Search the Perseus Catalog for:

← Previous

ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

Περιέχει δὲ συγκρίσεις τῶν ἴσην περίμετρον ἐχόντων ἐπιπέδων σχημάτων πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὸν κύκλον, καὶ συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων στερεῶν σχηηάτων πρὸς ἄλληά τε καὶ τὴν σφαῖραν.

1 Σοφίας καὶ μαθημάτων ἔννοιαν ἀρίστην μὲν καὶ τελειοτάτην
ἀνθρώποις θεὸς ἔδωκεν, ὦ κράτιστε Μεγεθίον, ἐκ μέρους δέ που καὶ τῶν ἀλόγων ζῴων μοῖραν ἀπένειμέν τισιν. ἀνθρώποις μὲν οὖν ἅτε λογικοῖς οὖσι τὸ μετὰ λόγου καὶ ἀποδείξεως παρέσχεν ἕκαστα ποιεῖν, τοῖς δὲ λοιποῖς ζῴοις ἄνευ λόγου τὸ χρήσιμον καὶ βιωφελὲς αὐτὸ μόνον
κατά τινα φυσικὴν πρόνοιαν ἑκάστοις ἔχειν ἐδωρήσατο. τοῦτο δὲ μάθοι τις ἂν ὑπάρχον καὶ ἐν ἑτέροις μὲν πλείστοις γένεσιν τῶν ζῴων, οὐχ ἥκιστα δὲ κἀν ταῖς μελίσσαις· ἥ τε γὰρ εὐταξία καὶ πρὸς τὰς ἡγουμένας τῆς ἐν αὑταῖς πολιτείας εὐπείθεια θαυμαστή τις, ἥ τε φιλοτιμία καὶ
καθαριότης ἡ περὶ τὴν τοῦ μέλιτος συναγωγὴν καὶ ἡ περὶ τὴν φυλακὴν αὐτοῦ πρόνοια καὶ οἰκονομία πολὺ μᾶλλον θαυμασιωτέρα. πεπιστευμέναι γὰρ, ὡς εἰκός, παρὰ θεῶν κομίζειν τοῖς τῶν ἀνθρώπων μουσικοῖς τῆς ἀμβροσίας ἀπόμοιράν τινα ταύτην οὐ μάτην ἐκχεῖν εἰς γῆν καὶ ξύλον ἤ
τινα ἑτέραν ἀσχήμονα καὶ ἄτακτον ὕλην ἠξίωσαν, ἀλλ᾿ ἐκ τῶν ἡδίστων ἐπὶ γῆς φυομένων ἀνθέων συνάγουσαι τὰ κάλλιστα κατασκευάζουσιν ἐκ τούτων εἰς τὴν τοῦ μέλιτος ὑποδοχὴν ἀγγεῖα τὰ καλούμενα κηρία πάντα μὲν ἀλλήλοις ἴσα καὶ ὅμοια καὶ παρακείμενα, τῷ δὲ σχήματι ἑξάγωνα.

2 τοῦτο
δ᾿ ὅτι κατά τινα γεωμετρικὴν μηχανῶνται πρόνοιαν οὕτως ἂν μάθοιμεν. πάντως μὲν γὰρ ᾤοντο δεῖν τὰ σχήματα παρακεῖσθαί τε ἀλλήλοις καὶ κοινωνεῖν κατὰ τὰς πλευράς, ἵνα μὴ τοῖς μεταξὺ παραπληρώμασιν ἐμπίπτοντά τινα ἕτερα ¹ λυμήνηται αὐτῶν τὰ ἔργα. τρία δὲ σχήματα εὐθύγραμμα ?? τὸ προκείμενον ἐπιτελεῖν ἐδύνατο, λέγω δὲ τεταγμένα τὰ ?? ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, τὰ δ᾿ ἀνόμοια ταῖς μελίσσαι?? ?? οὐκ ἤρεσεν. τὰ μὲν οὖν ἰσόπλευρα τρίγωνα καὶ τετράγων?? καὶ τὰ ἑξάγωνα χωρὶς ἀνομοίων παραπληρωμάτων ἀλλήλοιρ ?? δύναται παρακείμενα τὰς πλευρὰς κοινὰς ἔχειν ταῦτα γὰ ?? δύναται συμπληροῦν ἐξ αὑτῶν τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖο?? τόπον, ἑτέρῳ δὲ τεταγμένῳ σχήματι τοῦτο ποιεῖν ἀδύνατον ?? ὁ γὰρ περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπος ὑπὸ Ϛ΄ μὲν τριγώνα ?? ἰσοπλεύρων καὶ διὰ Ϛ΄ γωνιῶν, ὧν ἑκάστη διμοίρου ἐστ?? ὀρθῆς, συμπληροῦται, τεσσάρων δὲ τετραγώνων καὶ δ΄ ὀ ὁ ἡρ θῶν γωνιῶν αὐτοῦ, τριῶν δὲ ἑξαγώνων καὶ ἐξαγώνου γ?? νιῶν τριῶν, ὧν ἑκάστη α΄ γ΄΄ ἐστὶν ὀρθῆς. πεντάγωνα δὲ τὰ τρία μὲν οὐ φθάνει συμπληρώσαι τὸν περὶ τὸ α??ὐτὸ σημεῖον τόπον, ὑπερβάλλει δὲ τὰ τέσσαρα τρεῖς μὲν γὰρ
τοῦ πενταγώνου γωνίαι δ΄ ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν (ἑκάστη γὰρ γωνία μιᾶς καὶ ε″ ἐστὶν ὀρθῆς), τέσσαρες δὲ γωνίαι μείζους τῶν τεσσάρων ὀρθῶν. ἑπτάγωνα δὲ οὐδὲ τρία περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον δύναται τίθεσθαι κατὰ τὰς πλευρὰς ἀλλήλοις παρακείμενα τρεῖς γὰρ ἑπταγώνου γωνίαι τεσσάρων
ὀρθῶν μείζονες (ἑκάστη γάρ ἐστιν μιᾶς ὀρθῆς καὶ τριῶν ἑβδόμων). ἔτι δὲ μᾶλλον ἐπὶ τῶν πολυγωνοτέρων ὁ αὐτὸς ἐφαρμόσαι δυνήσεται λόγος. ὄντων δὴ οὖν τριῶν σχημάτων τῶν ἐξ αὑτῶν δυναμένων συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπον, τριγώνου τε καὶ τετραγώνου καὶ ἑξαγώνου,
τὸ πολυγωνότερον εἵλαντο διὰ τὴν σοφίαν αἱ μέλισσαι πρὸς τὴν παρασκευήν, ἅτε καὶ πλεῖον ἑκατέρου τῶν λοιπῶν αὐτὸ χωρεῖν ὑπολαμβάνουσαι μέλι.

3 Καὶ αἱ μέλισσαι μὲν τὸ χρήσιμον αὑταῖς ἐπίστανται μόνον τοῦθ᾿ ὅτι τὸ ἑξάγωνον τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ τριγώνου
μεῖζόν ἐστιν καὶ χωρῆσαι δύναται πλεῖον μέλι τῆς ἴσης εἰς τὴν ἑκάστου κατασκευὴν ἀναλισκομένης ὕλης, ² ἡμεῖς δὲ πλέον τῶν μελισσῶν σοφίας μέρος ἔχειν ὑπισχνούμενοι ζητήσομέν τι καὶ περισσότερον. τῶν γὰρ ἴσην ἐχόντων περίμετρον ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἐπιπέδων σχημάτων μεῖζόν ἐστιν ἀεὶ τὸ πολυγωνότερον, μέγιστος δ᾿ ἐν πᾶσιν ὁ κύκλος, ὅταν ἴσην αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δείξπμεν
δὲ πρότερον ὅτι τῶν ἀνισοπληθεῖς μὲν ἐχόντων τὰς γωνίας τεταγμένων πολυγώνων, τὴν δὲ περίμετρον ἴσην, τὸ πολυγωνότερον ἀεὶ καὶ μεῖζόν ἐστιν.

4 α΄. Ἔστω δύο πολύγωνα ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι μὲν αὐτῶν αἱ περίμετροι,
πολυγωνότερον δὲ τὸ ∠ΕΖ· λέγω ὅτι τὸ ∠ΕΖ μεῖζον τοῦ ΓΑΒ.

Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν περιγραφομένων αὐτοῖς κύκλων τὰ Η Θ, κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΗΚ ΘΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΗΓ Θ∠ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν πολυγωνότερόν
ἐστιν τὸ Ε∠Ζ τοῦ ΑΒΓ, πλεονάκις ἡ ∠Ζ τὴν τοῦ ∠ΕΖ πολυγώνου καταμετρεῖ περίμετρον ἤπερ ἡ ΑΓ τὴν τοῦ ΑΒΓ μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ∠Ζ (ἴσαι γὰρ ὑπόκεινται αἱ περίμετροι), ὥστε καὶ ἡ ΑΚ μείζων τῆς ∠Λ (ἡμίσεια γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας). κείσθω τῇ ∠Λ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω
ΜΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν (ἐπειδὴ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ πολύγωνον), ὁμοίως δὲ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ∠Ζ τῆς τοῦ ∠ΕΖ περιμέτρου; τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠ΘΖ
γωνία τεσσάρων ὀρθῶν, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ περίμετροι ἀλλήλαις καὶ αἱ δ΄ ὀρθαὶ ταῖς δ΄ ὀρθαῖς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον, οὕτως ἡ Η γωνία πρὸς δ΄ ὀρθάς. ὡς δὲ ἡ περίμετρος τοῦ ∠ΕΖ, τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ, πρὸς τὴν ∠Ζ, αἱ δ΄ ὀρθαὶ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΖ γωνίαν·
³ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς τὴν Λ∠, τουτέστιν πρὸς ΚΜ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΛ. ἡ δὲ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ (τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ
λήμμασιν δέδεὶκται)· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΗΚ τῆς ὑπὸ ∠ΘΛ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Κ ὀρθὴ ἴση τῇ πρὸς τῷ Λ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΜΚ τῆς ὑπὸ Θ∠Λ ἐλάσσων.
ἔστω τῇ ὑπὸ Θ∠Λ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΜΝ· καὶ ἔστιν ἴση ἡ ∠Λ τῇ ΚΜ· καὶ ἡ ΛΘ ἄρα τῇ ΚΝ ἴση ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ΘΛ τῆς ΚΗ. ἴσαι δὲ αἱ περίμετροι· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΛΘ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ∠ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τοῦ ὑπὸ τῆς ΚΗ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν
τῶν εἰρημένων χμρίων ἡμίση τὰ πολύγωνα· μεῖζον ἄρα τὸ ∠ΕΖ πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ. τὸ γὰρ ὕψος ἴσον ἐστὶ τῆς περιμέτρου τῆς αὐτῆς οὔσης τῶν δύο εὐθυγράμμων, καὶ αἱ βάσεις ἄνισοι αἱ ΘΛ ΗΚ, καὶ ὡς ἡ ΘΛ βάσις πρὸς τὴν ΗΚ βάσιν, οὕτως τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΘΛ καὶ
τῆς περιμέτρου τοῦ ∠ΕΖ πολυγόνου πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ τὰ ἡμίση πολύγωνα ἄνισα, ὥστε μεῖζον τὸ ∠ΕΖ τοῦ ΑΒΓ.

5 β΄. Ἔστω πάλιν τὸ πολύγωνον τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἴσην ἔχον τὴν περίμετρον τῇ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείᾳ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ὁ ∠ΕΖ κύκλος τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου.

Εἰλήφθω τοῦ μὲν ∠ΕΖ κύκλου κέντρον τὸ Θ, τοῦ
περὶ τὸ ΑΒΓ πολύγωνον περιγραφομένου κύκλου κέντρ τὸ Η, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον ὅμο τῷ ΑΒΓ τὸ ΛΜΝΞΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Θ∠, καὶ κάθε ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤχθω ἡ ΗΚ. ἐπεὶ οὖν μείζ ἐστὶν ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγόνου περίμετρος τῆς τοῦ ∠.
κύκλου περιφερείας, ὡς ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρ Ἀρχιμήδει ὑπόκειται διὰ τὸ περιέχειν αὐτήν, ἡ δὲ τ κύκλου περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγόνου πε μέτρῳ, καὶ ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος μείζ τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστιν ὅμοια
πολύγωνα· μείζων ἄρα ἡ Λ∠ τῆς ΑΚ. καὶ ἔστιν ὁμο τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ΛΘ∠ τριγώνῳ (καὶ γὰρ τὰ ὅλα τ λύγωνα ὅμοιά ἐστι)· μείζων ἄρα καὶ ἡ Θ∠ τῆς ΗΚ. δὲ ἡ τοῦ ∠ΕΖ κύκλου περιφέρεια τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώ περιμέτρῳ μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ∠Θ καὶ τῆς τοῦ ∠ κύκλου περιφερείας τοῦ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς τοῦ Α. πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπὸ τῆς ∠Θ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας διπλάσιον τοῦ ∠ΕΖ κύκ. (καὶ τοῦτο γὰρ ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ τῆς τοῦ κύκ περιφερείας δέδεικται), τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ πο γώνου, καὶ τὰ ἡμίση· μείζων ἄρα ὁ κύκλος τοῦ ΑΒΓ τ λυγώνου.

6 Ὅτι μὲν οὖν τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκ. καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου Ἀρ μήδης ἀπέδειξεν, οὐδὲν δὲ ἧττον καὶ ἑξῆς δειχθήσεται τοῦτο πρὸς τὸ μὴ δεῖσθαι τοῦ Ἀρχιμηδείου συντάγματος ἕνεκεν μόνου τοῦ θεωρήματος τούτου.

Ἔστω. γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου αὐτοῦ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἥμισυ ἔστω τὸ Ζ
χωρίον· λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ Ζ χωρίον τῷ ΑΒΓ∠ κύκλῳ.

7 Ἔστω γὰρ. πρότερον, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἀκολούθως τῇ ἀγωγῇ τῇ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶν στοιχείων ἐγγράψαι εἰς τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον πολύγωνον, ὥστε
τὸ ἐγγραφὲν πολύγωνον μεῖζον εἶναι τοῦ Ζ χωρίου, εἰ πρότερον ἐγγραφείη τετράγωνον εἰς τὸν κύκλον καὶ αἱ περιφέρειαι τῶν περιλειπομένων τμημάτων αἰεὶ δίχα τέμνοιντο, μέχρις ἂν λειφθείη τινὰ τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τῆς ὑπεροχῆς ἧ ὑπερέχει ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου. ἐγγεγράφθω
καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ∠Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἤχθω ἐπὶ μίαν. πλευρὰν τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου ἐπὶ τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου μείζων ἐστὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠Ε ὁποσαγώνου, ἡ δ᾿ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων τῆς ΗΘ, τὸ ἄρα ὑπὸ
τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου καὶ τῆς ΗΘ. καὶ τὰ ἡμίση· μεῖζον ἄρα τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου, ὅπερ ἀδύνατον ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος τοῦ Ζ
χωρίου.

8 Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάσσων· δυνατὸν ἄρα περιγράψαι περὶ τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ Ζ χωρίον μεῖζον εἶναι τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου, εἰ πρότερον τετράγωνον περιγραφείη
περὶ τὸν κύκλον καὶ δίχα ἀεὶ τεμνομένων τῶν ἀπολειπομένων ⁴ περιφερειῶν ἄγοιντο ἐφαπτόμεναι, μέχρις ἂν ἀπολειφθῇ τινα τμήματα τῶν ἐκτὸς σχημάτων, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς ἧ ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἀνάγκῃ γενέσθαι δέδεικται. περιγεγράφθω οὖν, ὡς εἴρηται, τὸ πολύγωνον καὶ ἔστω τὸ
ΚΛΜΝΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἐπὶ μίαν τῶν συναφῶν τὴν Ο ἡ ΗΟ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου καὶ τῆς ΗΟ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου
τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ΗΟ. καὶ τὰ ἡμίση· τὸ ἄρα ΚΛΜΝΞ πολύγωνον μεῖζον τοῦ Ζ χωρίου, ὅπερ ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα τὸ Ζ χωρίον μεῖζον τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου.

Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον ἴσον ἄρα. καὶ ἔστι
τοῦ χωρίου διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.

9 δ΄. Οὐ μόνον δὲ τῶν τεταγμένων ἐπιπέδων σχημάτων, ἅ ἐστιν ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, ὁ κύκλος γίνεται μείζων, ἀλλὰ καὶ τῶν ἀνισοπλεύρων καὶ τῶν ἀνομοιογωνίων,
ὅταν τὴν αὐτὴν αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δειχθήσεται γὰρ ὅτι καὶ τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων πολυγώνων καὶ πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἶσογώνιον. πρότερον οὖν τὰ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτοῦ λαμβανόμενα θεωρήματα προγράψομεν.

10 Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ, καὶ εὐθεῖα ἡ Ε, ἥτις ἔστω ἐλάσσων μὲν τῆς ΑΒ, μείζων δὲ τῆς ΒΓ· ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐπὶ τῆς ΑΓ δύο εὐθείας συσταθῆναι, ὥστε συναμφοτέρας μὲν ἴσας εἶναι ταῖς ΑΒΓ, μίαν δὲ αὐτῶν ἴσην τῇ Ε.

⁵

Ὅσον γὰρ ὑπερέχουσιν αἱ ΑΒ ΒΓ τῆς Ε, ἔστω ἡ Ζ· ἡ Ζ ἄρα τῆς μὲν ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶν (ὅτι συναμφότεραι αἱ ΑΒΓ ταῖς Ε Ζ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ Ε τῆς ΓΒ μείζων), τῆς δὲ ΓΒ μείζων (ἐπεὶ συναμφότεραι πάλιν αἱ
ΑΒΓ ταῖς Ε Ζ ἴσαι, ὧν ἡ Ε τῆς ΑΒ ἐλάσσων). ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒΓ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν, καὶ αἱ Ε Ζ ἄρα
τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν. ἐπεὶ δὲ καὶ αἱ ΑΓΒ τῆς ΑΒ μείζονές εἰσιν, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Ε, τῆς δὲ ΑΒ ἐλάσσων ἡ Ζ, πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ε τῆς Ζ μείζονές εἰσιν. ὁμοίως ἐπεὶ αἱ ΑΓΒ τῆς ΑΒ μείζονες, ἀλλὰ τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Ζ,
τῆς δὲ ΑΒ ἐλάσσων ἡ Ε, πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ζ τῆς Ε μείζονές εἰσιν· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ΑΓ Ε Ζ τρίγωνον συστήσασθαι. συνεστάτω τὸ ΑΓ∠ καὶ φανερὸν ὅτι εἰ μὲν ἴσαι εἰσὶν αἱ Ε Ζ, ἰσοσκελὲς ἔσται τὸ ΑΓ∠ τρίγωνον, εἰ δὲ ἄνισοι, ἡ μείζων αὐτῶν ἴση ἔσται τῇ Γ∠.

11 ε΄. Τῶν ἰσοπεριμέτρων τριγώνων καὶ τὴν αὐτὴν βάσιν ἐχόντων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, καὶ ἀεὶ τὸ ἰσοσκελέστερον μεῖζον.

Ἐπὶ γὰρ τῆς ΒΓ βάσεως ἰσοπερίμετρα ἔστω τρίγωνα, ἰσοσκελὲς μὲν τὸ ΑΒΓ, ἰσοσκελέστερον δὲ τὸ Β∠Γ τοῦ ΒΕΓ
(δυνατὸν γὰρ κατασκευάσαι διὰ τὸ προδειχθὲν ἔναγχος)· λέγω ὅτι μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ, μεῖζον δὲ τὸ Β∠Γ τοῦ ΒΕΓ.

⁶

ἔσται παράλληλος οὖσα τῇ ΒΓ διὰ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας· ἐκβληθείσης ἄρα τῆς ΓΕ ἄχρι τῆς ∠Λ παραλλήλου καὶ συμπιπτούσης κατὰ τὸ Λ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΒΛ ἔσται τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον ἴσον τῷ ΒΛΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΓΒ καὶ παραλλήλων τῶν ΒΓ ∠Λ, ὥστε μεῖζον εἶναι
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΒΕΓ ἐλάσσονος ὄντος τοῦ Β∠Γ.

12 Ϛ΄ Πάλιν ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὅμοια τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας· λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ ∠Ζ ὡς μιᾶς ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ ΑΒ ∠Ε ὡς μιᾶς.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Η, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ ΕΗ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η παράλληλος τῇ ∠Ε ἀχθεῖσα συμπιπτέτω τῇ ∠Ζ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ, διὰ δὲ τοῦ ∠ παράλληλος τῇ ΖΗ ἡ ∠Θ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ∠Θ τῇ ΗΕ ἐν παραλληλογράμμῳ, τουτέστιν τῇ ΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ
Κ∠Θ γωνία τῇ Ζ ἴση, τουτέστιν τῇ Γ, καὶ ὀρθὴ ἡ Θ τῇ Β, καὶ λοιπὴ ἡ Κ τῇ Α, ἰσογώνια ἄρα τὰ ΚΘ∠ ΑΒΓ τρίγωνα καὶ ἴσα τὸ ἄρα ἀπὸ ΚΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΗΖ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΓ ∠Ζ ὡς μιᾶς τῷ τε ἀπὸ ΑΒ ∠Ε ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς.

13 ζ΄. Τὰ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συναμφότερα τῶν ἐπὶ ταῖς αὐταῖς βάσεσι συναμφοτέρων ἰσοσκελῶν τριγώνων ἀνομοίων μὲν ἀλλήλοις καὶ τοῖς ὁμοίοις, ἰσοπεριμέτρων δὲ αὐτοῖς, μείζονά ἐστιν.

Ἔστω ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ∠ΖΒ ΒΑΓ, καὶ
ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων ἄλλα ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ∠ΕΒ ΒΛΓ ἰσοπερίμετρα μὲν τοῖς ∠ΖΒ ΒΑΓ, ἀνόμοια δὲ ἐξ ἀνάγκης ὅτι αἱ γωνίαι ἄνισοί εἰσιν· τοῦτο δὲ ὡς δυνατὸν κατασκευάσαι δειχθήσεται· λέγω ὅτι τὰ ∠ΒΖ ΒΑΓ συναμφότερα τῶν ∠ΕΒ ΒΛΓ συναμφοτέρων μείζονά
ἐστιν.

Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ ΑΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰς βάσεις· τεμοῦσι δὴ αὐτὰς δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθάς· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ∠ΕΖ ταῖς ΒΕΖ, καὶ βάσεις ἴσαι αἱ ∠Ζ ΖΒ διὰ τὸ ἰσοσκελῆ εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ γωνίαι ἴσαι καὶ
ὅμοια τὰ ∠ΕΖ ΖΕΒ τρίγωνα, ὥστε καὶ τὰς ἐκτὸς γωνίας Ζ Ζ ἴσας εἶναι ἴσαι εἰσὶν ταῖς ἐντός, ἴσαι δέ εἰσιν καὶ αἱ ∠ Β, καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ Η Η ἴσαι· ὀρθαὶ ἄρα εἰσίν· καὶ ἴσαι αἱ ∠Η ΗΒ. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ΒΜ ΜΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ ὀρθαὶ αἱ Μ Μ. τεμνέτωσαν οὖν κατὰ τὰ Η Μ, καὶ
ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΗ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ· ἔσται δὴ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΗ τῇ ὑπὸ ΘΒΗ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ (ὅτι καὶ τῆς ὑπὸ ΖΒΗ ἴσης· ὅμοια γὰρ τὰ ∠ΒΖ ΒΑΓ τρίγωνα)· καὶ ἡ ὑπὸ ΘΒΗ ἄρα μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ· ἡ ἄρα τὰ Θ Λ σημεῖα
ἐπιζευγνύουσα τέμνει τὴν ΒΜ, ὑποκειμένης τῆς ∠ΒΓ εὐθείας καὶ τῆς ΘΒΝ ἐκβεβλημένης ἔξωθεν τῆς ΑΒ, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΘΒΗ, τουτέστιν τῆς κατὰ κορυφὴν τῆς ὑπὸ ΝΒΓ, καὶ πολλῷ ἡ ὑπὸ ΛΒΓ ἐλάσσων, ὥστε τὴν ΒΜ τέμνεσθαι ὑπὸ τῆς ΘΛ κατὰ τὸ Κ
καὶ φανερὸν ὅτι οὐ τὴν ΜΓ τέμνει, ἵνα μὴ τὴν ΛΜ ἐκβαλλομένην τέμῃ κατ᾿ ἄλλο σημεῖον τοῦ Λ.

14 ἐπεὶ οὖν αἱ ∠ΕΒ Β∠Γ ταῖς ∠ΖΒ ΒΑΓ ἴσαι εἰσίν (ὑπόκεινται γὰρ ⁷ ἰσοπερίμετροι), καὶ αἱ ἡμίσειαι αἱ ΕΒΛ, τουτέστιν αἱ ΘΒΛ, ταῖς ΖΒΑ ἴσαι εἰσίν, αἱ δὲ ΘΒΛ τῆς ΘΛ μείζονές εἰσιν, καὶ αἱ ΖΒΑ ἄρα τῆς ΘΛ μείζονές εἰσιν.
καὶ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΖΒΑ ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΘΛ.
ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΒΑ ὡς μιᾶς ἴσα εἰσὶν τὰ ἀπὸ συναμφοτέρου
τῆς ΖΗ ΑΜ μετὰ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΒΜ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΜ, διὰ τὴν τῶν ΗΖΒ ΒΑΜ τριγώνων ὀρθογωνίων ὁμοιότητα (τοῦτο γὰρ προεδείχθη), τῷ δὲ ἀπὸ ΘΛ, τουτέστιν
τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΚ ΚΛ ὡς μιᾶς, ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΛΜ ΗΘ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΛΜ ΗΕ ὡς μιᾶς, μετὰ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ΚΜ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΜ, διὰ τὸ αὐτὸ προδειχθέν· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΜ ΖΗ ὡς
μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΜ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΗ ΛΜ ὡς μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΜ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΗΜ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΗ ΑΜ ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΕ ΛΜ ὡς μιᾶς· καὶ μήκει ἄρα μείζων ἡ ΖΗ ΑΜ ὡς
μία τῆς ΕΗ ΛΜ ὡς μιᾶς. τὰ δ᾿ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τρίγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις: ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΗΕ πρὸς ΗΖ, τά τε ἡμίση τῶν τριγώνων τὸ ΕΗΒ πρὸς ΖΗΒ καὶ τὰ ὅλα τρίγωνα διπλάσια τὸ ∠ΕΒ πρὸς ∠ΖΒ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ, τὸ ΜΛΓ πρὸς τὸ ΜΑΓ,
καὶ τὸ διπλάσιον ΒΛΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ· καὶ συνθέντι ἄρα πρὸς συγκείμενον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὡς ἡ ΕΗ ΛΜ πρὸς τὴν ΖΗ ΑΜ, τὰ ∠ΕΒ ΒΛΓ τρίγωνα πρὸς τὰ ∠ΖΒ ΑΒΓ τρίγωνα· καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς. ἐλάσσων δὲ συναμφότερος ἡ ΕΗ ΛΜ τῆς ΖΗ ΑΜ συναμφοτέρου· ἐλάσσονα ἄρα καὶ τὰ συναμφότερα ∠ΕΒ ΒΛΓ τρίγωνα τῶν ∠ΖΒ ΒΑΓ συναμφοτέρων
τριγώνων.

15 η΄. Ἔστω ἐπὶ ἀνίσων βάσεων τῶν ΑΒ Γ∠ ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΑΕΒ Γ∠Ζ, καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ ἴση ἔστω, ἡ δὲ ΑΒ τῆς ∠Γ μείζων (ἀνόμοια ἄρα τὰ τρίγωνα)· δεῖ δὴ ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συστήσασθαι,
ὥστε τὰς δ΄ πλευρὰς αὐτῶν ἅμα ἴσας εἶναι ταῖς ΑΕΒ ΓΖ∠ ἅμα.

Ἐκκείσθω γὰρ ἡ ΗΘ εὐθεῖα ἴση οὖσα ταῖς ΑΕΒ ΓΖ∠, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Κ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΗΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως τὴν ΑΒ βάσιν πρὸς τὴν Γ∠, τετμήσθω δὲ καὶ ἑκατέρα
τῶν ΗΚ ΚΘ δίχα κατὰ τὰ Λ Μ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ συναμφοτέρων τῶν ΑΒ Γ∠ μείζων ἐστίν (ὅτι καὶ αἱ ΑΕΒ ΓΖ∠), καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Γ∠, ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, μείζων ἄρα καὶ ἡ μὲν ΗΚ τῆς ΑΒ, ἡ δὲ ΚΘ τῆς Γ∠. καὶ τέτμηται ἑκατέρα δίχα· τῶν ἄρα ΑΒ ΗΛ ΛΚ αἱ δύο
τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι. ὁμοίως καὶ τῶν Γ∠ ΚΜ ΜΘ. συνεστάτω οὖν ἐκ μὲν τῶν ΑΒ ΗΛ ΛΚ τὸ ΑΞΒ τρίγωνον (φανερὸν γὰρ ὅτι ἔξω πίπτουσιν τῶν ΑΕΒ διὰ τὸ μείζους εἶναι τὰς ΗΛΚ τῶν ΑΕΒ· ἡ μὲν γὰρ ΑΕΒ ἡμίσεια τῆς ΗΘ, ἴσαι γὰρ αἱ ΑΕΒ ταῖς
ΓΖ∠, καὶ αἱ δ΄ ἅμα εὐθεῖαι τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΗΚ μείζων ἢ ἡμίσεια τῆς ΗΘ), ἐκ δὲ τῶν Γ∠ ΚΜΘ τὸ ΓΝ∠ (ὑμοίως ⁸ γὰρ ἔνδον συνίστανται). καὶ φανερὸν ὅτι όμοια ἔσται τὰ τρίγωνα, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Γ∠, οὕτως ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, καὶ αἱ ἡμίσειαι ἥ τε ΗΛ πρὸς ΚΜ καὶ ἡ ΛΚ πρὸς ΜΘ, καὶ αἱ ἴσαι συνιστάμενσι ἡ ΑΞ πρὸς ΓΝ καὶ ἡ ΒΞ πρὸς ∠Ν.

16 Τὸ δὲ ΑΕΒ τρίγωνον τοῦ ΓΖ∠ τριγώνου ποτὲ μὲν μεῖζον γίνεται, ποτὲ δὲ ἔλασσον, ποτὲ δὲ ἴσον αὐτῷ. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΠΡΣ ἴσην ἔχον τὴν μὲν ΠΡ τῇ ΖΓ, τὴν δὲ ΡΣ τῇ ∠Ζ, τὴν δὲ ΠΣ τῇ Γ∠· ἴσα ἄρα καὶ ὅμοιά ἐστι τὰ ΓΖ∠ ΠΡΣ τρίγωνα ἀλλήλοις. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ μείζων ἐστὶν
τῆς Γ∠, τουτέστιν τῆς ΠΣ, καὶ αἱ ΑΕ ΕΒ ἴσαι ταῖς ΠΡ ΡΣ (ἐπεὶ καὶ ταῖς ΓΖ Ζ∠ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ), γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΠΡΣ μείζων ἐστίν ἐπεὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΖ∠ μείζων ἐστίν). κείσθω ἡ ὑπὸ ΠΡΤ γωνία τῇ Ε ἴση, καὶ ἡ ΡΤ τῇ ΡΣ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΤ· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον
τὸ ΠΡΤ τρίγωνον τῷ ΑΕΒ τριγώνῳ. ἐκβεβλήσθω δὲ ἡ ΠΣΥ, καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΠΥ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΡΥ· μείζων ἄρα ἡ ΡΥ τῆς ΡΣ καὶ τῆς ΡΤ (ἑκατέρα γὰρ τῶν ΠΡ ΡΤ ἴση ἐστὶν τῇ ΡΣ). τὸ οὖν ΠΡΤ τρίγωνον τῷ ΑΕΒ ἴσον ἐστὶν καὶ ὅμοιον, τῷ δὲ ΠΡΣ τὸ ΠΡΤ ἤτοι ἴσον ἐστίν,
ἐὰν ἡ ΓΣ παράλληλος ᾖ τῇ ΡΠ, καὶ αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι ὦσιν αἱ ὑπὸ ΡΠΤ ΠΤΣ (ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ⁹ ἐστιν τῆς ΡΠ τὰ τρίγωνα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ΡΠ ΤΣ), ἢ μείζων ἐστὶν αὐτοῦ, ἐὰν ἡ ΤΥ παράλληλος ᾖ τῇ ΡΠ, καὶ ἡ ὑπὸ ΠΤΥ γωνία τῇ ἐναλλὰξ ὑπὸ ΡΠΤ ἴση (γίνεται γὰρ πάλιν τὸ ΠΡΤ ἴσον τῷ ΡΥΠ· μεῖζον δὲ τὸ ΠΡΥ τοῦ ΠΡΣ· καὶ τὸ ΠΡΤ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ΠΡΣ).
ἐὰν δὲ ἡ παράλληλος ᾖ τῇ ΡΠ, διὰ τὰς ἴσας ἐναλλὰξ ὑπὸ ΡΠΤ ΠΤΦ γωνίας καὶ τὸ ΠΡΤ ἴσον τῷ ΡΠΦ, ὥστε μεῖζον εἶναι τὸ ΠΡΣ τοῦ ΠΡΘ, τουτέστιν τοῦ ΠΡΤ, ὥστε καὶ τὸ ΑΕΒ τρίγωνον ἴσον ὂν τῳ ΠΡΤ τριγώνῳ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἴσον ἢ ἔλασσον τοῦ ΠΡΣ, τουτέστιν τοῦ ΓΖ∠.

17 Τὸ λοιπὸν τῶν ἐν ὑπερθέσει

18 θ΄. Τούτων προγραφέντων τὸ προκείμενον δείξομεν, τουτέστιν ὅτι τῶν ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλενρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον.

Ἔστω γὰρ πολύπλευρον τὸ ΑΒΓ∠Ε μέγιστον τῶν ἰσοπερι ?? μέτρων αὐτῷ καὶ ἰσοπληθεῖς πλευρὰς ἐχόντων· λέγω ὅτι ἰσό όπλευρόν ἐστιν. μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ ΑΒΓ ἄνισοι, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, ἐφ ἧ συνεστάτω τρίγωνον ἰσοσκελς τὸ ΑΖΓ, ὥστε συναμφοτέρας τὰς ΑΖΓ ἴσας εἶναι συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ διὰ τὸ δ΄. ἐπεν οὖν πρὸ τριῶν ἐδείχθη ὅτι τῶν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ἰσοπε ριμέτρων τριγώνων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, μεῖζον ἄρα τὸ ΑΖΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓ∠Ε τετραπλεύρου ἔσται τι χωρίον τὸ ΖΓ∠ΕΑ τοῦ ΑΒΓ∠Ε μεγίστου, ἰσοπερίμετρον αὐτῷ καὶ ἰσαρίθμους πλευρὰς ἔχον, μεῖζον, ὅπερ ἀδύνατον· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ∠Ε. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἰσοπλευρότερον ἀεὶ ¹⁰ μεῖζον· καὶ γὰρ τὸ ἰσοσκελέστερον ἀεὶ μεῖζον, ὡς ἐδείχθη πρὸ τριῶν.

19 ι΄. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρον. μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστω ἡ Β γωνία τῆς ∠ μείζων. καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς ΓΕ ἄρα μείζων (ἴσαι γὰρ
αἱ ΑΒΓ Γ∠Ε). συνεστάτω ἐπὶ τῶν ΑΓ ΓΕ ἀνίσων ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα, ὡς πρὸ ἑνὸς ἐδείχθη, τὰ. ΑΖΓ ΓΗΕ τὰς ΑΖΓ ΓΗΕ πλευρὰς συναμφοτέρας ἴσας ἔχοντα συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ Γ∠Ε. μείζονα δὴ ἔσται τὰ συσταθέντα τὰ ΑΖΓ ΓΗΕ ἅμα τῶν ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ Γ∠Ε· καὶ
τοῦτο γὰρ δέδεικται πρὸ δύο. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓΕ τριγώνου ἔσται τὸ αὐτὸ ἄτοπον τὸ γὰρ ΑΖΓΗΕ μεῖζον ἔσται τοῦ ΑΒΓ∠Ε μεγίστου καὶ ἰσοπεριμέτρου αὐτῷ. καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρον τῶν ἄρα ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς
ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον.

Καὶ δῆλον ὅτι μέγιστος πάντων τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ὁ κύκλος, ἐπειδὴ τοῦ ἰσοπεριμέτρου τεταγμένου σχήματος, ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, ἐδείχθη
μείζων.

20 ια΄. Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν τοῖς προειρημένοις θεωρίας καὶ τοῦτο. τῶν ἴσην ἐχόντων περιφέρειαν κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον. δείξομεν δὲ τοῦτο προγράψαντες πρότερον τὰ εἰς αὐτὸ λαμβανόμενα.

21 Αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.

Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ Γ∠, καὶ διάμετροι αὐτῶν αἱ ΑΒ Γ∠· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια ¹¹ πρὸς τὴν τοῦ Γ∠ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρ ὸς τὴν Γ∠

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν Γ∠ ΓΑ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠, ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστι τὸ περιεχύμενον όρθογώνιον
ὑπό τε τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, τοῦ δὲ Γ∠ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ καὶ τῆς
τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ὐπὸ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς Γ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια
πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ τοῦ Γ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιρέρεια πρὸς τὴν τοῦ Γ∠ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠.

22 ιβ΄. Τοῦτο ἀποδείκνυται καὶ χωρὶς τοῦ λαβεῖν ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιφερείας τετραπλάσιόν
ἐστιν τοῦ κύκλου. τά γὰρ ἐγγραφόμενα τοῖς κύκλοις ἢ περιγραφύμενα ὅμοια πολύγωνα τὰς περιμέτρους ἔχει λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων, ὥστε καὶ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.

23 Πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠, ἐκ τοῦ κέντρου δὲ αὐτοῦ ἡ ∠Β, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ διήχθω τις ἡ ∠Ε· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα.

Εἰ μὲν οὖν σύμμετρύς ἐστιν ἡ ΒΖΕ περιφέρεια τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ τοῦ κύκλου, ἐπεὶ διαιρεθείσης εῆς ΑΒΓ περιμέτρου τοῦ κύκλου εἷς τὰ μέτρα καὶ ἀπὸ τῶν τῆς διαιρέσεως σημείων ἐπὶ τὸ ∠ κέντρον ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν ¹² ἐφαρμμύσουσιν ἀλλήλοις πάντες οἱ τομεῖς, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος αὐσῶν τῷ πλήθει τῶν μέτρων, ἔσται ἄρα ὡς ὅλη ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα ιέ τοῦ έ στοιχείων.

24 εἰ δὲ μὴ ἔστιν σύμμετρος τῇ ΒΖΕ περιφρείρ,
ὐμοίως ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περμετρος πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν. ἔστω, εἶ δυνατόν, ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περφιετρος ἀετοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν πρότερον ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας,
καὶ εἰλήφθω τις ἑτέρα περιφέρεια ΒΗ τῆς μὲν ΒΖ μείζων τῆς δὲ ΒΖΕ ἐλάσσων, σύμμετρος δὲ οὖσα τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ ὡς ἔστιν λῆμμα σφαιρικῶν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Η. ἔστιν οὖν διὰ τὰ προειρημένα καὶ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Η τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περμετρος τοῦ κύκλου
πρὸς τὴν ΒΖΗ περι ειαν. ἀλλὰ ἡ ΑΒΓ περίμεπρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν Η περιψέρειαν ἐλάσσονμ λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τήν ΒΖ περιφέρειαν, τουτέσειν ἥπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα· καὶ ὁ ΑΒΓ οὖν κύκλος πρὸς τὸν Β∠Η τομέα ἐλάσσονα λόγον ἓξει ἤπερ
πρὸς τὸν Α∠Ε τομέα, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Α∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὑτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας.

25 λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς τὴν ΒΕΤ περιφέρειαν, καὶ εἰλήφθω
τις ὁμοίως ἡ ΒΕΘ περιφέρεια τῆς μὲν ΒΖΕ περιφερείας μείζων τῆς δὲ ΒΕΓ περιφερείας ἐλάσσων, σύμετρος δὲ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον τοῦ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Θ. ἐπεὶ οὖν πάλιν ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Θ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύἰέ
¹³ κλου πρὸς εὴν ΒΕΘ περιρέρειαν , ἡ δὲ ΑΒΓ περίμετρος πρὸς τὴν ΒΕΘ περιφέρειαν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, ἔξει δηλονότι καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Θ τομέα μείζονα λόγον ἤπερ πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα,
ἥπερ ἐστὶν ἄτοπον οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Γ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς μείξονα τῆς ΒΖΕ περιφέρειαν. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδέ πρὸς ἐλάσσονα· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν.

26 ιγ΄. Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν κύκλων πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν βάσεων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, καὶ αἱ περιφέρειαι δὲ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.

Ἐστω ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ λέγω ὅτι ὡς μὲν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ∠ΕΖ , οὕτως τὸ ἀκὸ
τῆς ΑΓ τετράγμωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, ὡς δὲ ἡ ΑΒΓ πιριφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ∠Ζ.

Προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ κύκλοι, καὶ εἰλήφθω αὐτῶν κέντρα τὰ Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗΓ ΔΘΖ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐσειν τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ τμήματα, ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς
τῷ Η γωνία τῇ πρὸς τῷ Θ, καὶ ὅμοιον τὸ ΑΗΓ τρίγπωνον τῷ ∠ΘΖ , καὶ ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ὁμοία τῇ ∠ΕΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα, οὕτπως ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν, τουτέστιν δ΄ ῥρθαὶ πρὸς τὴν Η γωνίαν. ὡς δὲ ὁ
∠ΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ ∠ΕΖ κύκλου πρὸς τὴν ∠ΕΖ περιφέρειαν, τουτέσετν δʼ ῤρθαὶ πρὸς τὴν Θ γμωνίαν. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ Θ γωνία τῇ ¹⁴ Η γωνίᾳ ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα, οὕτως ὁ ∠ΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα, καἰ ἐναλλὰξ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΕΖ, οὕτως ὁ ΑΗΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα. ὡς δὲ ὁ κύκλος πρὸς τὸν κόκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ
τῆς ∠Θ, τουτέστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΘΖ τρίγωνον· καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΘΖ τρίγωνον. καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ∠ΕΖ τμῆμά ἐστιν ὡς τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΘΖ τρίγωνον, τουτέστιν ὡς
τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ.

27 Λέγω δὴ ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ∠ΕΖ κύκλου περιφέρειαν,
οὕτως ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ. ὡς δὲ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ∠Θ, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠Ζ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ· πρὸς τὴν ∠Ζ.

28 ιδ΄. Ἔστωσαν δύο κύκλοι καὶ πρὸς τοῖς κέντροις οὐτῶν ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ ∠ΕΖ περιεχύιιεναι, καὶ ἐφαπτύμεναι μὲν αἰ ΑΗ ∠Θ, κάθετοι δὲ αἰ ΑΚ ∠Λ
δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον, οὕτως καὶ τὸ ∠ΘΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΖΛ
τρίγρεμμον.

Ἔστι δέ φανερὸν ἐκ τοῦ προγεγραμμένου. ὅμοιον γὰρ γίνεται τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ∠ΘΛ, καὶ τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον τῷ ∠ΖΛ τριγράιιμῳ , καὶ
λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα ἑκάτερον πρὸς ἑκάτερον, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Λ.

29 ιέ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ Α∠, ὀρθὴ δέ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Β γωνία δεῖξαι ὅτι ὁ Α∠Γ τομεὺς
πρὸς τὸ μεὺςΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓΑ περιεχομένην.

Ηχθὼ τῇ ΓΑ ὀρθὴ ἡ ΖΑ (ἐφάπτεται ἄρα τῆς Α∠ περιφερείας), καὶ διὰ τοῦ Β περὶ κέντρον τὸ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΒΗ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΖ ἤχθα
ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΕΒΖ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον ἤπερ πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα , καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΘΒ τρίγραμμον ἤπερ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, ὡς δὲ τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον,
οὕτως τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Β τρίγραμμον διά τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ΕΑΒ ΑΓ∠ γωνίας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, κείζων ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς τοῦ ∠ΑΒ
τριγραμμου μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΕΑΒ τομεὺς ρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα ἤπερ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα. τὸ δὲ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· πολλῷ ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα μείζονα λόγον
ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. ὡς δὲ ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν BAH τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ. καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΕ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. καὶ ἀνάπαλιν τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς
τὸ ΒΑ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ¹⁵ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΖ, καὶ συνθέντι ὁ ∠ΓΑ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΑΒ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ὀρθὴ γενία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΒ (ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΖΑΓ κάθετον εἶναι τὴν ΑΒ,
καὶ ὅμοιον τὸ ΖΑΒ τρίγωνον τῷ ΑΓΖ).

30 ιϚ΄. Ἔστω πάλιν ὀρθογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ δμὼ τοῦ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ Α∠· λέγω ὅτι ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ
ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ∠.

Ἤχθω τῇ ΑΓ ὀρθὴ ἡ ΑΕ, καὶ ἐκθεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου περὶ κέντρον τὸ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΕΓΖ. ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν ἐκ τοῦ κέντρου τὴν ΓΑ γεγρσμμέναι εἰσὶν αἱ περιφέρειαι, φανερὸν
ὅτι ἴσων εἰσὶ κύκλων. καὶ μείζαων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΓ∠ τομεὺς τοῦ ΑΓΕ τομέως· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸ αὐτὸ τρίγωνον, καὶ πολὺ μᾶλλον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν
ΑΓΖ τομέα. ὡς δὲ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΓΑΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς νὴν ὑπὸ ΓΑΖ. καὶ ὁ ΑΓ∠ ἄρα τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΑΖ. καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἀναστρέψαντι μείζονα λόγον ἔχει
ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ∠ τρίγραμμον ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΑΖ , τουτέστιν ἤπερ ὀρθὴ πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ∠ (ἔστιν γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΑΖ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓ∠, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓ∠ ἴση ἐστὶν ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΑ καὶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ).

¹⁶

31 ιξ΄. Τούτων πρθγεγραμμένων τὸ προκείμενον θεμωρηφα συγκρινικὸν ὑπάρχον δείξομεν οὕτως.

Ἔστω δύο τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς ΑΒΓ ∠ΕΖ περιφερείας, καὶ ἔστω ἡμικύκλιον μὲν τὸ ΑΒΓ, τὸ δὲ Ε∠Ζ πρότερον ἔλαττον ἡμικυκλίου λέγω ὃτι
μεῖζόν ἐστιν τὸ ἡμικόκλιον τοῦ τμήματος.

Εἰλήφθω κέντρα τῶν κύκλων τὰ Η. Θ, καὶ ὀρθὴ μὲν ἡ ΗΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ζ ἡ ΘΚΕ, καὶ τῇ ∠Ζ παράλληλος ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΛΘ
εὐθεῖα πρὸς τὴν ΑΗ (αἱ γὰρ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι), ἴση δὲ ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ∠Ε, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΕ πιριφέρεια πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΑΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΛ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠Ε, ὁ ΛΘΕ τομεύς πρὸς τὸν ΕΘ∠ τομέα. καὶ ἔχει
τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ διπλασίονα λόγον τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς ΗΑ, τὸ δέ ἀπὸ τῆς ΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, τουτέστιν ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ, διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΛΕΘ τομεύς πρὸς τὸν ∠ΕΘ τομέα· τῶν ἄρα ΛΕΘ ΑΒΗ τομέων μέσος ἀνάλογόν ἐστιν ὁ ∠ΕΘ
τομεύς. καὶ ἐπεὶ ἔχει διὰ τὸ προδειχθὲν λῆμμα μείζονα λόγον ὁ Ε∠Θ τομεὺς πρὸς τὸ Ε∠Κ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΕ, τουτἐστιν ἥπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ, ὡς δὲ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ, οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ
τομέα, ὁ ἄρα ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΕΚ τρίγραμμον μείζονα ¹⁷ λόγον ἔχει ἤπερ ὁ αὐτὸς τομεύς πρὸς τὸν ΑΒΗ τομέα· μείζων ἄρα ὁ ΑΒΗ τομεὺς τοῦ ∠ΚΕ τριγράμμου. καὶ τὰ διπλάσια μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ ∠ΕΖ τμήματος.

32 ιή. Ἔστω δὴ πάλιν τὸ ∠ΕΖ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου
λέγω ὅτι καὶ οὕτως μεῖζόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον.

Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτά. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν κλίουΘΕ, οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ (ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒ ∠Ε περιφέρειαι). καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ δύο λῆμμα μείζονα λόγον ἔχει ὁ ∠ΘΕ
τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΚΕ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΕ, τουτέστιν ἥπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ, ἔσται μείζων ὁ ΑΗΒ τομεὺς τοῦ ∠ΕΚ τριγράμμου. καὶ τὰ διπλάσια· μεῖζον ἔρα τὸ ΑΒΓ
ἡμικύκλιον τοῦ ∠ΕΖ τμήματος· πάντων ἄρα τῶν ἴσας ἐχόντων τάς περιφερείας κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἡμικύκλιον.

Περὶ τῶν στερεῶν.

33 τθ΄. Τὸν πρῶτον καὶ δημιουργὸν τῶν πάντων θεὸν οἱ
φιλόσοφοί φασιν εἰκότως τῷ κόσμῳ σχῆμα περιθεῖναι σφαιρικὸν ἐκλεξάμενον τῶν ὄντων τό κάλλιστον , τά τε προσόντα τῇ σφαίρᾳ φυσικὰ συμπτώματα λέγοντες ἔτι καὶ τοῦτο προστιθέασιν ὅτι πάντων τῶν στερεῶν σχημάτων τῶν ἴσην ἐχόντων τὴν ἐπιφάνειαν μεγίστη ἐστὶν ἡ σφαῖρα.
τἄλλα μὲν οὖν ὅσα προσεῖναι λέγουσιν αὐτῇ πρόδηλά τέ ἐστιν καὶ παραμυθίας ἐλάσσονος δεῖται, τὸ δʼ ὅτι μείζων ἐστὶ τῶν ἄλλων σχημάτων οὔδʼ οἱ φιλόσοφοι δεικνύουσιν, ἀλλʼ ἀποφαίνονται μόνον, οὕτε παραμυθήσασθαι ῥᾴδιον ἄνευ θεωρίας πλείονος. φέρʼ οὖν, ὥρπερ ἐν τοῖς πρόσθεν
¹⁸ εὕρομεν τὸν κύκλον μέγιστον ὄντα τῶν ἴσην ἐχόντων αὐτῷ τὴν περίμετρον τεταγμένων πολυγμώνων σχημάτων, καὶ νῦν τὴν σφαῖραν κατὰ τὸ ἀεόλουθον ἀποδεῖξαι πειραθῶμεν μεγίστην οὖσαν τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων αὐτῇ τεταγμένων στερεῶν σχημάτων.

34 πρότερον δὲ περὶ τῶν στερεῶν
κὐτῶν, πρὸς ἃ δεῖ συγκρίνειν τὴν σφαῖραν, ὀλίγα προδιαληψόμεθα· πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα, μᾶλλον δʼ ἄν τις ἀξιώσειε λόγου τὰ τετάχθαι δοκοῦντα καὶ τούτων πολὺ πλέον τούς τε κώνους καὶ κυλίνδρους καὶ τὰ καλούμενα πολύεδρα.
ταῦτα δʼ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρά τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα, τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἔξάεδρον, ὀκτάεδρύν τε καὶ δωδεκάεδρον, πέμπτον δʼ εἶκοσάεδρον, ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων
δέ πολυγώνων περιεχόμενα.

τὸ μέν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγύνων δ΄ καὶ ἑξαγώνων δ΄ .

τρία δέ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγμνοις η΄ καὶ τετραγώνοις ς΄, τὸ δέ
δεύτερον τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η΄ , τὸ δέ τρίτον τριγώνοις η΄ καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄.

μετὰ δέ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο , ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η΄ καὶ τετραγμώνοις ιη΄ , τὸ δέ δεύτερον τετραγώνοις β΄, ἑξαγώνοις η΄ καὶ όκταγώνοις Ϛ΄.

μετὰ δέ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία, ὧν τὸ μέν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ΄ καὶ πενταγώνεις ιβ΄, ¹⁹ τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ΄ καὶ ἑξαγώνοις κʼ, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄.

μετὰ δὲ ταῦτα ἓν ἐστιν ὀκτωκαιτριακοντάεδρον περιὑπὸ τριγμώνων λβ΄ καὶ τετραγώνων Ϛ΄ .

μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο ὧν τὸ
μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ΄ καὶ τετραγώνοις λ΄ κεὶ πενταγώνοις ιβ΄, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ΄ καὶ ἔξαγώνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄.

μετὰ δέ ταῦτα τελευῖόν ἐστιν δυοκατενενηκοντάεδρον, ὃ περιέχεται τριγώνοις π΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄.

35 Ὅσας δὲ γωνίας ἕκαστον ἔχει στερεάς τῶν ιγ΄ τούτων σχημάτμων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς, διὰ τοῦδε τοῦ τρέπου θεωρεῖται· ὅσων μὲν γάρ ἀπλῶς πολυέδρων αἱ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίεις, ἐξ αριθμηθεισῶν εῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν πᾶσαι αἱ
ἕδραι τοῦ πολυέδρου, δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν ἁριθμὸς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ γενομένου ἀριθκοῦ, ὅσων δὲ πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις, ἐξαριθμηθεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ τὸ τέταρτον
μέρος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς ἡ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου. ὁμοίως δὲ εαὶ ὅσσων πολοέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ έ γωνιῶν ἐπιπέδων , τὸ πέμπτον τοῦ πλήθους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὦ ἀριθμὸς τοῦ πλήθους τῶν στερεῶν γωνιῶν.

36 Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος ἃς ἕεαστον ἔχει τῶν πολυέδρων τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν. ἐξαριθκηθεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν ἅς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχαντα τὸ ²⁰ πολύεδρον, ὁ ἀριθμὸς οὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλήθει τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν. ἀλλʼ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἕκάστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν, δῆλον ὅτι τοῖ πλήθους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου. τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγ΄ πολυέδρων
ἐπεὶ περιέχεται τριγόνοις δ΄ καὶ ἑξαγώνοις δ΄ , γωνίας μὲν ἔχει στερεάς ιβ΄, πλευρὰς δὲ ιη΄ τῶν μὲν γὰρ τεσσάρων τριγώνων αἳ τε γωνίαι ιβ΄ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ ιβ΄, τῶν δέ δʼ ἑξαγόνων αἳ τε γωνίαι κδ΄ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ κδ΄ γενομένου δὴ τοῦ ἀριθμοῦ παντὸς λϚ΄ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν
μὲν τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ προειρημένου ἀριθμοῦ, ἐπεὶ καὶ ἑκάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ γωνιῶν ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γ΄ , τὸ δὲ τῶν πλευρῶν πλῆθος τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστιν τοῦ λϚ΄ , ὥστε εἶναι πλευράς ιη΄ .

τῶν δέ τετρακαιδεκαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται τριγόνοις η΄ καὶ τετραγώνοις Ϛ΄ , ὥστε ἔχειν στερεάς μέν γωνίας β΄ (ἑκάστη γάρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσάρων ἐπιπέδων γαωνιῶν περιέχεται), πλευρὰς δέ ἔχει κδ΄ τὸ δὲ δεύτερον τῶν τετρακαιδεκαέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις Ϛ΄
καὶ ἑξαγώνοις η΄ , ἔξει στερεάς μὲν γωνίας κδ΄ (ἑκάστη γάρ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ περιέχεται ὑπὸ γ΄ γωνιῶν ἐπιπέδων), πλευρὰς δέ ἔχει λϚ΄. τὸ δὲ τρίτον τῶv τετρακαιδεκαέδρων ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις ή καὶ ῤκταγώνοις Ϛ΄ , ἕξxι στερεὰς μὲν χωνίας κδ΄ , πλευρὰς δὲ λϚ΄.

τῶν δὲ ἑκκαιεικοσαέδρων τὸ μέν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγόνοις τε ή καὶ τετραγώνοις ιή , ἔξει στερεὰς μέν γωνίας κδ΄ , πλευράς δὲ μή . τὸ δὲ δεύτερον τῶν ἑκκαιεικοσαέδρων , ἐπεὶ περιέχεται τετραγόνοις ιβ΄ καὶ ἑξαγώνοις ή καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄, ἔξει στερεάς μέν γωνίας
μή . πλευρὰς δὲ οβ΄.

τῶν δέ δυοκαιτριακονταέδρων τὸ μέν πρῶτον , ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεάς ²¹ μὲν γωνίας λ΄ , πλευρὰς δὲ ξ΄. τὸ δὲ δεύτερον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται πενταγμὸνοις ιβ΄ καὶ ἑξαγώνοις κ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὰς δὲ ç΄. τὸ δέ τρίτον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεί περιέχεαι τριγύνοις τε κʼ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας
ξ΄, πλευρὰς δὲ ç΄.

τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον, ἐπεί περιέχεται τριγμώνοις τε λβ΄ καὶ τετραγώνοις ἕξ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ΄, πλευρὰς δέ ξ΄.

τῶν δὲ δυοκαιεξηκονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ
περιέχεται τριγώνοις τε κ΄ καὶ τετραγώνοις λ΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεάς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὰς δὲ ρκ΄. τὸ δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιεξηκονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις λ΄ καὶ ἑξαγύνοις κ΄ καὶ δεκαγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ρκ΄, πλευρὰς δὲ ρπ΄.

τὸ δὲ δυοκαιενενηκοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγμώνοις τε π΄ καὶ πενταγώνοις ιβ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ΄, πλευρὲς δὲ ρν΄.

37 Ταῦτα μὲν οὖν τὰ ιγ΄ σχήματα ἤτοι ἀνομοιογώνια ὄντα ἢ ὑπὸ ἀνίσων καὶ ἀνομοίων πολυγώνων περὶεχόμενα
διὰ τὸ ἀτακτότερον παρῃτήσθω τὸ νῦν , τὰ δὲ καλούμενα έ σχήματα τῇ σφαίρᾳ συγκρίνειν ἄξιον ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιεχμενα μόνα ταῦτα τὰς στερεὰς γωνίας ἴσας ἔχει, καὶ διὰ τοῦτʼ εὔτακτα παρὰ τὰ λοιπὰ μᾶλλόν ἐστιν. ὅτι δὲ πλείω τῶν ε΄ τούτων ἀδύνατόν ἐστιν
εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγόνοις περιλαμβανύμενα, καὶ ὑπὸ τοῦ Εὐκλείδου καὶ ὑπό τινων ἄλλων ἀποδέδεικται. συγκρίνμωμεν οὖν αὐτὰ ταῦτα πρότερον τὰ πολύεδρα τῇ σφαίρᾳ.

38 Ἔστω γὰρ σφαῖρα μὲν ἐν ᾗ τὸ Α, ἒν δέ τι τῶν
προειρημένων ε΄ σχημάτων ἴσην ἔχον τὴν σύμπασαν ἐπιφάνειαν ²² τῇ τῆς Α σφαίρας λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ σφαῖρα.

Νοείσθω γὰρ εἰς τύ πολύεδρον ἐγγεγραμμένη σφαίρα, ὥστε τῶν περιεχόντων ἐπιπέδων ἅπτεσθαι· μείζμων ἄρα ἐστὶν ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης
σφαίρας· περιέχει γὰρ αὐτήν. ἀλλʼ ἡ τοῦ πολυέδρου ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς Α σφαίρας ἐπιφανείᾳ, ὥστε καὶ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τῆς ἐγγεγραμμένης τῷ πολυέδρῳ σφαίρας· καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα τῆς Α σχαίρας μείεζων ἐστὶν
τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης σφαίρας. ἴση δὲ ἡ τῆς Α σφαίρας ἐπιφάνεια τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων κύκλον ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς Α σφαίρας, ὥψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς A σφαίρας, μείζων ἐστὶν τῆς πυραμίδος τῆς βάσιν ἐχούσης ὐθύγραμμον
τὸ ἴσον τῇ τοῦ πολυέδρου ἐπιφανείᾳ καὶ ὕψος τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐγγεγραμμένης αὐτῷ σφαίρας. ἀλλʼ ὁ μὲν κῶνος ἴσος ἐστὶν τῇ Α σφαίρᾳ (τοῦτο γὰρ ἐκ τῶν ὑπʼ Ἀρχιμήδους δεδειγμένων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου καὶ τῶν ἄλλων ὑφ’ ἡμῶν ὑποτεταγμένων λημμάτων
ἐστὶ φανερόν), ἡ δὲ πυραμὶς ἴση τῷ πολυέδρῳ· μείζων ἄρα καὶ ἡ Α σφαῖρα τοῦ ὑποκειμένου πολυέδρου.

39 κ΄ . Ἔχει δέ τινα σύγκρισιν καὶ ταῦτα τὰ ε΄ σχήματα πρὸς ἄλληλα, περὶ ἧς ὕστερον ἐπισκεψόμεθα· δείκνυται γάρ ὑποκειμένων ἴσων τῶν ἐπιφανειῶν τὸ πολυεδρόεερον
ἀεὶ καὶ μεῖζον. οἷον τὸ μὲν εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου, τὸ δὲ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου , καὶ ὁμοίως τὸ μέν ὀκτάεδρον τοῦ κύβου, ὁ δέ κύβος τῆς πυραμίδος· ὅμοιον γάρ τι πέπονθεν τὰ στερεά ταῦτα τοῖς ἐπιπέδοις πολυώνοις· καὶ γὰρ ἐπʼ ἐκείνων, ὁπότε τὰς περιμέτρους ἴσας
²³ εἶχεν, ἀεὶ μεῖζον ἀπεδείκνυτο τὸ πολυγωνότερον, καὶ πάντων ὁ κύκλος μείζων, ὥσπερ ἐδείχθη νῦν τῶν πολυέδρων ἡ σφαίρα.

40 πρόδηλον δʼ ὅτι καὶ ὁ κῶνος καὶ ὁ κύλινδρος ἑκάτερος ὁ ἴσην ἔχων ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρμς ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς. ὁ μὲν γὰρ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ
τῆς σφαίρας, ὅλην δὲ τὴν ἐπιφάνειαν μείζονα τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἴσος αὐτῇ καταλαμβάνεται, ὅταν τὸ ὕψος αὐτοῦ ἴσον ᾗ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὁ δὲ κύλινδρος ὁ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχων τῷ κώνῳ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ τὸ γ΄ τοῦ ἄξπνος
τοῦ κώνου, καὶ ἴσος ὢν τῷ κύνῳ, ἴσος εὑρίσκετει καὶ τῇ σφσίρᾳ μείζονα τὴν ἐπιφάνειαν ἔχων αὐτῆς· αἱ γὰρ δύο βάσεις αὐτοῦ τῆς βάσεως τοῦ κώνου , τουεέστιν τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, διπλασίους εἰσίν, ὥστε ὅταν ἑκάτερον τῶν σχημάτων ἴσην ἔχῃ τὴν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρας,
τότʼ ἐξ ἀνάγκης ἡ σφαῖρα ἑκατέρου σχήματος μείζων ἐστίν.

41 Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τῆς συγκρίσεως τῆς εφαίρας πρὸς τὰ ε΄ σχήματα καὶ τὸν κῶνον καὶ κύλινδρον, τὰ δʼ ὑπὸ τοῦ Ἀρχιμήδους, ὡς εἴρηται, δειχθέντα καὶ ἄλλως ἀπδείξομεν, πρνγράψαντες ὅσα εἰς τὰς ἀποδείξεις αύτῶν
συντείνει λημμάτια.

42 (ά ), Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ διαμέτρου καὶ τυχοῦσαι ἐπὶ τὴν διάμετρον κάθετοι αἱ Γ∠ ΕΖ, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΓΕ. ὅτι τὸ δὶς ὑπὸ ΖΕΓ· ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ∠Ζ.

Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε κάθετος ἐπὶ τὴν Γ∠ ἡ ΕΗ, καὶ ληφθέντος τοῦ Θ κέντρου ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ, ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἧ ὑπὸ ΓΕΘ τῇ ὑπὸ ΖΕΗ ἐστὶν ἴση, κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ὑπὸ ΗΕΘ ἔσται λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ τῇ ὑπὸ ΖΕΘ ἴση. ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἢ Ζ τῇ Η ἴση· ἰσογώνιον ἄρα
²⁴ A.B τὴν ΓΚ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἴση ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Κ. ἀλλὰ καὶ ἡ Η∠ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση ἡ ΗΚ ἄρα συναμφοτέρῳ τῇ Γ∠ ΕΖ ἐστὶν ἴση ἡ δέ ∠Ζ τῇ ΗΕ. ἡ δέ τὴν λοιπὴν ὑποτείνουσα τοῦ ΓΕΘ ἡμικυκλίου ἐστὶν ἡ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Κ γωνία τῇ Θ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΕΓ
ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθὴ ἴση ἐστὶν τῇ Η, ἰσογώνια ἄρα ἐστὶν τὰ ΘΕΓ ΚΕΗ τρίγωνα ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΗ πρὸς ΗΕ τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς ΘΕ καὶ τῆς ΕΗ, τουτέστιν τῆς ∠Ζ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΗΚ ΓΕ, τυτέστιν τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Γ∠ ΕΖ καὶ τῆς ΓΕ.

45 κγ΄ (δ΄), Καὶ ἐκ τούτου φανερὸν ὕτι, ἐὰν ἡμικνκλίου τινὸς ὡς τοῦ ΑΒΓ περιφέρειά τις ὡς ἡ ΑΓ∠ διαιρεθῇ εἰς ὁποσαοῦν ἴσα καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, αἱ ὑπὸ τῶν ἐτιζευχθεισῶν τῶν ΑΕ ΕΖ ΖΓ ΓΗ Η∠ κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΑΒ στροφὴν γινόμεναι ἐπιφάνειαι ἴσαι είσίν
κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται, ἐπιζεοχθείσης τῆς ΕΒ, τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ.

Ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς Η∠ ινομένη ἐτιτάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὐπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ∠Θ καὶ τῆς Η∠ ὧν μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ἐκ τοῦ
κέντρυυ τοῦ εἰρημένου κύκλου. λέγει γάρ Ἀρχιμήδης ὅτι ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει, τῇ μεταξὺ τῶν παλλήλων ἐπιπέδων ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κύνου τῆς μεταξύ τῶν παραλλήλων
ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τῶν ἐν τοῖς περαλλήλοις ἐπιπέδοιςʼ᾿ ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς Η∠ γινυμένη ἐπιμφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ²⁵ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ∠Θ καὶ τῆς Η∠, ὅπερ ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΕΒ ΚΘ ἵσον. ἡ δέ ὑπὸ τῆς ΓΗ ὁμοίως ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΛΚ καὶ γὰρ τοῦ κύκλου προσαναπληρουμένου καὶ τῆς ἴσης τῇ ΕΒ εἰς τὸν κύκλον ἐναρμοζομένης
διὰ τοῦ Η. γίνεται τὸ ὑπʼ αὐτῆς καὶ τῆς ΛΚ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΛ ΗΚ καὶ τῆς δ ΓΗ. ἡ δέ ὑπὸ τῆς ΕΖ ἴση ἐστὶν κύκλῳ
οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τώ ὑπὸ ΕΒ MΝ τοῦτο γάρ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΝ ΖΜ καὶ τῆς ΕΖ, καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά.
καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ἐσχάτης τῆς ΑΕ κωνικὴ ἐπιφάνεια γινομένη ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΝ, ὅπερ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΝ (καὶ γὰρ ἰσογώνία ἐστιν τὰ ΑΕΒ ΑΕΝ τρίγωνα, καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ΑΕ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου
δύναται τὸ ὑπὸ ΑΕΝ. καὶ τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν). καὶ ἡ ὑπὸ πασῶν ἄρα τῶν ∠Η ΗΓ ΓΖ ΖΕ ΕΑ γινομένη σύνθετος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ.

∠ῆλον δὲ ὅτι καὶ ἐὰν ἡ ὅλη τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια
εἰς ἴσα διαιρεθῇ, ὧν μία ἐστὶν ἡ ΑΕ, καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὐμοίαν στροφὴν ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒΑ.

²⁶

46 κδ΄ (ε΄). Διῃρήσθω δὲ πάλιν ἡ τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια εἰς ἴσα ὑποσαοῦν, ἀφ᾿ ὧν ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν, ὡς καταγέγραπται· ὅτι αἱ ὑπὸ τῶν Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινύμεναι ἐπιφάνειαι κατά τὴν ὐμοίαν στρυρὴν ἴσαι εἰσὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ.

Κάθετοι ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠ Ε Ζ Η ἐπὶ τὴν διάμετρον. διὰ δὴ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΞ τῇ Ξ∠ καὶ καθέτους τὰς ΓΑ ∠Κ , τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ συνσμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠ τοῦτο γὰρ β΄ θεωρήιματι προδέδεικται. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ τῆς Γ∠ γινομένη ἐπιφάνεια
ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠ διὰ τὸ αὐτὸ Ἀρχιμήδους ιζ΄ θεωρημα· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑΚ ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς Γ∠ γινομένῃ ἐτιφανείᾳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὁ κύκλος οὖ ἡ ἐκ ταῦ
κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒ ΚΛ, διὰ τὸ ἴσην εἶναι πάλιν τὴν ∠Ο τῇ ΟΕ, ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ∠Ε γινομένη ἐπιφανείᾳ. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ²⁷ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ AB ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ πασῶν τῶν Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ΗΘ γινομένῃ ἐπιφανείᾳ.

κε΄. Ἤ οὕτως τὸ αὐτό. ἐγγεγράφθω τὸ ΑΓ∠ΕΖΗΘΒ πολύγωνον εἰς ἕτερον ἡμικύκλιον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, καὶ ἔστω αὐτοῦ διάμετρος ἡ ΡΣ, καὶ κάθετοι ὁμοίως ἤχθωσαν·
γίνεται δὴ διπλῆ ἡ μὲν Γ∠ τῆς ΓΡ, ἡ δὲ ΗΘ τῆς ΘΣ διὰ τὸ προκείμενον, καὶ διὰ τοῦτο Γ∠ μετὰ τῆς Γ∠Θ ἴση ἐστὶν τῇ ΡΘΣ. ὑποτείνει δὲ τὴν Γ∠Θ ἡ, ἐπὶ τὰ Γ Θ ἐπιζευγνυμένη ἴση τῇ ΑΒ ἔσται δὴ διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τὸ ὑπὸ ΘΓ ΑΚ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ BΑΚ, ἵκον τῷ
ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ ∠Κ καὶ τῆς Γ∠, καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑ ΚΛ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠Κ ΕΛ καὶ τῆς ∠Ε. καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ πάντα ἅρα πᾶσιν ἴσα καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ ἴσος ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Γ∠ ∠Ε Ε∠ ΖΗ ΗΘ γινομέναις ἐτιφανείαις.

47 κϚ΄ (Ϛ΄). Ημικύκλιον οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἤχθω ²⁸ τυχοῦσα ἡ ΑΗ, καὶ ἡ ΑΗ περιφέρεια διῃρήσθω εἰς ἴσας ὑποσασοῦν περιφερείας τοῖς Μ Ν Ξ σημείοις καὶ ἀπὸ τῶν Α Η καὶ τῶν διαιρέσεων ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΓ Γ∠ ΑΕ ΕΖ ΖΗ, καὶ τῇ ΖΗ ἴση ἡ ΗΘ καθέτου οὕσης τῆς ΗΡ ὅτι, εἰ περὶ ἄξονα τὸν ΑΒ στραφέν τὸ ἡμικύκλιον ἀποκατασταίη,
ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν ΑΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὖ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μείζων ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ.

Ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τοῦ Ζ, ἐπὶ μὲν τὴν ΑΒ ᾗ ΖΛ, ἐπὶ δέ τὴν ΗΡ ἡ ΖΚ, τῆς ΖΚ καθέτου, ὀξείας μέν
οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ , μεταξὺ τῶν Η Θ πιπτοόσης, ἀμβλείας δέ οὕσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ , ἐκτὸς τοῦ Η, ὡς ἔχουσιν αἰ καταγραφαί. ἐπεὶ οὖν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ ἢ ΡΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπό ΑB ΛΡ (τοῦτο γάρ ἐν τῷ α’ θεμωρήματι δέδεικται), κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ
ΗΘΚ ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ ΛΡ καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ τε δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ πώ ΒΑ ΛΡ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΑΡ, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ
τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ καὶ τοῦ ὑπὸ ΒΑΛ.

48 ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ (τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται). καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΗ ²⁹ ὑπὸ ΖΗΘ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, πάλιν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον γίνεται τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ οὕτως· ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΖΘ μεῖζόν ἐστιν τῶν ἀπὸ ΖΗ ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ ΘΗΚ , καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Θ τοῦ ἀπὸ ΗΘ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΘΗΚ. τὸ
ἄρα ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἄσον ἐστὶν τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὼ Ζ Θ. τῷ δέ ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ διὰ τὸ γʼ τοῦ β΄ στοιχείων· καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὼ Ζ Θ ἄσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΚΘΗ.

Καὶ ἐπεὶ τὸ ἥμισυ εοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἔλασσόν
ἐστιν ἀεὶ τοῦ δὶς ἀπὸ Ζ H, δῆλον ὡς ἡ ὑπὸ τῶν AΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μετὰ δύο κύκλων, ὧν ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΖΗ, ἐλάσσων ἐστίν.

49 κζ΄ (ή ). Οτι τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ
ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφντέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ.

Κείσθω τῇ μὲν ΗΡ ίση ἡ ΡΣ, τῇ δὲ ΘΡ ἡ ΡΛ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΣ τῇ ΘΗ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΡΘΗ. μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, καὶ τὸ δὶς ἄρα
ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΡΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΗΡ τῇ ΡΣ, ἡ δὲ ΘΡ τῇ ΡΛ, ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΣΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΚΘΗ τὸ ἔρα ὑπὸ ΣΗΘ ³⁰ τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΗΣΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΚΗΘ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΜΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ καὶ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΗΘ,
τὸ δέ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ ΗΘ ΜΣ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΣΗΘ, ὅπερ ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ, μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ.

50 κή (θ΄ ) Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχόντα σημεῖα τὰ Γ ∠ ὅτι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ Α∠ καὶ τῆς ΓΒ
μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠.

Τῇ Α∠ ἴση ἡ ΑΕ, τῇ δέ ΑΓ ἡ ΑΖ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ∠ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ β΄ στοιχείων, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ
ΑΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ. τῷ δέ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΒ (διπλῆ γάρ ἐστιν ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ) καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΒ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΓ Γ∠ τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓ ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς
ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠ ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ (τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΒΓ διὰ τὸ αὐτὸ στοιχείων)· καὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ ἔρα, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου
τῆς ΒΑ Α∠ καὶ τῆς ΒΓ, μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ, ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠ ὥστε τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ∠ καὶ τῆς ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠.

³¹

51 κθʼ (ί). Εστω τις κύκλου περιφέρεια ἡ ΚΑΒΓ καὶ εὐθεῖα ἡ ∠ ὅτι δυνατόν ἐστιν ἀπειραχῶς ἀπολαβεῖν τὴν ΚΑ περιφέρειαν μέρος οὖσαν τῆς ΚΒΓ, ὅπως. ἐφαπτομένων ἀχθεισῶν τῶν ΚΕ ΑΕ, ἐλάσσονες ὦσιν αὗται τῆς ∠.

Ἔστω γάρ ἐφατομένη ἡ ΚΗ
ἴση τῇ ∠, καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον γ ἡ ΗΒΘ. τέμνοντες δὴ τὴν ΚΒΓ περιφέρειαν δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν αὐτῆς δίχα, καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιμῦντες λείψομέν τινα περιφέρειαν
ὡς τὴν ΚΑ ἐλάσσονα τῆς ΚΑΒ. καὶ ἤχθω ἐραπτομένη τοῦ τμήματος ἡ ΑΕ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΚΕ, καὶ ἔσται γεγονὸς τὸ ζητούμενον· ἡ γὰρ διὰ τῶν Θ Α ἐκβάλλεται ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ αἱ ΚΕΑ
τῆς ΚΖ ἐλάσσονές εἰσιν διὰ τὸ μείζονα εἶναι τὴν ΖΕ ἑκατέρας τῶν ΑΕ ΕΚ, ὀρθῆς οὕσης τῆς ὑπὸ ΖΑΕ, καὶ πολὺ μᾶλλον τῆς ∠ ἴσης ὑποκειμένης τῇ ΚΗ.

52 λ΄ (τά ). Παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ κυρτὴ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ
ε ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ τμήματος.

Ἔστω γὰρ τμῆμα σφαίρας, οὗ πόλος μέν
ἐστιν τὸ Κ σημεῖον , ἐκ πόλου δέ ἡ ΚΒ, καὶ ὁ διὰ τῶν Κ Β μέγιστος, οὗ διάμετρος ἡ ΚΓ, ἐφʼ ἣν κάθετος ἡ ΒΑ λέγαω
³² ὅτι σφαιρικὴ ἐπιράνεια τοῦ τμήματος, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον, ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ.

Ἔστω γάρ, εἶ δυνατόν , ἄνισα ταῦτα, καὶ πρότερον μείζων ἡ τοῦ τμήματος ἐπιφάνεια, καὶ τῆς ὐπεροχῆς αὑτῶν
νοείσθω ἐλάσσων κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ Θ, ὥστε τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ τμήματος μείζθνa εἶναι τῶν δύο κύκλων, οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρος ἡ Θ, καὶ διῃρήσθω ἠ ΚΒ περιφέρεια εἰς ἴσας ὁποσοσοῦν, καὶ ἐφαπτύμεναι ἤχθωσαν, ὡς καταγέγραπται, ὥστε ἑκάστην
αὐτῶν ἐλάσσονα εἶναι τῆς δυναμένης τὸ η΄΄ τοῦ ἀπὸ Θ· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν προγέγραπται. ἐπεὶ οὖν μεῖζόν ἐστιν τὸ ἀπὸ Θ τοῦ ὀκτάκις ἀπὸ ΗΒ, καὶ ὁ περὶ διάμετρον ἄρα τὴν Θ κύκλος μείζων ἐστὶν δύο κύκλων ὧν ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΗΒ. οὗτοι δὲ οἱ δύο κύκλοι καὶ ὁ
κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ, ὡς προδέδεικται τῷ Ϛ΄ θεωρήματι, μείζονές εἰσιν τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων ἐπιφανείας, ἥτις περιγέγραπται περὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας ἔσται ἄρα αὕτη ἡ ἐπιφάνεια, καὶ πολὺ μᾶλλον ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας, ἐλάσσων κύκλων οὗ τε ἡ ἐκ
κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρυς ἐστὶν ἡ Θ. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται, ὅπερ ἄτοπον.

53 (ιβ΄). Ἔστω δὲ μείζων ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΓΚΑ
μείζων ἐστίν τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος. νοείσθω δὲ μεταξὺ αὐτῶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ τῆς Θ· ἔστω τῇ Θ ³³ ἴση ἡ ΓΟ , καὶ διῃρήσθω ἡ Κ0Β περιφέρεια εἶς περιφερείας ἴσας ὁσασδήποτε, ὧν ἑκάστη ἐλάσσων ἔστω τῆς ΚΛΟ, ὡς ἔστιν πρὸ ἑνός, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΒ. ἡ δὴ ὑπὸ τούτων γινομένη ἐπιφάνεια κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΚΑ στροφῆς ἀποκατάστασιν περιέχεαι
ὑπὸ τῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας καὶ τήν αὐτὴν αὑτῷ βάσιν ἔξει καὶ ἔστιν ἴση μὲν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρον δύναται, ἐτιζευχθείσης τῆς ΓΛ, τὸ ὑπὸ ΛΓ ΚΑ διὰ τὸ δ΄ θεώρημα, ἐλάσσων δέ τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιρανείας· πολλῷ ἄρα ὁ κύκλος οὗ ᾗ ἐκ κέντρου δύναταμι
τὸ ὑπὸ ΟΓ ΚΑ ἢ τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται μεταξύ ὢν τοῦ τμήματος καὶ τοῦ κύκλου θὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ, ὅπερ ἀδύνατον ἴσα ἅρα ἐστὶν τὰ ζητούμενα.

Καὶ δῆλον ὡς, ἐὰν τὸ Α κέντρον ᾖ, γίνεται τὸ τμῆμα ἡμισφαίριον, καὶ ἔσεαι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ὅλης ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΓ, ἢ καὶ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν τμημάτων, ὁποῖα ἔν ἧ,
τὸ αὐτὸ συναχθήσεται.

54 λβ΄ (ιγ΄ ). Ἐὰν ὦσιν γ΄ εὐθεῖαι ὡς αἰ Α Β Γ, ὁ κῶνος ³⁴ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Α Β, ὕψος δὲ ἡ Γ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Β Γ, ὕψος δὲ ἡ Α.

Ἐκκείσθωσαν γὰρ
δύο κύκλοι οἱ Ε Ζ, καὶ τοῦ μὲν Ε ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Α Β, τοῦ δὲ Ζ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω
τὸ ὑπὸ Β Γ, ὕψος δὲ τοῦ μὲν Ε κώνου ἔστω τὸ ΕΗ ἴσον τῇ Γ, τοῦ δὲ Ζ ὕψος τὸ ΖΘ ἴσον ἔστω τῇ Α. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Γ, τουτέστιν
ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΕΗ, τὸ ὑπὸ Α Β πρὸς τὸ ὑπὸ B Γ τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ε πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ζ, τουτέστιν ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἴσος ἄρα ὁ κῶνος οὗ βάσις μὲν ὁ Ε κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΕΗ, τῷ κύνῳ οὗ βόσις μὲν ὁ Ζ κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΖΘ· ἀντιπεπόνθασιν γάρ
αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.

55 λγ΄ (ιδ΄). Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ μενούσης τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω· ὅτι τὸ γινόμενον ὑπ᾿ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ
ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος.

Ἤχθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α Γ αἱ ΓΕ Α∠. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ∠ ὁρθῇ τῇ Ε ἴση, κοινὴ ³⁵ δὲ ἡ B, ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς Α∠ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς Α∠, τὸ ὑπὸ ΒΑ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠· ἔσται ἄρα καὶ ὡς τὸ ὑπὸ B Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠, οὕτως ἡ BΓ πρὸς ΓΕ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ βάσις μέν ἐστιν
κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑ∠, ὕψος δέ ἡ ΓΕ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ Α∠, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ· (διὰ τὸ ἀντιπεπονθέναι πάλιν τάς βάσεις αὐτῶν τοῖς ὕψεσιν). καὶ ἔστι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ
στερεὸν ἴσον τῷ κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ Α∠, ὕψος δὲ ἡ BΓ· τὸ αὐτὸ ἔρα στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ κύνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ BΑ∠, ὕψος δὲ τὴν ΓΕ κάθετον. ἀλλʼ ὁ μὲν κύκλος οὗτος ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς
ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένη κωνικῇ ἐπιφανείᾳ διὰ τὸ ιε΄ πάλιν Ἀρχιμήδους θεύρημα παντὸς γάρ κώνου ἰσοσκελοῦς ἡ ἐπιφάνεια, χωρὶς τῆς βάσεως, ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον ἀνάλογον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ὅς ἐστιν βάσις τοῦ
κώνου. ἐὰν ἄρα μενούσης τῆς BΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένη κωνικῇ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος.

56 λδ΄ (ιε΄). Ἔστω πάλιν τρίγωνον τὸ ΑΓΖ καὶ τυχοῦσα διήχθω ἡ ΓΒ, ἧς μενούσης περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ ³⁶ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω ὅτι τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστίν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος ἴσος τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφανείᾳ κατὰ τὴν στροφήν, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ κάθετος.

Ἐκβεβλήοθω ἡ ΖΑ
ἐπὶ τὸ Β· διὰ τὸ προδειχθὲ ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἴση ἐστὶν
τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἧ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ΒΖΓ γινόμενον ὁμοίως ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κύνου ἣν ποιεῖ ἡ ΒΖ, ὕψος δέ τὸ αὐτό· καὶ
λοιπὸν ἅρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΓΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΖ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ.

57 λε΄ (ιϚ΄). Ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΓ καὶ
ἤχθωσαν αἱ ΖΓ Α∠ ὅτι τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΓΖ, ὕψος δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΖ, τουτέστιν τῆς ∠Γ.

Ἐπεὶ γάρ ὁ ἀπὸ τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου
κύλινδρος ἴσος ἐστὶν κώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἠ ἐκ τοῦ κάντρου ἐστὶν ἡ Α∠ ὕψος δὲ τὴν τριπλασίαν τῆς Δ∠Γ, ὁ δέ ὑπὸ τοῦ ΑB∠ τριγώνου γινόμενος κῶνος βάσιν μὲν ἔχει τὴν αὐτήν, ὕψος δέ τὴν Β∠ τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου μετὰ τοῦ ὑπὲ
³⁷ τοῦ A∠ΓZ παραλληλογράμμου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως ὕψος ἔχοντι τὴν Β∠ μετὰ τριῶν τῶν ∠Γ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ὑπὸ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου γινόμενος ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κῶνος, ὥψος ἔχων τήν τε Β∠ καὶ ἅπαξ τὴν ∠Γ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ
γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν διπλασίαν τῆς ∠Γ ἢ τῆς ΑΖ.

58 Ἔτι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφανείᾳ κυλινδρικῇ ρὔσῃ, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου
καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως (τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδησ ἔδειξεν ιδ΄ θεωρήματι περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλψ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΖΓ∠.

59 λϚ΄ (ιζ΄). Ἐὰν μέντοι τὸ Β μεταξὺ ᾗ τῶν ∠ Γ,
δείκνυται. ὁ γὰρ ὑπὸ τοῦ Α∠ΓΖ παραλληλογράμμου γινόμενος κύλινδρος, τοῖς ὑπὸ τῶν ΑΒ∠ ΖΒΓ τριγώνων γινομένοις κώνοις τὴν αὐτὴν ἔχων αὐτοῖς βάσιν καὶ ὕψος τὴν ∠Γ, ὑπερέχει οὐτῶν τῷ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κώνῳ ὕψος ἔχοντι τὴν διπλασίαν τῆς ∠Γ, ὥστε καὶ
τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ αὐτῷ κώνῳ, ὅπερ: ~

60 λζ΄ (ιη΄). Ἔστω τετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠, καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὰς Α∠ ∠Γ κάθετοι ἴσαι, καὶ διήχθω τις ἡ ΒΕ, καὶ μενούσης αὐτῆς περιενεχθὲν τὸ τετράπλευρον εἰς τὸ
αὐτὸ ἀποκαθεστάτω ὅτι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ στροφῇ γινομέναις ἐπιφανείαις, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν Α∠ ∠Γ, κάθετος.

³⁸

Ἐπεζεύχθω ἡ Β∠ τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου γινόμενον στερεὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ∠ ∠ΓΒ τριγώνων ἐστὶν γινόμενον. καὶ δέδεικται πρὸ δυοῖν τὸ μέν ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠ γινόμενον ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς Α∠ γινομένη ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν
τῶν Α∠ ∠Γ κάθετος, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ∠ΒΓ τριγώνου ἴσον κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ∠Γ γινομένῃ ἐτιφανείᾳ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ∠ τετραπλεύρου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ γινομέναις
κατὰ τὴν στροφὴν ἐπιφανείαις, ὕψος δέ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν Α∠ ∠Γ.

61 λη΄ (ιθ΄). Κἂν ἀντὶ τοῦ τετραπλεύρου δὲ πεντάπλευρον ἦ τὸ ∠ ΑΒΖΓ ἢ καὶ ὁποσασοῦν πλευρὰς ἔχον, ὥστε τὰς ἀπὸ τοῦ Β ἐφ’ ἑκάστην τῶν Α∠ ∠Γ ΓΖ καθέτους
ἴσας εἶναι, δειχθήσεται ὁμοίως τὸ ὑπὸ τοῦ πολυγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον κύνῳ πὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ ΓΖ γινομέναις ἐπιφανείαις, ὕψος δέ μία τῶν εἰρημένων ἴσων καθέτων. καὶ οὐδὲν διαφέρει, ἂν ἡ ἐσχάτη ἐφαρμόζῃ τῇ ΕΒ. ἑξῆς τὸ σχῆμα.

62 λθ΄ (κ΄). Τὸ δʼ αὐτό ἐστιν τῷ εἰρημένῳ λέγειν ὅτι, ἐὰν περὶ ἡμικύκλιον οὗ κέντρον τὸ Σ, γραφή τι πολύγωνον ὑποσασοῦν ἔχον πλευράς, ὡς τὸ ΒΕΖΘΛΓ, μενούσης δὲ τῆς ΒΓ περιενεχθέν τὸ πολύγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκα- ³⁹ τασταθῇ, τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ καὶ περιγέγραπται περὶ τὴν σφαῖραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον, ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἡ ἐπιφάνειά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν γινομένη κατά τὴν στροφήν, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας· πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ
Σ ἀγόμεναι ἐπὶ τὰς πλευρὰς κάθετοι. ὡς αἱ ΣΜ, ΣΚ ΣΗ ΣΑ Σ∠, ἴσαι εἰσίν. καὶ οὐ διαφέρει, ἐὰν τὸ ∠ τῷ O, ἢ τὸ Μ τῷ Ξ ταὐτὸν ἦ.

Δῆλον δʼ ὅτι, κἂν περὶ τομέα κύκλου, οἷον τὸν ΞΣΑ ἢ ΜΣΑ περιγραφῇ τι πολύγωνον, τὰ αὐτὰ δειχθήσεται.

63 μ΄ (κα΄). Πᾶσα σφαῖρα ἴση ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου.

Ἔστω γὰρ σφαῖρα ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, καί, εἰ δυνατόν, πρότερον ἔστω μείζων ὁ κῶνος οὗ βάσις
μὲν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, τουτέστιν ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, καὶ μεταξὺ αὐτῶν, τουτέστιν ἐλάσσων μὲν τοῦ κώνου, μείζων δὲ τῆς σφαίρας, νοείσθω κῶνος ἄλλος, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ Β∠,
ἐλάσσων οὖσα τῆς ΓΒ, καὶ ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΕΒ ἤχθω ἡ ΑΚ δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ Γ∠· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Κ Β. καὶ τὰ ἡμίση· τὸ ὑπὸ ΑΒ∠ ἴσον ἐστὶν ἡμίσει τῷ ἀπὸ ⁴⁰ τῆς ἐπὶ τὰ Β Κ τὸ γὰρ δὶς ὑπὸ ΑΒ∠ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΒ Γ∠, τουτέστιν τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ, τὸ ἀπὸ ΑΒ ἐστὶν ἴσον ὸν τοῖς ἀπὸ ΑΚΒ, ὀρθῆς οὔσης τῆς πρὸς τῷ Κ ἐν ἡμικυκλίῳ.

64 ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ ἡμικύκλιον πολύγωνον ἰσόπλευρον ἀρτιόπλευρον τὸ ΑΕΖΗΘΛΒ, ὥστε ἐλάσσονα
εἶναι τὴν ΒΛ περιφέρειαν τῆς BΛΚ (δυνατὸν δὲ τοῦτο· τέμνοντες γάρ τὸ ἡμικύκλιον δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν περιφέρειαν δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες λείψομέν τινα περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΒΛΚ, ὡς τὴν ΒΛ).

65 καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΛ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἡ ΓΟ. ἐπεὶ οὖν ἰσογώνιόν
ἐστιν τὸ ΑΛΒ τρίγωνον τῷ ΓΟΒ τριγώνῳ καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΛ τῆς ΓΟ, ἡ, δὲ ΛΒ τῆς ΒΟ, καὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΒ τῆς ΑΛ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΛ ΓΟ μεῖξόν ἐστιν ἡμίσους τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΒ. διὰ ταὐτὰ δὴ κἂν μὲν τὴν ΚΒ ἐπιζεύξωμεν, παράλληλον δὲ διὰ τοῦ Γ μέχρι τῆς ΚΒ. τῇ
ΑΚ ἀγάγωμεν, τὸ ὑπὸ τῆς ἀγομένης παραλλήλου καὶ τῆς ΑΚ μεῖζόν ἐστιν ἡμίσους τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΒ εὐθείας· καὶ ⁴¹ πολλῷ τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ ἡμίσους τοῦ ἀπʼ αὐτῆς, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒ∠. καὶ ὁ κῶνος ἄρα, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ, ὕψος δέ ἡ ΑΒ, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δόναται τὸ ὑπὸ
ΑΒ∠, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ. ἀλλʼ ὁ κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΟ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗτος, τουτέστιν οὗ ἡ μὲν βάσις
ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΟ, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου, οὖ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒ∠, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, τουτέστιν τοῦ ἴσου κώνου οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ
Β∠ ὡς γὰρ τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ∠, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς Β∠.

66 καὶ δέδεικται τῷ δ΄ θεωρήματι ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν
οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ, ὕψος δέ ⁴² ἡ ΓΟ, ὅς ἐστιν ἴσος τῷ ἐγγεγραμμένῳ εἰς τὴν σφαῖραν στερεῷ σχήματι, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρον τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ Β∠, ὥστε καὶ τὸ εἰρημένον στερεὸν σχῆμα μεῖζόν ἐστιν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ
ἡ Β∠. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος οὗτος μείζων τῆς σφαίρας· πολλῷ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τῆς σφαίρας τὸ στερεὸν σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς αὐτήν, ὅπερ ἀδύνατόν ἐστιν.

67 μα΄. (κβ΄). Ἔστω δέ ἐλάσσων τῆς σφαίρας ὁ εἰρημένος κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστι κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν
ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ, τουτέστιν οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ ὡς γὰρ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ μεταξὺ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κώνου νοείσθω κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δέ ἡ Κ
μείζων τῆς ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ἡμικύκλιεν πολύγωνον ἰσόπλευρον, ὥστε μίαν αὐτοῦ πλευρὰν τὴν ∠Ε τῆς ὐπεροχῆς τῶν Κ ΑΒ ἔλάσσονα εἶναι. καὶ ἔστιν μείζων ἡ ∠Ε τῶν ∠Α ΒΜ, ἐπεὶ καὶ ἡ Ν∠ τῆς ∠Α καὶ ἡ ∠Μ ἄρα τῆς Κ ἐλάσσων ἐστίν.

68 ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ γινομένη
ὑπὸ τοῦ πολυγώνου ἐπιφάνεια κατά τὴν περὶ ἄξονα τὴν ⁴³ ΔΜ στροφὴν διὰ τὸ δ΄ θεώρημα ἴση ἐστὶ΄ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ, δῆλον ὡς καὶ τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ περιγέγραπται περὶ τὴν σφαίραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον, ἴσον ἐστὶν κώνῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐστιν ἡ δυναμένη
τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας διὰ τὸ κʼ θεύρημα, τῷ δὲ κώνῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ BΓ, τουτέστι τῷ. κώνῳ, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, ἴσος ἐστὶν κῶνος, οὗ
ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ, διὰ τὸ εἶναι πάλιν ὡς τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, καὶ ἀντιπεπονθέναι τάς βάσεις τοῖς ὕψεσιν καὶ τὸ γινόμενον ἄρα ὑπὸ τοῦ πολυγώνου στερεὸν κατὰ τὴν
περὶ ἄξονα τὴν ∠Μ στροφὴν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ. καὶ ἔστιν μείζων ἡ Κ τῆς ∠Μ, ὁ δὲ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Κ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ BΓ, ἐλάσσων ἐστὶν τῆς
σφαίρας· πολλῷ ἄρα μᾶλλον τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν ἔλασσόν ἐστιν τῆς σφαίρας, ὅπερ ἀδύνατον. ἴσος ἄρα ὁ κῶνος τῇ σφαίρᾳ.

69 μβ΄ (κγ΄). Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου, τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινί, ὥστε τὰς ἐπιφανείας
τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι.

Ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς μέγιστος κύκλος ὁ Α∠ΒΕ, καὶ διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Ζ πρὸς Η, καὶ ⁴⁴ τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὴν Ζ πρὸς Η, καὶ διὰ τοῦ Γ ἐπιπέδῳ τετμήσθω ἡ σφαῖρα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ ἡ ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ ∠Β, καὶ ἐκκείσθιοσαν δύο κύκλοι οἱ Θ Κ, ὁ μὲν Θ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ
κέντρου τῇ Α∠, ὁ δὲ Κ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσην ἔχων τῇ ∠Β· ἔσται ἄρα ὁ μὲν Θ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ∠ΑΕ τμήματος, ὁ δὲ Κ τοῦ ∠ΒΕ τμήματος· τοῦτο γὰρ προδέδεικται. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ Α∠Β καὶ κάθετος ἡ ∠Γ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, τουτέστιν ἡ Ζ
πρὸς Η, τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Θ κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Κ κύκλου, τουτέστιν ὁ Θ κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ∠ΑΕ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ∠ΒΕ τμήματος τῆς σφαίρως.

70 μγ΄. Ὄντων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι καὶ πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μέν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας.

Ἡμικυκλίου γὰρ ὄντος τοῦ ΑΕΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ, διχοτομία δέ τὸ Ε, καὶ κέντρον τὸ Ζ, ὁπόταν τρεῖς ἀχθῶσιν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν ΑΕΓ, ὡς αἱ ΑΒ Β∠ ∠Γ, μενούσης δὲ τῆς ΑΓ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ὁ
γινόμενος ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠Γʼ παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου κύλινδρος πρὸς τὴν σφαῖραν τὴν ὑπὸ τοῦ ἡμικυκλίου γινομένην ἡμιόλιον λόγον ἕξει ὅνπερ καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῆς Β∠ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ
ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέση ἀνάλογόν ἐστιν τῆς Β∠ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ Γ∠, τουτέστιν τῷ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ ⁴⁵ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΓ, οὗτος δὲ ὁ κύκλος ἴσος ἐστὶν τέσσαρσι μεγίστοις τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, δέδεικται δὲ καὶ ἡ τῆς σραίρας ἐπιφάνεια δ΄ μεγίστοις ἴση, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς Β∠ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς σφαίρας ἐπιφανείᾳ· μετὰ δύο ἄρα κύκλων, οἵ εἰσιν βάσεις τοῦ κυλίνδρου, λόγον ἔχει
πρὸς τὴν τῆς σφαίρας ἐπιφάνειαν, ὃν ἔχει τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ δ΄ οὗτος δὲ ὁ λόγος ἡμιόλιός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην
τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψοε δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἕκτον μέρος ἐστὶν τοῦ παντὸς κυλίνδρου, ἡμιόλιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος. τῆς σφαίρας.

71 Ἐδείχθη δὲ ἀνώτερον, κἂν μὴ εἰς δύο ἴσα ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου τμηθῇ, ἀλλʼ εἰς ὁποσαοῦν, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἐφαπτόμεναι ἀχθῶσιν, ὡς ἐκεῖ καταγέγραπται, ἡ ὑπὸ πασῶν τῶν ἐφαπτομένων γινομένη κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν ὁμοίως δ΄ μεγίστοις
κύκλοις.

72 Καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν ὑπὸ Ἀρχιμήδους δειχθέντων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου τοσαῦτʼ ἐστίν, ἑξῆς δὲ τούτοις γράψομεν, ὡς ὑπεσχόμεθα, τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημάτων, πυραμίδος τε
καὶ κύβου καὶ ὀκταέδρου δωδεκαέδρου τε καὶ εἰκοσαέδρου ταὶ τὴν ἔφπδον τῶν ἀποδείξεων ἐχούσας, οὐ διὰ τῆς ἀναλυτικῆς λεγομένης θεωρίας, διʼ ἧς ἔνιοι τῶν παλαιῶν ⁴⁶ ἐποιοῦντο τὰς ἀποδείξεις τῶν προειρημένων σχημάτων, ἀλλά διὰ τῆς κατὰ σύνθεσιν ἀγωγῆς ἐπὶ τὸ σαφέστερον καὶ συντομώτερον ὐπʼ ἐμοῦ διεσκευασμένας ἐπεὶ καὶ τὰ λήμματα πάντα μικρά τε καὶ μεγάλα διὰ τοὺς πολλοὺς τῶν φιλομαθούντων κατέταξα τὸν ἀριθμὸν ἑκκαίδεκα ὧν
ἐστιν ἐνταῦθα χρεία. προγράφεται δὲ τῶν συγκρίσεων τάδε.

73 μδ΄ (α΄). Παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζον μέν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, ἔλασσον δὲ ἢ τετραπλάσιον.

Ἔστω γὰρ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν ἡ ΑΘ (δίχα δηλονότι τέμνουσα τὴν ΒΓ), καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ Β∠ΕΓ (δῆλον γὰρ ὅτι ὑπερπεσεῖται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον διὰ τὸ ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΑΘ κάθετον τῆς πλευρᾶς τοῦ τριγώνου),
καὶ διὸ τοῦ Α παράλληλος ἤχθω τῇ ΒΓ ἡ ΖΑΗ. ἐπεὶ οὖν τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΒΘ δυνάμει, ἐπίτριτος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΑΘ δυνάμει, τουτέστιν ἡ ∠Β τῆς ΒΖ· ἡ ∠Β ἄρα τῆς ΒΖ, ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ∠Β πρὸς ΒΖ, τὸ ΒΕ τετράγωνον πρὸς τὸ ΖΓ
καὶ τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ΖΓ παραλληλογράμμου τουτέστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσον μὲν ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν, μεῖον δὲ ἢ διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.

74 με΄ (β΄). Ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας νῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου κάθετος δυνάμει τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

⁴⁷

Ἔστω τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου τὸ ΑΒΓ, ἐν τῇ σφαίρᾳ ὄν, καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ∠Ε· φανερὸν δὴ ἐκ τῶν σφαιρικῶν ὅτι τὸ Ε κέντρον ἐστὶν τοῦ κύκλου. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ Β∠· ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ∠Β
ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ∠Ε.

Ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη ἐν τῷ ὀκταέδρῳ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς, ἔστιν δὲ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας δυνάμει τετραπλασία, διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ Β∠. καὶ
ἐπεὶ τὸ ἀπὸ BΓ τοῦ μὲν ἀπὸ ΒΕ τριπλάσιόν ἐστιν διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων, τοῦ δέ ἀπὸ Β∠ ἐστὶν διπλάσιον, τὸ ἄρα ἀπὸ Β∠ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἡμιόλιον. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ Β∠ τοῖς ἀπὸ ΒΕ∠· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΕ∠ ἡμιόλια τοῦ ἀπὸ ΒΕ· διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΕ τοῦ ἀπὸ ∠Ε· τριπλάσια
ἄρα τὰ ἀπὸ ΒΕ Ε∠, τουτέστιν τὸ ἀπὸ B∠, τοῦ ἀπὸ ∠Ε.

Ἄλλως τὸ αὐτό.

75 μϚ΄ (γ΄). Ἐκκείσθω τετράγωνον, ἐφʼ οὗ τὸ ἥμισυ τοῦ ὀκταέδρου ἔστω τὸ ΑΒΓ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἳ τε ΑΓ Β∠ διάμετροι τοῦ τετραγώνου καὶ ἡ ΕΖ· ΕΖ ἄρα ἐκ
κέντρου ἐστὶν τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις· ἀπὸ τοῦ Ζ κέντρου τοίνυν ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΗ (ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ), καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστιν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ, καὶ ἡ ΕΗ ἥξει διὰ
⁴⁸ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον κύκλου ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ΑΒΕ κύκλου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΕΗ πεσεῖται. πιπτέτω ὡς ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΑΗ ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ
ΖΗΑ ὀρθή· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΗ ἡμίσος; ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΖΗ διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ. ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΕΖ· τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΕΖΗ τοῦ ἀνὸ ΖΗ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ ΕΖΗ ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ΕΖ πρὸς τὸ ΑΒΓ∠ τετράγωνον·
καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ ἄρα τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΖΗ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΕΖΗ ΕΖΘ τρίγωνα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΘ καθέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου τριπλάσιόν
ἐστιν.

76 μζ΄ (δ΄). Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ ἐγγεγραμμένον εἰς σφαῖραν, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ ∠, καὶ ἤχθω ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ τοῦ τριγώνου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ∠Ε (τὸ Ε ἄρα κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
γραφομένου κύκλου, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς), καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω· ὅτι ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ διπλῆ ἐστιν.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ ΕΓ· ἴσαι ἄρα ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ τρίτου μὲν ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ
ΒΑΕ ΕΒΖ, διμοίρου δὲ ὁρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΕΖ ΑΒΓ, ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΕ, τουτέστιν ἡ ⁴⁹ ΑΕ, πρὸς ΕΖ. δοπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΖ διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ.

77 μη΄ (ε΄.) Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΓ, πενταγώνου δὲ ἔστω ἡ ∠ΗΒ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΓ διαμέτρῳ, καὶ κείσθω τῇ ΓΗ ἴση ἡ
ΖΗ· ὅτι ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΖ.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ Ε∠ Ζ∠ Γ∠. ἐπεὶ οὖν ἡ Γ∠ δ περιφέρεια δεκαγώνου ἐστίν
(πενταγώνου γὰρ ἡ ∠ΓΒ), εἴη ἂν ἡ ὑπὸ ∠ΕΓ γωνία δύο πέμπτων ὀρθῆς· ὤστε ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΓ∠ Ε∠Γ τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς
ἐστιν. ἀλλʼ ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΓ ἴση ἐστίν, κοινὴ δὲ ἡ ∠Η καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΓ, ἔστιν ἄρα καὶ ἡ ∠Ζ εὐθεῖα τῇ ΛΓ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΖΓ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ τεσσάρων πέμπτων
ἐστὶν ὀρθῆς. δύο δὲ πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕ∠· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε∠Ζ δύο πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΕΖ τῇ ὑπὸ Ε∠Ζ ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΖ τῇ Ζ∠ ἴση ἐστίν, τουτέστιν τῇ ∠Γ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ε∠Γ τῇ ὑπὸ ΕΓ∠, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ∠ΑΓ, καὶ
κοινὴ ἡ ὑπὸ ∠ΓΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ. ὑπὸ ∠ΕΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ Ζ∠Γ ἐστὶν ἴση ἰσογώνιον ἄρα τὸ ∠ΕΓ τρίγωνον τῷ ∠ΖΓ τριγώνῳ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΓ πρὸς Γ∠, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΓΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Γ∠. ἴση δὲ ἡ Γ∠ τῇ ΕΖ τὸ ἄρα ὑπὸ EΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EΖ ἡ
ΕΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ EΖ.

78 μθ΄ (Ϛ΄). Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄.

Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΓΒ· λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄.

Κείσθω τῇ ΓΒ ἴση Γ∠· γίνεται ἄρα, διὰ τὸ ἄκρον
καὶ μέσον λόγον τετμῆσθαι τὴν ΑΒ εὐθεῖαν, τὸ ἀπὸ ΑΒ καὶ τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσα τῷ τρὶς ἀπὸ ΑΓ, ὡς ἔστιν στοιχείοις δʼ τοῦ τρισκαιδεκάτου θεωρήματι, τουτέστιν τῳ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ. ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ (ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΒΓ
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΒΓ, ὥς ἔστι στοιχείοις τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ β΄)· τὰ ἄρα ἀπὸ ΑΒΓ ἴσα ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ· κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΒΓ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΒΓ, τουτέστιν τῷ τρὶς
ὑπὸ ΑΓ∠ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ Γ∠. ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΓ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ἀπὸ Α∠Γ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ Γ∠ (ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΓ∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠Γ καὶ τῷ ἀπὸ ∠Γ διὰ τὸ αὐτὸ γ΄ τοῦ β’ στοιχείων θεώρημα)· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ τῷ πεντάκις
ἀπὸ Γ∠, τουτέστιν τῷ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ.

79 κείσθω δὴ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ∠Ε· φανερὸν γὰρ ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ∠Α τῆς Γ∠, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΓΑ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ∠Γ. καθόλου γάρ, ἐὰν ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ,
ὡς ἡ ΑΒ, καὶ τὸ ἔλασσον τμῆμα οἷον τὸ ΓΒ, καὶ τῇ ΓΒ ἴση τεθῇ ἡ Γ∠, καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὑτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ∠Γ, διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ∠Γ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε, ⁵⁰ καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ∠Ε καὶ γάρ, τῇ ∠Γ ἴσης τεθείσης τῆς ΓΒ, ἡ ὅλη ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΓ ἑκατέρας τῶν Α∠ ∠Ε, ἐπειδήπερ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς Γ∠, ἡ Γ∠ πρὸς ∠Α, τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Ε. καὶ διελόντι ὡς ἡ
Α∠ πρὸς Γ∠, ἡ ΕΓ πρὸς ∠Ε. ἐλάσσων δὲ ἡ Α∠ τῆς ∠Γ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΕΓ· τῆς ΔΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ∠ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ∠ΓΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΓΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ∠ΕΓ7 καὶ τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΓΕ, τουτέστιν τὸ τετράκις ἀπὸ ∠Ε, μεῖζον
τοῦ πεντάκις ὑπὸ ζονΓΕ. ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ ∠Γ· καὶ τὸ τετράκις ἀπὸ ∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ τετράκις ὑπὸ Γ∠Ε· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ Γ∠Ε μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ∠ΓΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ πεντάκις ὑπὸ Γ∠Ε τὸ ἄρα ἐννάκις ὑπὸ Γ∠Ε μεῖζόν ἐστιν τοῦ πεντάκις ὑπὸ Γ∠Ε καὶ τοῦ πεντάκις
ὑπὸ ∠ΓΕ, τουτέστιν τοῦ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ· τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ Α∠Γ. λόγος δὲ τοῦ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ Α∠Γ, ὃν α’ πρὸς γ΄ τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ α’
πρὸς γ΄ συνθέντι τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ, τουτέστιν τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ, πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄ ἐδείχθη δὲ τὸ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ πεντάκις
ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄.

80 Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς BΓ μεῖζόν ἐστιν.

81 ν΄ (ζ΄). Γῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον ἐφʼ ἓν ἐπίπεδον τῶν τοῦ
εἰκοσαέδρου καθέτου τὸ δυνάμει δωδεκαπλάσιον μεῖζόν ἐστιν τοῦ δυνάμει πενταπλασίου τῆς πλευρᾶς τοῦ εἰκοσαέδρου. Ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁ δεχόμενος τὸ πεντάγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, ὡς ἐν στοιχείοις, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΓ
διάμετρος τοῦ κύκλου, τὸ δὲ Ε κέντρον, ἡ δὲ ∠ΚΒ πενταγώνου ἰσοπλεύρου πλευρὰ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν διάμετρον αὕτη δέ ἐστιν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρά, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις, καὶ ἀπὸ τῶν Ε Γ ἀνεστάτωσαν ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου αἱ ΖΕΗ ΓΛ, καὶ ἑκατέρα μὲν τῶν ΕΘ ΓΛ ἑξαγώνου, ἑκατέρα δὲ τῶν ΕΖ ΗΘ δεκαγώνου, καί
τετμήσθω ἡ ΕΘ δίχα κατὰ τὸ Ο τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶν τῆς σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις ιϚ΄ θεώργμα τοῦ ιγ΄. ἐπεζεύχθωσαν αἱ Λ∠ ΛΒ ΛΚ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΓΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ὀρθή ἐστιν ὑπὸ ΒΓΛ, πενταγώνου ἄρα ἐστιν ἡ ΒΛ διὰ τὸ ι΄ θεώρημα
τοῦ ιγ΄· ὁμοίως καὶ ἡ Λ∠. ἔτι δὲ καὶ ἡ Β∠ τὸ ἄρα ΒΛ∠ τρίγωνον ἰσόπλευρόν ἐστιν τῶν περιεχόντων τὸ εἰκοσάεσρον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΚ τῇ Β∠ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ τὸ διὰ τῶν ΑΓ ΚΛ ἄρα ἐπίπεδον, ὅπερ ἐστὶν τὸ διὰ τῶν ΕΗ ΓΛ παραλλήλων, ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὴν B∠ καὶ ἡ
E∠ ἄρα ὀρθή ἐστιν πρὸς αὐτό ταῦτα γὰρ ἐν τοῖς στερεοῖς τῶν στοιχείων ἐδείχθη· καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΔ∠ ἐπίπεδα, ὧν ἐστιν καὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον, ὁρθά ἐστιν πρὸς τὸ διὰ τῶν ΕΗ. ΓΛ παραλλήλων ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν καὶ τὸ ΓΚΛ τρίγωνον ὥστε καὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον
ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὸ ΓΚΛ. ἤχθω ἐπὶ τὴν ΚΛ κάθετος ἡ 0Ν· δύο οὖν ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ ἀλλήλοις τό τε ΓΚΛ καὶ τὸ R∠Λ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτων τῇ ΚΛ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ὀρθή ἐστιν ἡ ΟΝ· καὶ ἡ ΟΝ ἄρα κάθετός ἐστιν ⁵¹ ἐπὶ τὸ Β∠Α τρίγωνον. καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΒ τῆς ΒΚ ὥστε διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ διὰ τὸ δ΄. τετμήσθω δὲ δίχα ἡ ΓΛ κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΜ· ἔσται δὴ παράλληλος ἡ ΟΜ τῇ ΕΓ (ἴση γὰρ ἡ ΕΟ τῇ ΓΜ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΓΛ ΕΘ διπλαῖ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν), καὶ ἡ
ΛΙ τῇ ΙΚ ἴση (τριγώνου γὰρ τοῦ ΓΚΛ παρὰ τὴν ΓΚ ἦκται ἡ ΙΜ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΓΜ τῇ ΜΛ). καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ· οἳων ἄρα ἡ ΚΛ Ϛ΄, ἡ ΛΝ δ΄ καὶ ἡ ΚΝ β΄, καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΙ ΙΚ τριῶν, καὶ λοιπὴ ἡ ΙΝ ἑνός· τριπλῆ ἄρα ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ λέγω οὖν ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ
μεῖζονά ἐστιν ε΄ τῶν ἀπὸ B∠.

82 Κείσθω τῇ ΚΓ ἴση ἡ ΚΞ· διὰ μὲν οὖν τὸ ε΄ θεώρημα τῶν προγραφομένων ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΞ, διὰ δὲ τὸ Ϛ΄ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς
ἐλάσσονος τῆς ΞΓ μεῖζον τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς ΞΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ πενταπλάσιον, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΓ μεῖζον ἢ εἰκοσαπλάσιον. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΓ, τὸ ἀπὸ ΓΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΚ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΟΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΙ (ἰσογώνια γὰρ τὰ ΟΝΙ
ΛΙΜ ΛΚΓ τρίγωνα)· τὸ ἄρα ἀπὸ ΟΝ εἴκοσι τῶν ἀπὸ ΝΙ μεῖζόν ἐστιν. καὶ λϚ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ΟΝ ψκ΄ τῶν ἀπὸ ΝΙ μείζονά ἐστιν. ψκ΄ δὲ τὰ ἀπὸ ΝΙ ὀγδοήκοντά ἐστιν τὼ ἀπὸ ΛΙ ἐδείχθη γὰρ τριπλῆ ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ). ὀγδοήκοντα δέ τὰ ἀπὸ ΙΛ εἴκοσί ἐστιν τὰ ἀπὸ ΛΚ (διπλῆ γάρ
ἡ ΛΚ τῆς ΛΙ). εἴκοσι δὲ τὰ ἀπὸ ΚΛ ιε΄ ἑστὶν τὰ ἀπὸ Β∠ ⁵² (ἰσόπλευρον γάρ ἐστιν τὸ ∠ΒΛ τρίγωνον, καὶ κάθετος ἡ ΛΚ, καὶ ἐπίτριτος δυνάμει ἡ Β∠ τῆς ΚΛ)· ὥστε λς΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ δεκαπέντε τῶν ἀπὸ Β∠, καὶ δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ OΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ Β∠, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

83 να΄ (η΄). Εὰν δύο εὐθεῖαι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῶσιν,
ἐν ἀναλογίᾳ εἰσὶν τῇ ὑποκειμένῃ.

Τετμήσθω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς ἔστω ἡ ΑΓ, ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ∠Ε κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ∠Ζ, λέγω ἔτι ὡς ὅλη ἡ ΑΒ πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ΑΓ,
οὕτως ὅλη ἡ ∠Ε πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ∠Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ∠ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ· καὶ ὡς
ἄρα τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ τεπράκις ὐπὸ ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ, καὶ συνθέντι ὡς τὸ τετράκις ὐπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ. ἀλλὰ τὸ μὲν τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ
ἀπὸ ΑΓ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ7 διὰ τὸ η΄ θεώρημα τοῦ β΄ στοιχείων, τὸ δὲ τετράκις ὑπὸ ∠ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ∠ΕΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ
∠Ζ· καὶ μήκει ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΑΒΓ πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότερος ἡ ∠ΕΖ πρὸς ∠Ζ. καὶ συνθέντι ὡς συναμφότεραι αἱ ΑΒ ΒΓ μετὰ τῆς ΑΓ, τουτέστιν δύο αἱ ΑΒ, πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότεραι αἱ ∠Ε ΕΖ μετὰ τῆς ∠Ζ, τουτέστιν δύο αἱ ∠Ε, πρὸς ∠Ζ. καὶ τῶν ἡγουμένων
τὰ ἡμίση, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς ∠Ζ.

⁵³

84 Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ὦσιν δύο εὐθεῖαι ἴσαι, ὡς αἱ ΑΒ ∠Ε, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ κατὰ τὰ Γ Ζ, ἔσται τὰ μείζονα τμήματα αὐτῶν ἴσα καὶ τὰ ἐλάσσονα ὁμοίως ἴσα. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἐδείχθη, ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς Ζ∠, καὶ
ἐναλλάξ: ~

85 νβ΄ (θ΄). Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τριπλῆ ἡ ΑΓ τῆς Γ∠, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ· ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΒΓ δυνάμει τριπλασίων ἐστίν (ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς Γ∠, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς
ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ Β∠Γ τριγώνων). τετμήσθω δʼ ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τῷ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα
ἔστω ἡ ΒΘ, καὶ γεγενήσθω ἡ ΓΕ τῆς ΕΖ δυνάμει πενταπλῆ (δυνατὸν δὲ τοῦτο ἡ γὰρ ΕΓ τῆς Ε∠ μήκει,
τριπλῆ δυνάμει ἐνναπλῆ)· λέγω ὅτι λόγος ἐστὶν τῆς ΒΘ πρὸς τὴν ΓΖ δυνάμει ὃν ε΄ πρὸς γ΄.

Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΕΗ, καὶ ἡ ΖΗ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Κ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΓΕ ἑαυτῆς τμήματος τῆς ΕΖ πενταπλάσιον
δύναται, καὶ ἡ διπλῆ τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Κ, ἡ ΚΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΓ διὰ τὸ θεώρημα τοῦ ιγ΄ στοιχείων ὥστε καὶ ἡ ΓΗ. ἄκρον καὶ ⁵⁴ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΖΗ. ἀλλὰ διὰ τὸ προδεχθέν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΘ, ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΖΗ πρὸς ΖΓ καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ, ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΓΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ τῆς μὲν BΓ· δυνάμει τριπλῆ
ἐστιν, τῆς δὲ ΗΖ πενταπλῆ, οἵων ἄρα δυνάμει ἡ ΑΓ ιε΄, τοιούτων ἡ μὲν ΒΓ ε΄, ἡ δὲ ΖΗ γ΄· ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν ε΄ πρὸς γʼ ὥστε καὶ ἡ ΒΘ πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν ε΄ πρὸς γ΄.

86 νγ΄ (ι΄). Πάλιν ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ οὗ κέντρον
τύ Ζ, καὶ πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ ΓΖ τοῦ ἀπὸ ΕΖ, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Δ, καὶ ἔστω μείζων ἡ B∠· ὅτι τὰ ἀπὸ ΓB Β∠ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΓΕ.

Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΖΓ· ἡ ΗΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον
λόγον τέτμηται τῷ Ε, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΗΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΕΓ τῇ ΑΗ (ὅτι καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ), ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΓ τῷ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΕΗ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ
ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠ (ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΓΒ πρὸς Β∠). ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως ΕΑ πρὸς ΕΓ τοῦτο γάρ δείκνυται διὰ τοῦ α’ τοῦ Ϛ΄ στοιχείων, τετραγώνου ἀναγραφέντος ἀπὸ τῆς ΕΓ καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΕ παραλληλογράμμου καὶ
ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠. ⁵⁵ πλάσια τοῦ ἀπὸ ΒΘ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚ ΚΜ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΖΗ.

89 ἐκκείσθω οὖν κύκλος ὁ περιλαμβάνων τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τυχοῦσα διηγμένη ἡ ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Ο, καὶ μεῖζον ἔστω τμῆμα τὸ ΟΝ· δεκαγώνου ἄρα ἡ Ν0 διὰ
τὸ προδειχθέν. καὶ ἐπεὶ ἡ τοῦ τριγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν κύκλον οὗ κέντρον τὸ Ν γραφομένου τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς ΝΞ ἐκ κέντρου, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγ΄ βιβλίῳ στοιχείων, ἦν δὲ ἡ τοῦ τριγώνου ἡ ΚΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΝΞ. καὶ εἰσὶν ἀμφότεραι
ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημέναι· διὰ τὸ ἐν ἀρχῆ τοίνυν ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΝΞ, ΚΜ πρὸς ΝΟ. καὶ τὰ τετράγωνα. καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚΜ τῶν ἀπὸ ΞΝΟ ἐστὶν τριπλάσια. ἐδείχθη δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΗ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΚΜ τριπλάσια
ἴσα ἄρα τὰ ἀπὸ ΞΝΟ τῷ ἀπὸ ΖΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΝΞ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΝΟ δεκαγώνου ἡ ΖΗ ἄρα πενταγώνου ἐστὶν πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν κύκλον, οὗ κέντρον τὸ Ν, γραφομένου (δέδεικται γὰρ ἐν τῷ ιγ΄ στοιχείων καὶ τοῦτο). ἡ δὲ ΖΗ πενταγώνου οὖσα πλευρὰ καὶ δωδεκαέδρου πλευρά
ἐστιν ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου.

90 νϚ΄ (ιγ΄). Ἄλλως ὅτι αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον καί τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον. Ἐκκείσθω τις σφαῖρα καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὴν δωδεκάεδρον
καὶ εἰκοσάεδρον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν δωδεκαέδρου ⁵⁶ πεντάγωνον τὸ Γ∠ΕΖΗ κύκλῳ περιεχόμενον τῷ Γ∠Ε, εἰκοσαέδρου δὲ τρίγωνον ἐν κύκλῳ τῷ ΠΡΣ· λέγω ὅτι οἱ κύκλοι ἴσοι εἰσίν, τουτέστιν ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ πεντάγωνον καὶ τὸ τρίγωνον.

Ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· κύβου ἄρα τοῦ ὑπὸ τὴν αὐτὴν
σφαῖραν τῷ δωδεκαέδρῳ πλευρά ἐστιν ἡ ΓΕ· τοῦτο γὰρ ἐδείχθη ιγ΄ στοιχείων. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ κάθετος ἀπʼ αὐτοῦ ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Γ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· δεκαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ, τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν
ΓΕΘ τετραπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΘ ΘΚ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΚ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ (ἡ γάρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων, ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων) τὰ
ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΖ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ.

91 ἐκκείσθω δὴ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ εὐθεῖά τις ἡ ΜΝ, ὥστε πενταπλάσιον εἶναι τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝ, ὡς ἔστιν λήμμα ιγ΄ στοιχείων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας ⁵⁷ διάμετρος δυνάμει πενταπλασία τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον, ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων· ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα ἐστὶν τοῦ κύκλου ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἡ ΜΝ. τετμήσθω ἡ ΜΝ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΜΞ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΜΞ διὰ τὸ
ια΄ λῆμμα. καὶ ἐπεί ἐστιν τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝ πενταπλάσιον, ἔστιν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου τριπλάσιον, ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων, τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ΓΕ ἴσα ἐστὶν ε’ τοῖς ἀπὸ MΝ. ὡς δὲ τρία τὰ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τρία τὰ ἀπὸ Γ∠, οὕτως πέντε τὰ
ἀπὸ ΜΝ πρὸς πέντε τὰ ἀπὸ ΜΞ (τῆς γὰρ ΓΕ κύβου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά, ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων)· τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ΓΕ καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ ΜΝ καὶ πέντε τοῖς ἀπὸ ΜΞ. πέντε
⁵⁸ δὲ τὰ ἀπὸ ΜΝ καὶ πέντε τὰ ἀπὸ ΜΞ ἴσα ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ ΡΣ, ὡς ἐν τῷ εἰκοσαέδρῳ ιγ΄ στοιχείων δείκνυται· πέντε ἄρα τὰ ἀπὸ ΡΣ ἴσα ἐστὶν τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΓΕ καὶ τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΖΕ. ἀλλὰ πέντε μὲν τὰ ἀπὸ ΡΣ ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου
τοῦ περὶ τὸ ΠΡΣ γραφομένου διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων. τρία δὲ τὰ ἀπὸ ΓΕ καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀκὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸ Γ∠ΕΖΗ πεντάπλευρον (ἐδείχθη γὰρ τὰ ἀπὸ ΓΕΖ τοῦ ἀπὸ ΘΚ πενταπλάσια) δεκαπέντε
ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΠΡΣ τρίγωνον κύκλου ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Γ∠ΕΖΗ κύκλου ὥστε καὶ τὸ ἓν τῷ ἑνὶ ἴσον· ἡ ἄρα διάμετρος ἴση τῇ διαμέτρῳ, καὶ ὁ κύκλος τῷ κύκλῳ· ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τό τε τοῦ δωδεκαέδρου
πεντάγωνον καὶ τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων.

92 νζ΄ (ιδ΄). Τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων τὰ δώδεκα πεντάγωνα μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων.

Ἔστω κύκλος ὁ περιλαμβάνων τό τε τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου
καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου ὁ ΒΓ∠Ε, καὶ ἐγγεγράφθω εῖς αὐτὸν τριγώνου μὲν πλευρὰ ᾑ ΒΕ, πενταγώνου δὲ ἡ Γ∠, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Α, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ κάθετος ἐπὶ τὰς παραλλήλους ἡ ΑΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ
ΑΒ ΑΓ Α∠ ΑΕ ΒΘ ΓΘ. ἐπεὶ οὖν ΒΕ τριγώνου πλευρά ἐστιν, ἡ ΒΘ ἄρα ἑξαγώνου ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ Γ∠ πενταγώνου ⁵⁹ ἐστίν, ἡ ΓΘ ἄρα δεκαγώνου ἐστίν. καὶ κάθετοί εἰσιν αἱ ΒΖ ΓΗ· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΗΑ τοῦ ὑπὸ ΒΖΑ διὰ τὸ ἑξῆς· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΑΓΔ∠ τρίγωνον τοῦ ΑΒΕ τριγώνου καὶ ξ΄ ἄρα τρίγωνα τὰ Γ∠Α ξ΄ τριγώνων τῶν ΒΑΕ μείζονά ἐστιν. ἀλλὰ ξ΄ μὲν τὰ ΓΑ∠ τρίγωνα τὸ
δωδεκάεδρόν ἐστιν (ἔκαστον γὰρ πεντάγωνον πέντε ἔχει τρίγωνα ὅμοια τῷ ΓΑ∠), ξ΄ δὲ τὰ ΒΑΕ τὸ εἰκοσάεδρόν ἐστιν (ἕκαστον γὰρ τρίγωνον τρία ἔχει ὅμοια τῷ ΒΑΕ)· μείζονα ἄρα τὰ δώδεκα πεντάγωνα εἴκοσι τριγώνων τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.

93 νή (ιε'). Τὸ ὑπερτεθέν. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ Β∠, καὶ ἑξαγώνου μὲν περιφέρεια ἡ ∠Ε, δεκαγώνου δὲ ἡ ∠Ζ, καὶ αἱ ΕΘ ΖΗ. κάθετοι ἐπὶ τὴν Β∠ διάμετρον ὅτι τὸ ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΕΘΚ.

Ἔστω γὰρ ὀκταγώνου ἡ ∠Ο· οἵων ἄρα ὁ κύκλος τξ΄, τοιούτων ἡ μὲν ∠Ε ξ΄, ἡ δὲ ∠Ζ λϚ΄, ἡ δὲ Ο∠ με΄· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΟ θ΄ ἡ δὲ ΟΕ ιε΄. κείσθω οὖν τῇ ΖΟ ἴση ἡ ΟΡ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΡ τῇ ∠Ζ ἴση ἐστίν. ἐπιζευχθεῖσαι δὲ αἱ ΖΕ ΖΡ ἐκβεβλήσθωσαν καὶ ἔστωσαν ὡς αἱ ΝΕΖΞ ΛΡΖΜ εὐθεῖαι· ἐπιζευχθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΟ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμεῖ τὴν ΖΡ. τεμνέτω κατὰ τὸ Σ. καὶ ἐπεὶ ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΟΚΛ ΟΚΜ, ἴση ἄρα καὶ ἡ μὲν ΚΜ τῇ ΚΛ; μείζων δὲ ἡ ΚΞ
πολλῷ τῆς ΚΝ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΞ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΞ· ἐλάσσων ἔρα καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΗΞ. ἀλλὰ ᾑ ΖΗ μείζων ἐστὶν τῆς ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΚ καθέτου, τουτέστιν τῆς ΘΚ (τῇ γὰρ ἀπὸ τοῦ P καθέτῳ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ)· ἡ ΗΘ ἄρα πρὸς ΘΝ μείζονα λύγον ἔχει ἤπερ πρὸς
τὴν ΗΞ. καὶ συνθέντι ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΞ πρὸς τὴν ΞΗ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΖΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΕΘΚ.

94 νθ΄ (ιϚ΄). Ἐὰν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον
αὐτῷ ἴσον ἦ, δείκνυται τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου πρὸς τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς, τῶν ἴσων πλευρῶν τοῦ ἰσοσκελοῦς ἐλάσσονα λόγον ἔχον ὔπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος.

Ἔστω γὰρ ἰσοσκελὲς τρίγωνον τὸ Β∠Ε ἔχον τεσσάρων πέμπτων τὴν πρὸς τῷ Ε
κύκλῳ οὗ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρος ΑΕΖΓ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν Β∠ πενταγώνου
ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ∠ πλευρά. ἐὰν δὲ ἀπολάβωμεν ἑκατέραν ⁶⁰ τῶν ΓH ΓΘ περιφερειῶν δωδεκαγώνου, καὶ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΗΘ καὶ τὰς ΕΗ ΕΘ, ἔσται ἰσόπλευρον τὸ ΕΗ. καὶ ἐὰν ἀγάγωμεν ἐφαπτομένην τὴν ΚΓΛ, ἔσται καὶ τὸ ΕΚΛ τρίγωνον ἰσόπλευρον. καὶ ἐὰν θέλωμεν ἁρμύσαι ἴσον τῷ Β∠Ε τριγώνῳ, δείκνυται ὅτι μεταξὺ πίπτει τῶν ΘΕΗ ΚΕΛ, τουτέστιν
τοῦ μὲν ΕΗΘ μεῖζον ἔσται τοῦ δὲ ΚΕΛ ἔλασσον.

95 Ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δ΄ πρὸς γ΄, ἴση δὲ ἡ ΘΕ τῇ ΕΓ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ EΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δ΄ πρὸς γ΄. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ, τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ,
τουτέστιν τὸ ΚΕΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΗΘ τρίγωνον. καὶ τὰ ἑξαπλᾶ· τὸ περιγεγραμμένον ἑξάγωνον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον λόγον ἔχει ὃν δ΄ πρὸς γ΄, τουτέστιν ὃν ιβ΄ πρὸς θ΄. τοῦ δὲ περιγεγραμμένου ἑξαγώνου πρὸς ε΄ τρίγωνα τὰ ΚΕΛ λόγος ἐστὶν ὃν ιβ΄ πρὸς ι΄ καὶ πέντε ἄρα τρίγωνα
τὰ ΚΕΛ μείζονά ἐστιν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἑξαγώνου πολλῷ ἄρα τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου μείζονά ἐστιν (ἐν γὰρ κύκλῳ τὸ ἐγγεγραμμένον πεντάγωνον ἰσόπλευρον τοῦ ἐγγραφομένου ξαγώνου ἔλασσόν ἐστιν)· ἔλασσον ἄρα τὸ ∠ΕΒ τοῦ ΚΕΛ.

Λέγω δὴ ὅτι καὶ τοῦ ΕΗΘ μεῖξόν ἐστιν. εἰλήφθω γὰρ ἡ ΓΝ περιφέρεια ἑκαγώνου
καὶ κάθετος ἡ ΝΗ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου τὸ ὑπὸ ∠ΖΕ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΝΞΕ. καὶ
ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΝΞΕ τὸ ὑπὸ ΘΜΕ (πάντα γὰρ πᾶσίν ἐστιν ἴσα), καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΕ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΘΜΕ, ὥστε καὶ τὸ
Β∠Ε τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν τοῦ ΘΕΗ τριγώνου.

96 Τὸ ἄρα τῷ Β∠Ε ἴσον συνιστάμενον ἰσόπλευρον, ὥστε τὴν βάσιν αὐτοῦ παράλληλον εἶναι τῇ ΗΘ ἢ τῇ ΚΛ, μεταξὺ τῶν Κ Θ πίπτει. ἐπεὶ οὖν δέδεικται ἐν τῷ Ϛ΄ λήμματι ὅτι εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα
λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄, ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, λόγον ὃν δ΄ πρὸς γ΄, πολλῷ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης εὐθείας πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν ΚΕ ΘΕ τοῖ ἰσοπλεύρου τριγώνου
πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΘ, τουτέστιν τῆς Ε∠ τοῦ ἰσοσκελοῦς.

97 ξ΄. Τὰ μὲν οὖν λαμβανόμενα εἰς τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημήτων ἐδείχθη καθʼ αὑτά, δεικτέον δʼ ἐφεξῆς ὅτι τὸ μὲν εἰκοσάεδρον μέγιστόν
ἐστιν, μετὰ δὲ τοῦτο τὸ δωδεκάεδρον, εἶτα τὸ ὀκτάεδρον, μετὰ δὲ τὸ ὀκτάεδρον ὁ κύβος, ἐλάχιστον δὲ τὸ τῆς πυραμίδος.

98 Ἔστω δὲ πρῶτον ἐπὶ τοῦ κύβου καὶ τῆς πυραμίδος ὁ λόγος, καὶ ἔστω κύβου μὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓ, πυραμίδος
δὲ τρίγωνον τὸ ∠ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴσαι ὑπόκεινται τῶν σχημάτων αἱ ἐπιφάνειαι, ἓξ ἄρα τετράγωνα τὰ ΑΒ ἴσα ἐστὶν τέσσαρσι τριγώνοις τοῖς μάτωνΕΖ· λόγος ἄρα τοῦ μάτωνΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ὃν γ΄ πρὸς β΄. ἤχθω δὴ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος
ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· φανερὸν δὴ ὅτι τὸ Θ κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον γραφομένου κύκλου· ⁶¹ τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ∠Ε, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΕΗ, τοῦ ἀπὸ ΕΘ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΘΗ· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΗΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ ὃν γ΄ πρὸς β΄, τουτέστιν ὃν νδ΄ πρὸς λϚ΄. τοῦ δὲ ἀπὸ ΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γ΄ τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν λϚ΄ πρὸς δ΄ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἄρα, τουτέστιν
τοῦ ἀπὸ ΕΖ, πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν νδ΄ πρὸς δ΄ καὶ ἐπεὶ παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον ἔλασσον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, τέσσαρα ἄρα τρίγωνα τὰ γωναΕΖ,E ἅπερ ἐστὶν ἓξ τετράγωνα τὰ ἀπὸ ΑΓ,
μείζονά ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν α΄ πρὸς Ϛ΄, τουτέστιν ἢ ὃν θ΄ πρὸς νδ΄ τοῦ δὲ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν νδ΄ πρὸς δ΄, ὡς ἐδείχθη, καὶ διʼ ἴσου τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ μείζονα λόγον
ἔχει ἤπερ τὰ θ΄ πρὸς τὰ δ΄ καὶ μήκει ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ γ΄ πρὸς τὰ β΄. ἐδείχθη δὲ λόγος τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον, ὃν γ΄ πρὸς β'· τὸ ∠ΕΖ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ
πρὸς τὸ γ΄ τῆς ΗΘ. καὶ ἀνάπαλιν ἡ ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον. ἐὰν ἄρα ποιῶμεν ὡς τὴν ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ, οὕτως τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον πρὸς ἄλλο τι, ἔσται πρὸς ἔλασσον χωρίον τοῦ ΑΒ τετραγώνου καὶ ἔστιν
ὁ μὲν κύβος τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐφʼ ὕψος τὴν ΑΓ, ἡ δὲ πυραμὶς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ἐφʼ ὕψος τὸ τρίτον τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἀγομένης καθέτου ἐπὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον μείζων ἄρα ὁ κύβος τῆς πυραμίδος.

⁶²

99 ξα΄. Τὸ ὀκτέδρον τοῦ κύβου μεῖζόν ἐστιν.

Ἔστω γὰρ ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, κύθου δὲ τετράγωνον τὸ ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας ἔστω κάθετος ἠγμένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἡ ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β ΒΕ. ἐπεὶ
οὖν ὑπόκειται ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἴσα ἓξ τετραγώνοις τοῖς ΖΗ, λόγος ἄρα τοῦ ΖΗ τετραγώνου πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὃν δ΄ πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν διὰ τὸ α’ λῆμμα καθόλου παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευράς τετράγωνον μεῖζον ἢ διπλάσιον τσῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου
καὶ τὸ ἀπὸ βΓ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἢ ς΄ οἵων τὸ ἀπὸ ΖΘ δ΄. τέσσαρα ἄρα πρὸς Ϛ΄, τουτέστιν λϚ΄ πρὸς νδ΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δμὰ τὸ β’ λῆμμα λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ε ὃν γʼ πρὸς α’, ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ Β∠ τοῖς ἀπὸ ΒΕ∠,
λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ ὃν α’ πρὸς β'. τοῦ δὲ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ ὃν Ϛ΄ πρὸς β΄ διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ ὃν α’ πρὸς Ϛ΄, τουτέστιν ὃν θ' πρὸς νδ΄ τοῦ δὲ ἀπὸ τοῦ γʼ τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ε λόγος ἐστὶν ὃν α’ πρὸς
θ΄ (τὰ γὰρ μήκει τριπλάσια δυνάμει ἐνναπλάσια καὶ τὰ μήκει ἐπίτριτα δυνάμει ἔνατά ἐστιν)· καὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ τρίτου οὖν τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ λόγος ἐστὶν ὃν α΄ πρὸς νδ΄ ἐδείχθη δὲ ὅτι λϚ΄ πρὸς νδ΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ· διʼ ἴσου ἄρα λϚ΄ πρὸς
α’ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γ΄ τῆς ∠Ε· καὶ μήκει ἄρα Ϛ΄ πρὸς α΄ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς τὸ γ΄ τῆς ∠Ε. λόγος δὲ Ϛ΄ τετραγώνων τῶν ΖΗ πρὸς α΄ ὃν Ϛ΄ πρὸς α΄ καὶ ἔστιν τὰ Ϛ΄ τετράγωνα ἴσα η΄ τριγώνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ η΄ ἄρα τρίγωνα τὰ ΑΒΓ
πρὸς τὸ ΖΗ τετράγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ ⁶³ πρὸς τὸ γ΄ τῆς ∠~. καὶ ἔστιν ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφ᾿ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ∠Ε, κύβος δὲ τὸ ΖΗ τετράγωνον ἐφʼ ὕψος τὴν ΘΖ· μεῖζον ἄρα τὸ ὀκτάεδρον τοῦ κύβου.

100 ξβ΄. Ἔστω δεῖξαι ὅτι τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου
μεῖξόν ἐστιν.

Καὶ ἔστω ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, εἰκοσαέδρου δὲ τὸ ∠ΕΖ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιλαμβανουσῶν τὰ στερεὰ ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν στερεῶν κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ζ΄
θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν πέντε τῶν ἀπὸ ΕΖ, πέωτε δὲ τὰ ἀπὸ ΕΖ δύο ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΒΓ (ἐπείπερ καὶ πέντε τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἴσα ἐστὶν δυσὶ τριγόνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ γὰρ τετραπλάσια κʼ τρίγωνα τοῖς η΄ ἴσα ἐστίν, καὶ ὡς τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ
τρίγωνον, οὕτως τὸ τετράγωνον πρὸς τὸ τετράγωνον τῶν ὁμοίων σχημάτων πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἐχόντων ἤπερ τῆς ὁμολόγου πλευρᾶς πρὸς τὴν ὁμόηολον πλευράν), δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΒΓ δώδεκά ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΛ (προδέδεικται γὰρ λόγος τοῦ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΛ ὃν Ϛ΄ πρὸς α’),
δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν δώδεκα τῶν ἀπὸ ΚΛ· μείζων ἅρα ἡ ΘΗ τῆς ΚΛ. καὶ τὸ Ϛ΄ τῆς ΘΗ τοῦ γ΄ τῆς ΚΛ μεῖζον. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν εἰκοσάεδρόν ἐστιν εἴκοσι τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἐφʼ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ΗΘ, τὸ δὲ ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφʼ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ΚΛ,
καὶ ἔστιν κ΄ τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἴσα ὀκτὼ τριγόνοις τοῖς ΑΒΓ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου.

⁶⁴

101 ξγ΄. Τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου μεἳζόν ἐστιν.

Ἔστω γὰρ πεντάγωνον μὲν τὸ ΑΒΓ ἓν τῶν τοῦ δωδεκαέδρου, τρίγωνον δὲ τὸ ∠ΕΖ ἓν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιεχουσῶν τὰ στερεὰ σχήματα ἐπὶ τὰ ∠ΕΖ ΑΒΓ ἐπίπεδα
κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Η∠ Θ∠ ΚΑ ΑΛ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ιβ΄ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τό τε πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου τοῦ εἶς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένου τῷ δωδεκαέδρῳ, ὥστε
ἡ ΑΛ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν τοῦ κύκλου τοῦ περιλαμβάνοντος τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, ἡ δὲ ΚΛ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπʼ αὐτὸν κάθετος, ἡ δὲ ΚΑ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ἀλλὰ καὶ τὸ ΗΘ∠ τρίγωνον ὁμοίως ἐστὶν λαμβανόμενον διὸ δὴ καὶ ὅμοιόν ἐστιν τῷ
ΚΛΑ τριγώνῳ. ὡς γάρ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος τῆς περιλαμβανούσης τὸ δωδεκάεδρον πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον πρὸς τὴν ∠Θ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ τοῦ τριγώνου ἰσοπλεύρου πλευρὰ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν κύκλον τὸν δεχόμενον τὸ τρίγωνον
τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς ∠Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΑ ἐκ κέντρου σφαίρας πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ Η∠ ἐκ κέντρου σφαίρας πρὸς ∠Θ. καὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς ΛΘ γωνίαι· ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΚΛ τρίγωνον τῷ ∠ΗΘ τριγώνῳ,
καὶ ἐπεὶ πάλιν ἐδείχθη ἐν τῷ μδ΄ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ⁶⁵ ὅτι εἴκοσι τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ, τουτέστιν δώδεκα πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ, μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων τῶν ἐγγραφομένων εἰς τὸν κύκλον τὸν περιλαμβάνοντα τὸ ΑΒΓ· πεντάγωνον, φανερὸν ὡς καὶ ὁ περὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον κύκλος μείζων ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ πεντάγωνον ὥστε
καὶ ἡ ∠Θ μείζων ἐστὶν τῆς ΑΛ. καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ ∠ΗΘ ΑΚΛ τρίγωνα ὡς ἄρα ἡ ∠Θ πρὸς ΘΗ, οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς ΛΚ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ∠Θ πρὸς ΑΛ, ἡ ΗΘ πρὸς ΚΛ. μείζων δέ ἡ ∠Θ τῆς ΑΛ μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘ τῆς ΚΛ. καὶ τὸ τρίτον ἄρα τῆς ΗΘ τοῦ τρίτου τῆς
ΚΛ μεῖζόν ἐστιν. καὶ ἔστιν τὸ μὲν εἰκοσάεδρον εἴκοσι τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς ΗΘ, τὸ δὲ δωδεκάεδρόν ἐστιν δώδεκα πεντάγωνα τὰ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τρίτον τῆς ΚΛ. καὶ ὑπόκειται κ΄ τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ιβ΄ πενταγώνοις τοῖς ΑΒΓ ἴσα· μεῖζον ἄρα τὸ εἰδοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου.

102 ξδ΄. Τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖζόν ἐστιν.

Ἔστω δωδεκαέδρου μὲν πεντάγωνον τὸ Φ??Τ καὶ κάθετος ἡ ΥΩ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ δωδεκάεδρον ἐπὶ τὸ Φ??Τ πεντάγωνον ἠγμένη, ⁶⁶ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΩΦ Ω𝒢 ΩΤ ΥΦ, ὀκταέδρου δὲ τρίγωνον τὸ ΣΡΠ ἔστω, καὶ ὁμοίως ἡ ΧΨ κάθετος, ἣν δεῖ ἐλάσσονα δεῖξαι τῆς ΥΩ καθέτου.

103 Ἐκκείσθω δὲ καὶ τὸ ληφθὲν θεώρημα εἰς τὴν σύγκρισιν τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ὀκταέδρου οὗ σημεῖον ἀστήρ,
διʼ οὗ ἐδείχθη δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ Β∠. ἔστω δὲ καὶ τὸ Α,Β,Γ τρίγωνον εἰκοσαέδρου, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ ∠ ἡ ∠,Ε, ὡς ἐν τῷ προκειμένῳ θεωρήματι· ὅμοιον ἄρα τὸ ΥΦΩ τῷ τε ∠,Α,Ε τριγώνῳ καὶ τῷ ΟΝΛ καὶ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ∠,Ε μείζονα ε’ τῶν ἀπὸ
,Β,Γ, τουτέστιν ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΥΩ μείζονα ε΄ τῶν ἀπὸ 𝒢Τ, ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ ιϚ΄ λημματίου ἐδείχθη ὅτι, ἐὰν ᾗ τρίγωνον ἰσοσκελές ὡς τὸ 𝒢ΩΤ ἔχον τὴν πρὸς τῷ Ω γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον ἴσον αὐτῷ ὡς τὸ Μ Μ Μ, τὸ ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ 𝒢Ω ἐλάσσονα
λόγον ἔχει ἤπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, καὶ ἡ ΕΓ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ⁶⁷ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ 𝒢Ω2, τουτέστιν τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ 𝒢Ω. καὶ ἐπεὶ ἔχομεν η΄ τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἴσα ιβ΄ πενταγώνοις τοῖς Φ𝒢Τ, τουτέστιν ξ΄ τριγώνοις τοῖς 𝒢ΩΤ, ὥστε καὶ δύο τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἔσα ἐστὶν
ιε΄ τριγώνοις τοῖς 𝒢ΩΤ, τουτέστιν ιε΄ τοῖς Μ Μ Μ, ὥστε καὶ τὸ δὶς ἀπὸ ΣΠ ἴσον ἐστὶν τῷ πεντεκαιδεκάκις ἀνὸ Μ Μ τὸ ἔρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ δύο τὰ ἀπὸ ΣΠ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ΩΦ ἴση γάρ ἐστιν ἡ Ω𝒢 τῇ ΩΦ).
δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΣΠ ιβ΄ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΨ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῇ συγκρίσει τοῦ κύβου καὶ ὀκταέδρου· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ κρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΞΚ τῇ ΚΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ εἰκοσάκις ἀπὸ τῆς
ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ· ὥστε καὶ λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΓΛ, πρὸς ψκ΄ τὰ ἀπὸ ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ. ἀλλʼ ὡς κὲν ἡ ΓΛ πρὸς ΓΚ, ἡ ΑΜ πρὸς ΙΜ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΙ, ἡ 0Ν πρὸς
ΝΙ ὥστε καὶ λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ψκ΄ τὰ ἀπὸ ΝΙ, τουτέστιν π΄ τὰ ἀπὸ ΙΛ (τριπλασία γὰρ ἐν τῷ ζ΄ λήμματι ἐδείχθη ἡ ΙΛ τῆς ΙΝ), τουτέστιν κ΄ τὰ ἀπὸ Κ∠, τουτέστιν ιε΄ τὰ ἀπὸ Β∠ (ἐπίτριτος γὰρ ἡ Β∠ τῆς ΚΛ δυνάμει), μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ
ΩΦ ὥστε καὶ οβ΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ε’ τὰ ἀπὸ ΒΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ⁶⁸ ΩΘ. πέντε δὲ τὰ ἀπὸ Β∠ ιε΄ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΝΛ, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγ΄ τῶν στοιχείων (τὸ γὰρ κέντρον τοῦ περὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον κύκλου τὸ Ν σημεῖόν ἐστιν)· καὶ ιβ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ON πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΛΝ, τουτέστιν ιβ΄ τὰ ἀπὸ ∠κ Ε πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΕΑ, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄
τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΘ. καὶ ἔστιν ὅμοιον τὸ ∠ Α,Ε τρίγωνον τῷ ΥΦΩ τριγώνῳ καὶ ιβ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ΥΩ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ· μείζων ἄρα ἡ ΓΩ κάθετος τῆς ΧΨ καθέτου. καὶ ὑπόκεινται αἱ ἐπιφάνειαι ἴσαι τῶν στερεῶν
σχημάτων μεῖζον ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου.

104 ξε΄. Ὅτι μὲν οὖν τῶν ε΄ σχημάτων τούτων ἃ δὴ καὶ πολύεδρα καλεῖται τὸ πολυεδρότερον αἰεὶ μεῖζόν ἐστιν φανερὸν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων, ὅτι δὲ πλείω τῶν πέντε τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ
ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγώνοις περιεχόμενα μάθοι τις ἂν καὶ οὕτως.

105 Πᾶσαν στερεὰν γωνίαν ἐκ τριῶν ἐλαχίστων συνεστάναι ⁶⁹ γωνιῶν ἐπιπέδων ἀναγκαῖον, καὶ αἱ περιέχουσαι αὐτάς, ἐάν τε τρεῖς ὦσιν δάν τε πλείους, τῶν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν πάντως. ὑπὸ μὲν οὖν ἑξαγώνου γωνιῶν ἤ τινος εὐθυγράμμου πολυγωνοτέρου περισχεθῆναι στερεὰν γωνίαν ἀδύνατον (αἱ γὰρ ἐλάχισται δυνάμεναι περιλαβεῖν αὐτὴν
τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους), ὑπὸ δὲ πενταγώνου τριῶν μόνων δυνατόν, ὡς καὶ συνέστηκεν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου. πάλιν δέ τέσσαρες μέν ἢ πλείους τετραγώνου γωνίαι περιέχειν στερεάν γωνίαν οὐ δύνανται (τεσσάρων γὰρ ὀρθῶν οὖκ εἰσὶν ἐλάττους), τρεῖς δὲ περιέχουσιν τὴν τοῦ
κύβου. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου ἓξ μὲν ἢ πλείους γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους, καὶ διὰ τοῦτο στερεὰν γωνίαν οὐ περιέχουσι, πέντε δὲ καὶ τέσσαρες καὶ τρεῖς δύνανται, καὶ περιέχεται ὑπὸ μέν πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ
δὲ τριῶν ἡ τῆς πυραμίδος. δῆλον οὖν ἐκ τῶν εἰρημένων ὅτι παρὰ ταύτας οὐκ ἔστιν ἄλλη στερεὰ γωνία ἐξ ἴσων καὶ τοῦ αὐτοῦ πολυγόνου συνεστηκυῖα γωνιῶν, ὥστε οὐδὲ πολύεδρον εὑρεῖν ἄλλο παρὰ τὰ προειρημένα πέντε δυνατόν ἐστιν ὑπὸ ἴσων καὶ ὁμοἰων πολυγώνων περιεχόμενον.

⁷⁰

Synagoge. Pappus Alexandrinus. ed. Friedrich Hultsch. United States. 2018.

Current edition First1KGreek

Synagoge, Book 1 (Greek) (Pappus Alexandrinus. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, Volume 1. Hultsch, Friedrich, editor. Leipzig: Weidmann, 1876.)

Notes on the current edition

Synagoge

1. 1—4. παππου ἀλεξανδρέως συναγωγης ε περιεχει δε συγκρισεις των ϊσην περίμετρον ἐχοντων ἐπιπέδων σχημάτων προσαλλήλατε και τ κύκλων (superscr. ο) και συγρίσεις τ ϊσην επιφανειαν εχόντ στερε σχημα πρ αλληλα τε και τ σφα A3(BS) 3. τὸν κύκλον B, τοὺς κύκλους Paris. 2368 SV (de A3 vide supra) 4. στερεῶν om. B 6. μεγε-

2. 2. post ἐδύνατο add. σχῆμα τὰ τεταγμένα ABS, del. Sca (fuerat olim in margine glossa σχήματα τεταγμένα) 3. ἰσογώνια τὰ δ᾿ add. Sca 6. ταῦτα γὰρ — 8. ἀδύνατον interpolatori tribuit Hu 12. αὐ —

3. 9. α΄ add. Hu 14. κύκλον (sine acc.) A, corr. BS καὶ κάθετοι coni. Hu αἱ ΗΚΘΛ A, distinx. BS 25. ἡ ὑπὸ ∠ΕΖ AB, corr. S 27. καὶ αἱ δ΄ ὀρθαὶ ταῖς δ΄ ὀρθαῖς] quamquam eiusmodi res per se consentaneas veteres mathematici interdum adnotant, tamen haec verba maiorem interpretamenti quam genuinae scripturae Speciem prae se ferunt

4. 4. ὁ ΑΒΓ et 10. τὸν ΑΒΓ ABS, corr. Co 15. ὁ ΑΒ Γ∠, A, coniunx. BS 18. ΗΘΕ ἐπεὶ ABS, corr. Co 25. ὁ ABS, corr. Co 27. ἔστω A1 corr. ex ἔσται

5. 4. ἀνάγκηι A, ἀνάγκη BS, del. Co δειχθήσεται ABS, corr. Co (conf. cap. 7) 6. ἐπιζεύχθω A, corr. BS 7. ἡ ΗΟ A, sed Ο non satis perspicuum, unde ἡ ηθ BS 8. μεῖζον AB, corr. S 16. τὸ ὑπὸ Sca (illud Co) pro τοῦ ὑπὸ 18. δον΄ add. B(S), numerus huius lemmetis infra cap. 18 citatur 27. ἔστω Hu pro ἐστὶν

6. 2. ὅτι] in promptu est ἐπεὶ coniicere; sed ὅτι hoc sensu infra saepius redit 3. ταῖς ΕΖ A, distinx. BS, item vs. 6 4. post τῆς δὲ ΓΒ μείζων add. ἡ Ζ ABS, del. Hu (aliter Co, qui tamen corruptelam auxit, non sustulit) 10. καὶ αἱ ΕΖ A, distinx. BS 14. αἱ ΑΓΕ AB Paris. 2368, αἱ α γ ε S, item αἱ ΑΓΖ etc. vs. 16 15. τῆς μὲν ΓΕ AB, corr. S 17. ἐκ τῶν ΑΓ ΕΖ ABS, distinx. Co 18. lacunam indicavit et in Latinis explevit, item καὶ φανερὸν — 20. τῇ

7. 3. ὅτι — εἰσιν interpolatori tribuit Hu 8. ἴσκα — 15. αἱ Μ Μ] conf. p. 323 adnot. * 10—12. manifesta glossemata duo del. Hu 13. αἱ ∠Β A, distinx. BS 15. κατὰ τὰ ΗΜ A, distinx. BS 16. ἡ ΕΗ Co Sca pro ἡ ΘΗ 20. ἄρα τὰ ΘΛ A, distinx. BS 23. τῆς ὑπὸ ΘΗΒ ABS, corr. Co Sca 26. 27. καὶ φανερὸν — τοῦ Λ interpolatori tribuit Hu

8. 1. 2. πρὸς τὴν Hu pro πρὸς τὸ 2. πρὸς τὰ ΑΖΒ ABS, corr. Co 4. ελασσον ἄρα A, ἐλάσσον ἄρα B, corr. S 7. Η A1 in marg. (B), om. S ante Ἔστω legi voluit Co: Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν δειχθήσεται οὕτως (quod autem positum est ita ostendetur) 8. τὰ ∠ΕΒ ABS, corr. Co Sca 10. τῶν ΑΒΓ∠ AS, distinx. Bs Co 11. ὡς τὸ τῆς ∠ πλευρᾶς AB1S, ὥς τε τᾶς corr. B3, accentus quoque corr. Co 16. κατὰ τὰ ΛΜ A, distinx. BS 17. τῶν ΑΒΓ∠ A, distinx. BS 21. πάντηι A, corr. B Paris. 2368 24. τὰς Η ΛΚ A, coniunx. BS

9. 4. συνεσταμέναι coni. Hu, constitutae sunt Co 6 — p. 332, 10. totum caput 16 interpolatum esse videtur 15. ἡ PC τῆι ΡΤ ABS,

10. 2. ἐὰν ἡ S, εανη ἡ A, ἐὰν ᾐ ἡ B 9. 10. μεῖζον ἐστι (sic) Α 12. Θ A1 in marg. (BS) 24. τὰ ΑΖΓ A, corr. BS 26. πρὸ τρῶν, non πρὸ τεττάρων scriptor et hoc loco et paulo post numerat, quis

11. 3. ῖ A1 in marg. (BS) πολύπλευρον Hu pro πεντάπλευρον, item vs. 14 4. γὰρ S, om. AB 12. τὸ γὰρ ΑΖΓ ΗΕ A, coniunx. BS 17. ὀρθογώνιον ABS, corr. Hu auctore Co 18. τῶν B1 S, om. A, del. B3 22. ῑᾱ A1 in marg. (BS) 25. αὐτὰ ABS, corr. Hu auctore Co

12. 2. εὐθεῖα] διάμετρος Pappus VIll cap. 46 πρὸς BS, om. A 10. κύκλου et 11. Γ∠ add. Hu auctore Co 12. καὶ ἐναλλὰξ —

13. 4. 5 τοῦ ἐ στοιχειωεν A(Β) , διὰ τὸ ιε τοῦ ε τῶν στοχείων S, interpolatori tribuit Hu 6. ὁμοίως ἐστὸν Co pro μηδὲ ἐστιν 15. πρὸς τὸν κΛΗ AΒ, corr. S 17. πρὸς τὴν ΕΖΗ ABS, corr. Co 19. οὖν] ἄρα coni. Hu 23. BZ om. Co ante οὖσαν super vs. add. λόγον ἔχει A4, eadem codex Co habet pro οὖσαν τῆς ΒΕΖ et 24. τῆς ΒΕ ABS, corr. Co

14. 5. τὸν (ante Β∠Θ) om. A, add. BS 8. τῆς ΒΖΕ περιᾳερείας ABS, corr. Hu auctore Co 11. IF A1 in marg. (BS) 16. ἀπὸ τῆς ∠ΕΖ ABS, corr. Co Sca 17. περᾳέρεια add. Hu auctore Co 19. πὰ ΗΘ A, distinx. 38 αἱ ΑΗΓ ∠ΕΖ ABS, corr. Sca (Co) 21. τὸ ΑΒΓ η τρίγωνον A (in archetypo gitur pro Β correctum erat Η), τὸ βγη τρῦγωνον BS, corr. Co Sca 23 τὸν ΑΗ ΓΒ A, coniuax. BS 26, ∠ΘΖΕ τομέα ρὕτ?? Α2 ex sθνί ∠Θ 27 πρὸς τὴν ∠ΒΖ ABS, corr. Co Sca τουτέστιν Ηυ pro καὶ

15. 3. ιε Α1 in marg. (BS) 5. δείξη AB, corr. S 12. πρὸς τὸν ΘΕΑΒ ABS, corr. Co 23. πρὸς τὸν ΑΒΗ BS, corr. Hu (πρὸς τὸν ΒΑΗ voluit Co) 24. ἢ πρὸς Hu auctore Co pro ἥπερ 25. πρὸς τὸν BAH] in A littera punctis notata est

16. 1. τὴν (ante ὑπὸ ΒΑΖ) om. A, add. BS 3. τὴν (ante ὑπὸ ΖΑΒ) add. Hu 4. ἡ (ante ὑπὸ ΖΑΒ) om. A, add. BS 7. ιϚ A1 in marg. (BS) 11. ἡ ante ὀρθὴ γωνία add. B Sca 12. ἐκἀεἀλήσθω ἡ Β∠ ABS, corr. Co 17. ὑπὸ *ΓΑΕ A2 ex ὑπὸ *ΓΑ 24. τὴν (ante ὑπὸ ΓΑΖ) om. AS, add. B 25. καὶ ἀναστρέψαντι interpolatori tribuit

17. 1. ιζ Α1 in marg. (BS) 7. τὰ ΗΘ A, distinx. BS 10. ἡ (ante ΑΘ) om. A, add. BS 13. περιφέρειμ add. Hu auctore Co 14. ὡς δἐ ᾗ Ε∠ ABS, corr. Sca (ὡς δὲ ἡ ΛΕ voluit Co) 14. 15. πρὸς τὴν ∠Ε AΒ, πρὸς λε S, sed πρὸς σῆ corr. Sca 17. τοῦ τῆς ∠ΘΛ (anle πρὸς ΗΑ) ABS cod. Co, τοῦ τῆς ΛΘ Co, corr. Sca δὲ] ἄρα Co ἀπὸ τῆς ∠Θ ABS cod. Co, ἀπὸ τῆς ΛΘ Co, corr. Sca 18. ὁ ΛΕΘ ΑΒ Paris. 2368 Co, corr. S διπλασίονα BS, β A 20. μέσον S 23. τὴν add. Hu 25. 26. πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα add. Scα (item Co, aisi quod ABH) 26. ὁ ἄρα ∠ΘΕ τομεὺς add. Co (item Sca, nisi quod E∠Θ

18. 5. ΙΗ A1 in marg. (BS) 10. πρὸ δύο Hu, β A, δεότερον BS 15. μείζονα ἄρα A, corr. BS 16. τοῦ ∠Ε ΑΒ, corr. S 19, πεῖ στερεων add. Α3 in marg (BS) 20. ΙΘ A1 in marg. (BS) 22. 23, τὰ δὲ προσόνεα coni Hu 24, σχημέτωων om, Ei 26 τἄλλα Hu: pro τὰ ἄλλα

19. 1, εὕρομεν A2 ex εὕρωμεν 5. στερεῶν alterum om. S Εὶ 8. μᾶλλον ἂν, deleto δʼ, vel μᾶλλόν γʼ ἂν coni. Hu 9. λόγον S Εἰ τὰ add. Ηu auctore Co 9, 10. καὶ τούεων — πολύεδρα interpolatori tribuit Hu 18. τριγώνων ∠ A, τριγώνων εεσσάρων Β, τεσσάρων τριγώνων S δʼ alterum] ∠ A (ac similiter posthac, lineola super numerorum Detas ducta), τεσσάρων BS (ac similiter posthac B saepius, S fere constaner pro uolis numeralibus) 19, τρία S, δύο AB 20. τετραγώνοις Εὶ pro ὀκταγαώνοις 22, κταγώνοις Εὶ pro τετραγαένοες 23. Ϛ κειεικοσκεδρα sine acc.) A, ἓξ καὶ εκοσάεδρά Β, ἐξκαιεπποσάερέ S Εὶ; corr. Hu 25. δεύτερον BS, βʼ A, Item p 354, 1 26. δύο καὶ Ἀρισκον-

20. 2. τρίτον BS, Γ΄ A δεκαγώνοις Hu, πεγταγώνοις Εὶ pro τετραγμώνοις 4. μεταταῦτα A(S) , δὲ add, B1, sed αlia manus id rursus delevit 5. δύο καὶ ἐξηκονέαεδρπ A, δύο καὶ ἐξηκοντάεδρά 8, coniunx. S 9, δύο καὶ ενενηκονάεδρον A(B), δυοκαιεννεηκοντάεδρον S Εὶ 11 ΙΓ A, δεκατριῶν BS, item p. 856, 5 14. γωνἵαις pro γωνιῶν scripsit et 15. ἃς add Εὶ anctore Co 17. τρίτον BS, Γ A 19. ἃς add. Εὶ auctore Co 23. τὸ πέμπτον Εὶ auctore Co, ε AS, πέντε Β 27 τὸν add B1

21. 9. τε post γωνίαι repetit A 10 τὸν (post ἐστιν) A1 ex τῶν 11. τρίτον BS, Γ΄ Α 12. αὐτοῦ AΒ3S S, om B1 14. ἥμισυ BS,

22. 1. δεύτερον BS, β A 3. ἕξεις AB, corr. S, item vs. 5. 8. 12. 14 4. τρίτον BS, Γ A, δύο καὶ τριακονταέδρων AB, coniunx. S 6. δεκαγώνοις AB Εί, τετραγώνοις S 9. κδ΄ Εί, μ AB, τεσσαράκεντα S 10. δυοκαὶ εξηκονταέδρων A, δύο καὶ ἑξ. B, coniunx. Paris. 2368

23. 1. τῇ τῆς Α σφαίρας Hu auctore Co, τῇ om. AB, unde τῇ α σφαίρᾳ Paris, 2368 (S) Εὶ 5. ἐπιφάνεια τῆι ἐπιφανείαι AΒ, corr. S 7. Α om Β1 Εὶ 12. Α om. Εὶ 13. ὁ τὴν βάσιν A, sed τὴν del. prima m. κύκλον A8 Εὶ, κύκλου BS τὸ ante ἴσον add ABS, del. Εὶ 14. 15, ὕψος — σφαίρας add. Εὶ 15. τῆς (ante ευραμίδος) om. Εὶ

24. 4. νῇ τῆς σφαίρκς Hu, τῆι σφκίραι ABS, τῇ ἐπιχενείᾳ τῆς σφείρας Εὶ 10. τὸ A, τὸ τρίτον BS 14. διπλασίους A1 ex διπλασίου 15 τῇ add. Ηu (τῇ ἐπιφανείᾳ add. Εὶ) 20. ὅσα post αὐτῶν transpos. S Εὶ 21. λημμάτι· A1), α add. Α2 22. α’ add. Hu (quoniam lemmata huius secundae qinti libri partis a Scrlptore seorsum numerantur)

25. 2. ἡ Η∠ A1 ex ἡ Ν∠ 3. ἡ δὲ — ΗΕ interpolatori tribuit Hu τῇ ηε BS, τῆι HC A 4. τοῦ Εὶ pro τὸ 9. τῶν Εὶ pro τῆς 10 τῆς Γ∠ΕΖ AS, distinx. B 11 ΚΓ Α1 in narg. BS), δ΄ add. Hu 15. επιφανειας καὶ εἰσὶν A(Β), ἐπιφανείας καὶ εἰσὶν ἐν S, corr. Εὶ auctore Co 20, 21. ὧν μέση — κύκλου interpolatori tribuit Hu 21 ὁ ante Αρχιμ. add. Β1, del. B3, item p, 368, 21 24, ὁ ante κύκλος add, S Εὶ (invitis AB atque ipso Archimede) 25. τῆς τε πλευρᾶς Archim.

26. 1. τὸ ὑπὸ συναμψοτέρου — 4, δύναται om. S, quorum verborum loco add. Εὶ τὸ ὑπὸ ΕΒ ΘΚ ἡ δὲ ὑπὸ τῆς ΗΓ γινομένη ἐπχάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται 4. κμὶ γάρ — 15. καὶ τῆς ΕΖ interpolatori tribuit Hu 5. τῇ ΕΒ Εὶ auctore Co pro τῆς ΕΒ 8. 9. καὶ τῆς ΓΝ A BS, corr. Co 9. 10. ὑνὸ τῆς ΕΖ Hu pro ὑπὸ τῆς ΓΖ 12. δύναται τὸν ὑπὸ AΒ, corr. S 19. post AEN add. NEB A BS, del. Hu post ὑπὸ τῆς ΑΕ add Ν καὶ γὰρ ἰσογώ-

27. 1. Κ∠ A1 in marg. BS), ε΄ add. Hu δὴ B1, sed δὲ restituit B2 6. τῶν ∠Ε ΖΗ A, distinx. BS 8. τὰς ΓΑΛΚ et 9. τῆς ΓΑ∠Κ A, distinx. BS 9. β΄] Β Γ AB, β γ S, τῷ δευτέρῳ Εί (cοnf. adnot. ad p. 362, 22) 10. γινομένης AB, corr. S 18, ΙΖ AB cod. Co, ἑπτακαιδέκατον S Εί (ex edit. Basil. ιϚ΄ voluit Co) 15. γινομένη ἐπιφάνει A, corr. BS 16. διὰ τὸ S, διὰ τοῦ AB 17. τὴν ∠* Ο τῆς Ε A, τὴν δ ὁ τῆς ε BS, corr. Co 17, 18. γινομένη ἐπιφανεία Α, corr BS

28. 2. Γ∠ ∠Ε Co pro Γ∠ ΛΒ γινομένη AΒ, corr. S ἐπιφπνεα (sine acc.) A , ἐπιφάνεια B, corr. S 3, KE A1 in marg. (BS) ἐγγεγράψθω ΑΒ , γεγράψθω S Εὶ τὸ ΑΒΓ ∠ΕΖ ΗΘΒ ΑΒ, τὸ βδεξηθβ S, corr. Co 4. περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον Co, περί τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ ΑΘΒ ΑΒ, καὶ ἔστω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ αβ S, om. Εὶ 5. διέμετρος αὐτιῦ Εἰ 6. 7. τῆς ΓΑ ἡ δὲ) ΗΘ τῆς ΘΒ ABS, corr. Hu 7. 8. ἡ Γ∠ μετὰ τῆς ∠Θ ABS, ἡ Γ∠Θ μετὰ τῆς ∠Ε Εὶ, corr. Hu 8. τῇ ΡΘΣ Εὶ pro τῆι ∠ΘϹ ἡ om. AB Paris. 2368, add. S Εὶ 9. τὰ ΓΘ A, distinx. BS post τῇ AB add. τουτέστιν τῆι ∠E ABS, del. Εὶ γ΄ Hu ∠ A, δ΄ Β, τέτκρτον S Εὶ, κα΄ voluit Co (qui omnino in corruptissimo hoc theoremate restituendo aliam , nec tamen rectam viam ingressus est , circumferentiam enim γδ bifariam divisit in ξ et rectam ξσ iunxit, quibus ambagibus abstinuit vetus scrip-

29. 2. ὁποιεσοῦν Εὶ τοῖς ΜΝΞ et 3. ΑΗ καὶ A, distinx. BS 3. αἱ om. S Εὶ 4. κάθετος AΒ, corr. S 7, κύκλου η ἐκκέντρου A, κύκλου ᾗ ἐκ τοῦ κέντρου B, κύκλου ᾗ ἐκ κέντρου S, corr. Εὶ auctore Co κύκλῳ Εὶ auctore Co pro κύκλου 8. ἡ om. A, add. BS τὸ ἥμησυ BS, τὸ U+2220΄ A ἐπί τὸ ABS, corr. Co (conf. adnot. ad p 876, 16. 17) 11. τῶν ΗΘ Α, distinx. BS 18. ἢ S , ἡ A (cum proximis sic confundit 8 ηρ ηζ) 14. ὑπὸ ΑΒ ΑΡ A1, corr. A2 (BS) α’ Hu, β A(Β). δευτέρῳ S Εὶ, κ΄ voluit Co 21. τῶ δις ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ Α2 in marg. (fuerat primum τῶ τε , sed τε deletum), τῷ δὶς etc. BV (nisi quod V habet μετά τοῦ ὑπὸ θηκ), om. A1 Paris. 2368 S τῷ τε δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ Εὶ καὶ τοῦ AΒS, μετὰ τοῦ Εὶ 22. τῷ (ante ὑπὸ ΗΘΚ ) add. Εὶ 23, τὸ ἀπὸ AS, τῷ ἀπὸ B, ὑπὸ corr. Εὶ auctore Co

30. 1. δευτέρας BS, β A 2. τὸ ὑπὸ ΚΗΘ ΑΒ, corr. Co (τὸ ὑπὸ θηκ S , quem errorem retinuit Εὶ, sed paulo post vs. 9 recte secutus est Commandinum) ἡμίσει S, U+2220΄ ΑΒ, item vs. 6 2, 3, ἐπὶ τὰ ΖΘ Α, distinx ΒS, item vs. 5. 7. 9 10 3. οὕτως ἐπὶ τὸ ABS, τὸ γὰρ Εὶ, corr. Hu 4. ἥμισυ S , U+2220΄ ΑB 8. στεχείου ABS, corr. Hu 9. ἥμισυ S, U+2220΄ A, S΄΄ Β τῷ ὑπὸ ΚΘΗ Co pro τῶι υπὸ ΚΗΘ 10. ἐπεὶ τὸ ἥμισυ S, ἐπὶ τὸ U+2220΄ AΒ 10. 11. ἐλάσσονω ἐστιν A(Β), corr. S 12. ἡ om. AΒ, add. S 13. ἡ (ante ἐκ) om. AΒS , add. Εὶ 15. κζ Α1 in marg. (ΒS); ή add. μετὰ τὸ AΒ, corr. S 20. post ἐστὶν τῷ add. τε ABS, om. Εὶ, item vs. 21 21. δὶς ὑπερ ΘΗ A(Β1), ὑπὸ corr. Β2S, ΡΘΗ 22. 23. ἴση — ἀπὸ ΗΘ om, Εὶ 24. τὸ ἄρα — p. 880, 7. ὑπὸ ΚΘΗ] pro his sic seribere ausus est Εὶ: τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ ΡΗΘ μετεὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσαν

31. 1. τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΗΣΛ interpolatori tribuit Hu 1. 2. τουτʼ ἔσνιν ἡ ὐπὸ ΚΗΘ Α(BV), τουτέσιιν τὸ ὑπὸ κηθ S , corr. Hu auctore Co 4. τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ Co pro τοῦ ὑπὸ ΚΗΘ 6. ὑπὸ ΗΘ ΛΕ ἴση ΑΒ1, σ super ε corr. Β2, ὑπὸ ηθ λθ ἴσον S 7, τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ Co pro τοῦ ὑπὸ ΚΗ ΘΗ 9. ΚΗ Α1 in marg. (BS), θ΄ add. Hu 10. τὰ Γ∠ Α, distinx. BS 11. δὶς ὑπὸ ΑΒΓ Εὶ 12. Κείσθω τῇ μὲν Α∠ ἴση Εὶ auctore Co 13. οὖν S, εἰ ΑΒ 15. στοχείων Hu

32. 1. ΚΘ Α1 in marg. BS, ί add. Hu ἡ ΑΚΒΓ ΑΒ, ἠ ΚΒΓ Co. corr S 5 Ἔστω Co pro ὡς 6. ἴση τῇ idem pro ἐλάσσων νῆς 7. ἡ ΘΒΗ ΑΒS, corr. Co 8 ἡμίσειαν S U+2220΄ ΑΒ 11. τὴν ΚΑ Co pro τὴν Κ∠ 15. τῶν ΘΑ Α, distinx. B, τῶν θ ε S Εὶ 17. τῆς ὑπὸ ΘΖ ABS, corr. Co πολ??υ A2 ex πολλυ 19, λ A1 in marg (BS), τά add. Hu 26. τὸ ΚϹ σημεῖον AΒ, corr. S 26. 27, εκπολου

33. 1. ἡ ante σφπιρκὴ add. Ei 5. τῆ ὑπεροχῆι A, τῇ περοχῇ B, corr. S 8. τοῦ ante κέντρου add. B Ei 11. τὸ Η A, τὸ η BS 45. ἡ ἐκ] ἐκ ABS, ἡ ἐκ τοῦ Ei, item proximo vs. 17. Ϛ΄ Hu, Η A, η΄ B, ὀγδόῳ S Ei (in 25. huius Co) εἰσιν Ei auctore Co pro εἶναι 17. 18. τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων om. Ei 20. οὔτε AB, corr. Paris. 2368 V (οὗ τὲ S) ἡ (aute ἐκ) add. Hu 20. 21. ἐκ τοῦ κέντρου Ei 23. λα A1 in marg. (BS), ιβ΄ add. Hu ἡ ἐκ] ἐκ ABS, ἡ ἐκ τοῦ Ei 25. τὸ ὑπὸ ΚΓΑ AB, corr. S 27, post μνταξὺ repe-

34. 1. ἡ ΓΟ Co pro ἡ ΓΘ 2. 3. τῆς ΚΛΟ idem pro τῆς ΚΛΘ 4. δὴ AΒ, δὲ S Εὶ 4. 5, κατὰ — ἀποκατάσεασιν interpolatori tribuit Hu 5. στροφὴν, deleto ἀποκμτάσεασιν, Εὶ 6, 7, καὶ τὴν — ἕξει interpolatori tribuit Hu 6. αὐτῷ om. Co Εὶ 7. μὲν om. Εὶ 8. τὸ ὑπὸ ΛΚ ΚΑ ΑΒS, corr. Co 9. δ΄ Hu, ἔ A, ε Β, πέμπτον S Εὶ (ex 23. huius Co) 10. πολλῷ — 12. ἐπιφμνείας om. Paris. 2368 S Εὶ 10 ἡ ἐκ] ἐκ AΒ1), ἔκ τοῦ Β3, ἡ ἐκ τοῦ V 11. ἢ V, ή AΒ, τουτέστιν voluit Co τὸ ὑπὸ ΘΚΑ ΑΒV, distinx. Co 12. 18. ἐπιφπνείας — τμήματος bis scripta in A 13. ὢν om. S, unde Εὶ ὑπόκειται γὰρ μεταξὺ τοῦ cet. ἡ ἐκ] ἐκ ΑΒS, ἡ ἐκ τεῦ Εὶ 16. ὡς ἐὰν Εὶ, ὡσο??ν Α2 ex ὡσων, ut videtur, ὡς οὔ Β, ὡς ὂν S, ὡς ἂν Co ᾐ Co, η A, ἠ Β, ἢ S 19. οὗ ἡ ἐκ τοῦ Co, οὔση ἐκτου A, ρὔση ἐκ τοῦ B cod. Co, οὗ ἴση ἐκ νοῦ S κέντρου add. S Co, om. AB cod. Co ἢ om. Εὶ 22. λβ A1 in marg (BS), ιγ΄ add. Ηκ Γ Α, τρεῖς ΒS αἱ ΑΒΓ A, distinx. BS

35. 2. ὑπὸ ΑΒ et 3. ὑπὸ ΒΓ A Paris. 2368 S, distinx. BV 6. οἱ ΕΖ A, distinx. BS 9, 10, τὸ ὑπὸ Α Β — δυνάσθω add. Co 11, ὑπὸ ΒΓ AS, distinx. 3 12. κώνου Hu pro κύκλου (proprie dicenda erant τοῦ κώνου τοῦ ἀπὸ τοῦ Ε κύκλου) 13. τῇ Γ Ei, τῶι Γ ABV, om, Paris. 2368 S 15. τῇ Α Ei pro τῶι A 16. ὑπὸ AB — ὑπὸ ΒΓ ABS, distinx. Hu 17. 18. τουτέστιν — τοῦ Ζ interpolatori tribuit Hu, δυνάμει post Ε et post Z. add. Ei, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Z coni. Co 18. πρὸς τὴν Ζ

36. 1. 2. ΒΓΕ τριγώνω A1 ex ΒΓΕ τρίγανον 7. ἡ ΓΕ Co pro ἡ Γ 11. ἡ ante δόσις add. ABS, del. Ei 13. τῷ ante κώνῳ om. Ei μὲν om, S Ei 16. γινομένη κωνικη επιφανεια A, γιν. κωνικὴ ἐπιφάνεια B, corr. S ιε΄ Mu, Ι∠ ΑΒ Co, ἑνδέκανον S Εi (ergo hic Archimedem evolvere non duxit operae pretium] 17, παντὸς — 21. κώνου interpolatori tribuit Hu 19. aut μέσον λόγον ἔχει (sic Ei), aut μέση ἀνάλογόν ἐστιν scribere debuit interpolator 21, ἐὰν ἄρι Ss Co, εν παρε A, ἓν ἄρα B, ἐὰν γὰρ Paris. 2368 23. κώνου AΒ, corr. S 24, 25. γινομένη κωνικὴ ἐπιφανεια A, γινομένη κωνικῇ ἐπι-

37. 1. ὅτι om. S Ei 3. γινομενη ἐπιφανεια A, corr. BS κατὰ τὴν στροφὴν γινομένῃ ἐπιφανείᾳ Ei 7, τοῦ om. Ei 12. ην πειω A, corr BS 13. τοῦ ΒΖΓ Co pro τοῦ ΑΖΓ 16. τοῦ ΑΓΖ idem pro τοῦ ΛΓΖ 17. κολούρου] vide adnot. ad Lat. 18. τὸ αὐτό om. Ei, restituit et proxima ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ interpolatori tribuit Hu τοῦ Γ Co pro τοῦ ΓΕ 20. λε A1 in marg. (BS), ιϚ΄ add. Hu

38. 2. τῷ ante ἀπὸ τῆς add. B1 7. αὐτήν Ei. κὐτὴν ΓΖ A1B3, αὐτὴν τῷ ζγ B1, αὐτὴν ζγ S, αὐτὴν τὴν ΓΖ voluit Co 8. Ἔστι δὲ Ei 8. 9. τῆς ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένης ἐπιφανείας κυλινδρκῆς οὔσης ABS, corr. Ei auctore Co 12. ιδ΄ Hu, ΙΓ A, ΙΓ ω Β, τρισκαιδεκάτῳ S Ei (conf. adnot. 2 ad propos. 24) 18. 14. κύκλῳ — δύναται add. Co 14. τὸ Co, τῶι ABS (quod quidem ante κύκλῳ reponit Co) 15. λς A1 m5 marg. (BS), ιζ΄ add. Hu τῶν ∠Γ A, distinx. B, τῶν δ S Ei

39. 2. τρίγωνον ABS, corr. Ei auctore Co 3. πρὸ δυοῖν Hu, πρὸς δὲ ABS, proxime Co, πρὸ ἑνὸς Ei 5. γινομένης AB, corr. S ἐπιφάνεια A, corr. BS 6. τοῦ ∠ΒΓ Co pro τοῦ ΑΒΓ τριγώνων AB, corr. S 7. 8 γινομένης ἐπιφανείας AB, corr. S 13. ΛΗ 1 n marg (BS), ιθ᾿ add. Hu δὲ om Ei 14. τὸ ∠ΑΒ ΖΓΗ | καὶ A, τὸ δαβζγη καὶ BS, corr. Co post ᾗ καὶ add. ἄλλο τι πολύγωνον Ei ὁποσαου A1, ὁποσαουν A2, ὁποσουν B1, corr, B3S 15. κμθέτους A} ex καθέτου 19. ἴσων add. A1 super vs. 20. τῇ EB Hu pro τῆι AB εξης (sine spir. et acc.) A, ἐξ ἦς BS, corr. Hu εξῆς τὸ σχῆμα del. Co Εi 21. ΛΘ A1 in marg. (BS) κ΄ add. Hu 22. τὸ Σ Co pro τὸ Ε γραφῆτι A (ι in rasura), distinx. BS 23. τὸ ΒΕΖ ΘΛ A, coniunx. BS, Γ add. Co

40. 3. βάσις μὲν ἡ Ei auctore Co pro ἡ μὲν 9. δʼ ὅτι Hu pro ἤδη τὸν Ξ ΣΑ A, coniunx. BS 11. μ A1 in marg. (B Paris. 3368 V, om. S), κα΄ add. Hu ἡ ante βάσις add. Ei 14, δὲ τὸ BS, το δε τὸ A 20 —p. 402, 2] totus hic locus misere turbatus eat in codicibus, quem nos, quantum probabili conieclura assecuti sumus, restituimus (longe alia ratione Ei, de quo vide append.) 20. 21. ἡ Β∠Ε ἐλάσσων ABS, corr. Co 21, τῆς ΓΒ Ei pro τῆς ΓΔ τοῦ ΑΕΒ Cο pro τοῦ ΑΒΕ 22. ἤχθω Co, ἐδείχθη ABS, εἰλήφθω Ei ὑπὸ ΑΒΓ∠ AB, distinx. s 23. 24. ἐπὶ τὰ ΚΒ A, distinx. B, ἐπὶ τὰ β κ S 24. καὶ τὰ ἡμίση — p. 400, 1. τὰ Β Κ om. S Ei 24. καὶ AB3, om. B1 ἡμίση Co pro ἤμισυ ἡμίσει add. Hu (ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Β Κ καὶ τῆς ἡμισείας Co)

41. 1. ἐπὶ τὰ ΒΚ Α, distinx. Β τὸ γὰρ δὶς — 4. ἠμικυκλίῳ interpolatori tribuit Hu (om. Ei) ὑπὸ ΑΒ∠ Co pro ὑπὸ ΑΒΓ 4. 2. τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ∠ Α, distinx. BS 2. ἀπὸ add. Co ἐσεὶν om. S 4. γεγράφθω S Ei 5. ἀρτιόλευρον interpolatori tribuit Hu τὸ ΑΕΖ ΗΘΛΒ A, coniunx. BS 6. δυνατὸν — 9. τὴν ΒΛ forsitan interpolatori tribuenda sint, quoniam eadem iam supra cap. 54 scriptor exposuit 7. τὸ om. AS, add. B Ei ἡμίσειαν S, L AB 13. ὑπὸ ΑΛΓΟ Α, distinx. BS, item p. 402, 1. 3 sq. 7 13. 14. ἡμίσους

42. 1. ἡμίσους τοῦ ἀκʼ αὐτῆς] τοῦ ἐπʼ αὐτῆς ABS, eo quod iisdem continetur Co, corr. Hu 2 τοῦ ὑπὸ ΑΒ∠ Co pro τὸ ὑπὸ ΑΔΒ 4. μεῖζον AΒ Paris, 2368 S, corr. V 7 τοῦ om A add. BS

43. 3. ὥστε Co pro ὡς δὲ 7. μείζων AB, corr. S στερεὸν AB, εἰρημένον S Ei 8. ἀδύνατόν A1 ex δυνατόν 9. μα A1 in marg. (BS), κβ΄ add. Mu 13. 14. ὡς—ΑΒΓ interpolatori tribuit Hu 13. τὸ S, AB 15. 16 δὲ η μείζων A(BS), K add Co 18. τῶν ΚΑΒ ABS,

44. 1. διὰ τὸ ε θεώρημα AΒ, διὰ τὸ πέμπτον θεώρημα S Εi, om. Co, corr. Hu 2. δυναμένη τὸ ὐπὸ ∠M add. Hu auctore Co, item vs. 5 sq. (δύναται τὸ ὑπὸ AB ∠M Ei) 6. 7. ἐκ τοῦ κέντρου — τὸ κ΄ θεώρημα om. Ei 7. κ A(B), εἰκοστὸν S, 35. Huius Co τῷ δὲ κώνῳ — 18> ἡ ΒΓ del. Ei 9. ἴση add. Hu 10. κώνωι ABS, corr. Co 12. ὑπὸ ∠Μ ΑB Co pro ὐπὸ ∠ΖΑΒ (distinx. BS), item vs. 13 et 17 sq. pro ὑπὸ AB 15. 16. κατὰ — στροφὴν om. Co 16. τὴν ∠Μ Hu pro

45. 3. τῆ * ΑΒ εὐθεῖα A, corr. BS 5 οἱ ΘΚ A, distinx. BS ὧν aute ὁ μὲν add S Ei 10. ἡ ante ΑΓ add Hu 13. K alterum add. Co 16. μΓ A1 in marg. (BS) 22 23. τρισαχθωσιν (sine acc.) A, πρεσαχ-

46. 3. ∠ A, τέσσαρσι BS ἴσην ἄρα AB, ἡ ἄρα S, corr. Ei 7. τὸ Ϛ AB, τὰ ἓξ S 8. τέσσαρα S 13. lacunam indicavit Co (temere neglexit Εi) 16. Ἐδείχθη — 21. κύκλοις om. Co, interpolatori tribuit Hu 16. ἀνώτερον] propos. 24 19. ηινομένη* A 22. τοῦ ante Ἀρχιμ. add. Ei 27. καὶ τὴν — ἐχούσας et p. 412, 1. τῶν προειρ. σχημάτων et p. 412, 3. ἐπ εὶ καὶ — 6. χρεία interpolatori tribuit Hu

47. 6. δὲ add. et τῶν συγκρίσεων interpolatori tribuit Hu 8. μ∠ A1 in marg. (BS), α΄ add. Hu 19. ἐλάσσων AB, corr. S 12. δίχα — τὴν ΒΓ et 13. δῆλον — 15. τριγώνου forsitan interpolator addiderit 13. τὸ Β∠ ΕΓ AB, coniunx. S 19. ἐλασσον (sine acc.) A(B), corr. S 20. τὸ ΖΓ] τὸ ΒΖ A1, τὸ ΖΒ A2 BS, corr. Co 22. τουτέστιν

48. 1, 2. Ἔστω τρίγωνον ὀκταέδρου τοῦ εἰς τὴν σφαῖραν ἐγγεγρεμμένου τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ αὐτὸ cet. coni, Hu 1. τοῦ ὀκταέδρου] τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας ABS, quae om. Ei 3, τὰ add. Hu ἐπίπεδον om, S, unde ἐπὶ τὸν κύκλον κάθετος Ei 6. τής anle ∠Ε add. Ei 8. διπλάσιός ἐστιν Ei invitis ABS 9, 10. δυνάμει τετραπλάσιον ἄρα ABS, corr. Co 11. ἐπεὲ BS, ἐπὶ A μὲν add. Hu 11, 12. διὰ τὸ Θ AB cod. Co, διὰ τὸ ἔννατον S Ei, corr. Co 12. στοιχείου ABS, corr, Hu ἐστὶν del. Co 14. τὰ ἄρα S Cο, τὸ ἔρα AB cod. Co 18. μϚ A1 in marg. (BS) γ΄ add. Hu 19, τὸ AB Γ∠Ε A, coniunx. BS 22. τοῦ * Ζ A 23. ἴση — τῇ HB forsitan interpolator addiderit 23 24. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ καὶ ΕΒ coni. Co (oportebat καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ EB; at rectam εβ,

49. 1. τρίγωνον et ἡ ἄρα — 2. τοῦ ΑΒΕ add. Α2 in marg. (BS) 1. κύκλομ add. Hu auctore Co 2. κύκλου add. Hu, τριγώνου Εi auctore Co 9, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ AB cod. Co, corr. S Co 9 10. τῶι ἀπὸ ΘΗ ABS, corr. Co 12. ὡς ἡ ΕΒ ABS, corr. Co 13. τὰ ΕΖ ἡ ΕΖΘ A, corr. BS 13. 14. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΖ ΑΒ cod. Co, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ζθ S, corr. Co 17. μζ A1 in marg. (BS). δ΄ add. Hu 19. τοῦ add. S 20 τὸ δὲ Ε ἄρα AB, δὲ del. S 25. ἐπεὶ Paris. 2368, ἐπὶ ABSa

50. 3. τῆς ante ΓΒ add. Ei 5. ἄρα add. Hu auctore Co 3, δʼ Co, Γ Α (S, sed id in Paris. 2368 punctis notatum), Γ΄ Β θεωρήματος ABS, corr. Hu (στοιχείοις τὸ δ΄ θεώρημα τοῦ τρισκαιδεκάτου Ei) 10. 11. ἅπαξ ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστιν τῶ ὑπὸ A(BS), corr. Co (ἅπαξ ὑπὸ ΑΓ etc. imperite Ei) 12. τὸ τρίτον θεώρημα S Ei. τῷ γ΄ θεωρήματι Hu 13, τῶ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ bis scripta in A 18. ἴσον τὸ ὑπὸ A, corr. BS 19. τρίτον τοῦ δευτέρου στειχείου S

51. 2. 3. αὔτη — στοιχείθις interpolatori tribuit Hu 3, τῶν ΕΓ ΑΒ, distinx. S 4. αἱ ZEH ΓΛ Hu, αἱ ΖΕ ΗΓΑ ABS, αἱ ΖΕΘΗ ΓΛ Co, αἱ ΕΗ ΓΛ Ei ἑκατέρας ABS, corr. Ei auctore Co 4. 5. τῶν ΕΦΓΛ A, dstinx. BS 7. θεωρήματι Mu 10. ὑκὸ ΒΓΑ Co pro ὑπὸ ΒΑΓ διὰ τὸ θεώρημα ABS ΕI, numerum add. Co 11. ἔτι Ba, ἐστιν A, ἐστὶ B1S Ei 13. 14. πρὸς ὀρθάς ἐστι add. Ei auctore Co, tum post καὶ τὸ add. α AS cod. Co, α’ B, quod punctis nostatum in S del. Co 14. τὸ (post ἐστὶν) Co, ηο A cod. Co, ἡ o Β, ηο S 15. καὶ ἡ Β∠ — 17. ἐδείχθη interpolatori tribuit Hu 18. τὸ Β∠Λ Hu, τὸ ΒΑ∠ Co pro τὸ ΒΑΛ 20. τὸ Β∠Λ Hu pro τὸ ΒΛ∠ 22. 23. τό τε ΓΚ∠ καὶ τὸ ΒΑΛ ABS, corr. Co (τό τε ΑΓΛ καὶ τὸ ΒΛ∠ Ei)

52. 1. καὶ διπλῆ — τῆς ΒΚ om Ei τῆς ΒΚ Co pro τῆς ΟΚ 3. καὶ add. A1 super vs. 4. τῇ ΓΜ Co, τῆς Μ AB, τῇ μγ S Ei 8. οιον (sine spir. et acc.) A, oἷον B, corr. S ἡ ΛΝ καὶ ἡ KNB A, distinguenda esse significavit B, ἡ λν τεσσάρων καὶ ἡ κν δύο S Ei 11. ἐστιν ε΄] ἐστιν τε A, ἐπτι Β, ἐστι τριῶν S, ἐστι πέντε Ei auctore Co 12. ἡ ΚΞ Cο, ἡ ΗΚΞ Η |Γ Α, ἡ ηκξ νεγ Β (ac similiter cod. Co), ἡ νκξ s 14. 15. ἡ ΕΞ] τὸ ς ΑΒ, τὸ σ s. τὸ ΕΞ Co. ἡ corr. Ei 20. 21. γὰρ γὰ ON Ι Λ ΙΜΑv ΚΓ Α. γὰρ τὰ ονι λιμ ακγ BS, ΛΙΜ om. Ei, ΛΚΓ corr. Co 23. ∠Ε τὰ ΑΒ, corr. S 25, 26 γὰρ ἡ ∠Κ τῆς ∠Ι ABS, corr. Co 26. ἀπὸ ΚΛΙΕ τῶν ἀπὸ Β∠ μείζονα A (BS, nisi quod κλ ιε), τα corr. et μείζονα del. Co, ἐστιν add. Hu

53. 1. τὸ om. ΑΒ, add. s 2. post λϚ add. ∠ AS cod. Co, δʼ 8, del. Co 3. 4. καὶ δώδεκα — ἀπὸ Β∠ om. S, quapropter ex Latinis Commandini τουτέστι δώδεκα τἀπὸ ΟΝ πέντε τῶν ἀπὸ Β∠ μείζονά ἐστει· add. Ei 4. ἀκὶ ΟΝ (ante μείζονα) Co, ἀπὸ ΓΕ ΑΒ 5, ΝΑ

54. 2, ὡς μἱ ΑΒ Β∠ ABS, corr. EI 3. κατὰ ΓΖ A, dastinx. BS 7. A1 in marg. (BS), θ’ add. Hu 8. καὶ τῆς ΑΓ πρὸς ΑΒ, corr. S 11. 12. τῶν AB ΓΒ ∠Γ Α, recte distinx. BS 13. δη ΒΓ Α, δὲ ἡ βγ 31, δὴ ἡ βγ B3S, corr. Hu 20. μήκει et 21. δυνέμει ἐνναπλῆ del. Ηυ (vide adnot 1 ad Latina) 21. ὁ ante λόγος add: S Ei. 22. πρὸς τὴν ΓΖ AB Co. πρὸς τὴν βγ S, quod in πρὸς τὴν ζγ corr. Sca 27, τῶν KH KZ ἄρα AB, distinx. S 28. στοχείου ABS, corr: Hu auctore Co

55. 6. τῆς ∠Ε ΗΖ A1, corr. A rec. BS 7. ἡ δὲ ΖΗΓ A, distinx. B (ἡ δὲ ζη τριῶν S Ei) 8 et 9. δυνάμει ὃν Hu pro ὃν δυνάμει Ε πρὸς τὰ Γ A, πέντε πρὸς τὰ τρία Β, πέντε πρὸς τρία S Ei 40, ΝΓ A1 in marg. (BS), ι΄ add. Hu οὗ Hu auctore Co pro καὶ 14. τὸ ἀπὸ ΓΒ Β∠ A, τὸ ἀπὸ γδβ βδ Β (sed γδβ ut spurium notatum), corr. S (τὰ ἀπὸ ΓΒ∠ Ei) post πενταπλάσια add. ἐστι Ei, item vs. 18 post ἄρα 15. ἡ ΖΗ ΗΓ ΑΒ, ἡ add. S 17. τῶ ἀπὸ ΘΗ A(BS), corr. Co 21. ὡς ἡ Ε πρὸς ABS, corr. Co (ὡς ἡ ΕΗ Ei) 23, τοῦτο — 25. παραλληλογράμμου interpolatori tribuit Hu 24. στοιχείων AB, στποχείου S Ei 26. πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΑ ABS, corr. Co

56. 1. ἄρο ἀπὸ ΒΖ ΖΘ ABS, corr. Co 4. τῷ Ο Co pro τῶ Θ 8. τοῦ ante κέντρου add. Ei ἐν τῶι Γ A, ἐν τῷ τρίτῳ S, corr. Β 10. τοῦ ἀπὸ ΜΞ AB, corr. S 12. ὡς ᾑ ΒΖ τῆς ΝΞ ἡ ΖΗ πρὸς ΝΟ ABS, corr. Co 13. ἓν τρὸς ἕν idem pro ἔμπροσθεν 14. ἀπὸ ΒΚΜ idem pro ἀπὸ ΒΚ 15. ἀπὸ τῶν ΒΖ ΖΒ AS, ἀπὸ τῶν βζ ζν Β cod. Co, ἀπὸ τῶν ΒΚ ΚΜ Co (quod in ΒΚΜ coniunx. Ei) 16. τὰ ἀπὸ ΞΝΙ A, τὰ ἀπὸ ξνρ Β. corr S τῶι ἀπὸ ΞΝ ΑΒΣ, corr. Co 20. 21. ἡ δὲ ΖΗ δωδεκαέδρου οὐσα πλευρὰ καὶ πενταγώνου πλευρά ἐστιν Ei 21. τὸ ABS, τό τε Ei 23. Νς A1 in marg. (BS),

57. 2. τῷ add. Hu 4. τό τε Γ∠ΕΖΗ πεντάγωνον καὶ τὸ ΗΡΣ τρἰγωνον Ei ex Hypsicle 7. στοχείκω A, στσιχείῳ S Ei, corr. B

58. 2. ἀφʼ οὗ Ei ex Eucl. elem. 18, 16 pro ἐφʼ οὗ, item proximo vs. 3. τοῦ κύκλου add. Ei auctore Co 6. ια΄ Ei auctore Co, ∠ A, δ΄ Β, δ S (τέταρτον descripsit Waitzius) 7. 8. τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς Ei 8. στοιχείω A, στοιχείῳ S Ei, corr. B, item vs. 13 9, τοῖς ἀπὸ MH AB, corr. S 13. δωδεκαέδρου] πενταγώνου temere Ei

59. 2. ιγ΄ στοιχείων uncis seclusit Ei 4. ἀπὸ ΖΕ Hu pro ἀπὸ ∠Ε, item vs. 7 5. δεκαπέντε Hu, δὲ καὶ πέντε ABS, δέκα καὶ πέντε Co Ei, item vs. 8 τῆς ἐκ add. Ei τοῦ κύκλου bis scripta in A 6. διὰ τὸ Ζ AB, διὰ τὸ ἕβδομον S, corr. Ei auctore Co στοιχείου ABS, corr. Hu auctore Co 8. ἀπὸ τῆς add. Ei 10. δεκαπέντε Ei, δὲ καὶ πέντε AB, καὶ πέντε S 11. ἀπὸ τῆς Ei pro ἀπὸ τῶν 12. δεκαπέντε Ei pro δὲ καὶ πέντε 13. τὸ ἓν Ei auctore Co pro τὸ ἐν 18. Νζ ον add B, νζ΄ S, ιδ΄ add. Hu 20. τό τε τρίγωνον S, τὸ τετράγωνον AB 21. ὁ ΑΒΓ∠Ε AB, corr. S 26. ΒΘ ΓΘ add. Hu

60. 1. 2. αἱ ΝΕ ΖΞ ΑΡ ΖΜ ΑΒ, coniunx. S. Λ pro A corr. Co 2. ἐπιζευχθεῖσαι A, corr. BS ἡ ΚΟ Co pro ἡ ΚΘ 4. κμὶ ἐπι A(B),

61. 1. τῷ add. Ei auctore Co 2. ἢ B1 S S, ἡ A, ἢ Β3 3. τῶν ΚΘ A, distinx. BS 5. μείζονος AB, corr. S 6. ἔχει δὲ — 6. δ΄ πρὸς γ΄ om. Εi 11. πρὸς τὴν ΕΘ τουτἔστιν τὴν Ε∠ A(BS), corr. Co 13. ξ A1 in marg. (BS) 14. πέντε σχημάτων add. Hu auctore Co ex cap. 72, πολυέδρων Ei ἐλήφθη AB, corr. S 16. εἶτα BS, εια A 17. πυραμίδος] scil. σχῆμα 20. κύβος μὲν AB, corr. 8 τὸ ABS, τὸ ΑB Ei 21. τὸ ∠ΕΖ Co pro τὸ ∠ΖΕ 24. ὃν add. Εi (quam habent Co) 25. ἐπὶ τὸ add. Co, εἰς S 26. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΘ ΕΗ coni. Hu

62. 4. δὶ ἀπὸ Co, ἀπὸ ABS, δὲ ἀπὸ τῆς Εi 5. καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΕ — 7, πρὸς δʼ om. Ei 6. τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τριγώνου τῆς ΗΘ ABS, corr. Co 7. καὶ ἐπΙ A(B), corr. S 10. ἓξ BS, Ϛ A 19. τὸ ∠ΕΖ ἄρα — 21. καὶ ἀνάπαλιν] haec non tam propter verbositatem demonstrationiS Saepius aliis quoque locis obviam quam propter vitiosum ἀνάπαλιν suspecta sunt (vide infra VII propos. 7); ergo his de-

63. 1, ξα Α1 in marg. (BS) 2. τὸ om. A, add. BS 4. ἀγομένη Ei invitis ABS 6. ἓξ S, Ϛ AB 9. τὸ ἀπὸ As Co, τοῦ ἀπὸ BS cod. Co 10. τετράγαωνον As S Co, τεπραγώνου Β cod. Co 11, 12. τὸ ἀπὸ ΖΘ∠ ABS, distinx. Hu (τὸ ἀπὸ ΖΘ τεσσέρων Ei) 17. πρὸς

64. 5. κβ add. B(S) 9. τῶν (ante περιλαμβ.) add. Ei 10. αἱ ΗΘ ΚΛ] ἡ ΘΚΛ AB, ηθ κλ S, αἱ add. Ei 12. πέντε δὲ πὰ ἀπὸ ΕΖ add. Ei auctore Co 18. ἤπερ ὴ ὁμόλογος πλευρά Εi πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν add. Εi 19. ἀπὸ ΒΓ Cο pro ἐπὸ ΑΒΓ προδέδεικται Hu, προδε . . . . . . A1, ∠ E add. A2, unde πρὸw δε· δ΄ ε΄ Β, προ δὲ δε S. προεδείχθη Ei, Co 22. κμὶ τὸ Γ΄ Β, καὶ τὸ τρίτον S 22. 23. τοῦ Γ A, τοῦ Γ S, τοῦ τρίτου S 23. μείζων A, corr. BS 24. post τὸ add. A τρίτον, sed id expunctum 26. 27. τοῖς ΑΒΓ∠ διὰ AB, corr. S 27. μεῖζον ἄρα S, μείζονα A, μεῖζον B

65. 1. ξΓ add. B(S) 5. ἐπὶ 8, ἐπεὶ AB 7. Co, ΙΓ AB, τρισκαιδεκάτῳ S 8, 9. πεντάγωνον — καὶ τὸ add. Co 9. 10. τοῦ — ἐγγραφομένου S, τῷν — ἐγγραφομένου AB et, ut videtur, cod. Co, τῶν — ἐγγραφομένων coni. et τῷ δωδεκαέδρῳ del. Co 15. διὸ ἐὴ — 25. ∠ΗΘ τριγώνῳ interpolatori tribuit Hu 15, διὸ Paris. 2368, δει ὁ A, δε ὃ (sic) Β, δύο S 19. ἀλλὰ καὶ ὡς ABS, ὡς δὲ Ei ἰσοπλεύρου vitiose interpolator, cum id aut omitti tamquam consentaneum aut ante τριγώνου poni oportuerit 20. τὸ δεχόμενον AB, corr. S 22. πρὸς τὴν αλ S, πρὸς τὴν ay τὴν ΑΛ A(B) 23. σψαίρας — κέντρου add. A2 in marg. (BS) ἡ Η∠ Co pro ἡ Ε∠ 24. τοῖς AB1, distinx. B3S 26. ἐν τῶι ∠ AB, ἐν τῷ τετάρτῳ S, corr. Co

66. 1, δώδεκα BS, ιβ A 3. 4, τὸ πεντάγωνον A8, corr. S 4, τρίγωνον add. Ei κύκλον AB, corr, S 5, post πεντάγωνον repetunt φανερον A (B2 in marg.), sed id in A expunctum 6. ἡ ∠Θ Co pro ἡ ∠Ε post μείζων ἐστιν add. ἡ AB cod. Co, del. S Co 10. τῆς ΑΛ καὶ τὸ τρίγωνον ἄρα ABS, corr, Co 12. ἐπίτριτον τῆς

67. 1. αἱ ωφωυ ω τ ΥΦ A, distinx. BS, Ω𝒢 corr. Hu (Ως Ei 3. κάθετος AB, corr. S 5. οὐ σημεῖον ἀστήρ interpolatori tribuit Co 6. δώδεκα S, IB A, δώδεκα expunctum et ιβ prima manu B 7. ἔστω — 11. ἀπὸ 𝒢Τ om. Ei 7. τὸ Α,Β,Γ Hu, τὸ λ β𝒢 ABS (nisi quod τὸ om. S) 8. τοῦ ∠Ϲ ὠς ἐν A(S), τοῦ δς ὡς ἐν B, corr. Hu auctore Co 9. τοῦ φω τῶι τε ∠ζ 𝒢 τριγώνω A, τοῦ φω τῷ τε ∠ . . τριγώνῳ B, τὸ υψω τῷ τε δζε τριγώνῳ S, τῷ τε ∠, Α,Ε corr. Hu (τῷ τε Α, Ε,∠ voluit Co) 10. 11. καὶ ιβ΄ — ἀπὸ B, Γ] “vera haec quidem sunt, sed quid ad demonstrationem conferant, non video” Co 10. ΙΒ τὸ ἀπὸ ∠𝒢ς μείζονα A(B), δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ δεσ μείζονα e Paris. 2368 descripsit Waitzius. ιβ τὰ ἀπὸ δες μείζονα SV, corr. Hu auctore Co 10. 11. τῶν ἀπὸ Β𝒢 ABS, corr, Mu auctore Co 11. τουτέστίν —ʼ ἀπὸ 𝒢Τ] corrupta haec sunt, ut opi nor, neque enim vera; quare si quis ea una cum antedictis de medio tollat, fortasse non errabit” Co ε A, πεντάκις B, πέντε S ἀπὸ 𝒢Τ Hu, ἀπὸ ωφ ABS Co 18. ὡς τοῦ ωτ AB, ως τὸ νωτ S, corr. Hu (ὡς τὸ ζ ΩΤ Ei) τῷ ω S, τὸ ω A1B, τῶ ω A2 15. ἀπὸ 𝒢Ω Hu, ἀπὸ γω ABS (ἀπὸ ζΩ Ei) 18. ἡ ΕΓ Co pro ἡ ΘΓ

68. 1. 2. ἀπὀ 𝒢ω recte hoc loco ac similiter posthac ABS (ἀπὸ ςΩ Ei) 2. 3. πεντεκαιδεκάκις atroque loco S, ε καὶ δεκάκις AB priore, πεντάκις καὶ δεκάκις altero loco 3. καὶ επιεχομενη πρίγωνα A(B), corr. 8 3. 4. τὰ ΣΡΠ Co pro τὲ ορπ 4. ἴσαι AB, corr. S 5. 6. τὰ ΣΡΠ — τοῖς 𝒢ΩΤ om. S 5. τὰ ρπ ἴσα A(B), corr. ?? auctore Co ἐστὶν et 6. τριγώνοις om. Ei 8. τὸ ἄρα Ei auctore Co pro τοῦ ἄρα 12. τὸ ἄρα — 15. τῇ ΚΓ om S Ei 17. καὶ λς τὰ ἀπὸ ΕΙ AB, καὶ δ𝒢 τὸ ἀπὸ εη Paris. 2368, καὶ δι τὸ ἀπὸ εη S, καὶ δ𝒢 τό

69. 3. Β∠Λ add. Ei 4. 5. τουτέστιν — ἀπὸ Ε,Α om. Ei ἀπὸ Δρε πρὸς ιε τὰ ἀπὸ ρελ AB(S), corr. Hu auctore Co 6. 7. τὸ ∠, Α,Ε] τὸ Λ Λ η ε AB. τὸ λ δ ?? ε S, τὸ ΟΛΝ Ei. corr. Co 7. s. τὰ ἀπὸ υω S, τὸ ἀπὸ τω A, τὸ ἀπὸ υφ B 8. 9. μείζονα — ἀπὸ ΩΦ add. Co 12. ξε B, ξ∠ Α1 in marg. S) 13. αἰεὶ Hu pro πολὺ 13, ἐλαχόστων recte se habere neque vero ἐλάχιστον scribendum esse docet Euclides elem. 11, 21

70. 1. γωνίαν AB, corr, S 4. post πολυγωνοτέρου add. του A, τοῦ BS, del. Ei περιενεχθῆναι S, περιέχεσθαι Ei 6. πενταγώνου Hu, πενταγώνων ABS, πενταγώνου γωνιῶν Ei 7. μόνων Hu, μενων A(B), μόνον S Εi 18. τοῦ αὐτοῦ Ei pro τὰ τοῦ 20, in fine add. παππου μλεξανδρεως συναγωγῆς ε περιέχει δε συγκρίσες τῶν ἴσην περίμετρον εχόντων των επιπέδπων σχξ,άτωμ προσαλληλα τε κει των κὑκλεν και συγκρέσεις των ἵσην επιφάνειαν εχόντων προς αλληλα τε καὶ τʼ σψαιραν A3 (τἑλες τοὖ πέμπτου τῆς πάππου τοῦ ἀλεξωνδρίως συμαγωγῆς B, τέλες τοῦ ε΄ τῆς συναγωγῆς πάππου S)

Pappus Alexandrinus Synagoge 4

ed. Friedrich Hultsch

Search the Perseus Catalog for:

ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ε.

Current edition First1KGreek

Notes on the current edition

Stable identifiers