγράφθω τετραγωνίζουσα ἡ ΖΘΚ, καὶ τῇ βεβηκυίᾳ γωνίᾳ ἐπὶ τῆς ΑΓ περιφερείας πρὸς τῇ ΖΕ περιφερείᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΕΗΛ, καὶ ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΛΜ ΘΝ. ἔσται οὖν διὰ τὸ ἰδίωμα τῆς γραμμῆς ὡς ἡ ΕΛΖ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗ εὐθεῖαν,
τουτέστιν ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΝ εὐθεῖαν. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ, ⁵² τὸν αὐτὸν ποιῆσαι τὸν τῆς ∠Η πρὸς ΗΚ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ τοῦ ∠ γράψαι περιφέρειαν, καὶ λαβεῖν τὸ Θ, καθ᾿ ὃ τέμνει τὴν τετραγωνίζουσαν, καὶ ἐπιζεῦξαι τὴν ΘΗ, καὶ δίχα τεμόντα τὴν ΑΒ καὶ ὀρθὴν ἀναστήσαντα τὴν ΡΞ καταγαγεῖν τὴν ΑΞ περιέχουσαν μετὰ τῆς ΞΡ
ἴσην τῇ ὑπὸ ΚΗΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ξ διὰ τοῦ Α γράψαι κύκλου περιφέρειαν τὴν ΑΓΒ ἔχουσαν λόγον πρὸς τὴν ΑΒ βάσιν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι.

77 να΄. Οὐκ ἀπίθανον δὲ οὐδὲ τὸ γωνίας ἀσυμμέτρους εὑρεῖν. διὰ τούτου γὰρ καὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἀσύμμετροι
ληφθήσονται περιφέρειαι, κἂν ῥητὴν ὑποστησώμεθα τὴν μίαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν, ἄλογος ἡ λοιπὴ γενήσεται.

Ἐκκείσθω τὸ ΑΒΓ τεταρτημύριον, καὶ ἐν αὐτῷ τετραγωνίζουσα ἡ ΑΕ∠Ζ, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΕΗ, καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΒΘ ἀσύμμετρος μήκει τῇ
ΒΗ, καὶ ἤχθω παράλληλος ἡ ∠Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Β· λέγω ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ἀπὸ ΕΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ∠ΒΖ.

Ἤχθω κάθετος ἡ ∠Ν· ἔστιν ἄρα διὰ τὴν γραμμὴν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ∠Ν, οὕτως ἡ ὑπὸ ΕΒΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΒΖ. ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΕΚ τῇ ∠Ν (ἐπεὶ καὶ ἡ ΗΒ τῇ
ΒΘ)· ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ γωνία τῇ γωνίᾳ, κἂν ῥητὴν ⁵³ ὑποστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΕΒΖ γωνίαν κἂν ἡμίσειαν ὀρθῆς, ἄλογος ἔσται ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ.

78 νβ΄. Τῆς ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ ἑλίκων βιβλίῳ λαμβανομένης νεύσεως τὴν ἀνάλυσίν σοι κατέταξα, ἵνα τὸ βιβλίον διερχόμενος περὶ τῶν ἑλίκων μὴ διαπορῇς.
δὲ εἰς αὐτὴν οἱ ὑπογεγραμμένοι τόποι καὶ πρὸς ἄλλα πολλὰ τῶν στερεῶν προβλημάτων χρήσιμοι.

Θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ δοθέντος σημείου τοῦ Γ προσπιπτέτω τις ἡ Γ∠, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ∠Ε, ἔστω δὲ
λύγος τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε· ὅτι τὸ Ε πρὸς ὑπερβολῇ.

Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ πρὸς ὀρθὰς παράλληλος ἡ ΓΖ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΗ, καὶ τῷ τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω τῆς ΓΖ πρὸς
τῶν ΖΘ ΖΚ· δοθὲν ἄρα ἑκάτερον τῶν Θ Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ε, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, καὶ λοιποῦ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς Ζ∠, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ, πρὸς λοιπὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΚΗΘ λόγος ἐστὶν δοθείς. καὶ ἔστι δοθέντα
⁵⁴ τὰ Κ Θ· τὸ Ε ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ ἐρχομένῃ διὰ τῶν Θ Ε.

79 νγ΄. Ἔστω θέσει καὶ μεγέθει δοθεῖσα ἡ ΑΒ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Γ, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Γ∠· ὅτι τὸ ∠ σημεῖον ἅπτεται θέσει
παραβολῆς.

Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ε, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ
ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς δοθείσης καὶ τῆς ΕΖ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ∠Η· λοιπὸν ἄρα
τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ∠Η, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς δοθείσης καὶ τῆς ΖΗ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ Ζ· τὸ ἄρα ∠ σημεῖον ἅπτεται παραβολῆς κατερχομένης διὰ τῶν Α Ζ Β, ἧς ἄξων ἐστὶν ὁ ΕΖ.

80 νδ΄. Τούτων προγεγραμμένων προκειμένη προγενομένη τὸν τρόπον τοῦτον. θέσει ὄντος κύκλου τοῦ ⁵⁵ ΑΒΓ καὶ θέσει ἐν αὐτῷ εὐθείας τῆς ΒΓ, καὶ δοθέντος ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ Α, θεῖναι μεταξὺ τῆς ΒΓ εὐθείας καὶ τῆς ΒΖΓ περιφερείας ἴσην τῇ τεθείσῃ νεύουσαν πρὸς τὸ Γ.

Γεγονέτω γάρ, καὶ κείσθω τῇ ΕΑ ἴση, καὶ τῇ ΒΓ
πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∠Ζ ἴση τῇ Α∠. ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει τὴν ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Α προσβέβληται ἡ Α∠, καὶ ἴση τῇ πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν ἡ ἀπὸ το πρὸς ὑπερβολῇ (ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ Β∠Γ τῷ ὑπὸ Α∠Ε, τουτέστιν τῷ ὑπὸ Ζ∠Ε). καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ∠Ε· τὸ
ἄρα ὑπὸ Β∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ∠Ζ· τὸ Ζ ἄρα πρὸς παραβολῇ δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. ἀναλο τῷ προβλήματι χρῆται ὁ Ἀρχιμήδης πρὸς τὸ δεῖξαι κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν. αἰτιῶνται δὲ αὐτοῦ τινες ὡς οὐ δεόντως χρησαμένου στερεῷ προβλήματι
δεικνύουσιν ὡς καὶ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν ἔστιν εὐθεῖαν ἴσην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ χρησάμενον τοῖς ἐπὶ τῆς ἕλικος εἰρημένοις θεωρήμασιν.

⁵⁶

Synagoge. Pappus Alexandrinus. ed. Friedrich Hultsch. United States. 2018.

Current edition First1KGreek

Synagoge, Book 1 (Greek) (Pappus Alexandrinus. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, Volume 1. Hultsch, Friedrich, editor. Leipzig: Weidmann, 1876.)

Notes on the current edition

Synagoge

1. 3. δείκνυται] γίνεται Hu 4. τοῦτο ABS, τοίνυν Paris, 2368, τὸ πρόβλημα Bredow 5. post εὐθεῖαι add. εὑρίσκονται Bredow 9. ini- tio libri praeter titulum periit praefation, id quod et aliorum librorum similitudo et cap. 78 docent α΄ manus recentissima in B, quae etiam βιβλίον δʼ margini adscripsit, β΄ S, om. A 10, ἀναγραφῇ τυ- χόντα S ἀναγραφη τυχον τὰ σημεῖα A, ἀναγραφῆ τιχὸν τὰ σημεῖα B τὰ ΑΒ ∠Ε ΒΓ ΖΗ ABS, coniunx. Co 12. τὰ ∠Ε ΒΓ ΖΗ A, coniunx B (ΒΓ om. S) 15. εκβληθῆ γὰρ ΘΒ Α(BS), corr. Hu τῶν ΑΓ A, distinx. BS 17. ἐπεὶ S, ἐπι sine acc.) A (B cod. Co)

2. 1. τε ὑπὸ ΑΒΓ AB, corr. S 2. τὸ ἀπὸ ∠ΑΒΕ AB1 cod. Co, τὸ ἀπὸ λαβε S, ἀπὸ del. Β3 Co 2. 3. τῶι ΛΑ ΘΒ AS(B), corr. Co 5. τὸ ΛΑ ΘΒ τῶι ΛΑ ΚΝ AB, coniunx S, corr. Co post ἐπί τ

3. 1. ἡ ΕΖ Co Sca pro ἡ ΕΗ 2. ἐπὶ τρίτον utroque loco A, corr. BS 5. τὸ ante ἀπὸ ΕΖ add. S 6. ἔσται δὴ A, ἔσται δὴ ἡ BS, corr. V2 (ἔστω δὴ ἡ Sca, sit Co) 7. διπλασίων S, δ/////ίων A, διπλάσιον B 8. 9. τὴν ΖΘ ον Η πρὸς //// τῆς extremo folio A, τὴν ζθ ὃν ἡ πρὸς . . καὶ τῆς S, corr. B Sca 15. ὅληι ἡ AB, corr. S 17. καὶ διπλῆ αὐτῆς del. Sca, ἡ ante διπλῆ add. Hu δὶς add. Co

4. 6. ὑπὸ ΖΓΝΘ AS, ὑπὸ γζ ηθ B1, corr. B3 Cο Sca 7. Γ A1 in marg. (BS) ἐπὶ Co pro ἀπὸ 9. γωνία η ὑπὸ A, γωνία ἡ ὑπὸ B3S,

5. 2. ἡ ∠Κ Scα, Η∠Κ A, ηδκ BS 3. τῷ ∠ΛΚ Co pro τῶι ΗΛΚ 4. ἡ δὲ ∠Κ ἄρα ABS, corr. Sca 5. ἐπι διμοίρου AΒ , corr. S ἴση * * * τῆι A1, ἴση ΗΒ τῆι A2S, ἡ add. B 7. καθετος ΗΒ∠Θ ΑΒ, κάθετος ηβδ S, corr. Sca 8. ἐπὶ τρίτον A1, corr. A2(BS) 13. καὶ ἐπεὶ — p. 186, 2. τὸ ἀπὸ ΗΚ iniuria om. Co (conf. adnot. ad p. 486, 2) 13. μὲν ὑπὸ ∠ΗΘ AΒ1S, , corr. B3 Sca 15. ὑπὸ ∠ΗΛ Sca pro

6. 1. ἐστὶν Ηυ pro ἔσται 1. 2. τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ Ηυ auctore Sca pro τὸ ὑπὸ τῶν ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ 1. τὸ ἀπὸ ΚΖ — 3. τῷ ἀπὸ ΚΖ] τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΚΗ ἴσον ἐστι τῷ ὑπὸ ∠ΗΛ, ἔσται καὶ ὡς ἡ ΘΛ πρὸς ΛΗ, τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΘΛ πρὸς ΛΗ, τὸ ὑπὸ ΛΗ ΛΘ πρὸς τὸ υπὸ ∠ΗΛ. καὶ τὸ ὑπὸ ∠Η ΛΘ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ. ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΚΖ τῷ ὑπὸ ∠Η ΛΘ Sca, in quibus vir acutissimus iusto liberius scripturam traditam evagatus esse videtur (conf. adnot. ad p. 184, 48 et Lat. versionem) 2. καὶ ἐδείχθη — 3. τῷ ἀπὸ KZ] osltensum autem est rectanguium quod ∠Η ΛΘ continetur quadrato ex KZ aequale esse Co, ad quae addit: ubi hoc ostensum sit , nondum comperi, nisi fortasse pse ostenderit in superioribus, quod tamen non apparet; nos autem illud ipsum ostendere sequenti lemmate nitemur (seequitur languida demonstratio quaeque longe ab elegantia Graeci scriptoris a nobis restituta abhorreat) 5. μεταρητου ////// ὃ////| ποιοῦσα A, μετὰ τοῦ ῥητοῦ μέσον τὸν λόγον ποιοῦσα Β1, corr. B3S 6. ἡ ∠K ἐκ δ// / ///////////// ΛΖ ὑπεροχή A, ἡ δκ ἐκ δύο ὀνομάτων . . .. .. λζ B1S, ἡ ἄρα add. B3, corr. Sca 7. ἡ (ante ἐκ δύο) add. Sca 9. ∠ A1 in marg. BS) 11. κατὰ τὸ A καὶ διήχθω ἡ ΑΖ Sca (quia paulo post pro ἡ ΛΕ, quod recte AΒ3 praebent, in Β1S ἡ δε legitur) 42. post ΗΛΘ add. αθζ S

7. 2. τοῦτʼ ἔστ A, τουτέστι BS 3. τὰ ΛΝΞΘ A, dislinx. B (pro A et hic et infra passim S habet δ : conf. ad p. 488, 4) 5. τὰ ΛΕΝ σημεῖα A, dstinx. B, τὰ αενδ σημεῖα S, corr. Ηυ 8. τὰ Λ∠ ΕΝ ΑS, distinx. B 10. διὸ ΑB cod. Co, corr. S Co 40. 11. τὰς Ε∠ ΞΘ Cο, πὰ ΕΞΘ A (Β cod. Cο), τὰς ελ ξθ s 44. τὰ ΛΝΞΘ Α, distinx. B (τὰ δνξθ S) 43. ἐστιν τῆι ὑπὸ ΘΝΞ A(Β cod. Co), ἐσιὶ τῇ ὑπὸ Θζη S, Corr. Co ἡ ZM Co pro ἡ ZHM 46. τῆι δὲ ΘΞ πρὸς *ΛΕ A (Β cod. Co), corr. S Co 46. 17. πρὸς ΘΚ οὕτως AB cod. Co, corr. S Co 17 καὶ (ante ἴση) add. A1 super vs. 19. Ε A1) in marg. (S), om. B 20—22. ἔστω |/// //// /// |Ζ οὕτω καὶ /////////// η ἤχθω A, ἔστω καὶ ἴση ἡ ηθ τῇ ηκ (ηζ Β3) οὕτως κα

8. 5. τῆι ΜΖ Α2 ex τῆι Μ* 7. Α1 in marg. (S), εή Β αἱ add. Ηυ 9. ὅτι Co pro οὕτως 42. ΜΗ ΛΖ. ΛΓ Ηυ, ΛΗ ABS, ΛΓ ΛΗ ΛΖ Co 43. τῶν ὑπὸ τῶν S, τῶν αὐτῶν ΑB 14. 45. ἐν κύκλῳ — σημεῖα et ἄρα add. Co 48. ΛΗΖ Ηυ pro ΛΗΚ. 48. 49. ἐν κύκλῳ Co pro κύκλων 49. τὰ ΛΗΖΑ, distinx. BS 24. τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΑΚ ABS, corr. Scα, om. Co 24. numerum ζόν prae-

9. 1. ἐξεύχθω ΑΒS, corr. Ηυ 2. ΑΓ· ἡ ΒΕ — ἑκατέρα add. Sca, AΓ· ἡ ΒΕΖ. καὶ ἑκάστη add. Co 3. ἢ ἐν ἀριθμοῖς interpolatori tribuit Ηυ ἢ] η A, η Β, ἡ S, del. Co Sca 6. καὶ γὰρ — 10. ἔσται δοθεῖσα , etsi vera ratione nituntur , tamen suSpecta videntur ; nam scriptor hanc demonstrationem tamquam consenteneam poterat omittere; at vero, si ponere malebat, debuit ex ordine demonstrare primum αγ, tum αε εγ, denique βε datas esse 9. τῶν ΑΕ Co Sca pro τῶν ΛΕ 10 ΒΕ add. Ηυ 13. ἡ ΑΠ Co Sca pro ἡ ΛΗ 14. ΑΗ add. Ηυ 15. 16. τὴν τῆς ΓΛ Ηυ pro τὴν τῆς ΓΗ 20. ἄρα add. Sca 21. ἑκατέρα Ηυ utroque loco pro ἑκάστη 22. ΓΖ (ante δοθεῖσα) Ηυ pro ΓΛ

10. 2. ηόν Β, ζ ΑS 4. καὶ (ante ἐκατέρα) add. Co ἑκάστη τῶν ΑΕ ΕΓ Ε∠ coni. Ηυ 17. post ΓΒ λόγος add. δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τῆς ΖΓ πρὸς ΓΕ λόγος. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΖ Co (at haec tacite Suppleri voluit scriptor) 18. 19. ἐκατέρα τῶν //// ὥστε A, in lacuna δηζ add. B Co, ΖΗ ∠ Sca, corr. Ηυ 21. Θ A1 in marg. BS) 22 τὰ ΑΒ AΒ, dstinx S 23. τὰ ΑΒ A, distinx. BS, tem 4. 96,4 25. ΑΒΓ Ε Π Κ Θ Κ Α, αβγ επζ κθκ ΒS, AB ΓΕ ΠΖ ΖΗΘ Sca, corr. Co 26. ΘΗ add. Ηυ

11. 1. ΗΚΖ (ante περιφερείας) Co pro ΗΝΘ 2. 3. τῇ ΠΓ Co pro τῆι ΠΤ 9. δύο γὰρ — 16. τῇ ΑΣ interpolatori tribuit Ηυ (scilicet scriptor huius theorematis alia multo difficiliora omittit) 16 post τὴν BΛ add. κπὶ κάθετον ABS , om. Co (interpolator εάθετον καθέτῳ voluisse videtur , quae vera quidem sunt , at certe abun- dant) 48. MC CΛ A, μςλ Β, μς σλ S. corr. Ηυ 48. 49. οὕτως —ΒΛ ΛΣ, manifestam interpolationem, del. Ηυ 22. 23. τῶν ΛΓ ΓΒ δοθεῖσα ἔστην his scripta in A(S), corr. B 23. θέσει A2G in marg. B1, εὐθεῖα A1Β3, θέσεν εὐθεῖα S 24. τὸ ΛΒ τρίγωνον ABS, corr. Co 25. καθέτου — ἐπὶ τὴν ΑΒ forsitan interpolata sint

12. 3. 4 τὸ ὑπὸ ΝΜΡ Co pro τὸ ὑπὸ ΗΜΡ 6. τουτέστιν τὸ add. Ηυ auctore Co 45. 46. τῆι ΓΠ τῇι ΚΘ AB1S, τὴν ΓΠ τῇ ΚΘ voluit Co, corr. Β3 19, Ι A1 in marg. (BS) 20. εν τοῖς τὸ A(S), corr. B Sca

13. 1. ὁ γεζ Β Co, ὁ ΓΖ ΑsS 2. ἧς vel ἀλλὰ καὶ Ηυ pro ὧν ἐστιν δοθεῖσα εστιν ἡ λοιπὴ A(Β3S), prius ἐστιν om. Β1, alterum Hu 3. ἑκατέρα Hu pro ἡ 3. 4. δοθεῖσά ἐστιν — τῶν Α∠ add. Hu (alterum ∠Γ, quod exstat in A, omittunt insuper BS) 5. ΙΑ A1 in marg. (BS) 7. τὰ ΑΒΓ Α, distinx. BS, item vs. 12 11. κέντρον τὸ ν B Co 14. 15. ΗΑ∠ ΗΒΖ ΗΓ Α (sed Π simile Ν), ναδ ηβζ νη B. ναδ νβζ νγ S, ler η corr. Sca, ΝΑ∠ ΝΒΖ ΝΓΕ Co 17. 18. τὰ ΑΒΓ AS, distinx. B 18. δοθεῖσαι ἐστιν A(B1), δοθεῖσα ἐστὶ B3(S), corr. Hu auctore Co 21. 22. τῶν ΑΝ ΝΓ ΝΒ ABS Co, Corr. Hu 23. ἡ ΑΝ Co 25. 26 ταῦτα μὲν — ἐγέτω coni. Hu

14. 1. ΙΒ A1 in marg. (BS) 1—5. τὸ ABI κεκλα| σθω ἡ ΓB| καὶ διήχθω ἡ Γ ∠ καὶ ////////////// συναμφρτέρωι //////////// κάθετοι ἤχθωσαν //////////////////// διπλασίων ἐστιν τῆς ΒΗ καὶ κείσθω γὰρ Α, similesque lacunae in BS, nisi quod κεκλάσθω ἡ γβα Β, κεκλάσθω ἡ γβδ S, et καὶ ante κάθετον atque ἡ δζ ante διπλασίων add. S 1. καὶ (ante κεκλάσθω) add. Sca 2. 3. ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ ∠Γ ή ΒΓ· Sca, ἔστω ἴση ἡ ΓB συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ ∠Γ Co 3. ἐπὶ τὴν ΑΓ αἱ add. Sca BE ∠Ζ ὅτι ἡ ΑΖ add. Co Sca 4. τῆς BE Co Sca Pro τῆς ΒΗ 5. 6. ἡ ΒΟ καὶ A, ἡ βε καὶ Β, corr. S 6. ἐπιζεύχθωσαν A, corr BS 7. επιξεύχθω A, corr BS ἡ ΓΒ Co Pro ἡ ΓΖ

15. 4. ΙΓ Α1 in marg (BS) Ἔστω etc. ] hoc theorema posteriore demum aetate Pappi collectioni insertum esse videtur 43. ἐπὶ ἐζη/ῆν τὴν A neque haec satis perSpicua, ἐπεζεύχθωσαν τὴν Β (sed εζεύχθωσαν expunctum), ἐπει ..... S, ἐπεί ἐστιν ἡ Sca, quoniam est Co, corr. Hu 14 γωνίαν τῆι ὑπὸ τῶν ∠ΕΘ γωνίαν ἴσην ABS , γωνία τῆ —γωνίᾳ ἴση Sca (Co) 16. ὑπὸ ∠Εc ἴση AB cod Co, corr. S Co 18. 19. ἐκ- βεβλήπθω ἡ ΓΑ coni Ηυ 20. fortasse ἔτι ζητεῖται legendum esse adnotal Sca 24. ὥστε δὲ ἡ ΚΗ A1, τε del. A2

16. 3. ἡ Λ ∠ τῆι ΛΗ AB, corr S 15 ἡ δὲ ὑπὸ Κ ∠Ε AB, corr. S 16. τῆι ὑπὸ ΚΛ ∠ ΑB cod. Co, corr. S Co 18. ἡ anle γωνία addi-

17. 1. πεσουνται A2(BS), πεσουται correctum ex πεσουσαι A1, δαοῦσαι coni. Ηυ 2. τὸν Β εύκλον A, τὸν β κύκλον B1, τὸν βμ κύκλον 3 τὸν ηθλ κύκλον S, corr. Ηυ 3. συμπεσεῖται voluit Co 3. 4. ἐκἀμλλομενηι εὐθεῖα //// τὸ μείζονα A, εὐθεία (sic) corr. aitera manus in Paris, 2368, διὰ add. BS 4. 5. τῆς ΓΛ τοῦ ΑΚ τραπεζείου A, τῆς γλ τοῦ ακλγ τραπεζίου BS, corr Ηυ 5. τὴν κυκλον A, corr. BS 8. ἐπιζευχθείσης τῆς Γ ∠ interpolatori tribuit Ηυ (nam iungendam esse δγ scriptor iam supra verbis τοῦ ΑΚ ∠Γ τραπεζἰου significavit) 10. πρὸς τῶι Λ As, πρὸς τὸ λ ΒS, del. Ηυ τὰς ΓΗ A, distinx. BS 11. ἔχοντα interpolatori tribuit Ηυ ὑπὸ ∠ΓΗ Sca (ὑπὸ ΗΓ ∠ Co) pro ὑπὸ ∠ΗΓ· 12. τῇ ΑΗ] καὶ τῆι ΑΚ AS cod. Co, καὶ del. Β Co Sca, AH corr. Ηυ 13. post τὴν ΕΓ add. γζ Paris. 2368 S (vo- luerunt οὕτως) 19. ἡ ΑΕ Α2 ex ἡ) Α* 20. ἡ Κ ∠ Co Sca pro ἡ 23. τέ|μνουσα*τὴν A

18. 4. τουτέστιν τὴν Γ ∠ add Ηυ 6. ΕΖ ΗΘ A, coniunx. BS, item vs. 9 8. τῶν ΗΘΒ ABS, distinx. Ηυ ἡ (ante διὰ) add S τῶν ΗΖΓ AS, distinx. 8 11. 12. τῶν ZEB — τῶν ΘΕ ∠ AS, distinx. B 12. τῶν ΘΖ A, distinx S (τῶν ζ θ Β) 14. 15. πρὸς τὴν ΘΚ καὶ ΑB cod Co, corr. S Co 15. ἴσον τὸ AΒ, corr. S 20, ἄν δὲ) — p 216, ἀπὸ τῆς Β ∠ a Graeco scriptore addita sunt propter propos 17

19. 4. 5. οὕτως καὶ — αὐτῶν τὴν add. Co, item Sca, nisi quod οὕτω et ἡ λρκ scripsit (voluit ἡ λβκ) 5. ἐστι (sic) AS, ἔστι B, item vs. 15 6. 7. τῇ ΜΛ Sca, τῆι ΜΑ ABS, τῇ ΜΛ vel potius τῇ ΘΑ Co 7. ἡμίσειαν τὴν ΜΚ ABS, corr. Hu 9. τουτέστιν B, τουτἐστι AsS τοῦ ΕΖ ΗΘ A, coniunx. BS 10. ἐπεὶ A2 ex ἐπὶ 11. καὶ κοινῶς interpolatori tribuit Hu 15. 16. ἡμίσεια ἐκ τοῦ κέντρου ΕΖ ΗΘ A(BS) , ἡ add. Sca, τοῦ (post κέντρου) add. Hu, εζηθ coniunx. BS 16. ἀντὶ τῆς ΛΜ interpolatori tribuit Hu 18. τῇ ΜΚ Sca, τῆι ΑΚ ABS cod. Co, τῇ ΑΖ Co 19. οὕτως ἐπὶ Co Sca pro ὅπως ἣ 21. τῶν add. Sca 23. τὴν add. Hu ἀνάπαλιν γάρ interpolatori (qui Significavit proportionem quae vs. 13 legitur e contrario mutatam esse in eam quae est vs. 18 sqq.) tribuit Hu

20. 1. συνθεωρεῖται ταδʼ ὅτι A(BS), συνθεωρεῖται λέγω ὅτι Co, corr. Ηυ 2. ἐστιν τὸ ἀπὸ A, corr. BS 4. BK ΛΓ Co pro ΒΚ ∠Γ 8. τῶι ὑπὸ ΒΛ AΒS, corr. Co 42. A1 in marg. (ΒS) 14 τὰ ΘΡΤ τῶν ΑΠ Α, distinx. BS 49. Ἤχθω τῇ ΒΓ coni. Ηυ

21. 2. μὲν add. Νμ 2. 3. πρὸς τὴν - κύκλου add Co Sca 3. καὶ ρίτης add. Co 8. post τὴν βν add S οὕτως ἡ μζ πρὸς τὴν ζξ καὶ ἡ αζ πρὸς τὴν ζπ οὕτως

22. 1. τοῦ (ante ΘΡΤ) omissum in A add. BS 1 ἀλλ’ ὡς — 5. 6 ΘΡΤ· κύκλου om S 1. ὡς ἡ ΜΗ Co pro ὡς ἡ ΜΕ 4. ὡς ἄρα add. Ηυ 5. τὴν add. Ηυ 7. τὰ ΡΕ Α , dislinx. BS , item proximo Versu 7. 8. διὰ ἄρα — σημεῖα add. in marg. (BS) τε´ θεώρημα forsitan interpolator addiderit 9. ἐπὶ τὸ Ζ Co Sca pro ἐπὶ τὸ Η 13. ἐπεὶ Ηυ, ἐστιν Α, ἔσει ΒS 15, 16. ἴση ἄρα ἐσεὶν ἡ μὲν Ηυ, om). A1, ἴση μὲν add. A2 in marg. (BS) 16. ἡ δὲ ΠΟ A2 ex ἡ δὲ Π* ἡ (ante τὰ) add. Ηυ τὰ ΟC A, distinx. BS 20. 21. τῶν ς ΘΟ Α2 super evanidam primae manus scripturam, distinx. Bs 21. τοῦ B Co Sca pro τοῦ ΒΕ 21. 22. ευθεῖ////// //// / /////| τὸ εἶναι A1, α γὰρ η Θ0Β δτὰ add Α2(S), εὐθεῖα γὰρ ἡ θοξ διὰ τὸ εἶναι Β 23. πρὸς τὴν ΠΘ ἴσων super evanidam primae manus scripturam Α2(Β3S), πρὸς τὴν πθ ... B1

23. 1. ιε´] ί ε΄ * A, ί ε´ S, ἐν τῷ τε ω΄ B (conf. ad p. 222, 7. 8) 2. τῇ ΜΑ Co pro τῆι ΜΛ εκβληθείσης A(BS), corr. Sca (Co) 4. οὕτως — ΑΘ πρὸς ΘΠ bis scripta in ABS, corr. Co Sca 5. 6. πρὸς ΠΟ· ἴση ἄρα ἡ ΑΣ τῇ add. Hu auctore Sca, qui) ἴση αρα ἡ σκ τῇ πσα adscripsit (πσα igitur pro codicum scriptura ΣΚ intulit) 7. καὶ ante ἔστιν super versum add. A prima, ul videtur, manu 8. ἡ ante ΝΠ om. AS , add. B1, rursus del. B3 11. in fine huius lemmaltis quaedam periise videntur: vide append 12. ΙΗ A1 in marg. (BS) 15. ἐγγράχθωσαν A1, corr. A2(BS) 17. ὅσοι δήποτ᾿ οὖν ΑΒ, coniunx. S ὡς ὁ περὶ ABS, corr. Hu 18. τὰ ΑΠΟ A, distinx. BS 21. post διπλῆ add. ἐστι (sic) ABS, del. Hu τοῦ A2 in rasura pro τῆς 22. αἱ ἑξῆς αἱ AS, ἑξῆς αἱ B, corr. Hu

24. 3. τὸ δὲ ὑπὸ ΒΓ ΓΑ τὸ A1S, ΓΛ restituit Co. τῶ corr. A2 (τῷ Β5 Paris. 2368) 4. πρὸς πρὸς ΛΓ A, sed alterum πρὸς expunctum 6. 7. ὡς ἡ ΓΒ — ἐναλλὰξ et 11. 12. ὡς ἡ ΒΓ· — ἐναλλὰς sive ab ipso huius theorematis scriptore praeter necessitatem posita sive ab allo inculcata , quia sine dubio abundant, omisimus in versione Lat.

25. 2. post λόγον add. μήκει Co 4— 8. verba σἷον ἐὰν usque ad finem capitis forsitan alius atque ipse theorematis scriptor addiderit 9. ΙΘ A1 in marg. (BS) 10. ὁ ΘΗ ΖΑ A, coniunx. ΒS, item vs. 12 et p. 232, 11. ὡς add. Ηυ auctore Co 12. κύκλου add. Ηυ auctore Co 14. τὰ omissum in AΒ add. S 15. τῶ ἀπὸ super evanidam primae manus scripturam A2(BS) 17. Β∠K τουτέστιν A2(BS), // ////////

26. 1 ΚΑ A1 in marg. (BS) 2. Κόνων Hu pro κώνων 14. ἀπὸ τοῦ add. Hu, item vs. 27 16. ἡ ΒΖ ΕΛ ABS, corr. Co 17. περιφορᾶς Hu auctore Co pro περιφερείες 21. ἔσται voluit Co, ἐστιν A, ἔστιν BS 29. τὸ ἀπὸ τεῦ Β] τὸ Β τὴν Β AB, τὸ β S Co, corr. Hu

27. 2 ὑπερέχουσι (sic) omissum in AB add. S 3, KB; A1, in marg. (BS) 3. 4. τῆς ἕλικος καὶ τῆς εὐθείας bis scripta in ABS v. τὸ κν, λπ Β, ΛΠ (sine τὸ) A, κλνπ S 8. ἡ μὲν ΑΒΓ περιφέρεμια μέρος ἐστιν τί A(BS), corr. Co et manus quaedam recentior (non Sca- ligeri) in S 40. ἡ ΒΑ Co pro ἡ ΚΑ 11. τῇ δὲ ΚΠ Hu pro τῆι δὲ ΚΜ τῇ δὲ ΚΡ Co S man. rec. ) 13. οὕτως ἡ add. S man. rec. 22. πρὸς τὸν *ΖΒ.Η τομεα A 26. τὸν ΖΒΗ A2 ex τὸν *ΒΗ ὁ omissum in AB add. S

28. 5 τὸν ΕΒΘ Co pro τὸν ΕΘΒ 6. τοῦ ΞΦ παρελληλογράμου] quod plenius parallelogrammo ξτφοʼʼ in Lat. versione scripsimus, litte- ram quidem O, quae in Graeco contextu non exstat, figura in codicibus tradita exhibet 16 πρὸς τὸ A, πρὸς τὰ BsS 17. σχμκ Hu auc- tore Co pro σχήματα 20. ΚΓ A1 in marg. (BS) 22. post σχῆμα repetunt γραφη A(BS), del. Co 25. καὶ τῶν ZBH ABS, et rectis li- neis ZB ΒΘ Co, corr. Hu 29. KΔ Α1 in marg (BS)

29. 1. καὶ ἕλιξ ἡ αὐτὴ coni. Hu αὐτῆ ἡ ΑΖ ΕΒ AS, corr. B λέγω ὅ τισ ητισἂν A, corr. BS 2. ἐστιν A. ἐστιν BS 8. τῆς AZEB A2 ex A*EB 11. καὶ τῆς ZB A2 ex καὶ τῆς ** 17. ἀπολαμβά- νον ABS, corr. Hu auctore Co, item vs, 21 20. πρὸς add. Hu auc

30. 2. τῆς Γ∠ ΕΖ ΑΒ, coniunx. S 6. τις Sca (quaepiam Co) pro τῆς 8. εἶναι] ποιεῖ Hu τὴν Γ∠ ευθειαν A(BS), corr. man. rec. in S 11. πεσεῖται add. Hu 14 , 15, ἐπειδὴ — προσπίπτουσαι ex proximis inepte huc translata del. Hu 17. οἱ om. AB1S S, add. B2 18. κογχοειδὴς A1, corr. A2, BS 19. ἐκτίθενται Hu 21, ΚΖ A1 in marg. (BS) 22. συμπορεύεσθαι ABS, corr. Hu auctore Co 25. δὲ η εγγειον A, spirit. et acc. add. B, corr. S 27. κοχλοειδοῦς AB2

31. 1. ἀνάλημμα] α΄ vel κα΄ λῆμμα vel alium quempiam numerum, qui in ανα corrumpi facile potuerit, coni). Hu 4. τῶν προειρημένων S 11. κοχλοειδής ABS, sed in A prima, ut videtur, manus λ expunxit et γ superscr. πρωτηι A, corr. BS 12. διὰ τὸ προδεχθὲν Eutoc.

32. 1 sqq. Δεδόσθωσαν etc. usque ad finem cap. 43 item e Nicomedis libro περὶ κογχοειδῶν γραμμῶν repetita habet Eutocius in Archimedis de sphaera et cylindro librum II p. 149 ed. Torell. 1. αἱ ΓΛ ΑΛ ABS Eutocius, et sic ubique in hac demonstratione Λ occurrit, ubi rectius Pappus ΙΙΙ cap. 24 ∠ habet, et vice versa ∠ pro Λ 2. κατὰ τὸ συν- εχὲς Β1 Eutoc., τὸ om. AS, expunx. B2 3. συμπεπληρώσθν] hioc us- que simillimus est demonstrationis contextus ei qui apud Pappum supra ΙΙΙ cap. 24 legitur τὸ ΑΒΓΛ Eutoc., τὸ ΑΒΓ∠ ABS 4. τοῖς ∠Ε. A, τοῖς δὲ Β, distinx. S 5. ἐπιζευχθεισαν (sine acc.) A, corr. BS 7. προσβεβλήσθω ABS Eutoc., ἐπεζεύχθω Pappus supra p. 60, 2 8. καὶ (ante γωνίας) add. Eutoc. et Pappus p. 60, 3 9, ἀποδοδθέν- τος AB, distinx. S 11. κοχλοειδοῦς ABS, sed in A prima, ut videtur, manus λ expunxit et γ superscr 15, Επεὶ ΑBS Eutoc., Επεὶ γὰρ Pappus p. 60, 20 16. ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ Pappus p. 60, 21 Eutoc., ἄρα ὑπὸ ΒΓΛ ΑΒS τοῦ ἀπὸ ΓΕ Pappus l. c. Eutoc., τοῦ ΓΕ ΑΒ, τοῦ γ S 18. μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ Pappus p. 60, 23, μετὰ τῶν ἀπὸ ΛΕΖ ΑΒS, μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕ ΕΖ Eutoc.

33. 2. post ἡ ΓΗ add ἐπεὶ καὶ ἡ ΛΓ τῆς Α∠ Eutoc. 8. τὰς ΗΖ ΓΘ Pappus p. 62, 1 Eutoc., ΖΓΘ ΑΒ1, ηζ γθ B3S 12. ἐπεὶ — 14. ἡ Α∠] conf. supra ad p. 62, 2. 3 17, τὸ ὑπὸ ΒΜΑ Pappus p. 62,5

34. 1. ὑπὸ νικοστράτου B νικοδήμου ΑΒ3, νικομήδου Β1 Το, corr. S 5. τὸ ΑΒ Γ∠ AS, coniunx. B καὶ add. Το auctore Co 6. ἡ add. Hu 9. τῶι B A Το, τὸ β Β, τῷ et τὸ β Paris. 2368 S σημεῖον φέρον ἐν ὧι ΑBS , corr. Το κατὰ τῆς ΒΑ To pro κατὰ τῆς Β 10. συνακολουθεῖ τῶι AS, συνακολουθεῖ τὸ Β, corr. Sca Το καὶ add. Το κινουμένης ΑΒ3S, corr. B1 12. περιφέρειαν add. Το auctore Co 13. παροδευέτω Hu, /////ευέτω A (sed initio vestigia litterarum παρ comparent), . . . . .ευέτω Β1S, παραλευέτω Β3, παραδεβέτω e “cod. Vat.” affert alque inde παραβαινέτω scribit Το 14. δῆλον] δὴ vel δηλονότι coni. Hu εκατερα A, ἑκατέρα B, corr. S 20. ἣ add. Hu χρειῶδες ABS, corr. To auctore Co 22, 23. πρὸς τὴν —

35. 2. post δυνατὸν add. φη ησὶ Το (inquit Co) 4. ἐπὶ τὸ ∠Ε Η ἴσωι A, ἐπὶ τὸ θεη ἴσῳ Β, corr, S 5. συναποκαταστῆναι ABS, corr. Hu τὸν λόγον S, τόλον et initio superscr. ὸν A (prima manu), unde τὸ ὅλον B et Torelli “cod. Vat.ʼʼ 6. 7. ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ λόγῳ coni. Hu 7. ἀνάγκη εἶναι Hu, ἀναγκαῖον ΑΒS, ἀναγκῖον εἶναι To (omisso- posthac ἐπεὶ) 7. 8. ἐπει πως οιονται (sine acc.) A, πῶς οἴονται γὰρ Το, corr, ΒS 8, συναποκαταστῆσαι coni. Hu ἀκράτοις To invitis ABS χρώμενα ΑΒ, χρώμεθα S. χρώμενον coni. Hu 9. ἂν del. To (probat ac συμβαίη coni. Hu) ποτὲ Τo pro νότε 13. γὰρ add. Hu 14. τὴν Α∠ ABS, ἐπὶ τὴν Α∠ Το corr. Hu 16. πρὸ Το auctore Co pro πρὸς αὐ Hu pro ἂν 19. ὐπο τε θέμεθα A, corr. ΒS 20. ἀλλʼ ὡς δʼ ἂν AB To, ἄλλως δʼ ἂν S, corr. Hu 21. 22. προ- ελήφ θαι δεῖ τὸν — λόγον voluit Co cum vertit: sed utcumque sumatur

36. 3. δὴ Hu pro δὲ 3. 6. τοῦτό ἐστιν ΑΒ, corr. S 6. πρὸς τὴν ΜΚ οὕτως τὴν ΒΓ ευθεῖαν bis scripta in A(B), corr. S 43. τρίτηι ἀνάλογον λαμδανομένηι ABS, corr. Το 16. δὴ S, δεῖ ΑΒ Το ῥά- διον ΑΒ, ῥᾳδίως Το 20 sqq.] cap. 51— 56 stilo multis in rebus di- verso a vulgari veterum mathemalicorum consletudine composita Sunt 20. ΛΓ Α1 in marg. (S), om. B 23 24. προσεπιφανείαις A (Β Το), πρὸς ἐπιφανείας S (conf. p. 270, 18) 26. τετάρτη μόριον A, coniunx,

37. 1. πρὸς γραμμὴν ABS, corr. Hu, item vs. 16, 17 (conf. cap. 52 sub fin. πρὸς ᾗ τὸ Κ et πρὸς γραμμῇ ἄρα) 4. ἐν om. S γε- γρνννίνη: δεδομένηι A, corr. Β (γεγραμμένη δεδομένῃ S) 5. πλευρὰ S, πλ ΑΒ cod. Co 6. αἱ ΕΙΒΛ A , distinx. Β (αἱ ει λβ S) 6. 7. ἀνεσταμέναι ὀρθαί interpolatori tribuit Co 7. διὰ δὲ τοῦ Κ ABS , corr. Co 8. ἐπι λόγος A, ἐπίλογος e suo cod. Vat.” affert Το corr. BS 8. τῆς EI — 40. λόγος δοθείς] τῆς ΕΖ εὐθείας πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν τῆς ∠Ε ∠Γ διὰ τὴν ἕλικα λόγος πρὸς τὴν ∠Θ ἔσται καὶ τῆς ΕΖ πρὸς Η λόγος δοθεὶς ABS, τῆς EZ εὐθείας πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΕΙ, τουτέστι τῆς ∠Θ, πρὸς τὴν ∠Γ περιφέρειαν διὰ τὴν ἕλικα, καὶ δοθείς ἐστι ὁ τῆς ΕΖ λόγος πρὸς τήν ∠Γ, ἔσται καὶ τῆς ΕΙ πρὸς ∠Γ λόγος δοθείς To partim auc- tore Co, corr. Hu 11. παραθέσει ABS, distinx. Hu, item proximo vs. 12. 13. ἐν τέμνοντι ἄρα Hu, ἐ/ ////// ἄρα A, . . . . . . B1S ἔστω ἐν B3, ἔστι δὲ ἐν Το 13. 14. κυλινδρικῇ ἐπιφανείᾳ Hu, κ/////// ///φανείαι A, . . . . . . . . ἐπιφανείᾳ BS, κυλῖνδροειδεῖ ἐπιφανείᾳ Το (vide apud hunc p. 95 adn. 9) 14. διά τε Το pro διὰ δὲ 16. 17. πρὸς γραμ- μὴν ABS (conf. ad vs. 1) 18. πρὸς τὴν ∠Θ περιφέρειαν ABS, corr Co

38. 3. Α∠ A1 in marg. (S), om. B 5. περιφέρειαν add. Hu auctore Co 7. τὴν Α∠Γ Co pro τὴν Α∠ 8. τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β Hu pro τοῦ Β ἐπὶ, τὸ Γ παραγενέσθω Το 9. ΓΒ τῆς add. Hu τὴν ΒΗ Α set 11. πρὸς ∠ Γ Α, coniunx. BS 14. ΒΚ εν γωνικῆι A(B), corr. S 15. κεκλιμένης AB, corr. S 16. πρὸς γραμμὴν AS, πρὸς γεκυλινδροειδεῖ B1, corr. B2 (vel B3) Το 18. πληκτοειδει (sine acc.) A(S), κυλινδροειδεῖ coni. Co (probavit Το), corr. B (nam etiamsi πληκτοειδῶν in codicibus infra cap. 58 redeat, tamen forma per ε verbis quae cop. 57 sq. leguntur: γραμμαὶ ἐκ κινήσεων ἐπιπεπλεγμένων γεννώμεναι et ἐπιπλοκῆς confirmatur) 20. διαθέσει ABS, distinx. To 21. ἐν ἐπιφανείᾳ To auctore Co, ἐπιφανεια (sine acc.) A, ἐπιφάνεια BS 22. παραθέσει ABS, distinx. Hu 23. προσγρσμμη A, πρὸς γραμμὴ B, προσγραμμὴ S, corr. To τὸ Ι Co, τὸ ι σ A(BS)

39. 1. ᾐ ἡ Hu. η A. ᾐ Β, ἡ S Το 3. λε A1 in marg. S, om. Β ἐν add. Hu auctore Co 3. 4. φερομέ| ///ημείου A, restituerunt BS 4. 5. κύ| κλ///////γ/αχούσης καὶ ἐπγ////////////// φερομένου A, κυκλω . . . . . . . . περιγραφούσης καὶ ἐπ........λω φερομένου Β, κύκλῳ . . . . . . . γραφούσης καί ἐπι.....φερομένου S, restit. Hu pro καὶ ἐπὶ στερεῶν Co voluit καὶ

40. 6. ὁ ΑΕΓΖ ΑsS, corr. B 7. ὃ add. Hu 8. περιφέρεια ἡ Hu. ο δὲ μέρ ἡ A, ὁ δὲ μέρος ἡ 8, ὃ δὲ μέρη S 11. θολ Β1, ΘΟΛ ΑΒ2 (vel Β3) S 15. πρὸς τὴν ΟΘ Ν ἡ ολη τοῦ ἡμισφαιρίου ἐπι- φάνεια add. Α2 in marg. (BS), om, A1 16. τὴν τοῦ τμήματος Co, τὴν τοῦ ἡμισφαιρίου ABS, τὴν ἐντὸς τοῦ ἡμισφαρίου coni. Hu οὗ ἡ Co pro οὐκ 17. δ᾿ ἡ Hu auctore Co pro δὴ 18. τὰ ΘΛ A, distinx. B1S (τὰ θ α Β3) 20. τὰ θ ο ἢ Β, τὰ ΘΟ η Λ, τὰ θοη S, τὰ Θ Ο, τουτέστι Co

41. 2. πρὸς et 3. ὡς add Hu auctore Co 4. οιμίσιν οι ολη τοῦ A(Β), corr. S 6. τῷ ΟΘΝ Ηu auctore Co pro τῶι ΟΘΗ πάντες et 10. ἐπιφάνεια add. Hu auctore Co 15. ὡς ante τὸ ΑΒΓ∠ additum in ABS del. Hu 16. ἀπὸ] μεταξύ supra p. 264, 20, inter Co, ὑπὸ coni. Hu 17. καὶ τῆς ΘΝΚ περιφερείας coni. Hu

42. 1. λς Α1 in marg. (B3S) 5. οὖν om. S 9. εἰς τὴν γένεσιν ABS, εἰς τὴν κατασκευήν Co, corr. Hu 13. δέ τι] item supra p. 54, 16 cor- rigas pro δʼ ἔτι 17, γενώμεναι et alterum ν prim. m. superscr. A 21. φίλωνος το τυ*ανεως A 22. πληκτοειδῶν ABS, corr. Hu (conf. p. 262, 18) 23. περὶ αὐτὰς ABS, corr. Hu 26. 27. ἕτεραί εἰσιν

43. 2. ἡ add. Hu περὶ τῆς ἕλκος] περὶ ἐλίκων accuralius scriptor posuit infra cap. 78 2. 3. στερεα νευσεις A, στερεὰ νεῦσις Β, στερεαὶ νεύσεις S, corr. Hu 3. κύκλον Hu pro κύκλου 6. ἀγομένη εὐθεια A, corr. BS 6. 7. ἐκ τῆς γενέσεως] ἐκ τῆς ἐν τῇ γενέσεi coll. cap. 74 vel ἐκ τοῦ ἐν ἀρχή coni. Hu 7. ἕως add. Hu 9. γωνίας paene evanuit in A 10. τʼ add. Hu 13. ετρχατομησαν (sine spir. et acc.) A, corr. BS 18. γεγονέ*τω A2 ex γέγονεν τω 18. ταῖς ΕΖ Ζ∠ — 20. αἱ ∠Η ΗΘ ABS, corr. Co 24. προσθέσει ABS, distinx. Hu auctore Co, item p. 274, 1 25. 26. τῶι ὑπὸ BE Z∠ et τὸ ὑπὸ ΒΕΖ∠ A(BS), corr Co 26. ὑνὸ BZH Co pro ὑπὸ ΒΘΗ

44. 1. ὐπερβολὴν ABS, corr. Co 2. περιφέρεια ABS, corr. Hu auc- tore Co 9. καὶ) τῆς ∠Γ ΑΒ, corr. S 9. 10. τῆς HZ A2 ex τῆς *Z 13. ἐστιν τὸ ὑπὸ Γ∠Α A, τῷ corr. BS 15. πρὸς ZH A2 ex πρὸς *H 16. τὸ δεζη Bs, τὸ ∠Ε ΖΗ ΑS 48. λη add. S 20. γὰρ ὀξεῖα 3 γὰρ ///// A, γὰρ . . . . . B1S καὶ ἀπό τινος BS, /// /πὸ //νος A

45. 7. ἡ ΑΗ Co pro ἡ ΑΕ 12. διπλῆ bis scriptum in A, sed prius expunctum 13. ὑπὸ ΑΒ∠ διχατεμωμεν (sic) ἔσται ἡ ὑπὸ bis scripia

46. 3. ἀπὸ] διὰ voluit Co (at Graecus scriptor hoc singificasse videtur :

47. 1. τῶν AB1, distinx. B2 (vel B3) S ἐπ᾿ Hu auctore Co pro ἀπ᾿ 2. τῶν ΑΓ ΑS, distinx. B ποιοῦσαν AS, corr. B 2. 3. τὴν ὑπὸ ΑΓΒ Co pro τὴν ὑπὸ ΑΒΓ 4. προσυπερβολη A, πρὸς ὑπερ- βολὴν Β, corr. S 10. ἔστω] κείσθω coni. Hu 13. 14. τῶν pro τό corr. et τὸ ἀπὸ Β∠ add. Co 15. ἄρα Hu pro ἴσον 16. τρὶς ὑπὸ Α∠Η Co pro τρὶς ὑπὸ ∠ΑΗ προσυπερβολή ΑΒ, corr. S 19. τὸν ΓΗ om. S 24 δεικνύναι Hu pro δείκνυται 25. τῶν γωνιῶν om. 6 26, τὸ Γ ἀποτέμνειν ABS corr. Hu auctore Co ἡ Β, η Α, ἠ S

48. 1. συνειδειν A, corr. BS 1. 2. τῶν ΑΓ A, distinx. BS 3. μ∠ A1 in marg. (BS) 5. οὐδὲν Hu auctore Co pro οὐδὲ 8. post αἱ AB ΒΓ add. μέρος ἡ ABS, del. Co 9. ἄρα ἡ ΑΙΒ AB3, ἄρα ἡ αβγ Β1, corr. S 10. αἱ ∠ΕΖΒ A, distinx. BS 11. ἡ Α∠ τῆς AS, τῇ corr. S 15. ἡ ΒΓ (ante τῆς ΕΖ) Co pro ἡ Β 17. τὰ ΕΓ AB1S, distinx. B3 (vel B2) 18. 19. προσυπερβολη A, acc. gravem add. B, corr. S 19. καὶ τὰ προσθέσει περιφερείαις ABS,. corr. Hu auctore Co 21. με A1 in marg. (BS) 23. η περιφερεια A1, ἢ περιφερειαν corr. recentior manus (diversa, ut videtur, ab A2), ἢ περιφέρειαν BS

49. 6. τετραγωνίζουσα A1 ex τετραγωνονουσα 7. ΚΑ ΔΓ A, coniunx. BS 18. πρὸς τῆι ὑπὸ ∠ΒΓ ABS, corr. Hu 19. μς A1 in marg. (BS) κύκλου add. Hu auctore Co 21. διὰ τοῦ Β] ἀπὸ τοῦ Β coni. Hu collato cap. 31 ἕλιξ ἡ paene evanuerunt in A, itaque ἕλςξ omissum in cod. Co, διὰ τοῦ * * * * * ἡ B1, corr. B3S ΒΖ∠Γ] ΖΞ ∠Γ

50. 4. μζ A1 in marg. (BS) 7. ἡ ὅμοια A (ἡ prima m. super vs.), η ὁμοία BS 8. τῇ ΓΘ∠ τῆς ΑΗΒ Hu auctore Co pro ΓΘ∠ τῆι ΑΗΒ οὖν τῇ Hu, συντῆι A, σὺν τῇ B cod. Co, τῇ S Co 15. μνον΄ add. B, μη S συστήσας AB cod. Co, corr. S (συστῆσαι Co) 18. τὸ (ante ΑΒΓ, BS, ὁ A 19. τῶν A, distinx. BS

51. 1. ἡ Α∠ ἐπὶ τὸ AB cod. Co, corr. S Co 2. τῆς ὑπὸ τῶν ΑΒ cod. Co, corr. S Co 3. τῶν Co pro τὴν τῆς ὑπὸ ΑΒ ημίσεια A (B cod. Co), corr. S Co 7. δοθέν ἐστιν τὸ Γ] ἐστιν non perspicuum, τὸ Γ paene evanidum in A extremo folio (τὸ Γ om. B1 cod. Co, restit. B3S Co), δοθεῖσαί εἰσιν αἱ πρὸς τῷ Β γωνίαι coni. Hu (vide Lalina) 15. καὶ — 17. τέμνεται interpolatori tribuit Hu 18. ἡ ∠Γ paene evanuit in A, αγ B, restituit S ἡ (ante ὑπὸ ∠ΑΓ) om. AS, add. B 19. πρὸς ΖΘ om. AB cod. Co, add. S Co 20. ἡ ὑπὸ ΓΑΒ paene evanuerunt in A, ἡ ὑπὸ δαγ S, ἡ ὑπὸ γδβ cod. Co, restituit B (Co) 20. 21. πρὸς τὴν Hu auctore Co pro πρὸς τὸ 24. μθον΄ add. Β, μθ Paris. 2368

52. 3. ἴση ἡ BS, evanuerunt in A 5. τετραγονιζούσης A, corr. BS 11. φανεραὶ αἱ συνθέσες S 12. νον΄ add. B, ν S 13. ΛΕ γράψαι AS, corr. B τῶν ΑΒ A, distinx. BS 16. τὸ ΖΗΕ A2S, τὸ ΖΗΘ A1B 18. τῇ ΖΕ Hu pro τῆι λοιπῆι; sed potius verba πρὸς τῇ λοιπῇ περιφερεία, quae Commandinus quoque corrupta iudicat, delenda esse vi-

53. 1. ποιῆσαι Hu, προῆκται A2 in ipsis primae manus ductibus, qui iam cognosci non possunt, item B, προῆχθαι S, constituere Co τῆς ΖΗ πρὸς Η∠ ABS, corr. Co 3. τέμνει B, idem voluit A2, qui scripturam primae manus τέμνοντα (ut videtur) corrigere studuit nepue tamen ει distincte dedit, om. S ἐπιζεῦξαι Hu auctore Co, ἐπιζευχθῆ A(BS) 4. διχὰ τέμνονται A(BS), sed litteras ὰ τέμνο A2 exaravit obducta prima scriptura, in B superscriptum est super αι, sed id rursus deletum, corr. Hu 5. κατάγειν AS, καταγεῖν B, corr. Hu γωνίας ABS, corr. Hu auctore Co 7. ἔχουσαν Hu pro ἔχειν αὐτῆς 9. ναον΄ add. B, να S τὸ γωνίας Hu, ἀγωνίας AS, γωνίας mutavit prima manus in A, unde idem in B ἀσυ////ρους A, restit. B Paris. 2368 10. διὰ ante τοῦ αὐτοῦ repetitum in ABS del. Hu 12. ἡ περιφέρεια ////// ἡ λοιπὴ A, item cum lacuna BS cod. Co, corr. Co 13. τετάρτη////// /// | ἐν ἀ/τῆι A, τεταρτη . . . . . . . . . ἐν αὐτῇ B, τεταρτημόριον καὶ ἐν αὐτῇ S cod. Co, αὐτῷ corr. Co 18. ἡ ∠Ν Co pro ἡ ∠Η 18. 19. ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ∠Ν Co, ὡς ἡ ////// A, ὠς ἡ . . . . πρὸς δν B1 (ante δν superscr. ε B3), ὡς η τῇ δη S 20. 21. δὲ ἡ ΒΓ τῆι

54. 1. ὑπὸ ΕΒΖ Hu pro ὑπὸ ΑΒΖ κἂν ἡμίσειαν ὀρθῆς del. Hu 3. νβον΄ add. B, νβ S 4. ἀνάλυσιν οὐ ABS, οὐ om. Co, corr. Hu 5. περὶ τῶν bis scripta in A, περὶ τῶν ἑλίκων om. Co 14. ἡ Γ∠ Co pro ἡ ΓΒ 17. πρὸς ὑπερβολήν ABS, corr. Hu 18. ὀρθὰς Hu, ΔΕ A2 obducta prima scriptura (BS) ἡ ΓΖ add. Hu (idem alieno loco add. Co) 19. 20. καὶ τῷ τῆς] τῶ in A vix perspicuum, unde τοῦ B 20. λόγῳ Hu auctore Co pro λόγος 21. τῶν ΘΚ A, distinx. BS 22. πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ε, οὕτως add. Hu auctore Co 24. τῆς ΕΗ Co pro τῆς ΒΗ

55. 1. τὰ ΚΘ A, distinx. BS τὸ Ε Co pro τὰ Θ πρὸς ὑπερβολη ἐρχομένης A(B), πρὸς ὑπερβολὴν ἐρχομένης S, corr. Hu 1. 2. τῶν Θ Ε Co, τοῦ // A, τοῦ θυ B, τοῦ θγ S 3. νγ add. S 4. ἡ ∠Γ Co pro ἡ ∠Ζ 5. ∠ σημεῖον Hu auctore Co, //|////// A, δ . . . . . . B, . . . . . . . S 7. Τετμήσθω γὰρ] tot fere litterae evanidae in A et congrua lacuna in B, τετμήσθω ἄρα S, γὰρ restituit Hu 15. ἡ ∠Η Co pro ἡ ∠Γ 19. θέσει ἅπτεται voluit Co 20. τῶν Α Ζ Β Hu auctore Co pro τῆς ΑΖΒ 24 — p. 302, 18. totum problema propter scripturam in A passim evanidam in reliquis quoque codicibus misere corruptum om. Co 21. νδ add. S, νΓον΄ B 21. 22. προκειμένη | ////////////// προγενομένη A(S), προκειμένη . . . . . . . . . . . . . . . γινομένη B, πρόβλημα τὸ ἐξ ἀρχῆς προκείμενον λύεται Hu 22. θέσει ὄντος κύκλου τοῦ et p. 302, 1. θέσει ἐν αὐτῷ evanuerunt in A, om. B, restit. S (nisi quod falso αὐτῇ)

56. 1. αὐτῷ Hu, αὐτῇ S τῆς ΒΓ Hu, τῆς ΕΓ AB2S, τῆς γε B1 δοθέντος Hu pro δοθὲν ὡς 2. μεταξὺ B, μετὰ AS 3. περιφέρειαν ἴσην τῇ θέσει νεύουσαν B τῇ δοθείσῃ coni. Hu 5. τῇ εα S, τῆι Ε∠ AB 6. πρὸς ὀρθὰς ἤχθω paene evanuerunt in A 6. 7. προσθέσει τῆ ΒΓ A, προθέσει τῇ βγ B, πρὸς θέσει τῇ βγ S, τὴν corr. Hu 7. τοῦ Α Hu pro τοῦ ∠ προσβέβληται Hu, πρ///ληται A, προβέβληται S, om. B ἡ Α∠ AS, τῆ αδ B3, om. B1 8. ἴση/ Hu, ἴση/ A, ἴσην BS τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν ἡ ∠Ζ, τὸ ἄρα Ζ σημεῖόν ἐστιν coni. Hu 9. πρὸς ὑπερβολῇ Hu, ///// ὑπερβολὴ A(B), πρὸς ὑπερβολήν S τὸ ὑπὸ ΒΑΓ τῶι ὑπὸ Α∠Γ ABS, corr. Hu, 10. δοθεῖσα ἡ ΑΕ AB3S, corr. B1 11. καὶ τῆς δζ B, καὶ τῆς αζ S, καὶ τῆς ? Ζ A (incertum utrum Α an ∠) 12. τὸ Ζ ἄρα πρὸς Hu, tot litterae evanidae in A, ὡς . . . . . προσ B, . . . . ἄρα πρὸς S παραβολῇ Hu, υπερβολη aegre comparet in A, ὑπερβολή BS ἀναλό////////// A(B1S), ἀνάλογον θέσει αὐτῷ B3, ἀνάλυσις (quae fuerit glossa margini adscripta), tum τούτῳ coni, Hu 14. περιφερείας ABS, corr. Hu αὐτ// A, αὐτῶ B, αὐτῷ S, corr. Hu 15. χρησάμενον AB3S, corr. B1 post προβλήματι viginti fere litterae evanuerunt in A 16. δεικνύουσιν A (sine ν S), δεικνύν B1, δεικνύντα B3 ὡς add. Hu 16, 17. post εὑρεῖν quindecim fere litterae evanuerunt in A, ἔστιν Sup-

Pappus Alexandrinus Synagoge 3

ed. Friedrich Hultsch

Search the Perseus Catalog for:

Current edition First1KGreek

Notes on the current edition

Stable identifiers