Search the Perseus Catalog for:

← Previous Next →

ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.

Περιέχει δὲ προβλήματα γεωμετρικὰ ἐπίπεδά τε καὶ στερεά.

1 Οἱ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ ζητούμενα βουλόμενοι τεχνικώτερον διακρίνειν, ὦ κράτιστε Πανδροσίον, πρόβλημα μὲν ἀξιοῦσι καλεῖν ἐφʼ οὗ προβάλλεταί τι ποιῆσαι καὶ κατασκευάσαι,
θεώρημα δὲ ἐν ᾧ τινῶν ὑποκειμένων τὸ ἑπίμενον αὐτοῖς καί πάντως ἐπισυμβαῖνον θεωρείται, τῶν παλαιῶν τῶν μὲν προβλήματα πάντα, τῶν δὲ θεωρήματα εἶναι φασκόντων. ὁ μὲν οὖν τὸ θεώρημα προτείνων συνιδὼν ὁντινοῦν τρόπον τὸ ἀκόλουθον τούτῳ ἀξιοῖ ζητεῖν καὶ οὐκ ἂν ἄλλως ὑγιῶς
προτείνοι, ὁ δὲ τὸ πρόβλημα προτείνων ἂν μὲν ἀμθὴς ᾖ καὶ παντάπασιν ἰδιώτης, κἂν· ἀδύνατόν πως κατασκευασθῆναι προστάξῃ, σύγγνωστός ἐστιν καὶ ἀνυπεύθυνος. τοῦ γὰρ ζητοῦντος ἔργον καὶ τοῦτο διορίσαι, τό τε δυνατὸν καὶ τὸ δύνατον, κἂν ᾖ δυνατόν, πότε καὶ πώς καὶ ποσαχῶς δυνατόν.
ἐὰν δὲ προσποιούμενος ᾖ τὰ μαθήματά πως ἀπείρως προβάλλων, οὐκ ἔστιν αἰτίας ἔξω. πρῴην γοῦν τινες τῶν τὰ μαθήματα προσποιουμένων εἰδέναι διὰ σοῦ τὰς τῶν προβλημάτων προτάσεις ἀμαθῶς ἡμῖν ὥρισαν. περὶ ὧν ἔδει καὶ τῶν παραπλησίων αὐτοῖς ἀποδείξεις τινὰς ἡμάς
εἰπεῖν εἰς ὠφέλειαν σήν τε καὶ τῶν φιλομαθούντων ἐν τῷ τρίτῳ τούτῳ τῆς συναγωγῆς βιβλίῳ. τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν προβλημάτων μέγας τις γεωμέτρης εἶναι δοκῶν ὥρισεν ἀμαθῶς· τὸ γάρ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ λαβεῖν ἔφασκεν εἰδέναι διʼ ἐπιπέδου
¹ ἠξίου δὲ καὶ ἡμᾶς ὁ ἀνὴρ ἐπισκεψαμένους ἀποκρίνασθαι περὶ τῆς ὑπʼ αὐτοῦ γενηθείσης κατασκευῆς, ἥτις ἔχει τὸν τρόπον τοῦτον.

2 α΄. Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ Β∠, καὶ
κείσθω τῇ ΑΒ· ἴδη ἡ Β∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Γ, καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ∠Η, καὶ κείσθωσαν τῇ Β∠ ἴσαι αἱ ∠Ν ΝΛ ΛΞ ΞΚ καὶ διὰ τῶν Ν Λ Ξ Κ σημείων τῇ ΒΕ
παράλληλοι αἱ ΝΟ ΛΜ ΞΠ ΚΘ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΚΡ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΚP κατὰ τὸ Σ, καὶ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, ὡς δέ ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, οὕτως ἡ ΘΤ πρὸς ΘΦ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΞΠ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΧΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΚ καὶ ἡ ΚΦ καὶ ἀπὸ τοῦ
Σ τῇ XΦ παράλληλος ἡ ΣΨ, ὑπὸ δὲ τοῦ Ψ τῇ ΚΞ παράλληλος ἡ ΨΩ, καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ, οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ. ὡς δὲ ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΟΝ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΝΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ καὶ ἡ ΓΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ω τῇ ΒΓ
παράλληλος ἡ Ω∠, ἀπὸ δέ τοῦ ∠ τῇ ΛΝ παράλληλος ἡ ΛΕ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ∠Η πρὸς ΗΕ, οὕτως ΗΕ πρὸς ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΓ, καὶ ἤχθωσαν τῇ ΘΓ παράλληλοι αἱ ΖΚ ΕΛ, καὶ ἀπὸ τῶν Κ Λ ταῖς ΑΓ B∠ παράλληλοι αἱ ΚΜ ΛΝ
δεῖξαι ὅτι τῶν ΑΓ Β∠ υέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΚ ΝΛ.

3 Ταῦτα μὲν οὖν ἐκεῖνος γράψας ἐξέδωκεν ἡμῖν μὴ περιέχοντα καὶ τὴν ἀπόδειξιν τοῦ προκειμένου προβλήματος. ἐπειδὴ δὲ καὶ Ἱέριος ὁ φιλύσοφος καὶ ἄλλοι πολλοὶ τῶν αὐτοῦ μὲν ἑταίρων ἐμοὶ δέ γνωρίμων ἠξίωσαν ἀποκρίνασθαί με τέως περὶ τῆς προκειμένης κατασκευῆς, ἐκείνου
τὴν ἀπόδειξιν ἐπαγγειλαμένου ποιήσασθαι, τοσοῦτον ἔχω τὸ νῦν εἰπεῖν, ὡς οὖ δεόντως, ἀλλʼ ἀπείρως ἐχρήσατο τῇ κατασκευῇ. διχοτομήσας γάρ τὴν ΡΚ εὐθεῖαν τῷ Σ καὶ ποιήσας ὡς μὲν τὴν ΚΘ εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως τὴν ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, ἐποίησεν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ καὶ τὴν ΓΘ
πρὸς τὴν ΘΦ. πᾶσα δὲ ἀνάγκη μήτʼ ἐκεῖνον εὑρίσκειν τὸ σημεῖον τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λόγου, ὡς τὸ Φ, μήθʼ ἡμᾶς. τῆς δέ τοιαύτης ἀπορίας παρά τὴν αὐτοῦ αἰτίαν ἐπακολουθούσης ἐνεφάνισεν ἑαυτὸν μηδέ τοῦτο συνιδόντα τὸ ἀκόλουθον.

4 ἀδυνάτου γὰρ ὄντος ὁρισθῆναι τὸ τῆς τομῆς σημεῖον,
ὡς τὸ Φ τοῦ τρίτου λόγου, μὴ πρότερον ὑποτεθέντος τοῦ λόγου ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὐ μόνον αὐτὸς πειρᾶται ζητεῖν τὸ ἀδύνατον, ἀλλὰ καὶ ἡμᾶς ἀξιοῖ, ὑποτεθέντος μέντοι τοῦ λύγου τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν ἡ ΒΕ
πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ δοθείσης τῆς ΚΘ, δέδοται ἡ ἐλάσσων εὐθεῖα τοῦ τρίτου λύγου. καὶ δοθέν ἐστιν τὸ Θ σημεῖον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης. καὶ ὅτι ἤτοι μεταξὺ πίπτει τῶν Θ Ρ ἢ μεταξὺ τῶν Ρ Τ δῆλόν ἐστιν. ὅτι γὰρ καὶ τὸ Τ μεταξὺ πίπτει τῶν Ρ Σ δείξομεν,
³ καὶ πρότερον ὅτι τὸ Φ σημεῖον ποτὲ μὲν μεταξὺ τῶν Θ Ρ ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν Ρ Γ παρά τὴν ὑπόθεσιν τοῦ λόγου ὃν ἔχει ἡ ΚΘ δοθεῖσα πρὸς τὴν ΘΡ.

5 Ὑποκείσθω γάρ ὁ δοθεὶς λόγος πρότερον διπλάσιος τῆς ΚΘ πρὸς τὸν ΘΡ, τουτέστιν τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ,
ἢ τῆς Β∠ πρὸς ΑΓ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄, τουτέστιν ὃν δ΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν δ΄ πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, τουτέστιν ὡς δ΄ πρὸς γ΄, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς γ΄ πρὸς β΄ καὶ δ΄΄. ὡς δὲ καὶ τὰ
γ΄ πρὸς τὰ β΄ καὶ δ΄΄, οὔτως αὐτὰ τὰ β΄ δ΄΄ πρὸς ἄλλην ἐάν γένηται, ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῶν δύο μονάδων τῆς ΘΡ, ὥστε τὴν ἐλάσσονα εὐθεῖαν τοῦ τρίτου λόγου καὶ πασῶν ἐλαχίστην ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΘΡ, καὶ τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, μεταξὺ πίπτειν τῶν Θ Ρ.

Ἀλλὰ δὴ ὁ δοθεὶς λόγος ἔστω τετραπλάσιος· λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄ καὶ ἔστιν ὡς τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄, οὕτως τὰ ε΄ πρὸς τὰ γ΄ καὶ η΄΄· ὡς δέ τὰ ε΄ πρὸς τὰ γ΄ καὶ τὸ η΄΄, οὕτως τὰ γ΄ καὶ τὸ η΄΄ πρὸς
ἐλάσσονα τῶν δύο, ὥστε πάλιν ἡ τομὴ τοῦ τρίτου λόγου μεταξύ πίπτει τῶν Θ Ρ.

Πάλιν ὑποκείσθω λόγος τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ πενταπλάσιος λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν δέκα πρὸς δύο· καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν τὰ ι΄ πρὸς
τὰ Ϛ΄. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὰ ι΄ πρὸς τά Ϛ΄, οὕτως αὐτὰ τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ γ΄ S ι΄΄· ὡς δὲ τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ γ΄ S ι΄΄, οὕτως ⁴ αὐτὰ τὰ γ΄ S ι΄΄ πρὸς μείζονά τινα τῶν δύο. καὶ ἔστιν ἡ ΘΡ οὐτῶν τῶν δύο· μεταξύ ἄρα τῶν Ρ Γ τὸ σημεῖον πίπτει τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λύγου.

Καὶ δῆλον ὡς πάντες μὲν οἱ ἐλάσσονες τοῦ τετραπλασίου 6 λόγου ποιοῦσιν τὴν τοιαύτην τομὴν μεταξὺ τῶν
Ρ Θ, πάντες δὲ οἱ μείζους τοῦ πενταπλασίου ποιοῦσι τὸ σημεῖον τῆς τομῆς μεταξὺ τῶν Ρ Τ, ὡς καὶ λῆμμα περὶ τῆς τοιαύτης ἀναλογίας χρήσιμον ὑπέταξα.

Ἐπεὶ οὖν ἐδείξαμεν τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, 7 ποτὲ μὲν μεταξὺ πῖπτον τῶν Θ Ρ ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν Ρ Τ,
τοῦ τοιούτου μηδαμῶς ὑπʼ αὐτοῦ θεωρηθέντος διʼ ἣν εἴπομεν. αἰτίαν αὐτὸς δὲ λέγει δεικνύναι τὸ προκείμενον, ἐάν τε μεταξὺ τῶν Θ Ρ ᾖ τὸ Φ σημεῖον ἐάν τε μεταξὺ τῶν Ρ Τ, ἐκεῖνο χρὴ πρὸ πάντων σκοπεῖν ὅτι, ὅπου ἂν λάβῃ τὸ Φ, ἤτοι κάτω τοῦ Ρ ἢ ἄνω, οὐκ ἔσται ὡς ἡ ΣΘ πρὸς
ΘΤ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως καὶ ἡ ΤΘ πρὸς ΘΡ. ἐὸν οὖν λέγῃ γεγενήσθω ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΡ,” αὐτόθεν ἐλέγχεται τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαβών. ἐκβληθείσης γὰρ τῆς ΞΚ καὶ ἴσης τεθείσης τῇ ΞΚ τῆς ΚΜα,
καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜαΘ καὶ παραλλήλων ἀχθεισῶν τῇ ΚΜα διὰ τῶν Σ καὶ Τ καὶ Ρ σημείων, γεγονὸς ἔσται τὸ ζητούμενον καὶ δῆλόν πως. ἔσται γὰρ καὶ ὡς ἡ ΚΜα πρὸς ΣΜβ, οὕτως ἡ ΣΜβ πρὸς ΤΜΓ καὶ ἡ ΤΜΓ πρὸς τὴν ΡΜδ. ⁵ καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΚΜα τῇ Β∠, ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ, ὥστε καὶ τὴν ΑΓ ἴσην εἶναι τῇ ΡΜδ καὶ ηὑρῆσθαι δύο τῶν ΑΓ Β∠, τουτέστιν δύο τῶν ΚΜα ΡΜδ, δύο μέσας ἀνάλογον τὰς ΣΜβ ΤΜΓ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. εὐθείας γὰρ οὔσης τῆς ΘΚ καὶ σημείου ἐπ αὐτῆς τοῦ Ρ,
ἀδύνατόν ἐστι διʼ ἐπιπέδου θεωρίας λαβεῖν μεταξὺ τῶν Ρ Κ δύο σημεῖα ὡς τὰ Γ Σ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως τὴν ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ τὴν ΓΘ πρὸς τὴν ΘΡ, ὥστε, κἂν τὸ Ζ λάβῃ ἀντὶ τοῦ Σ, καὶ οὕτως ἀδύνατον ἔσται τὸ πρόβλημα στερεὸν γάρ ἐστιν τῇ φύσει.

8 διὰ τοῦτο δέ, οἶμαι, καὶ αὐτὸς εἰδὼς ὅτι τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαμβάνεται, οὐκ ἐτόλμησεν εἰπεῖν τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης εὐθείας ἔστω τὸ Ρ,” ἀνωτέρω δέ, τουτέστι μεταξύ τῶν Ρ Θ, λαβὼν αὐτὸ κατὰ τὸ Φ, ἀποπληροῖ τὰ λοιπὰ τῆς κατασκευῆς ὡς βούλεται καὶ οὐδὲν
ἧττον εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἄπορον ἐμπίπτει λανθανόμενος. οὐ γὰρ ἑκὼν ψευδογραφεῖ διὰ πλειόνων εἰς ἀπάτην τῶν ἐντυγχανόντων, ἀλλʼ ἑαυτὸν παραλογιζόμενος, ὡς δείξω πρότερον κατὰ τὸν ὑγιῆ τρόπον ἐφοδεύσας τὸ προκείμενον καὶ ὕστερον ἐλέγχων αὐτοῦ τὴν ὑπόθεσιν μὴ ὑγιῶς
εἰλημμένην.

9 Ἐπεὶ τοίνυν δοθείς ἐστιν ὁ τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ λόγος καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΘΚ (τοῦτο γὰρ ὑποκεῖσθαι δεῖ), δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΡ καὶ λοιπὴ ἡ ΡΚ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΣΡ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΡΚ· ἦν δὲ καὶ ἡ ΡΘ δοθεῖσα· καὶ ὅλη
⁶ ἄρα ἡ ΘΣ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ ὁ λόγος τῆς ΚΘ πρὸς ΘΣ δοθείς ἐστιν. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ ΘΣ, δοθεῖσα ἄγα ἔσται καὶ ἡ ΤΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΦ δοθεῖσα ἔσται, ὥστε καὶ ἡ διαφορά τῶν ΘΡ ΘΦ εὐθειῶν δοθεῖσά
ἐστιν. εὑρήσθω οὖν τὸ Φ μεταξὺ τῶν Θ Ρ, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν ἐδείχθη. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ ΦΡ διαφορὰ καὶ ἡ τὰ Ρ Χ ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἴση οὖσα τῇ ΞΚ, δοθέν ἄρα τὸ ΦΧΡ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει. δοθεῖσα ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΦΧ γωνία, καὶ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΚΣΨ ἐκτὸς
γωνίᾳ· ἐκβληθείσης ἄρα καὶ τῆς ΩΨ ἐπὶ τὸ Ζ, δοθὲν ἔσται τὸ ΣΖΨ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει. ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέθει οὕτως: ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΡΚ ΡΧ, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ ΚΚ καὶ λόγος ἐστὶν δοθεὶς τῆς ΧΚ πρὸς τὴν ΚΨ (ἱ αὐτὸς γάρ ἐστιν τῷ τῆς ΦΚ πρὸς τὴν ΚΣ
λόγῳ δοθέντι)· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΚ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΨΣ δοθεῖσά ἐστιν, ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΦΚ πρὸς τὴν ΚΣ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΨΣ· καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ ΦΧ· δοθεῖσα οὖν ἐστιν καὶ ἡ ΨΣ. ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΨΣΚ γωνία δοθεῖσα, ὥστε καὶ τὸ ΨΣΖ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ
μεγέθει δεδομένον ἔσται. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΖ, παράλληλος οὖσα τῇ ΞΚ καὶ ἐπʼ εὐθείας τῇ ΨΩ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΩΛ ἴση οὖσα τῇ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΜΛ, ἐλάσσων δέ ἡ ΩΛ τῆς ΣΚ ἴση γὰρ ἢ ΩΛ τῇ ΚΖ), καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς τὴν
ΘΤ καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΦ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΩ, ⁷ ἡ ΜΩ πρὸς τὴν ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς τὴν ΜΒ, ἔσται ἄρα μείζων ἡ MΒ τῆς ΘΦ (καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται)· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΛ τῆς ΦΚ ἐλάσσων. ἐπεὶ οὐν πάλιν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΩΛ ἐδείχθη ἴση γὰρ τῇ ΖΚ δοθείσῃ, δοθεῖσα δέ καὶ ἡ ΛΜ (ὅτι καὶ ἡ ΚΘ), καὶ λύγος ἄρα τῆς
ΛΜ πρὸς ΜΩ δοθείς. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΩ, καὶ ἡ ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ, καὶ δοθεῖσα ἡ ΩΜ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΜΑ.

10 διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΒ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ τὸ Β σημεῖον δοθέν ἐστιν, ὅπερ ἔστω ὑποκείμενον, ὅπου βούλεται, ἤτοι μεταξύ τῶν Ϛ Μ, ὡς νῦν ἐστιν,
ἢ μεταξὺ τῶν Ϛ Α,. τῆς ϚΛ ἴσης ὑποκειμένης ἑκατέρᾳ τῶν ΚΡ ΑΒ . εἰ γὰρ λέγει τὸ Β πίπτειν κατὰ τὸ Ϛ, τὸ ζητούμενον οὐδὲν ἧττον ὡς ὁμολογούμενον λαμβάνει. φαίνεται γὰρ πάλιν ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς MΛ, καὶ σημείου τινὸς ἐν αὐτῇ δοθέντος τοῦ Ϛ, λαβών μεταξύ
δύο σημεῖα τὰ Ω Α καὶ ποιήσας ὡς τὴν ΛΜ πρὸς MΩ, τὴν ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ καὶ τὴν ΜΑ πρὸς τὴν ΜϚ, ὅπερ οὐδεὶς αὐτῷ συγχωρεῖ. τοῦτο γὰρ καὶ οἱ παλαιοὶ ζητοῦντες ἠπύρησαν διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν, ὡς καὶ αὐτὸς δείξω παραθέμενος τάς ἐκείνων φωνάς. καὶ αὐτὸς δὲ οὐδὲν ἔχει
λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἐὰν λέγωμεν αὐτῷ εἰ τὸ Ϛ ἐξ ⁸ ἀνάγκης τὸ τῆς τομῆς σημεῖον τοῦ τρίτου λόγου, δεῖξον ὅτι οὔτε μεταξὺ τῶν Ϛ Α δύναται πίπτειν οὔτε μεταξὺ τῶν Μ Ϛ.” ἡμεῖς γὰρ ἀπεδείξαμεν ἐν ἀρχῇ καὶ ἄνω τοῦ Ρ καὶ κάτω τὸ σημεῖον πίπτει γὰρ παρὰ τὴν ὑπόθεσιν τοῦ λόγου.

11 ὁμοίως οὖν τῆς ἀναλύσεως προχωρούσης ἐκ τοῦ
δεδόσθαι τὸ ϚΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει, κἂν τύ Β τῆς τομῆς σημεῖον μεταξὺ ἦ τῶν Ϛ Α, δεδομένου δὲ καὶ τοῦ ∠ΩΛ τριγώνου, ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον καὶ τῆς ∠Ε δεδομένης, ἔσται δοθεὶς καὶ ὁ τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΗΕ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ὁ τῆς
ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ. καὶ οὐδαμῶς πάλιν ὁ τῆς ΔΗ πρὸς τὴν ΗϠ ἴσης ὑποκειμένης καὶ νῦν τῇ ΚΡ, τουτέστιν τῇ ΑΒ, τῆς ∠Ϡ, κἂν τὸ Θ μεταξὺ βούληται πίπτειν τῶν Ζ Ϡ. οὐδὲν γὰρ ἕξει καὶ ὧδε λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἀκούων παῤ ἡμῶν δεῖξον ὅτι μήτε μεταξὺ τῶν Ϡ Η μήτε μεταξὺ τῶν
Ϡ Ζ πίπτει.”

εἰ δὲ κατὰ συγχώρησιν ἀπλῶς τὸ τῆς τοιαύτης τομῆς σημεῖον εἶναι κατὰ τὸ Ϡ βούλεται, τὸ ζητούμενον καὶ νῦν ὡς ὁμολογούμενον ἔλαβεν. μὴ διδομένου δʼ αὐτῷ τὴν τομὴν εἶναι κατὰ τὸ Ϡ σημεῖον (ἐπεὶ μηδὲ κατὰ τὸ Ρ συνεχωροῦμεν ἐπὶ τῆς ΚΘ ποιούμενοι τὴν δεῖξιν), εἰ
καὶ ἄλλο τι μεταξὺ τῶν Ε Η λαβεῖν ἐβούλετο, ὡς τὸ Ζ, αὐτὸς οὐκ οἶδά πως ἀπατηθεὶς τὸ Θ ἔλαβεν. ὡς βούλεται ⁹ δέ, κείσθω χωρὶς τοῦ εἶναι κατὰ τὸ Ϡ καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΘΓ, καὶ παραλλήλους ἀγαγών τῇ μὲν ΓΘ τὰς ΖΚ ΕΛ, διὰ δὲ τῶν Κ Λ παραλλήλου; τῇ ΑΓ τὰς ΚΜ ΛΝ δῆλον ποιεῖ μὴ νενοηκέναι τὸ πρόβλημα. παραλλήλου γὰρ μὴ γενομένης τῇ ΕΗ τῆς ΘΓ ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνία ἀμβλεῖα μέν
ἐστι τοῦ Θ μεταξὺ τῶν Η Ϡ πίπτοντος, ὀξεῖα δὲ τοῦ Θ μεταξὺ τῶν Ϡ Ζ ὄντος· ἡ γὰρ πρὸς τῷ Ϡ γωνία ὀρθή ἐστι, καθʼ ἣν μόνως γίνεται τὸ πρόβλημα, ἐάν τις συγχωρήσῃ, καθὰ πολλάκις εἴπομεν, ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ∠H, καὶ σημείου δοθέντος τοῦ Ϡ, λαβεῖν δύο σημεῖα
ὡς Ε Ζ, ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὴν ∠Η πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως τὴν ΗΕ πρὸς ΗΖ, καὶ τὴν ΗΖ πρὸς τὴν ΗϠ.

13 μὴ διδομένου δὲ τούτου ἀδύνατον ἔσται τὸ προταθὲν ὑπʼ αὐτοῦ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεθῆναι, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν αὐτῶν ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τοῖς βουλομένοις ἐξέσται πεισθῆναι, χρωμένοις
τῷ Πτολεμαίου κανόνι περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν. ἀλλὰ τοῦτον μὲν ἀπορεῖν ὁμοίως τοῖς ἄλλοις βέλτιον ἦν ἤπερ οὕτως εὑρίσκειν, ἡμεῖς δὲ τὰ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν.

14 β΄. Ἔστω τις εὐθεῖα ἡ ΑΗ τετμημένη εἰς ἴσα κατὰ τὰ B Γ ∠ Ε Ζ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ BΓ πρὸςτ
τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς ∠Β. οὕτως ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Γ καὶ τὸ τρίτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ καὶ τὸ τέταρτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ καὶ τὸ πέμπτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ 8Η πρὸς
τὴν ΗΓ καὶ τὸ ἕκτον τῆς ΓΒ.

Ἔστι δὲ φανερὸν τῶν ἀριθμῶν παραληφθέντων καὶ ἀεὶ οὕτως, ὅτι ὡς ὁ δοθεὶς τῶν ἴσων εὐθειῶν ἀριθμὸς ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸν μονάδι ἐλάσσονα, οὕτως ὁ μονάδι ἐλάσσων πρὸς τὸν μονάδι αὐτοῦ ἐλάσσονα καὶ τῆς ΓΒ μόριον
ὁμώνυμον τῷ δοθέντι πλήθει τῶν ἴσων εὐθειῶν.

¹⁰

15 γ΄. Έστωσαν ἴσαι εὐθεῖαι αἱ Α Β, μείζων δὲ ἡ Γ∠ τῆς Ν ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν Α Β, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς τὴν Γ∠, ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Ν, ἡ Ν πρὸς τὴν Π καὶ ἡ Π πρὸς τὴν Ρ· λέγω ὅτι ἡ Ρ ἐλάσσον ἐστὶν τῆς ΗΘ.

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ Γ∠ τῆς Ν, κείσθω τῇ Ν ἴση ἡ ΓΚ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ Β πρὸς τὴν Ν. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ∠, ἡ Γ∠ πρὸς ΕΖ, γεγενήσθω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΕΛ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ Β πρὸς Ν, ἡ Ν πρὸς Π, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α
τῇ Β, ἡ δὲ ΓΚ τῇ Ν· διʼ ἴσου ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΕΛ, ἡ Β πρὸς τὴν Π· ἴση ἄρα ἡ ΕΛ τῇ Π. διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ∠, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΗΘ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΕΛ, καὶ ἡ ΕΛ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΗΘ. ἔστω πρὸς τὴν
ΗΜ· ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΕΛ, ἡ ΕΛ πρὸς τὴν ΗΜ, ὡς δὲ ἡ Ν πρὸς τὴν Π, οὕτως ἡ Π πρὸς τὴν Ρ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ Ν, ἡ δὲ ΕΛ τῇ Π, ἴση ἄρα καὶ ἡ Ρ τῇ ΗΜ· ἐλάσσων ἄρα ἡ P τῆς ΗΘ.

Ἄλλως τὸ αὐτό.

16 δ΄. Ἔστω ἴση ἡ Α τῇ Ε, μείζων δὲ ἡ Β τῆς Ζ, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Β πρὺς Γ καὶ ἡ Γ πρὸς ∠, ὡς δὲ ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἡ Ζ πρὸς τὴν Η, καὶ ἡ Η πρὸς τὴν Θ ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ∠ τῆς Θ.

Ἔπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς Ζ, ἴση δὲ ἡ Α τῇ Ε, ἡ Β
ἄρα πρὸς τὴν Α μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν Ε. ἀνάπαλιν ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Ε πρὸς Ζ. ὡς δὲ ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Β πρὸς Γ καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχε. ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ. ὡς δὲ ¹¹ ἡ Ε πρὸς Ζ, οὕτως ἡ Ζ πρὸς Η· καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η. ὡς δὲ ἡ πρὸς Γ, οὕτως ἡ Γ πρὸς ∠ καὶ ἡ Γ ἄρα πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η. ὡς δὲ ἡ Ζ πρὸς Η, οὕτως ἡ Η πρὸς Θ· καὶ Γ ἄρα πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ
ἡ Η πρὸς Θ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ, ἡ δὲ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η, ἡ δὲ Γ πρὸς ∠ ἐλάσσονα ἤπερ Α πρὸς Θ, διʼ ἴσου ἄρα ἡ Α πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Θ διὰ τὸ ἑξῆς. καὶ ἔστιν ἴση ἡ Α
τῇ Ε· μείζων ἄρα ἡ ∠ τῆς Θ, ὅπερ. ~

17 ε΄. Η Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Γ πρὸς ∠· ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς τὴν ∠

Πεποιήσθω ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε·
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῆς ∠. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς Γ, οὕτως ἡ Β πρὸς Ε. ἡ δὲ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρύς ∠· καὶ ἡ Α ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λύγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς ∠.

18 Ϛ΄ Τούτου δειχθέντος ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ε, ἐχέτω δὲ καὶ ἡ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ· ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λύγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠
πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Ε. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἐχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ. ἐπεὶ οὖν Α πρὸς ∠ πολλῷ ἐλάσσονα λόγον ἔχι. ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ζ, ὅπερ ~ .

19 ζ΄. Α μὲν οὖν ἔδει με προειπεῖν ἐστιν ταῦτα, παρεὶς ¹² δὲ κρίνειν σοί τε καὶ τοῖς ἐν γεωμετρίᾳ γεγυμνασμένοις τὰ ὑπʼ ἐκείνου προγραφέντα περὶ τῆς κατασκευῆς καὶ τὰ ὑφ᾿ ἡμῶν ἐπενεχθέντα, καλῶς ἔχειν ἡγοῦμαι καὶ τὰ δόξαντα τοῖς ἀρχαίοις περὶ τοῦ προειρημένου προβλήματος ἐκθέσθαι καὶ πρῶτον εἰπεῖν ὀλίγα περὶ τῶν ἐν γεωμετριᾳ προβλημάτων,
ἀρχὴν λαβὼν ἐντεῦθεν.

20 Τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων οἱ παλαιοὶ τρία γένη φασὶν εἶναι, καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι, τὰ δὲ στερεά, τὰ δὲ γραμμικά. τὰ μὲν οὖν διʼ εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτο ἂν εἰκότως ἐπίπεδα·
καὶ γάρ αἱ γραμμαὶ διʼ ὧν λύεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δὲ προβλήματα λύεται παραλαμβανομένης εἰς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ πλειόνων, ταῦτα στερεὰ κέκληται· πρὸς γὰρ τὴν κατασκευὴν ἀναγκαῖόν ἐστι χρήσασθαι στερεῶν σχημάτων
ἐπιφανείαις, λέγω δὲ ταῖς κωνικαῖς. τρίτον δʼ ἔτι καταλείπεται γένος ὃ καλεῖται γραμμικόν· γραμμαὶ γὰρ ἕτεραι παρἂ τὰς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν καὶ βεβιασμένην ἔχουσαι τὴν γένεσιν, ὁποῖαι τυγχάνουσιν αἱ ἕλικες καὶ τετραγωνίζουσαι καὶ κοχλοειδεῖς
καὶ κισσοειδεῖς, πολλὰ καὶ παράδοξα περὶ αὑτὰς ἔχουσαι συμπτώματα.

21 τοιαύτης δὴ τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημέτων οὔσης οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῶν δύο εὐθειῶν πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷοί τʼ ἦσαν κατασκευάζειν τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντες,
ἐπεὶ μηδὲ τὰς τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν ὡς δεῖ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, τοῖς δὲ ὀργάνοις μεταλαβόντες αὐτὸ θαυμασίως εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν ἐπιτήδειον ἤγαγον, ὡς ἔστιν ἰδεῖν ἀπὸ τῶν φερομένων
αὐτοῖς συνταγμάτων, λέγω δʼ ἐν τῷ Ἐρατοσθένους μεσολάβῳ ¹³ καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος μηχανικοῖς ἢ καταπαλτικοῖς. οὗτοι γὰρ ὁμολογοῦντες στερεὸν εἶναι τὸ πρόβλημα τὴν κατασκευὴν αὐτοῦ μόνον ὀργανικῶς πεποίηνται συμφόνως Ἀπολλωνίῳ τῷ Περγαίῳ ὃς καὶ τὴν ἀνάλυσιν αὐτοῦ πεποίηται διὰ τῶν τοῦ κώνου τομῶν, καὶ ἄλλοι διὰ
τῶν Ἀρισταίου τόπων στερεῶν, οὐδεὶς δὲ διὰ τῶν ἰδίως ἐπιπέδων καλουμένων, Νικομήδης δὲ λέλυκε διὰ κοχλοειδοῦς γραμμῆς, διʼ ἧς καὶ τὴν γωνίαν ἐτριχοτόμησεν.

22 ἐκθησόμεθα οὖν τέσσαρας αὐτοῦ κατασκευάς μετά τινος ἐμῆς ἐπεξεργασίας, ὧν πρώτην μὲν τὴν Ἐρατοσθένειον, δευτέραν
δὲ τὴν τῶν περὶ Νικομήδη, τρίτην δὲ τὴν τῶν περὶ Ἥρωνα μάλιστα πρὸς τὰς χειρουργίας ἁρμόζουσαν τοῖς ἀρχιτεκτονεῖν βουλομένοις, καὶ τελευταίαν τὴν ὑφ’ ἡμῶν ἀνευρημένην. στερεοῦ γάρ παντὸς ἕτερον στερεόν, ὅμοιον τῷ δοθέντι, κατασκευάζεται πρὸς τὸν δοθέντα λόγον, ἐὰν δύο τῶν
δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχές ἀνάλογον ληφθῶσιν, ὡς Ἥρων ἐν μηχανικοῖς καὶ καταπαλτικοῖς.

23 Ἔστω οὖν πλινθίον πεπηγὸς τὸ ΑΒΓ∠, καὶ ἐν αὐτῷ τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσα τὰ ΑΕΘ ΜΖΚ ΝΗΛ ὀρθὰς ἔχοντα τάς πρὸς τοῖς Ε Ζ Η γωνίας, καὶ τὸ μὲν ΑΕΘ προσπεπηρὸς
μενέτω, τὸ δὲ ΜΖΚ τὴν κίνησιν ἐχέτω ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ κανόνων οὕτως ὥστε τὴν μὲν ΜΖ ἐπὶ τοῦ ΑΒ κανόνος φέρεσθαι ἔχοντος σωλῆνα διʼ ὅλου, τὴν δὲ κορυφὴν τὴν Κ ¹⁴ διὰ τοῦ Γ∠ κανόνος καὶ αὐτοῦ διʼ ὅλου τοῦ μήκους σεσωληνισμένου, παραπλησίως δὲ καὶ τὸ ΝΗΛ τρίγωνον ἐχέτω τὴν κίνησιν ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ κανόνων κατὰ τοὺς προειρημένους ὀχετούς. τούτων δὴ οὕτως ὑποκειμένων, ὅτε βούλοιτό τις κύβον κύβου διπλασίονα ποιῆσαι, διπλασίαν ἀπολαμβάνων
τὴν ΑΓ τῆς ΛΞ καὶ διιστὰς τὰ ΜΖΚ ΝΗΛ τρίγωνα; μέχρις ἂν κατʼ εὐθεῖαν γένηται τὰ Α Ξ σημεῖα ταῖς τῶν τριγώνων τομαῖς ταῖς Π Ο, ἐπιζεύξει τὴν ΑΠΟΞ συμπίπτουσαν τῇ Γ∠ κατὰ τὸ Ρ (τοῦτο γάρ κατʼ ἀνάγκην ὀφείλει ἐπακολουθεῖν), καὶ οὕτως τὸ προκείμενον αὐτῷ
συμβαίνει.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΑΡ πρὸς ΠΡ, καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΠΚ, καὶ ἡ ΘΡ πρὸς ΡΚ, καὶ ἡ ΠΘ πρὸς ΟΚ, καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ΡΟ, καὶ ἡ ΠΚ πρὸς ΟΛ, καὶ ἡ ΚΡ πρὸς ΡΛ, καὶ ἡ ΟΚ πρὸς ΛΞ τῶν ΑΓ ΛΞ
ἄρα δύο μέσαι εἰσὶν αἱ ΠΘ ΟΚ κατὰ συνεχῆ ἀναλογίαν. καὶ ἔστι διπλασία ἡ ΑΓ τῆς ΛΞ· διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος τοῦ ἀπὸ τῆς ΠΘ κύβου. εἰ δʼ ἄλλον τινὰ λόγον ἔχει ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον, ἐκεῖνον τὸν λόγον ἔδει ἔχειν καὶ τὴν ΑΓ πρὸς ΛΞ καὶ τὰ λοιπά ὁμοίως
κατασκευάζειν. καὶ ἐκ τούτου φανεφὸν ὅτε ἀδύνατόν ἐστι τὸ προκείμενον διὰ τῶν ἐπιπέδων λύεσθαι.

24 η΄. Κατὰ δὲ Νικομήδη δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Γ∠ ∠Α δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχές λαμβάνονται τρόπῳ τοιῷδε.

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς Λ Ε σημείοις, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Λ∠ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ¹⁵ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, καὶ τῇ 8Γ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ ΑΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ, καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω
ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ ΑΛ ἢ τῇ ΓΖ (τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς
κοχλοειδοῦς γραμμῆς), καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ∠ ἐτβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ ἐκβληθείσῃ
κατὰ τὸ Μ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν Α∠.

Ἐπεὶ γάρ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε καὶ πρόσκειται
αὐτῇ ἡ ΓΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓρ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΚ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ. τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ Μ∠ πρὸς ∠Κ, ὡς δὲ ἡ Μ∠ πρὸς
∠Κ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως BΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἔστιν τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΛ, τῆς δέ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ· ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΓΚ οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους
¹⁶ τὰς ΗΖ ΓΘ καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΜΛ πρὸς ΛΑ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ. ἴση δὲ ὑπόκειται καὶ ἡ ΑΛ τῇ ΘΚ ἐπεὶ καὶ τῇ ΓΖ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΖΚ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΜΛ τῷ ἀπὸ ΖΚ. καὶ ἔστι τῷ μὲν ἀπὸ ΜΛ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΛΑ, τῷ δὲ
ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἧν τὸ ἀπὸ ΑΛ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ (ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΑΛ τῇ ΓΖ)· ἴσον ἄρα καὶ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΒΜΑ λοιπῷ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ· ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ· καὶ ὡς
ἄρα ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΜΑ πρὸς Α∠· καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ, ἡ ΚΓ πρὸς ΑΜ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς Α∠.

25 θ΄. Κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸν Ἥρωνα, πῶς ἐστιν δυνατὸν δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανικῶς,
δείξομεν, ἐπειδήπερ ἐστὶν τὸ πρόβλημα τοῦτο, καθά φησιν καὶ ὁ Ἥρων, στερεόν. ἐκθησόμεθα δέ” φησιν “τῶν δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔθετον.”

26 Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κείμεναι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Γ ∠Α, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β ΓΑ, καὶ παρακείσθω κανόνιον πρὸς τῷ Β σημείῳ καὶ κινείσθω ¹⁷ τέμνον τὰς ΓΕ ΑΖ, ἄχρις οὗ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἀχθεῖεα ἐπὶ τὴν τῆς ΓΕ τομὴν ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν τῆς ΑΖ τομήν. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ μὲν τοῦ κανονίου θέσις ἡ ΕΒΖ, ἴσαι δὲ αἱ ΕΗ ΗΖ λέγω οὖν ὅτι αἱ ΑΖ ΓΕ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ.

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ∠Η ΗΑ ΗΒ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ∠Η τῇ ΑΗ, καὶ διῆκται ἡ ΗΖ, τὸ άρα ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ
ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΗΕ ΗΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ τῷ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ. ὦν τὸ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΑ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ∠ΖΑ· ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ ἡ ΖΑ πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἡ Ε∠ πρὸς
∠Ζ, ἥ τε ΒΑ πρὸς ΑΖ καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ, ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ, ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ· τῶν ἄρα ΑΒ ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΖ ΓΕ.

27 ι΄. Κύβος δὲ κύβου διπλάσιος οὐ μόνον εὑρίσκεται διὰ τοῦ ὑποκειμένου ὀργάνου καὶ καθʼ ἡμάς, ἀλλὰ καὶ καθόλου
λόγον ἔχων τὸν ἐπιταχθέντα.

¹⁸

Κατεσκευάσθω γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω ἡ ∠Β, καὶ κινείσθω κανόνιόν τι περὶ τὸ Α σημεῖον οὕτως ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ Α σημεῖον ἑστῶτι τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ
τῶν Β Γ. τούτων δὴ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους δοθέντα. καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς Β∠ πρὸς ∠Ε καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. παραγέσθω δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β Γ, ἕως οὗ τὸ ἀπολαμβανόμενον
αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο γὰρ πειράζοντες αἰεὶ καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν. γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΗΘΚ, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ ΘΚ. λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς Β∠
κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Θ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα, τουτέστιν τὸν τῆς ∠Β πρὸς ∠Ε.

Νοείσθω γὰρ ὁ κύκλος προσαναπεπληρωμένος καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ∠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ Β∠ διὰ τὸ ἴσην εἶναι
τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΘΗ, τὴν δὲ Κ∠ τῇ ∠Λ. ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ ἐν ἡμικυκλίῳ καὶ κάθετος ἡ ΑΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ (καὶ γὰρ ὡς ἡ ΛΜ
πρὸς τὴν ΜΑ, οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΜΗ, ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ, καὶ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ). κοινὸς προσκείσθω λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ ¹⁹ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ, λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ. ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ δὲ συγκείμενος ἐκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ
ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς τὴν ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύθον. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ Γ∠· πρὸς ∠Ε, τουτέστιν ἡ Β∠ πρὸς ∠Ε, ὡς δὲ
ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Θ, τουτέστιν ἡ ∠Β πρὸς ∠Θ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Β∠ πρὸς ∠Ε, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Θ κύβον. ἐὰν οὖν ποιήσωμεν καὶ ὡς τὴν Β∠ πρὸς τὴν ∠Θ, οὕτως τὴν ∠Θ πρὸς ἄλλην τινά, οἷον τὴν ∠Ν,
ἔσονται τῶν Β∠ ∠Ε δύο μέσαι ἀνάλογον αἱ ∠Θ ∠Ν.

28 ια΄. Τὸ δὲ δεύτερον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε.

Ἐν ἡμικυκλίῳ τὰς τρεῖς μεσότητας λαβεῖν ἄλλος τις ἔφασκεν, καὶ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐκθέμενος, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ λαβών τὸ ∠, καὶ ἀπʼ
αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγών τῇ ΕΓ τὴν ∠Β, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΕΒ, καὶ αὐτῇ κάθετον ἀγαγὸν ἀπὸ τοῦ ∠ τὴν ∠Ζ, τὰς τρεῖς μεσότητας ἔλεγεν ἀπλῶς ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ ἐκτεθεῖσθαι, τὴν μὲν ΕΓ μέσην ἀριθμητικήν, τὴν δὲ ∠Β μέσην γεωμετρικήν, τὴν δὲ ΒΖ ἁρμονικήν.

Ὅτι μὲν οὖν ἡ Β∠ μέση ἐστὶ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ἡ δὲ ΕΓ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι, φανερόν. ἐστι γὰρ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, ἡ ∠Β πρὸς ∠Γ, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς ἑαυτήν, οὕτως ἡ τῶν Α∠ ΑΕ ὑπεροχή, τουτέστιν ἡ τῶν Α∠ ΕΓ, πρὸς τὴν τῶν
ΕΓ Γ∠. πῶς δὲ καὶ ἡ ΖΒ μέση ἐστὶν τῆς ἁρμονικῆς ²⁰ μεσότητος, ἢ ποίων εὐθειῶν, οὑκ εἶπεν, μόνον δὲ ὅτι τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΒ Β∠, ἀγνοῶν ὅτι ἀπὸ τῶν ΕΒ Β∠ ΒΖ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ οὐσῶν πλάσσεται ἡ ἁρμονικὴ μεσότης. δειχθήσεται γὰρ ὑφ᾿ ἡμῶν ὕστερον ὅτι δύο αἱ ΕΒ καὶ τρεῖς αἱ ∠Β καὶ μία ἡ BΖ ὡς μία συντεθεῖσαι
ποιοῦσι τὴν μείζονα ἄκραν τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος, δύο δὲ αἱ Β∠ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν μέσην, μία δὲ ἡ Β∠ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν ἐλαχίστην.

29 Πρότερον δὲ διαληπτέον περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων καὶ μετὰ ταῦτα περὶ τῶν ἐν ἡμικυκλίῳ, εἶτα περὶ τῶν
ἀντικειμένων αὐταῖς ἄλλων τριῶν κατὰ τούς παλαιούς, καὶ ὕστερον περὶ τῶν παρὰ τοῖς νεωτέροις τεσσάρων ἀκολούθως ταῖς γνώμαις αὐτων, καὶ ὡς δυνατόν ἐστιν ἑκάστην τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας εὑρίσκειν, ἵνα καὶ τὸν προκείμενον ἔλεγχον διὰ πλειόνων συστησώμεθα.

Περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων.

30 ιβ΄ Διαφέρει τοίνυν μεσότης ἀναλογίας τῷδε ὅτι εἰ μὲν τί ἐστιν ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, οὐ μὴν καὶ ἀνάπαλιν. μεσότητες γάρ εἰσι τρεῖς, ὧν ἡ μέν ἀριθμητική, ἡ δὲ γεωμετρική, ἡ δὲ ἁρμονική.

Ἀριθμητικὴ μὲν οὖν λέγεται μεσότης, ὅταν τριῶν ὄντων ὅρων ὁ μέσος τῷ ἴσῳ ἑνὸς μὲν τῶν ἄκρων ὑπερέχῃ, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ πρὸς τὸν θ΄ καὶ τὸν γ΄ ἀριθμόν), ἢ ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς αὑτὸν, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν. πρῶτα δὲ ἀκούειν
δεῖ τὰ ὑπερέχοντα.

Γεωμετρικὴ δὲ λέγεται μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως, ὅταν ἦ ὡς ὁ μέσος ὅρος πρὸς ἕνα τῶν ἄκρων, οὕτως ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν μέσον (ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ ἀριθμὸς πρός τε τὸν ιβ΄ καὶ τὸν γ΄), καὶ ἄλλως: ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος
ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

²¹

Ἁρμονικὴ δέ ἐστι μεσότης, ὅταν ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῳ μέρει ὑπερέχῃ μὲν ἑνὸς τῶν ἄκρων, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ γ΄ ἀριθμὸς πρὸς τε τὸν β΄ καὶ τὸν Ϛ΄), ἢ ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὄρος πρὸς τὸν τρίτον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

Τούτων ὑποκειμένων εὑρήσομεν ὁμοῦ τάς τρεῖς μεσότητας ἐν ἐλαχίσταις εὐθείαις πέντε τὸν ἀριθμὸν προγραφέντων τῶνδε.

31 Ἔστω δὴ πρῶτον δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ μέσην εὑρεῖν κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν.

Ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ Γ∠, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ ∠, καὶ τῇ τὰ Β ∠
ἐπιζευγνυούσῃ ἴση ἀφῃήσθω ἡ ΒΖ, καὶ γίνεται ἡ ζητουμένη μέση ἡ ΒΖ. ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ∠Α ὀρθὴν περιέχει γωνίαν μετὰ τῆς Β∠ διὰ τὸ ἴσην εἶναι ἑκατέραν τῶν ΒΕ ΕΑ τῇ ἐπιζευγνυούσῃ τὰ ∠ Ε. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ὀρθή. καὶ ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον
τῷ ΒΓ∠, καὶ διὰ τοῦτο αἱ περὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Β πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ∠Β, ἡ Β∠ πρὸς ΒΓ, καὶ μέση τῶν ΑΒ ΒΓ ἡ Β∠ ἴση τῇ ΒΖ.

32 ιγ΄. Ἔστω δὲ δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΖ τὴν ἐλάσσονα ἄκραν λαβεῖν.

Τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γεγράφθω, καὶ αὕτη τετμήσθω ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ Ζ περὶ κέντρον τὸ Β γραφομένης περιφερείας
κατὰ τὸ ∠, καὶ κάθετος ἤχθω ²² ἡ ∠Γ, καὶ γίνεται τῶν ΑΒ ΒΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΓ. δείκνυται γὰρ ὁμοίως κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς προειρημένοις ἐπὶ τῆς μέσης.

Καὶ φανερὸν ὅτι, ἐὰν μὲν ὁ δοθεὶς τῆς ἀναλογίας λόγος ᾖ διπλάσιος, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ τετραπλασίαν εἶναι, ἡ
ἴση τῇ ∠Β τιθεμένη διχοτομία ἐστὶν τῆς ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΕΒ ἐστὶν, ἐὰν δὲ μείζων ἢ διπλάσιος ὁ λόγος ἦ, ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἡμισείας, ἐὰν δὲ ἐλάσσων ᾖ τοῦ διπλασίου, μείζων ἐστὶν τῆς ΕΒ ἡμισείας.

33 Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν
εὑρεῖν.

Ἤχθω δὴ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διά τοῦ Ζ γραφομένη περιφέρεια τεμνέτω αὐτὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ τῇ ΒΘ ἐπιζευχθείσῃ
πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΘ· γίνεται δὴ ἡ ΑΒ. τρίτη ἀνάλογον τῶν ΓΒ ΒΖ. καὶ γάρ τοῦτο φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων.

34 ιδ΄. Πάλιν ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ πρὸς
ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ∠ΑΕ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν Α∠ τῇ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ Β∠ ΕΓΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐτι τὴν ΓΒ ἡ ΖΗ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, ἡ ∠Α πρὸς ΖΗ,
τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ (ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ Α∠), καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ διὰ τὸ ἰσογώνια ²³ εἶναι τὰ τρίγωνα ΑΓΕ ΓΖΗ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΓ. ὑπεροχὴ τῶν ΑΒ ΒΓ, ἡ δὲ ΓΗ ὑπεροχὴ τῶν ΓΒ ΒΗ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν. τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα
χρήσιμόν ἐστιν εἰς τὴν ἁρμονικὴν μεσότητα· πρώτη γάρ ἐστιν ἡ ΑΒ, δευτέρα ἡ ΒΓ, τρίτη ἡ ΒΗ.

35 Ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ ΒΗ δοθῶσιν ἄκραι, ζητῶμεν δὲ τὴν μέσην, ἐπιζεύξαντες τὴν Β∠, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες ἀπὸ τοῦ Η τὴν ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζεύξαντες
τὴν ΖΓΕ, ἕξομεν τὴν ΓΒ μέσην τῶν ΑΒ ΒΗ. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

36 ιε΄. Δοθεισῶν δὲ τῶν ΕΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρήσομεν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες τὴν ∠ΕΖ καὶ ἴσας θέντες τὰς ∠Ε ΕΖ, καὶ τὰς ΒΖ ∠Γ ἐπιζεύξαντες καὶ ἐκβαλόντες
ἐπι τὸ Η. ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν BΓ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἀγομένη ΗΘ ἴσην ἀποτέμνει τῇ ζητουμένῃ τὴν ΘΒ. συμπεσοῦνται γὰρ αἱ Γ∠ ΒΖ ὡς ἐπὶ τὸ Η ἠγμέναι· δεῖ γὰρ ὑποτίθεσθαι τὴν ΒΕ μείζονα τῆς ΕΓ.

37 ιϚ΄. Δύο πάλιν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ Γ, ὧν μείζων
ἡ ΑΒ, μέσην ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ εὑρήσομεν οὕτως. κείσθω τῇ Γ ἴση ἡ ∠Β, καὶ ἡ ∠Α δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ. καὶ φανερὸν ὅτι ἡ Ζ ἐστὶν ἡ ζητουμένη εὐθεῖα.

²⁴

38 Ὁμοίως δὲ κἂν αἱ Ζ Γ δοθῶσιν, τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν προσθέντες τῇ Ζ τὴν γενομένην ἕξομεν ἴσην τῇ ΑΒ.

39 Ἤ πάλιν ἐὰν αἱ ΑΒ Ζ δοθῶσιν, ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἀπὸ τῆς Ζ ἀφαιρεθεῖσα ποιεῖ τὴν Γ τρίτην.

40 Ἔστω οὖν ἡ Ζ μέση τῶν ΑΒ Γ ἔν ἴσῃ ὑπεροχῇ· καὶ
ἔσται ἀριθμητικὴ μεσότης τῶν ΑΒ Ζ Γ εὐθειῶν. γεγενήσθω δὲ καὶ ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς Η· καὶ ἔσται τῶν Ζ Γ Η εὐθειῶν γεωμετρικὴ μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως. κἂν διὰ τὸ προδειχθὲν δύο εὐθειῶν τῶν Γ Η, ὧν μείζων ἡ Γ, τὴν Θ ποιησόμεθα, ὥστʼ εἶναι ὡς
τὴν Γ πρὸς τὴν Θ, οὕτως τὴν τῶν Γ Η ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν Η Θ ὑπεροχήν, ἔσται ἄρα καὶ τῶν Γ Η Θ εὐθειῶν ἁρμονικὴ μεσότης. ὁ αὐτὸς δὲ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ, καὶ τῆς Γ πρὸς τὴν Θ, τῶν ἄκρων ὅρων ἐπί τε τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος καὶ τῆς ἁρμονικῆς· ἔσονται οὖν πέντε
τὸν ἀριθμὸν ἐλάχισται εὐθεῖαι περιέχουσαι τὰς τρεῖς μεσότητας δυνάμεναι καὶ ἀσύμμετροι εἶναι πρὸς ἀλλήλας.

41 Ἅμα καὶ διʼ ἀριθμῶν ἐλαχίστων πέντε συνίστασθαι κατά τε τοὺς πολλαπλασίους λεγομένους λύγους καὶ ἐπιμορίους καὶ τοὺς λοιπούς, ἀδιαιρέτου γοῦν τῆς μονάδος
ὑποκειμένης. ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ διπλασίου λόγου τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ ἐν διπλασίῳ λόγῳ δοθείσης ὑποδείγματος ²⁵ ἕνεκεν ἔσονται τὸ προκείμενον ποιοῦντες ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ὅ τε ιβ΄ καὶ ὁ θ΄ καὶ ὁ Ϛ΄ καὶ ὁ δ΄ καὶ ὁ γ΄, ἐπὶ δὲ τῆς τριπλασίονος ἀναλογίας ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι γίνονται ὅ τε ιη΄ καὶ ὁ ιβ΄ καὶ ὁ Ϛ΄ καὶ ὁ γ΄ καὶ ὁ β΄. καὶ δῆλον ὡς δεῖ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγων τοὺς ἐλαχίστους ἀριθμοὺς ἀνευρίσκειν
τῶν τριῶν μεσοτήτων.

42 κἂν χωρὶς ἑκάστην τις ἐθέλῃ ἐκτίθεσθαι, διὰ τῶν προγεγραμμένων εὔδηλον, τῶν τριῶν ὅρων ἐπὶ μὲν τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος ὄντων ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς γ΄ β΄ α΄, ἐπὶ δὲ τῆς γεωμετρικῆς δ΄ β΄ α΄, καὶ τῶν κατὰ τὸν διδόμενον λόγον πυθμένων εἰς τοὺς ἰσάκις
πολλαπλασίους καὶ τοὺς ἐπιμορίους μεταλαμβανομένων καὶ τοὺς λοιπούς. οἷον ἐπὶ τοῦ διπλασίου λόγου, τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχούσης ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄, τάξομεν ἀντὶ μὲν τῶν β΄ τὰ δ΄, ἀντὶ δὲ τοῦ α΄ τὰ β΄ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ τῷ β΄. καὶ ἐπεὶ δεῖ τὸν μέσον αὐτῶν τῷ ἴσῳ
ὑπερέχειν καὶ ὑπερέχεσθαι, γίνεται ἡ Ζ εὐθεῖα μονάδων τριῶν μέσον. καὶ ὁ τῆς Ζ πρὸς τὴν Γ λόγος ἡμιόλιος, ὡς γ΄ πρὸς β΄. ὁ αὐτὸς δὲ τούτῳ καὶ ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Η γενόμενος οὐ ποιεῖ τὸ πρόβλημα τῆς μονάδος ἀδιαιρέτου μενούσης. πάντα ἄρα τρίς καὶ γίνεται ἀντὶ μὲν τοῦ δ΄
ὁ ιβ΄, ἀντὶ δέ τοῦ γ΄ ὁ θ΄ ἀριθμός, καὶ ἀντὶ τοῦ β΄ ὁ Ϛ΄. καὶ γίνεται ἡ Η εὐθεῖα μονάδων δ΄ καὶ ἡ Θ δηλονότι μονάδων τριῶν καὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων ἀριθμοὶ ιβ΄ θ΄ Ϛ΄ δ΄ γ΄.

43 ιζ΄. Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων κατὰ τοὺς παλαιούς, ὅτι δὲ καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ δυνατόν ἐστιν
²⁶ αὐτὰς συστήσασθαι ἐν ἐλαχίσταις Ϛ΄ εὐθείαις τὸν ἀριθμόν, δῆλον ἐντεῦθεν.

Ἐκκείσθω γὰρ τὸ ἡμικύκλιον ἔχον τὴν Β∠ κάθετον καὶ τὴν ΕΒ ἐκ κέντρου, καὶ τὴν ∠Ζ κάθετον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἡ ΘΗ καὶ ἐκβληθείσης τῆς
ΕΓΗ κείσθω τῇ ΒΗ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠ΚΘ· λέγω ὅτι ἐν τῇ ἁρμονικῇ μεσότητι ἡ ΕΚ μέση ἐστὶν τῶν ΒΕ ΕΖ, μεγίστης οὔσης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Β Ζ γωνίαι παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Ζ τῇ ΘΗ, καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΒΗ. τρίγωνον
τῷ ΕΖ∠ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΒΘΚ τρίγωνον τῷ ΖΚ∠ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ᾑ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΗΒ πρὸς Ζ∠. ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ ΒΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΒΘ πρὸς ∠Ζ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ∠Ζ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΖ, καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΒΚ ὑπεροχὴ τῶν ΒΕ ΕΚ εὐθειῶν, ἡ δὲ
ΚΖ ὑπεροχὴ τῶν ΚΕ ΕΖ εὐθειῶν· ἐστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ τῶν ΒΕ ΕΚ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΚΕ ΕΖ ὑπεροχήν· ἁρμονικὴν ἄρα μεσότητα περιέχουσιν αἱ ΒΕ ΕΚ ΕΖ εὐθεῖαι. μέσης οὔσης τῆς ΕΚ καὶ μεγίστης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ. ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ μὲν
Α∠ EΓ Γ∠ τὴν ἀριθμητικήν, αἱ δὲ Α∠ Β∠ ∠Γ τὴν γεωμετρικήν· αἱ τρεῖς ἄρα μεσότητες ἐντεταγμέναι εἰσὶν καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ.

²⁷

44 ιη΄. Ἐπεὶ δὲ καὶ Νικόμαχος ὁ Πυθαγορικὸς καὶ ἄλλοι τινὲς οὐ μόνον περὶ τῶν πρώτων τριῶν μεσοτήτων εἰρήκασιν, αἳ χρήσιμοι τυγχάνουσιν μάλιστα πρὸς τὰς τῶν παλαιῶν ἀναγνώσεις, ἀλλὰ καὶ περὶ ἄλλων τριῶν κατὰ τοὺς παλαιούς, καὶ ἔτι ταῖς ἓξ ταύταις ἄλλαι ὑπὸ τῶν νεωτέρων
προσεύρηνται τέσσαρες, πειρασόμεθα καὶ περὶ τούτων εἰπεῖν ἐπιτονώτερον, ἀκολουθήσαντες μέντοι γε τοῖς πρότερον, οἵτινες ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ὅρου ποιούμενοι τὴν μετάβασιν τρεῖς ἐξέθεντο τὰς προειρημένας ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος μείζονα μετροῦντες ἄλλας τρεῖς διαφερούσας τῶν
πρώτων.

45 Ὅταν μὲν γὰρ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ πρώτου ὅρου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, τὴν μεσότητα ὑπεναντίαν τῇ ἁρμονικῇ καλοῦσιν.

Ὅταν δʼ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ τοῦ
πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, ἡ μεσότης καλεῖται πέμπτη καὶ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ (τινὲς γὰρ αὐτὴν οὕτως ὀνομάζουσιν).

Ὅταν δὲ ὡς ὁ δεύτερος ὅρος ᾖ πρὸς τὸν πρῶτον, ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, καλεῖται ἡ
μεσότης ἕκτη, λέγεται δὲ καὶ αὐτὴ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ διά τὴν αὐτὴν τῶν λόγων ἀντακολουθίαν· ὡς εἶναι κατʼ αὐτοὺς μεσότητας ἕξ.

46 Ὑπὸ δὲ τῶν νεωτέρων, ὡς εἴπομεν, ἄλλαι τέσσαρες τὸν ἀριθμὸν εὑρέθησαν πῆ μὲν συμφερόμεναι, κέχρηνται
δὲ καὶ ὅροις ἰδίοις οἱ ταύτας εὑρόντες νεώτεροι· καλοῦσι γὰρ τὴν μὲν τοῦ πρώτοῦ ὅρου παρὰ τὸν δεύτερον ὑπεροχὴν πρώτην, τὴν δὲ τοῦ δευτέρου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν δευτέραν, τὴν δὲ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν ²⁸ τρίτην, νοουμένου καὶ λεγομένου δηλονότι, καθὰ καὶ ἐν ἀρχῇ διεστειλάμεθα, τοῦ μὲν μεγίστου ὅρου πρώτου, τοῦ δὲ μέσου δευτέρου, τοῦ δὲ ἐλαχίστου τρίτου.

Καὶ ὅταν ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἑβδόμην
ἐκάλεσαν.

Μένοντος δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου τῶν ὑπεροχῶν, ὅταν γίνηται οὕτως ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, τὴν μεσότητα ὀγδόην ὀνομάζουσιν.

Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, ὁ
πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἐνάτην,

Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν, ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα δεκάτην ὠνόμασαν.

47 Τούτων δὴ τῶν ὅρων ὑποκειμένων τὰς γενέσεις τῶν
δέκα μεσοτήτων ἐκθησόμεθα καὶ διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας, ὡς εἴπομεν. ἀναλογία δὲ συνέστηκεν ἐκ λόγων. λόγου δὲ παντὸς ἰσότης ἀρχή.

Ἡ τοίνυν γεωμετρικὴ μεσότης ἐκ τῆς ἰσότητος τὴν πρώτην λαβοῦσα γένεσιν αὐτή τε αὑτὴν καὶ τὰς ἄλλας συστήσει
μεσότητας, ἐνδεικνυμένη, καθά φησιν ὁ θειότατος Πλάτων, τὴν τῆς ἀναλογίας φύσιν αἰτίαν τῆς ἁρμονίας πᾶσι καὶ τῆς εὐλόγου καὶ τεταγμένης γενέσεως· λέγει γὰρ ἕνα δεσμὸν εἶναι ²⁹ τῶν μαθημάτων ἁπάντων, αἰτία δὲ γενέσεως καὶ δεσμὸς πᾶσι τοῖς γενομένοις ἡ τῆς ἀναλογίας θεία φύσις. δειχθήσεται δὲ ἡ σύστασις τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας προθεωρηθέντος τοῦδε.

48 Τρεῖς ἀνάλογον ἔστωσαν ὅροι οἱ Α Β Γ καὶ συναμφοτέρῳ
μὲν τῷ Α Γ μετὰ β΄ τῶν Β ἴσος ἐκκείσθω ὁ ∠, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ὁ Ε, τῷ δὲ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι καὶ οἱ ∠ Ε Ζ ὅροι ἀνάλογόν εἰσιν.

Ἐπεὶ γάρ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ἔσται καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ὁ ΑΒ πρὸς τὸν Β,
οὕτως συναμφότερος ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Γ· καὶ πάντες ἄρα οἱ ἡγούμενοι πρὸς πάντας τοὺς ἑπομένους εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὡς συναμφότερος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἔστιν συναμφοτέρῳ μὲν τῷ Α Β μετὰ
συναμφοτέρου τοῦ Β Γ ἴσος ὁ ∠, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ἴσος ὁ Ε, καὶ τῷ Γ ὁ Ζ· καὶ οἱ ∠ Ε Ζ ἄρα ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ συναμφοτέρου τοῦ Α Β πρὸς τὸν Β λόγῳ.

49 Διόπερ ἴσων μὲν ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ οἱ ∠ Ε Ζ ἐν τῇ διπλασίᾳ γένοιντʼ ἂν ἀναλογίᾳ· συναμφότερος γὰρ ὁ
Α Γ μετὰ δύο τῶν Β διπλάσιος συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, συναμφότερος δὲ ὁ Β Γ τοῦ Γ διπλάσιος· τῶν δὲ Α Β Γ ἐν τῇ διπλασίᾳ ἀναλογίᾳ ὑποκειμένων, μεγίστου μὲν ὄντος ἐν αὐτοῖς τοῦ Α οἱ ∠ Ε Ζ ἔσονται ἐν τῇ τριπλασίᾳ, ἐλαχίστου ³⁰ δὲ ἐν τῇ ἡμιολίᾳ· καὶ γὰρ συναμφότερος ὁ Α Β τοῦ Β τριπλάσιος μέν ἐστιν, εἰ διπλάσιος εἴη ὁ Α τοῦ Β, ἡμιόλιος δέ, εἰ ὁ Α τοῦ Β ἥμισυς εἴη. καὶ οὕτως ἀπὸ τῶν ἑξῆς λόγων οἱ ἀκόλουθοι πολλαπλάσιοί τε καὶ ἐπιμόριοι εὑρίσκονται. καὶ πάλιν, εἰ μονάδες εἶεν οἱ Α Β Γ,
ἡ κατὰ τοὺς ∠ Ε Ζ γεωμετρικὴ μεσότης ἐν ἐλαχίστοις λέγοιτʼ ἂν ἀριθμοῖς τοῖς δ΄ β΄ α΄.

50 ιθ΄. Η ἁρμονικὴ μεσότης διὰ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται καὶ τῆς ἰσότητος ἐν τῇ τάξει τῆς ἀναλογίας διαφόρως κἀνταῦθα κἀν
τοῖς ἑξῆς παραλαμβανομένης. ὑποκείσθωσαν ὅροι τρεῖς ἀνάλογον οἱ Α Β Γ, καὶ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἐνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠ δύο δὲ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ
∠ Ε Ζ τὴν ἁρμονικὴν ποιοῦσι μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α Β Γ, ἔσονται καὶ ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β, οὕτως δύο οἱ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας δύο οἱ Α μετὰ τριῶν
τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ πρὸς τοὺς Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ ³¹ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσι δύο οἱ A καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή, εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή. ὅταν δὲ ᾖ ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ, ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή πρὸς
τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ἡ μεσότης ἐστίν ἁρμονική. καὶ δῆλον ὅτι λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς, μονάδων ὑποτεθεισῶν ὁμοίως τῶν Α Β Γ, τοῖς Ϛ΄ γ΄ β΄.

51 κ΄. Ἡ τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντία μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ὅρων ἀνάλογον ὑποκειμένων τῶν
Α Β Γ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, δύο δὲ τοῖς Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν εἰρημένην ποιοῦσι μεσότητα.

Πάλιν γὰρ ὁμοίως τοῖς προδεδειγμένοις ἔσται ὡς ὁ ∠
πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή. εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπιρέχουσι δύο οἱ A καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Α
καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή· ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν ∠, οὕτως ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὕπερ ἐστὶ κατὰ τὴν μεσότητα τὴν τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντίαν. δῆλον δʼ ὅτι καί, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ, εἴη ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς
ἡ μεσότης τοῖς Ϛ΄ ε΄ β΄. ἡ αὐτὴ καταγραφή.

52 Ἡ πέμπτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ἐκκείσθωσαν ἀνάλογον ὅροι τρεῖς οἱ Α Β Γ, καὶ ἑνὶ μὲν ³² τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς, B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ E, ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ κατὰ τὴν πέμπτην εἰσὶ μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ τοῦ
Β πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, ἔσται καὶ συναμφότερος ὁ ἡγούμενος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς τὸν ἑπόμενον συναμφότερον τὸν Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β. καὶ ἔστι συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ἡ ὑπεροχὴ
ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή· ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν E, οὕτως ἡ τῶν ∠ E ὑπεροχὴ πρὸς τὴν
τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὅπερ τῇ πέμπτῃ συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς ε΄ δ΄ β΄, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ. ἡ αὐτὴ δὲ καταγραφή.

53 Ἡ ἕκτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ἐκκείσθω ἡ αὐτὴ τῶν Α Β Γ ὅρων ἀναλογία, καὶ ἑνὶ μὲν
τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ δύο τοῖς Γ ἴσος ὁ ∠, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ὁ δὲ Ζ ἔστω ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ὁ ΑΒ τοῦ Γ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν προκειμένην ποιοῦσι μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ δύο
τῶν Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, οὕτως ὁ Β μετὰ δύο τῶν Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, καὶ πάντες οἱ ἡγού- ³³ Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς συναμφότερον τὸν A B, οὕτως δύο οἱ B μετὰ τοῦ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας, ὡς δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ πρὸς ἕνα τὸν Α καὶ δύο τοὺς Β καὶ ἕνα τὸν Γ, τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ε
οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχή, συναμφότερος δὲ ὁ Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β
καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή, καὶ ὡς ἄρα ὁ ∠ πρὸς τὸν Ε, ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ∠ Ε ὑπεροχήν, ὅπερ τὴν ὀγδόην συνίστησι μεσότητα. καὶ λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς Ϛ΄ δ΄ γ΄, μονάδων νοουμένων τῶν Α Β Γ.

55 κβ΄. Ἡ ἐνάτη μεσότης δι᾿ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. τῶν Α Β Γ ἀνάλογον ὑποκειμένων ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ ἑνὶ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ E, ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ ἐνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ζ τὴν ἐνάτην περιέχουσιν μεσότητα.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας, ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ συναμφότερος μὲν
ὁ Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, ³⁴ τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή, καὶ ὡς ἄρα ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ, ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ∠ Ε ὑπεροχήν, ὅπερ τῆς ἐνάτης μεσότητος ἴδιόν ἐστιν. καὶ περιέχουσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ οἱ δ΄ γ΄ β΄, μονάδων ὑποκειμένων ὁμοίως τῶν Α Β Γ. ἡ αὐτὴ καταγραφή.

56 κγ΄. Ἡ δεκάτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. πάλιν τριῶν ἀνάλογον ὄντων τῶν Α Β Γ τοῖς μὲν Α Β Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, τοῖς δὲ Β Γ ὁ Ε, τῷ δὲ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ κατὰ τὴν δεκάτην εἰσὶ μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ ὡς συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν
ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, καὶ ἔστιν συναμφότερος ὁ Α Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Α Β Γ τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β, ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Β Γ τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ζ ὑπεροχή, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ἡ τῶν
∠ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὃ τῇ δεκάτη συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ ποιοῦσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ οἱ γ΄ β΄ α΄, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ.

57 Ἔκκεινται δὲ τοῦ προχείρου χάριν καὶ οἱ ἀριθμοὶ ἑξῆς, καθʼ οὓς ἕκαστος ὅρος τῆς ἀναλογίας πολλαπλασιαζόμενος
ποιεῖ μεσότητα ἑκάστην, καὶ παράκεινται οἱ ἐλάχιστοι περιέχοντες αὐτάς. οἷον ἐπὶ τοῦ τῆς ἕκτης μεσότητος πλινθίου ὁ μὲν πρῶτος στίχος ὁ α΄ γ΄ β΄ σημαίνει τοῦθʼ ὅτι ὁ πρῶτος ὅρος τῆς ἀναλογίας ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος τρὶς καὶ ὁ τρίτος δὶς συντεθέντες τὸν πρῶτον τῆς μεσότητος ὅρον
ὁ δὲ δεύτερος τοῦ πλινθίου στίχος ὁ α΄ β΄ α΄ σημαίνει ὅτι ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος δὶς καὶ ὁ τρίτος ἅπαξ τὸν δεύτερον ὅρον ἀποπληροῦσι τῆς μεσότητος. ὁ δὲ τρίτος τοῦ πλινθίου στίχος ἐπὶ μὲν ³⁵ τῶν ἄλλων μεσοτήτων ἁπλῶς, ὡς γέγραπται, συντίθεται, ἰδίως δʼ ἐπὶ ταύτης ὁ α΄ α΄ α΄, καθὸ προείρηται, σημαίνει γίνεσθαι τὸν τρίτον τῆς μεσότητος ὅρον ἐκ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ Μεσότητες ) Α Β Γ Οἱ περιέχοντες τὰς μεσότητας τρεῖς ἑλάχιστοι ἀριθμοί ἀριθμητική β΄ γ΄ α΄ ) α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ΄ δ΄ β΄ γεωμετρική ά β΄ α΄ α΄ α΄ α΄ δ΄ β΄ α΄ ἁρμονική β΄ γ΄ α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ γ΄ β΄ ὑπεναντία β΄ γ΄ α΄ β΄ β΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ΄ ε΄ β΄ ε΄ α΄ γ΄ α΄ α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ ε΄ δ΄ β΄ Ϛ΄ α΄ γ΄ β΄ α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ΄ δ΄ α΄ ζ΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ γ΄ β΄ α΄ η΄ β΄ γ΄ α΄ α΄ β΄ α΄ β΄ α΄ Ϛ΄ δ΄) γ΄ θ΄ ά β΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ δ΄ γ΄ β΄ ι΄ ) α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ γ΄ β΄ α΄ ³⁶ ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος ἅπαξ συντεθέντες ὑπερέχουσιν ἅπαξ ληφθέντος τοῦ τρίτου. οἱ δʼ ἐκ τῆς τρίτης τοῦ πλινθίου ἀριθμοὶ οἱ Ϛ΄ δ΄ α΄ τὴν μεσότητα περιέχουσιν αὐτήν. ὡς γὰρ ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, τουτέστιν ὡς αἱ τέσσαρες μονάδες πρὸς τὰς
ἕξ, οὕτως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν δεύτερον, τουτέστιν ἡ τῶν ἓξ μονάδων παρὰ τὰς τέσσαρας ὑπεροχή, αἵπερ εἰσὶ μονάδες δύο, πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ δευτέρου ὁρου παρὰ τὸν τρίτον, τουτέστι τῶν τεσσάρων μονάδων παρὰ τὴν μίαν, αἵπερ εἰσὶ μονάδες τρεῖς. ἑκάτερος γὰρ λόγος (ἑκατέρου)
ὑφημιόλιος αἳ τε γὰρ τέσσαρες μονάδες τῶν ἓξ καὶ δύο τῶν τριῶν τὸν αὐτὸν ὑφημιόλιον περιέχουσι λόγον. τὰ δʼ ὅμοια καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πλινθίων νοείσθω.

58 κδ΄. Τὸ δὲ τρίτον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε.

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν
γωνίαν, καὶ διήχθω τις ἡ Α∠, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ∠Ε, καὶ δίχα τμηθείσης τῆς ΕΑ κατὰ τὸ Ζ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΖΓ δεῖξαι συναμφοτέρας τὰς ∠ΖΓ δύο πλευρὰς ἐντὸς τοῦ τριγώνου μείζονας τῶν ἐκτὸς συναμφοτέρων τῶν ΒΑΓ πλευρῶν.

Καὶ ἔστι δῆλον. ἐπεὶ γὰρ αἱ ΓΖΑ, τουτέστιν αἱ ΓΖΕ, τῆς ΓΑ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ∠Ε τῇ ΑΒ, αἱ ΓΖ∠ ἄρα δύο τῶν ΓΑΒ μείζονές εἰσιν.

59 Ἦν δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως. ὀρθογωνίου τυχόντος ὑποκειμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον
ἐντὸς τοῦ τριγώνου, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ δύο εὐθείας ἀγαγεῖν, μίαν μὲν τέμνουσαν τὴν ΒΓ, τὴν δὲ λοιπὴν ἐπὶ τὸ Γ ἐρχομένην, ὥστε συναμφοτέρας μείζονας εἶναι τῶν ἐκτός, ³⁷ ἵνα δηλονότι ὁ προταθεὶς διάξας τυχοῦσαν τὴν Α∠ καὶ θεὶς τῇ ΑΒ ἴσην τὴν ∠Ε καὶ τεμὼν δίχα τὴν ΕΑ κατὰ τὸ Ζ ἀποδείξῃ τὸ Ζ σημεῖον ποιοῦν τὸ πρόβλημα. ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΓΖ δύο αἱ ΓΖ∠ δύο τῶν ἐκτὸς ΓΑΒ μείζονές εἰσιν. ἀλλʼ ὅτι τοῦτο μέν, ὅπως ἄν τις ἐθέλοι
προτείνειν, ἀπειραχῶς δείκνυται δῆλον, οὐκ ἄκαιρον δὲ καθολικώτερον περὶ τῶν τοιούτων προβλημάτων διαλαβεῖν ἀπὸ τῶν φερομένων παραδόξων Ἐρυκίνου προτείνοντας οὕτως.

60 κε΄. Ἐν παντί τριγώνῳ, πλὴν τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσοσκελοῦς
τοῦ τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχοντος, δυνατόν ἐστι συσταθῆναί τινας ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς δύο εὐθείας ἴσας ταῖς ἐκτὸς ὁμοῦ λαμβανομέναις. Ἔστω πρότερον ἀνισοσκελὲς τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ, καὶ τετμήσθω συναμφότερος ἡ ΑΒΓ
δίχα κατὰ τὸ ∠, καὶ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν ∠ Β τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν τὸ Η, καὶ τῇ ΕΑ παράλληλος ἡ ΗΘ καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΓ ἐκβεβλήσθω. ἐπεὶ μείζονες αἱ μὲν ΕΒΖ τῆς ΕΖ αἱ δὲ ΓΖΗ τῆς ΓΗ, συναμφότερος ἔρα ἡ ΕΒΓ
μετὰ τῆς ΗΖ μείζονές εἰσι συναμφοτέρων τῶν ΕΖ ΗΓ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· μείζων ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΕΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΕΗΓ, καὶ μᾶλλον τῆς ΗΓ. ἔστω συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση ἡ ΗΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ τοῦ Λ γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΛΚΟ· τέμνει
δὴ ἑκατέραν τῶν ΓΘ ΘΗ, ἐπεὶ ἡ ΑΕ, τουτέστιν ἡ ΘΗ, ³⁸ μείζων ἐστι συναμφοτέρου τῆς ΕΒΓ, τουτέστιν τῆς ΗΑ. ἐπεζεύχθω ἡ ΚΗ· λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΘΗΚ, ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΓ.

Ἔστιν δὲ φανερόν· ἡ μὲν γὰρ ΗΘ τῇ ΑΕ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΗΛ, τουτέστιν συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση, καὶ γίνεται
ἀπειραχῶς.

61 κϚ΄. Ἔστω δὴ νῦν ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν μὲν ΑΒ ἴσην ἔχον τῇ ΒΓ, τὴν δὲ ΑΓ μείζονα ἑκατέρας αὐτων, καὶ περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ Β γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΕ∠, καὶ διήχθω τις ἡ ΑΕΖ τέμνουσα τὴν ΒΓ
ἐκτὸς τῆς περιφερείας, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν τὸ Κ, καὶ τῇ ΑΖ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ τῇ ΕΗ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΝ· ἔσται οὖν ἡ ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΚΛ, ἴση
συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΝ, καὶ λοιπὴ ἡ ΝΓ ἐλάσσων τῆς ΚΛ. καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν ΘΖΗ τῆς ΘΗ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ΓΘΚ τῆς ΓΚ, συναμφότεροι ἄρα αἱ ΓΖΗ μετὰ τῆς ΘΚ μείζονές εἰσιν συναμφοτέρων τῶν ΓΚ ΗΘ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΘΚ· λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΓΖΗ μείζων
τῶν ΓΚΗ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΗ· συναμφότεροι ἄρα αἱ ΑΖΓ συναμφοτέρων τῶν ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζονές εἰσιν. τῶν δὲ ΑΖΓ μείζονές εἰσιν αἱ ΑΒΓ· καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ ἄρα τῶν ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζονες. ὧν συναμφότερος ἡ ΑΒΝ τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΓ μείζων τῶν ΗΚΓ συναμφοτέρων καὶ μᾶλλον τῆς ΚΓ. κείσθω οὖν τῇ
ΝΓ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Κ διὰ τοῦ Μ γραφεῖσα κύκλου περιφέρεια τεμνέτω τὴν ΓΛ κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΞ· λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΛΚΞ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΓ.

Ἔστι δὲ φανερόν. ἡ μὲν γὰρ ΚΛ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ
τῇ ΑΒΝ, ἡ δὲ ΚΞ τῇ ΚΜ, τουτέστιν τῇ ΝΓ, καὶ γίνεται ἀπειραχῶς.

62 κζ΄. Λέγω δʼ ὅτι, ἐὰν ᾖ ἰσόπλευρον τὸ τρίγωνον ἢ ἰσοσκελὲς τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχον, ἀδύνατον ἔσται συσταθῆναι τὰς ἐντὸς ἴσας ταῖς ἐκτός, ἀλλʼ αἱ ἐντὸς
ἐλάσσονες ἔσονται.

Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν ΑΓ βάσιν ἐλάοσονα ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ συνεστάτωσάν τινες ἐντὸς αἱ ∠Ε ΕΗ· λέγω ὅτι ἐλάσσονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ.

Ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Ε ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΑΖ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΑ, μείζων ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῆς ὑπὸ ΖΑΓ. τῆς δʼ ὑπὸ ΒΓΑ μείων ἡ ὑπὸ Ζ∠Α· πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ὑπὸ Ζ∠Α τῆς ὑπὸ ΖΑ∠, ὥστε καὶ ἡ ΑΖ μείζων τῆς Ζ∠. ἐπεὶ μείζων μὲν ἡ ὑπὸ
³⁹ ΑΖΒ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ, ἡ δʼ ὑπὸ ΒΓΑ διὰ τὴν ὑπόθεσιν οὐκ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ, ἔσται μείζων ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῆς ὑπὸ ΑΒΖ, ὥστε καὶ ἡ ΑΒ μείζων τῆς ΑΖ. ἡ δὲ ΑΖ τῆς Ζ∠ ἐδείχθη μείζων· καὶ ἡ ΑΒ ἄρα τῆς ∠Ζ καὶ πολλῷ μᾶλλον τῆς ∠Ε μείζων. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἡ ΒΓ
μείζων τῆς ΕΗ· ἐλάσσονες ἄρα εἰσὶν αἱ ΗΕ∠ τῶν ΑΒΓ.

63 κη΄ Ἐφ᾿ ὧν μέντοι τριγώνων αἱ ἐντὸς ἴσαι συνίστανται ταῖς ἐκτός, ἐπʼ ἐκείνων καὶ μείζους τῶν ἐκτὸς ἐντός τινες εἶναι δύνανται συναμφότεραι λαμβανόμεναι.

Ἔστωσαν γὰρ
β ἐν τῷ ΑΒΓ τριγόνῳ αἱ ∠ΕΖ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω μία τῶν ἐντὸς ἡ ∠Ε ἐπὶ τὸ
Η, καὶ μεταξὺ τῶν Ε Η εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΖ· ἔσονται δὴ αἱ ∠ΚΖ μείζονες τῶν ∠ΕΖ, ὥστε καὶ τῶν ΑΒΓ. δῆλον δʼ ὅτι, κἂν ἐντὸς τοῦ
ΑΒΓ τριγώνου τὸ Κ σημεῖον οὕτως ληφθῇ ὥστε τὰς ∠ΕΖ περιέχεσθαι ὑπὸ τῶν ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ ∠ Ζ ἐπιζευγνυμένων, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ οὕτως ἔσται τὸ αὐτό, καὶ ἑκατέρως ἀπειραχῶς ἔσται τὸ προκείμενον.

64 κθ΄. Καὶ τούτου παραδόξου δοκοῦντος εἶναι τοῖς ἀγεω
μετρήτοις ἔτι παραδοξότερον φανεῖται τὸ μὴ μόνον συναμφότερον συναμφοτέρῳ, ἀλλὰ καὶ ἑκατέραν τῶν συνισταμένων ἐντὸς ἑκατέρᾳ τῶν ἐκτὸς καὶ ἴσην εἶναι δύνασθαι καὶ μείζονα κατὰ μίαν. δείκνυται δʼ οὕτως.

⁴⁰

Ὑποκείσθω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μὴ ἐλάσσονα ἔχον, τὴν δὲ ΑΓ ἑκατέρας αὐτῶν μείζονα, καὶ περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ Β κύκλου περιφέρεια
γεγράφθω ἡ ΒΕΖ, καὶ εἰλήφθω μεταξὺ αὐτῆς
καὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ ∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ ∠Γ. ἐπεὶ ἡ μὲν Α∠ μείζων τῆς ΑΒ
καὶ διὰ τὴν ὑπόθεσιν τῆς ΒΓ, ἡ δὲ ∠Γ ἐλάσσων τῆς ΒΓ, ἐὰν ἐκβαλόντες τὴν ∠Γ τῇ ΒΓ ἴσην θῶμεν ἑκατέραν τῶν ∠Θ ∠Κ ὁ περὶ κέντρον τὸ ∠ διὰ τῶν Θ Κ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΑΖ. τεμνέτω κατὰ τὸ Η, καὶ μεταξὺ τῶν Α εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Α· δῆλον δὴ ὅτι
ἐπιζευχθείσης τῆς, ∠Α ἑκατέρα τῶν Α∠ ∠Λ ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ ἔσται μείζων.

65 λ΄. Ἂν δὲ θέλωμεν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἴσην εἶναι, δεήσει τὴν μὲν ΑΓ τῆς ΑΒ μείζονα ὑποθέσθαι, τὴν δὲ ΒΓ τῆς ΒΑ ἐλάσσονα.

Ἐχέτω γὰρ οὕτως, καὶ ὁμοίως ἡ ΒΕΖ περιφέρεια γεγράφθω, καὶ τὸ ∠ σημεῖον εἰλήφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Α ∠Γ, καὶ τῆς ∠Γ ἐκβληθείσης τῇ ΒΓ ἴση κείσθω ⁴¹ ἡ ∠Κ, καὶ ἢ ΚΗΘ περιφέρεια κατὰ τὸ αὐτὸ γραφεῖσα τεμνέτω τὴν Α∠ κατὰ τὸ Θ, τὴν δὲ ΑΖ κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ δὲ μείζων ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ, ἔσται καὶ τῆς ∠Θ μείζων. κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ∠Λ, καὶ περὶ κέντρον τὸ ∠ διὰ τοῦ Λ περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν ΑΗ κατὰ τὸ Μ.
δὴ ὅτι ἐπιζευχθεῖσα ἑκατέρα τῶν ∠Μ ∠Η ἴση ἔσται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ ΒΓ.

66 λα΄. Μᾶλλον δʼ ἂν ἐπιταθείη τὸ παράδοξον, εἰ μὴ μόνον ἴσαι ἢ μείζους ἁπλῶς εἶεν αἱ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς τοῦ τριγώνου συνιστάμεναι τῶν περιεχουσῶν δύο πλευρῶν,
ἀλλὰ καὶ λόγον ἔχοιεν πρὸς αὐτὰς τὸν ἐπιταχθέντα.

Κατεσκευάσθωσαν γὰρ αἱ ΕΖΚ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ (τοῦτο γὰρ ὡς δυνατόν ἐστι γενέσθαι διὰ τῶν πρώτων εἴρηται ἐν ἀρχῇ), καὶ τὸ μὲν Π δίχα τεμνέτω συναμφότερον τὴν ΑΒΓ, ἠ δὲ ΘΖΗ παράλληλος ἤχθω τῇ ΑΓ καὶ ἡ ΖΕ δὲ
παράλληλος ἔστω τῇ ΒΑ, καὶ τῷ δοθέντι λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΑΛ, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜΝ, καὶ ἐπὶ τῆς ΛΜΝ σημεῖον εἰλήφθω τὸ Μ, ὥστε τὰς διʼ αὐτοῦ ταῖς ΒΑ ΒΓ παραλλήλους ἀγομένας τὰς ΜΟ Μ∠ περιλαμβάνειν τὸ Ζ. ἔσται δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς
ΑΒΓ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΕΖΚ, πρὸς συναμφότερον τὴν ΑΛ ΝΓ, τουτέστι πρὸς συναμφότερον τὴν ΟΜ∠, δοθεὶς λόγος· ἐν ἄρα τῷ ΟΜ∠ τριγώνῳ ἐντὸς οὖσαι αἱ ΕΖΚ πρὸς τὰς ΟΜ∠ περιεχούσας λόγον ἔχουσι τὸν ἐπιταχθέντα.

⁴²

Ἐπεὶ δὲ δεῖ τὴν ΛΜΝ ἀνώτερον πίπτειν τῆς ΗΘ, δεῖ τὴν ΒΑ τῆς ΑΛ ἐλάσσονα εἶναι ἢ διπλασίαν (ἐπεὶ καὶ τῆς ΑΠ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία), ὥστε καὶ τὸν δοθέντα λόγον δεήσει ἐλάσσονα εἶναι τοῦ διπλασίου. δῆλον δʼ ὅτι, ὅσῳ ἂν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ πολλαπλασία γίνηται, ἡ δὲ Β
γωνία ἀμβλύνηται, μᾶλλον αἱ ΕΖΚ τῷ διπλασίῳ συνεγγιοῦσι λόγῳ, καὶ μᾶλλον, εἰ μὴ ἴσαι εἶεν αἱ ΕΖΚ ταῖς ΑΒΓ ἀλλὰ μείζους αὐτῶν, καὶ φανερόν, εἰ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΜΞ πρὸς τὰς ΟΜΞ συγκρίνονται. δυνατὸν δὲ καὶ καθʼ ἑτέρας ἐφόδους τὸ αὐτό, ἀλλὰ πρὸς ἔνδειξιν Ἱκανὸς
ὁ τρόπος οὗτος.

67 λβ΄. Οὐ μόνον δʼ ἐπὶ τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως αἱ εὐθεῖαι συνίστανται συναμφότεραι μείζους τῶν ἐκτὸς αἱ ἐντός, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τετραπλεύρου δύο τῶν τριῶν καὶ τρεῖς τῶν τριῶν, καὶ ἐπὶ τῶν ἔτι πολυπλευροτέρων
ὁμοίως ὁσαιδὴ αἱ ἐντὸς ὁσωνοῦν τῶν ἐκτὸς μείζους εἶναι δύνανται.

Ἂν γὰρ ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἐν ᾧ συνίστανται αἱ ∠ΕΖ ⁴³ μείζονες τῶν ΑΒΓ καὶ διαχθῇ ἡ ΠΘ τυχοῦσα ὑπὲρ τὸ Ε, μείζονες ἔσονται αἱ ∠ΕΖ τῶν ΑΠ ΠΘ ΘΓ ἐν τῷ ΑΠΘΓ τετραπλεύρῳ. κἂν τυχοῦσα κλασθῇ ἡ ∠ΚΕ, αἱ τρεῖς ὁμοῦ αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΖ τῶν τριῶν τῶν ΑΠ ΠΘ ΘΓ μείζους ἔσονται. κἂν πάλιν κλασθῇ ἡ ΠΗΘ, μείζους ἔσονται αἱ ∠ΕΖ
καὶ ἔτι αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ ἐν πενταπλεύρῳ. κἂν ἔτι κλασθῇ ἡ ΕΛΖ, μείζους ἔσονται τέτταρες αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΛ ΛΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ. κἂν ἡ ΠΗΨΘ κλασθῇ, κἂν ἔτι πρὸς πλείω σημεῖα τῶν Η Ψ καὶ τῶν Κ Λ ἡ κλάσις γίνηται, τὸ αὐτὸ συμβήσεται.
καὶ ἐπὶ τὸ ἄπειρον, ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ τὰς ἐντὸς ὁσωνδὴ τῶν ἐκτὸς εἶναι μείζους, τῷ αὐτῷ τρόπῳ κατασκευασθήσεται.

68 λγ΄. Δυνατὸν δὲ καὶ τὰς ἐντὸς ὁσαισδὴ ταῖς ἐκτὸς περιλαμβανούσαις πάσαις ὁμοῦ πάσας ἴσας εἶναι.

Κατασκευασθεισῶν γάρ, ὡς προδέδεικται, τῶν ΗΘ ΘΚ ΚΛ ΛΜ μειζόνων ὁσωνδὴ τῶν ΑΒ ΒΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ, ἂν ⁴⁴ κλασθῇ ἡ ΒΝΞΕ τῷ ἴσῳ μείζων τῆς ΒΓ∠Ε γεγονὸς ἔσται τὸ προκείμενον.

69 λδ΄ Ῥᾴδιον δὲ ἀπὸ δύο σημείων τῶν Β Ε κλάσαι τὴν ΒΝΞΕ καθόλου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην τῶν κλασμάτων τὸ πλῆθος δοθὲν ἔχουσαν.

Ἔστω γὰρ τὰ μὲν δοθέντα σημεῖα τὰ Α Β, ἡ δὲ δοθεῖσα τῷ μεγέθει εὐθεῖα ΑΓ μείζων τῆς ΑΒ, καὶ διῃρήσθω
ἡ ΒΓ εἰς τυχούσας εὐθείας τὰς Β∠ ∠Ε ΕΓ μιᾷ ἐλάσσονας τοῦ τῶν κλασμάτων πλήθους, καὶ ἡ μὲν ΑΘΒ κεκλάσθω τῆς ΑΒ ὑπερέχουσα τῇ Β∠ (ῥᾴδιον γὰρ ποιῆσαι), ἡ δὲ ΑΗΘ κεκλάσθω τῆς ΑΘ ὑπερέχουσα τῇ
∠Ε, ἡ δὲ ΑΖΗ κεκλάσθω τῆς ΑΗ ὑπερέχουσα τῇ ΕΓ· ἔσται δὴ τὸ πλῆθος τῶν ΑΖ ΖΗ ΗΘ ΘΒ ἴσον τῷ δοθέντι, καὶ ἡ ἐκ πασῶν συγκειμένη εὐθεῖα ἴση τῇ ΑΓ. εὔκολον γὰρ ἐκ τῆς κατασκευῆς τοῦτο συνιδεῖν καὶ ὅτι ἀπειραχῶς γίνεται.

70 λε΄. Δυνατὸν δὲ καὶ παραλληλόγραμμον εὑρεῖν, οὗ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς εὐθεῖαι δύο συνίστανται ταῖς περιεχούσαις τρισὶν ἴσαι καὶ μείζους αὐτῶν προδιδαχθέντος τοῦδε.

⁴⁵

Ἔστω ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἢ ἐν λόγῳ ἀγαγεῖν παράλληλον τῇ AΓ τὴν ∠Ε καὶ ποιεῖν ἐν τῷ λόγῳ τὴν Α∠ πρὸς συναμφότερον τὴν ∠Ε ΒΓ.

Γεγονέτω. ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἐστὶν ἢ ἐν λόγῳ, ἔστω λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ μετὰ δοθείσης·
ἔστω τῆς Ζ. ὁ δʼ αὐτός ἐστιν καὶ τῆς Α∠ πρὸς τὰς ∠Ε ΒΓ· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς Β∠ λόγος πρὸς τὴν τῶν Ζ ∠Ε ὑπεροχὴν ὁ αὐτός ἐστίν. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ Ζ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Ε *** θέσει ἄρα *** ὥστε καί, ἂν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μείζων ᾖ ἢ διπλῆ, δυνατὸν ἔσται ἀγαγεῖν
παράλληλον τὴν ∠Ε καὶ ποιεῖν τὴν Α∠ διπλῆν συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ.

71 λϚ΄ Ἐκκείσθω δὴ τοιοῦτον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ὥστε τὴν μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζονα εἶναι ἢ διπλασίαν, τὴν δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ διπλασίαν, καὶ ἤχθω παράλληλος ἡ ∠Ε ποιοῦσα
τὴν Α∠ διπλασίαν συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ, καὶ ⁴⁶ τῆς ∠Ε διπλασία κείσθω ἐπʼ εὐθείας ἡ ΑΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΗ παραλληλόγραμμον

Ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ΖΑ διπλασία ἐστὶν τῆς ∠Ε, ἡ δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ, ἔσται ὅλη ἡ ΖΓ, τουτέστιν ἡ ΗΒ, διπλασία συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν τῇ Α∠. ἐπειδὴ
ἡ Α∠ τῆς ΒΓ μείζων ἢ διπλασία, κατήχθω ἡ ∠Θ διπλασία τῆς ΒΓ ἴση ἄρα ἡ ∠Θ ταῖς ΗΖ ΒΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ Α∠ τῇ ΗΒ ἴοη· αἱ Α∠Θ ἄρα ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΒ ΒΓ, καὶ ἔστιν παραλληλόγραμμον τὸ ΖΗΒΓ.

Δῆλον δʼ ὅτι καὶ μείζους αἱ Α∠Θ τῶν ΖΗ ΗΒ ΒΓ
δύνανται εἶναι.

Καὶ ληφθέντος σημείου τινὸς τοῦ Κ μᾶλλον αἱ ΑΚ Κ∠ ∠Θ μείζους τῶν ἐκτός.

Καὶ εἰ, ὅσῳ μείζους εἰσίν, κλασθείη ἡ ΗΛ∠ τῷ αὐτῷ μείζων τῆς ΗΒ, ἔσονται καὶ αἱ ΑΚ Κ∠ ∠Θ ἴσαι ταῖς
ΖΗ ΗΛ ΛΒ ΒΓ ἐν πενταπλεύρῳ. καὶ ἐπὶ τῶν πολυπλευροτέρων ὁ αὐτὸς τρόπος, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν ἀπὸ τυχόντος τετραπλεύρου συνισταμένων προδέδεικται.

72 λϚ΄. Ἕπεται τοῖς προειρημένοις καὶ τὰ τοιαῦτα. δοθέντος παραλληλογράμμου χωρίου δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν
ἕτερον παραλληλόγραμμον, ὥστε αὐτὸ μὲν τὸ ἐπιταχθὲν μέρος εἶναι τοῦ δοθέντος, ἑκάστην δὲ πλευρὰν ἑκάστης πολλαπλασίαν κατὰ τὸν δοθέντα ἀριθμόν.

⁴⁷

Ἔστω γὰρ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω ἑκατέρα τῶν Ε∠ ∠Ζ πολλαπλασία ἑκατέρας τῶν ΛΒ ΒΓ κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς, καὶ ἤχθω τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΚ, καὶ ἀπειλήφθω τὸ ὑπὸ ∠ΕΚ τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ∠Ε
παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ ∠ περιφέρεια γραφεῖσα ἡ ΖΗΘ τεμνέτω τὴν ΘΚΛ κατὰ τὸ Θ καὶ ἐπιζευχθείσῃ τῇ ∠Θ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΛ. δῆλον δʼ ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι αὐτὸ μὲν τὸ ∠Λ παραλληλόγραμμον τὸ δοθὲν μέρος ἐστὶν τοῦ ΑΓ ὀρθογωνίου, ἑκάστη
δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς προτεθέντας ἀριθμούς.

73 λη΄ Πάλιν τριγώνου δοθέντος ἔλασσον εὑρίσκεται τρίγωνον ἑκάστην ἔχον πλευρὰν ἑκάστης μείζονα.

Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ
βάσις ἐφʼ ἑκάτερα μέρη, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ Β∠, τῇ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ περὶ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ∠Η, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν τὸ Θ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ Β∠,
ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Θ τῆς ΒΑ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΑΓ μείζων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΒΓ μείζων· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΘΖ ΖΗ ΗΘ κατὰ μίαν μείζονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ. ἐπεὶ δὲ τὸ ∠Η παραλληλόγραμμον ⁴⁸ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΖΗΘ τριγώνου, ἀλλὰ τὸ ∠Η παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὸ τὰς ἐλάσσονας ἔχον πλευρὰς τοῦ ΖΗΘ.

74 λθ΄. Τοῦτο μὲν ἐν τοῖς παραδόξοις φέρεται, γένοιτο
δʼ ἂν παραδοξότερον, εἰ τὸ μὲν τρίγωνον αὐτὸ εὑρεθείη μέρος τοῦ δοθέντος τριγώνου, ἑκάστη δὲ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς ὡς ἐπὶ τοῦ παραλληλογράμμου προείρηται ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία. Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ συνεστάτω τρίγωνον
τὸ ΕΖΗ ἑκάστην πλευρὰν ἔχον ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ πλευρῶν πολλαπλασίαν κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς ἢ καὶ μείζονας ἢ πολλαπλασίας, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ μὲν τοῦ Ε περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΘΚ, διὰ δὲ τοῦ Ζ περιφέρεια ἡ ΖΛΜ, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος
ἤχθω ἡ ΚΗΜ, καὶ κάθετος ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΗΝ, καὶ ἔστω τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ὑπὸ ΚΜ ΗΠ τοῦτο γὰρ προδέδεικται, καὶ τῇ ΚΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΠΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΗΛ. φανερὸν οὖν ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι τὸ ΘΗΛ τρίγωνον
ἔλασσόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ληφθέντος μέρους τοῦ ΑΒΓ (ἐλάσσων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΚΜ), ἑκάστη δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ ἣ πολλαπλασία ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς (μείζων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΕΖ).

⁴⁹

75 μ΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐγγράψαι τὰ πήντε πολύεδρα, προγράφεται δὲ τάδε.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ καὶ κέντρον τὸ ∠, καὶ προκείσθω εἰς τὸν κύκλον ἐμβαλεῖν εὐθεῖαν παράλληλον μὲν τῇ ΑΓ διαμέτρῳ, ἴσην δὲ τῇ δοθείσῃ
μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΓ διαμέτρου.

Κείσθω τῇ ἡμισείᾳ τῆς δοθείσης ἴση ἡ Ε∠, καὶ τῇ ΑΓ διαμέτρῳ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΒ, τῇ δὲ ΑΓ παράλληλος ἡ ΒΖ, ἥτις ἴση ἔσται τῇ δοθείσῃ διπλῆ γάρ ἐστιν τῆς Ε∠ (ἐπεὶ καὶ ἴσῃ τῇ ΕΗ, παραλλήλου ἀχθείσης τῆς
ΖΗ τῇ ΒΕ).

76 μα΄. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κόκλοι οἱ ΑΚ∠ ΒΕΖΓ, ἡ δὲ διὰ τῶν B Γ ἀγομένη εὐθεῖα διάμετρος ἔστω τοῦ κύκλου, καὶ προκείσθω ἀγαγεῖν διάμετρον τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ B Γ διαμέτρῳ.

Ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Β Γ σημείων ἐπίπεδον ἐρθὸν πρὸς τὸν κύκλον, καὶ ποιήσει τομὴν ΑΒΓ∠ μέγιστον κύκλον· ὁ ΑΒΓ∠ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν καὶ δίχα τεμεῖ καὶ τὸν ΑΚ∠. ἡ ἄρα ἐπὶ τὰ Α ∠ ἐπιζευγνυμένη διάμετρος παράλληλός ἐστι τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ. ἔστι δὲ
φανερόν· τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ περιφέρεια δίχα τῷ Θ σημείῳ· ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΑ τῇ Θ∠ ἴση ἐστὶν (ἐκ πόλου γάρ). ὧν ἡ ΘΒ τῇ ΘΓ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ λοιπῇ τῇ Γ∠ ἐστὶν ⁵⁰ ἴση· παράλληλος ἄρα ἡ ἐπὶ τὰ Α ∠ διάμετρος τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ διαμέτρῳ.

77 Ἔστω δέ ἡ ἐπὶ τὰ Ε Ζ μὴ διάμετρος καὶ προκείσθω διάμετρον ἀγαγεῖν τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ Ε Ζ.

Κείσθω τῇ ἡμισείᾳ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡμικύκλιον τῆς ΕΖ περιφερείας ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΖΓ ἴση, καὶ διὰ τῶν Β Γ γεγράφθω ὁμοίως μέγιστος ὁ ΑΒΓ∠ ἔσται ἄρα ἡ ἐπὶ τὰ Α ∠ διάμετρος τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ε Ζ, ὅτι καὶ αὐτὴ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ.

78 μβ΄. Ἔστωσαν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΕ ΓΖ, καὶ ἐν τοῖς αὐτοῖς ἐπιπέδοις διήχθωσαν αἱ ΑΒ Γ∠ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ διὰ τῶν ΑΕ ΓΖ ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ἴσας γωνίας ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ ΒΑΕ ∠ΓΖ· ὅτι καὶ αἱ ΑΒ Γ∠ παράλληλοί εἰσι, τουτἐστιν
ὅτι ἐκβληθὲν τὸ διὰ τῶν Β Α Γ σημείων ἐπίπεδον ποιεῖ ἐν τῷ διὰ τῶν △ Γ Ζ ἐπιπέδῳ τὴν Γ∠. Εἰ γὰρ ἑτέραν ποιήσει ἐκεῖ, περιέξει μετὰ τῆς ΓΖ γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἴση γὰρ ὑπύκειται ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ.

79 μγ΄ Ἐκ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις κύκλοι ὦσιν ὡς ὑπογεγραμμένοι, καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ Γ∠ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν Ε Ζ κέντρων ὅμοια τμήματα κύκλων ἀπολαμβάνουσαι, παράλληλος ἔσται ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ∠Ζ.

⁵¹

Ἴσαι γάρ γίνονται διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τμημάτων αἵ τε Α Γ καὶ αἱ Β ∠ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ Γ∠ ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις.

80 μδ΄ Ἄν δὲ αἱ τά ὅμοια τῶν τμημάτων κύκλων ἀπολαμβάνουσαι παράλληλοι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων
ὦσιν, αἱ ἀπὸ τῶν κέντρων ἐπὶ τὰ μὴ ὁμοίως κείμενα πέρατα τῶν παραλλήλων ἐπιζευγνύμεναι παράλληλοι ἔσονται.

Δείκνυται γὰρ καὶ ὁμοίως ὡς ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς.

81 με΄. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι κύκλοι
οἱ ΑΒ Γ∠, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ἵσαι καὶ παράλληλοι αἱ AB Γ∠· ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ Α Γ, Β ∠ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα.

Ἔστι δὲ φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων·
ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΕ ΓΖ παράλληλοι ἔσονται. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις: ὥστε καὶ αἱ ΑΓ ΕΖ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ὁμοίως καὶ αἱ ΕΖ Β∠.
καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ ὀρθὴ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα (περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν, καὶ ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν ἀγομένη ὀρθή ἐστιν πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν καὶ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν τε
καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς) καὶ αἱ ΑΓ Β∠ ἄρα ἴσαι τε καὶ περάλληλοι καὶ ὀρθαί εἰσι πρὸς τοὺς κύκλους.

82 μϚ΄. Μὴ ἔστωσαν δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ⁵² αἱ ἴσαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ Γ∠ ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ A △, Β Γ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις τε καὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας.

Τεμνέτωσαν γὰρ ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ κέντρα αἵ τε ΑΕ ΕΗ καὶ αἱ ∠Ζ ΖΗ. ἐπεὶ
ἴση ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ Α∠ ΒΓ, αἱ δ΄ ἄρα αἱ ΑΗ Η△ ΒΗ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· τοῦτο γάρ φανερόν ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ Α△ τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ∠Ζ ἐστὶν ἴση ἐκ κέντρου τῶν ἴσων κύκλων. ἔστι δὲ καὶ αὐτῇ παράλληλος ἴση μὲν ἡ ὑπὸ ΕΑΗ γωνία
τῇ ὑπὸ Η∠Ζ ἐναλλάξ. ἡ δέ ΑΗ βάσις τῇ Η∠· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ∠ΗΖ. κοινῆς προστεθείσης τῆς ὑπὸ ΕΗ∠ γίνονται αἱ ὑπὸ ΑΗΕ ΕΜ∠, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι οὖσαι, ταῖς ὑπὸ ΕΗ∠ ∠ΗΖ ἴσαι ὥστε καὶ ταῖς ὑπὸ ΕΗ∠ ∠ΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι ἐπʼ
εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ. καὶ ἴση ἐδείχθη ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ· κέντρον ἄρα ἐστὶν τὸ Η τῆς σφαίρας διὰ τὸ ἴσους ὑποκεῖσθαι τοὺς κύκλους διάμετροι ἄρα τῆς σφαίρας αἱ Α∠ ΒΓ, καὶ ἴσαι ἀλλήλαις.

83 Ἄν δʼ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΑΓ Β∠,
ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις τε καὶ ὀρθὰς μετὰ τῶν ΑΒ Γ∠ περιέξουσιν γωνίας.

Τῇ γὰρ Γ∠ ἴσης καὶ παραλλήλου ἐφαρμοσθείσης τῆς ΘΗ, ἔσται ἡ ΘΗ ὀρθὴ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΘΓ ΑΘ, καὶ πρὸς τὸ αὐτῶν ἐπίπεδον, ὥστε καὶ ἡ Γ∠· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΑΓ∠. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

⁵³

84 μζ΄. Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι εὐθεῖαι, αἱ τὰ ὁμοταγῆ πέρατα αὐτῶν ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις· ἄν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἱ παράλληλοι, καὶ αὐταὶ παράλληλοι ἔσονται καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰς ὑποκειμένας παραλλήλους.

Ἔστιν δὲ φανερόν· ἐκβληθέντος γὰρ τοῦ διὰ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδου γίνεται κύκλος ἐν ᾧ εἰσιν αἱ παράλληλοι, καὶ αἱ ἐτιζευγνύουσαι τὰς ἐξ ἀρχῆς παραλλήλους ἀνιούσας τραπέζιον ποιήσουσιν ἂν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἱ παράλληλοι, αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰς οὐκέτι τραπέζιον
ἀλλὰ τετράγωνον ἤ ἑτερόμηκες περιέξουσιν.

85 Ἔστωσαν ἐν ὑποκειμένω ἐπιπέδῳ αἱ ΑΒ ΒΓ εὐθεῖαι ἴσας περιέχουσαι γωνίας μετὰ τῆς ∠ΒΕ ἐν τῷ αὐτῷ κειμένης ἐπιπέδῳ, καὶ ἐφεστάτω ἡ ΒΖ μεθʼ ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ ἴσας περιέχουσα γωνίας· ὅτι ὀρθή ἐστιν τῇ ∠Ε.

Ἤχθω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΖΗ, καὶ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ αἱ ΗΓ ΗΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΓ ΗΒ· αἱ ΑΖ ΖΓ ἄρα ὀρθαὶ ἔσονται ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ. καὶ διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΑΒΖ ΓΒΖ γωνίας ἴσαι ἔσονται καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ ΖΑ ΖΓ, καὶ ΗΑ ΗΓ, καὶ
γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΒΑ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ὑπόκειται ἴση καὶ ὅλη ἄρα ὅλη· κάθετος ἄρα ἡ ΗΕ ἐπὶ τὴν ∠Ε. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον· καὶ ἡ ΖΒ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ε.

⁵⁴

86 μη΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν πυραμίδα ἐγγράψαι.

Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεία τῶν γωνιῶε αὐτῆς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ ∠. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΕΖ· ἴσας δὴ περιέξει μετὰ τῶν
ΑΓ Α∠ γωνίας ἑκατέραν διμοίρου, ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ αὐταῖς οὖσα. καὶ ἐφέστηκεν ἡ ΑΒ ἴσας ποιοῦσα μετὰ τῶν ΑΓ Α∠ γωνίας·
διὰ τὰ προδειχθέντα ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ, καὶ ἐχάψεται τῆς σφαίρας ἐὰν γὰρ ἐκβληθῇ τὸ διὰ τῶν ∠Α ΑΓ ἐπίπεδον,
ποιήσει κύκλον, ἐν ᾧ ἰσόπλευρον ἐγγεγράψεται τρίγωνον τὸ Α∠Γ, καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΕΖ ἐχάψεται ἄρα ἡ ΕΖ τοῦ κύκλου, ὥστε καὶ τῆς σφαίρας. ἐκβληθέν οὖν τὸ διὰ τῶν ΕΖ ΑΒ ἐπίπεδον τομὴν ποιήσει τῆς σφαίρας κύκλον, οὗ διάμετρος
ἔσται ἡ ΑΒ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τῇ ΕΖ ἐφαπτομένῃ ὁμοίως. τἂν διὰ τοῦ ∠ τῇ ΑΒ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΗΘ, ἐτάψεται τῆς σχαίρας, καὶ ὀρθὴ αὐτῇ ἔσται ἡ Γ∠. κἂν ἐκθληθῇ τὸ διὰ τῶν ΗΘ Γ∠ ἐπίπεδον, κύκλον ποιήσει διάμετρον ἔχοντα τὴν Γ∠ ἴσον καὶ παράλληλον τῷ διάμετρον ἔχοντι
τὴν ΑΒ παράλληλοι γὰρ αἱ ΕΖ Γ∠ καὶ αἱ ΑΒ ΗΘ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ κέντρου τῇ Γ∠ ὀρθὴ ἡ ΛΜ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΑΒ. κἂν ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΒΛ ΒΜ, ἡ μὲν ΒΜ ὀρθὴ ἔσται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ ΛΜ καὶ τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις, ἡ δὲ ΒΛ διάμετρος τῆς σφαίρας (προδέδεικται
⁵⁵ γάρ). καὶ ἐπεὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜΓ τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΜΓ, ἔσται καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΓΜ. καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΜΓ. ἴση ἄρα ἡ ΒΜ τῇ ΜΓ, ὕστε διπλάσιον
τὸ ἀπὸ ΛΜ τοῦ ἀπὸ ΜΒ· ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΛ τοῦ ἀπὸ ΛΜ. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ΒΛ διάμετρος τῆς σφαίρας· δοθεῖσα ἄρα καὶ
ἡ ΛΜ τοῦ κύκλου διάμετρος. καὶ οἱ κύκλοι θέσει, καὶ δοθέντα τὰ Α Β Γ ∠ σημεῖα.

Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά·
δεήσει γὰρ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους, ὥστε τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας ἡμιολίαν εἶναι δυνάμει τῆς ἑκατέρου διαμέτρου, καὶ ἀγαγεῖν δύο διαμέτρους παραλλήλους τὰς ΑΒ ΛΜ, ὡς προεμάθομεν, καὶ τῇ ΛΜ διὰ τοῦ κέντρου
ὀρθὴν τὴν Γ∠, καὶ ἔχειν τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν τῆς πυραμίδος τὰ Α Β Γ ∠. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀντίστροφος τῇ ἀναλύσει καὶ συναποδέδεικται ὅτι ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.

88 μθ΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαίραν κύβον ἐγγράψαι.
Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ⁵⁶ τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ, καὶ ἐκβεβλήσθω διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ποιήσει δὴ τομὰς κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους· καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα τοῦ κύβου ἴσα τε καὶ παράλληλά ἐστιν. καὶ ἔσται ἐπεζευγμένη
ἡ ΓΕ διάμετρος τῆς σφαίρσς. ἐπεζεύχθω καὶ ἡ ΕΗ. ἐπεὶ διπλάσιον τὸ ἀπὸ ΕΗ τοῦ ἀπὸ ΕΘ τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΓ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ
γωνία, ἔσται τὸ ἀπὸ ΓΕ τοῦ ἀπὸ ΕΗ ἡμιόλιον. δοθὲν δὲ τὸ ἀπὸ ΓΕ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἐστιν διάμετρος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· δοθεὶς ἄρα
ὁ κύκλος, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ∠ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα καὶ τὰ τῶν γωνιῶν σημεῖα τοῦ κύβου.

89 Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεῖ γὰρ κύκλους ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο παραλλήλους καὶ ἴσων οὐσῶν τῶν διαμέτρων ἡμιολία ἔστω δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καὶ ἐγγράψαι
εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν τετράγωνον τὸ ΑΒΓ∠, καὶ τῇ ΒΓ ἀγαγεῖν ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον τὴν ΖΗ ἴσην τῇ ΒΓ, ὡς προεδείξαμεν καθόλου ἴσην τῇ δοθείσῃ. καὶ ἀπʼ αὐτῆς τετράγωνον συμπληρῶσαι τὸ ΕΖΗΘ, καὶ ἔχειν τὸν κύβον ἐγγεγραμμένον. δειχθήσεται γὰρ ἀκολούθως τῇ
ἀναλύσει τετράγωνον τὸ ΒΖΗΓ καὶ τὰ λοιπά, καὶ συναποδέδεικται ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευράς, καὶ ὅτι οἱ αὐτοὶ κύκλοι τὰς τῆς πυραμίδος καὶ τὰς τοῦ κύβου περιέχουσι γωνίας· καὶ ⁵⁷ γὰρ ἔτ’ ἐκείνης ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡμιολία ἦν δυνάμει τῆς διαμέτρου τῶν κύκλων ἑκατέρου.

90 ν΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ὀκτάεδρον ἐγγράψαι.

Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεία τῶν γωνιῶν αὐτοῦ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ ∠ Ε Ζ, καὶ ἐκβληθέντα
τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ποιείτω κύκλους τούς ΑΒΓ θένταΕΖ. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἴσαι πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσπεπτώκασιν αἱ ∠Α ∠Β ∠Ε ∠Ζ, ἔσται τὰ Α Ζ Β ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ καὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπʼ αὐτὰ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι εἰσίν. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις
αἱ ΑΒ ΒΖ ΖΕ, καὶ εἰσὶν ἐν κύκλῳ τετράγωνον ἄρα τὸ ΑΕΖΒ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ. ὁμοίως καὶ ἡ μὲν ∠Ε τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ∠Ζ τῇ ΑΓ· παράλληλοι ἄρα καὶ οἱ κύκλοι· καὶ ἴσοι ἀλλήλοις, ἐπεὶ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς ἰσόπλευρα τρίγωνα ἴσα ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι
κύκλοι εἰσίν, καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι εὐθεῖαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ ΕΖ καὶ εἰσὶν οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων, ἔσται ἐπιζευγνυμένη ἡ ΑΖ διάμετρος τῆς σφαίρας καὶ αἱ ΑΕ ΖΒ ὀρθὰς μετὰ τῶν ΑΒ ΕΖ περιέξουσι γωνίας, ὡς προδέδεικται. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΑΕ ΕΖ διπλάσιον
ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΕ. τὸ δʼ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου ἐπίτριτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ· ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τοῦ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου δοθεῖσα ἄρα ἡ διάμετρος, καὶ ὁ κύκλος, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ καὶ τὰ ἐπʼ αὐτῶν σημεῖα.

91 Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως· δεῖ γάρ ὁμοίως ἐγγρά ⁵⁸ ψαι τῇ σφαίρᾳ δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλοις, ὧν ἑκατέρου τῆς διαμέτρου ἡμιολία δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καὶ ἐγγράψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν ἰσόπλευρον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον ἀγαγεῖν τὴν ΕΖ ἴσην τῇ ΑΒ, καὶ ἀπʼ αὐτῆς ἐγγράψαι τὸ
∠ΕΖ τρίγωνον, καὶ ἔχειν συνεσταμένον τὸ ὀκτάεδρον. καὶ συναποδέδεικται ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας διπλασίων δυνάμει τῆς πλευράς τοῦ ὀκταέδρου. συνεύραται δʼ ὅτι εἴς γε τὴν τῆς πυραμίδος ἐγγραφὴν καὶ εἰς τὴν τοῦ κύβου καὶ τοῦ ὀκταέδρου οἱ αὐτοὶ παραλαμβάνονται κύκλοι ὧν εἰς
τὴν αὐτὴν σφαίραν ἐναρμόζεται τὰ πολύεδρα, καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τετράγωνον τοῦ κύβου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου.

92 να΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰκοσάεδρον ἐγγράψαι.

Ἐγγεγράφθω, καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σημεῖα τῶν
γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ, ∠ Ε Ζ, Η Θ Κ, Λ Μ Ν. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ B σημείου πρὸς τήν ἐπιψάνειαν
προσπεπτώκασιν αἱ ΑΒ ΒΓ ΒΖ ΒΗ ΒΕ ἴσαι ἀλλήλαις, ἐν ἑνὶ ἔσται ἐπιπέδῳ τὰ
Α ΓΖ Η Ε σημεῖα καὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπʼ αὐτὰ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι εἰσίν.
καὶ ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΓ ΓΖ ΖΗ ΗΕ ΕΑ, καὶ εἰσὶν ἐν ⁵⁹ κύκλῳ· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΕΗΖΓ πεντάγωνον· ὁμοίως καὶ ἑκάτερον τῶν ΚΕΒΓ∠ ∠ΘΖΒΑ καὶ τὰ ΑΚΛΗΒ ΑΚΝΘΓ ΓΘΜΗΒ ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ, καὶ ἔσται παράλληλος ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΕΖ ἐπιζευχθείσῃ, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΚΘ τῇ ΛΜ· καὶ γὰρ τὸ ΛΚ∠ΘΜ πεντάγωνόν
ἐστιν. ὁμοίως δειχθήσονται καὶ αἱ μὲν ἐπιζευγνύουσαι τὰ Β Γ, Ε ∠, Η Θ, Λ Ν παράλληλοι, αἱ δὲ ἐπιζευγνύουσαι τὰ Β Α, Ζ ∠, Η Κ, Μ Ν παράλληλοι. καὶ ὁμοίως ὁ περὶ τὰ Α Β Γ κύκλος ἴσος καὶ παράλληλος τῷ περὶ τὰ Λ Μ Ν· ἴσα γὰρ καὶ ὅμοια τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα
τὰ ΑΒΓ ΛΜΝ. οἱ δὲ περὶ τὰ ∠ Ε Ζ, Η Θ σημεῖα κύκλοι ἴσοι καὶ παράλληλοι· καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα ἴσα καὶ ἰσόπλευρα· ἑκάστη γὰρ πλευρὰ πενταγώνου γωνίαν ὑποτείνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ οἱ περὶ τὰ ∠ Ε Ζ, Κ Η Θ κύκλοι ἴσοι εἰσὶν καὶ ἐν αὐτοῖς ἰσοπλεύρων τριγώνων
πλευραὶ παράλληλοι αἱ ΕΖ ΚΘ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων , ἔσται ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Ζ Κ διάμετρος τῆς σφαίρας καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΕΚ γωνία· προδέδεικται γάρ. καὶ ἐπεὶ πεντάγωνόν ἐστι τὸ ΗΕΑΓΖ, τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης, μεῖζον ἔσται τμῆμα ἡ
ΑΓ· ἡ ἄρα ΕΖ πρὸς τὴν ΑΓ λόγον ἔχει ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. καὶ δύναται ἀμφο ⁶⁰ τέρας ἡ ΖΚ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΚ τῇ ΑΓ· ἕξει ἄρα ἡ ΖΚ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς μὲν τὴν ΕΖ λόγον, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου, πρὸς δὲ ΑΓ, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ
δεκαγώνου. καὶ δοθεῖσα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΖ ΑΓ,
ὥστε καί αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν ΕΖ ΑΓ· καὶ αὐτοὶ ἄρα
οἱ κύκλοι δοθέντες, καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλληλοι, καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν.

93 Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γὰρ ἐκθέσθαι δύο
εὐθείας, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, καὶ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος δυνάμει τῶν ἐκτεθεισῶν εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας, ὡς τοὺς ∠ΕΖ ΑΒΓ, καὶ
ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσους αὐτοῖς γράψαι παραλλήλους τοὺς ΚΗΘ ΛΜΝ, καὶ ἐναρμόσαι ἐν ἑκάστῳ ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευρὰς παραλλήλους τὰς ΑΓ ΕΖ ΚΘ ΛΜ ἐνηλλαγμένως πρὸς τὰ κέντρα κειμένας, καὶ ἐγγράψαι τὰ τρίγωνα ὅλα τὰ ποιοῦντα τὰς τοῦ πολυέδρου
γωνίας. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἐκ τῆς ἀναλύσεως εὐχερής. συνορᾶται δʼ ὅτι καὶ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς τοῦ πενταγώνου πλευράς τοῦ εἰς τὸν ∠ΕΖ κύκλον ἐγγραφομένου ἡ μὲν γὰρ ΚΖ πρὸς τὴν ΖΕ ⁶¹ ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου δοθεῖσα ἄρα ἐν ἑκατέρῳ κύκλῳ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὥστε καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν πλευρῶν· δοθέντες ἄρα καὶ οἱ κύκλοι καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλληλοι καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν,
ὅπερ : ~

95 Δεῖ οὖν ἐν τῇ συνθέσει δύο ἐκθέσθαι, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρός τε τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, ἃς καὶ ἐπὶ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐξεθέμεθα, καὶ γράψαι δύο παραλλήλους
κύκλους ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ αὐτὸ μέρος τοῦ κέντρου κειμένους, ὡς τοὺς ΖΗΘΚΛ ΑΒΓ∠Ε, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος εἰσὶ δυνάμει τῶν ἐκκειμένων εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας. καὶ τούτοις ἴσους ἄλλους δύο κύκλους καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη
τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὡς τοὺς ΜΝΞΟΠ ΡΣΤΥΦ καὶ ἐναρμόσαι τὰς Ε∠ ΖΛ ΟΞ ΣΤ πενταγώνων πλευρὰς παραλλήλους, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἀναγράψαι τὰ πεντάγωνα, διʼ ὧν αἱ τοῦ πολυέδρου συνίστανται γωνίαι. καὶ φανερὸν ἐκ τῆς κατασκευῆς, ὅτι οἱ περιέχοντες κύκλοι τὰς τοῦ δωδεκαέδρου
γωνίας οἱ αὐτοί εἰσιν τοῖς περιέχουσιν τὰς τοῦ εἰκοσαέδρου γωνίας, καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγμωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τύ πεντάγωνον τοῦ δω δεκαέδρου τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαίραν ἐγγραφομένων. ⁶² Ἄλλως τὸ δέκατον θεώρημα ἐν τῷ τρίτῳ τῆς τοῦ Πάππου συναγωγῆς καὶ τὴν ἀπόδειξιν περιέχον καὶ τὴν ὀργανικὴν κατακσκευὴν τοῦ τε

διπλασιασμοῦ τοῦ κύβου καὶ τῶν δύο μέσων ἀνάλογον.

96 Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠, διάμετροι δὲ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις ἔστωσαν αἱ Α∠Γ Β∠Ε, καὶ
διήχθωσαν αἱ ΕΜΝ ΒΘΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κέβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ
κύβον.

Ἐπεξεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ
Α∠Γ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΛΚ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ κάθετος ἦκται ἐπὶ τὴν Β∠Ε, ἡ ΚΛ ἄρα μέση ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΚ ΚΒ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ, τουτ
ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τὴς ∠Μ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ∠Μ. κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ ἔσται ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ, τουτέστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν
ἀπὸ τῆς ∠Ζ.

⁶³

97 Ὀργανικῶς δὲ κατασκευασθήσεται τὸν τρόπον τοῦτον.

Ἔστω τύμπανον πρὸς κανόνα ἀπωρθωμένον, ἐν ᾧ καταγραφέντος κύκλου κέντρῳ καὶ διαστήματι ἐλάττονι τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ τυμπάνου, ὡς τοῦ ΑΒΓ, πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις ἤχθωσαν διὰ τοῦ κέντρου αἱ Β∠Ε Α∠Γ, καὶ
κατὰ τὸ Β σημεῖον τρηματίου γενομένου ἐμβεβλήσθω εἰς αὐτὸ ἀξόνιον κυκλοτερές, καὶ περὶ τὸ ἀξόνιον περιβεβλήσθω κανὼν διατρηθεὶς καὶ αὐτός, ὡς ὁ ΒΘΖΗ, ὥστε εὐλύτως περὶ τὸ Β κέντρον περιάγεσθαι, περόνης ἐμβληθείσης εἰς τὸ ἀξόνιον τῆς κατεχούσης ἐν τῇ περιαγωγῇ τὸν κανόνα.
τούτων δὲ οὕτως γενομένων κύβος κύβου πολλαπλάσιος καθʼ ὁποιονοῦν ἀριθμὸν ῥᾳδίως κατασκευασθήσεται. προκείσθω δὴ διπλασίονα κατασκευάσαι·
λαβόντες γὰρ τὴν ∠Ε διπλασίονα τῆς ∠Μ ἐπιζεύξεμεν κανόνι τὴν ΕΜΝ, καὶ τὸν κανόνα τὸν ΒΘΖΗ κινήσομεν περὶ τὸ Β κέντρον, ἕως ἂν ἡ αὐτῷ μέση
γραμμὴ μεταξὺ τῶν Θ Η διχοτομηθῇ ὑπὸ τῆς Α∠ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ. τοιαύτην γὰρ θέσιν τοῦ κανόνος λαβόντος ἀφορισθήσεται ἡ ∠Ζ, ἀφʼ ἧς ὁ ζητούμενος κύβος ἀναγραφήσεται ἀκολούθως τῇ ἀποδείξει.

⁶⁴

98 Ὑπομνηματικώτερον δὲ συνταχθείη ἂν τὸ αὐτὸ πρόβλημα οὕτως.

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΕ περὶ κέντρον τὸ ∠, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἀλλήλαις διηγμέναι αἱ Α∠Γ Β∠Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ἐντὸς προσπίπτουσα ἡ ΒΖΗ·
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΗ.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΕ διὰ τοῦ κέντρου οὖσα μείζων ἐστὶ τῆς ΒΗ, καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ἡμισείας μείζων· μείζων ἄρα ἡ Β∠ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΗ. ἡ δὲ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς Β∠· πολλῷ ἄρα ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΗ, καὶ πολλῷ ἄρα καὶ τῆς ΖΗ.

Ἐπει ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς ΖΗ, ἴση τῇ ΖΗ κείσθω ἡ ΘΖ λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὶ τῆς ∠Ζ.

99 Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ
Α∠Γ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν η μὲν ΘΖ τῆ ΖΗ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, ἡ δὲ Λ∠ τῇ ∠Η διὰ τὸ ἑκατέραν αὐεῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου εἶναι, ἔστιν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Λ∠ πρὸς τὴν ∠Η, ἐὰν τριγώνοδ ἀνέλογον μηθῶσιν αἱ πλευραί, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα
παρὰ τὴν λοιπήν ἐστι τοῦ τριυγώνου πλευράν· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ Ζ∠. καὶ ἐπειδὴ δύο αἱ Β∠Η δυσὶ ταῖς Λ∠Ε ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Β∠Η τῇ ὑπὸ Λ∠Ε ἐστὶν ἴση, καὶ βάσις ἡ ΒΗ βάσει τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἐκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἴση ἄρα
ἡ μὲν ὑπὸ ΕΛΗ τῇ ὑπὸ ΛΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΕΛ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ παράλληλος ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ.

100 Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ∠Γ, αἱ ὑπὸ ΛΚ∠ Κ∠Γ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὧν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ⁶⁵ Κ∠Γ· καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚ∠ ἄρα ὀρθή ἐτιν· πρὸς ὀρθὰς ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΛΚ μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΛΚ τῶν ΕΚ ΚΒ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ. καὶ ἐπειδὴ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΒΖ
τῇ ΛΕ, ἡ δὲ ΘΛ τῇ ΖΞ, ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρίγωνον τῷ ΒΚΘ, τὸ δὲ ΒΚΘ τῷ Β∠Ζ, καὶ ἔτι τὸ μὲν ΘΚΕ ὅμοιόν ἐστι τῷ Μ∠Ε, τὸ δὲ ΛΚΕ τῷ Ξ∠Ε· ἰσογώνιον ἄρα ἕκαστον ἔκάστῳ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ
ἀπὸ τῆς ΚΘ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ· ὡς ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ. ἀλλʼ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς τὴν
ΚΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ. πάλιν ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρίγωνον τῷ ΒΚΘ, τὸ δὲ ΘΚΕ τῷ Μ∠Ε, καὶ τὸ ΛΚΕ τῷ Ξ∠Ε τριγόνῳ διὰ τὸ τὰς παραλλήλους ἰσογονία αὐτὰ ποιεῖν, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΒΚ
πρὸς ΚΘ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ξ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ Ε πρὸς Ε∠, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς ∠Ξ. ὁμοίως καί, ἐπεὶ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΕ πρὸς Ε∠,
οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ∠Μ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ∠Ξ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν Μ∠, καὶ ἐναλλὰξ ⁶⁶ ὡς ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἡ Ξ∠ πρὸς ∠Μ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ Ξ∠ πρὸς τὴν ∠Μ. ἴση δὲ ἡ Ξ∠ τῇ ∠Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Μ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως
τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Μ.

101 Ὅτι δὲ ἴση ἐστιν ἡ Ξ∠ τῇ ∠Ζ δῆλον. ἐπεὶ γὰρ παρέλληλός ἐστιε ἡ ΛΞ τῇ ΖΗ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΛΞ∠ τρίγωνον τῷ Ζ∠Η. καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ ΛΞ∠ Ζ∠Η τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ Ξ∠Λ ∠ΛΞ
ταῖς ὑπὸ Ζ∠Η ∠ΗΖ δυσὶν ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν τὴν Λ∠ μιᾷ πλευρᾷ τῇ ∠Η ἴσην, καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ τῶν ὑποτεινουσῶν τὰς ἴσας γωνίας. ἴση ἄρα ἡ ∠Ξ τῇ ∠Ζ.

102 Κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς Β∠ πρὸς
τὴν ∠Ζ, ἔσται ὡς ἡ B∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς B∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ, τουτέστιν ὡς Ε∠ πρὸς Μ∠, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ.

103 Καὶ τούτοις ἀκολούθως δύο τῶν Ε∠ ∠Μ δοθεισῶν ληψόμεθα τὰς δύο μέσας ἀνάλογον ἐν τῇ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ.
ἐκκείσθωσαν γὰρ ταῖς Ε∠ ∠Ζ ∠Μ ἴσαι αἱ Ε∠ ∠Ζ ∠Μ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ, δῆλον ὡς ἡ ∠Μ οὐκ ἔστι τρίτη ἀνάλογον τῶν Ε∠ ∠Ζ.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἡ ∠Μ τρίτη ἀνάλογον τῶν Ε∠ ∠Ζ. ἐπεὶ
οὖν ἡ ∠Μ τρίτη ἀναλογόν ἐστι τῶν Ε∠ ∠Ζ, ἔστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, ἀλλʼ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ∠Μ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ· ἑκατέρα ἄρα τῶν Ε∠ ∠Ζ
πρὸς τὴν ∠Μ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἐστιν ἡ Ε∠ τῇ ∠Ζ, ὅπερ ⁶⁷ ἀδύνατον (μείζων γὰρ ἡ Ε∠ τῆς ΔΖ)· οὐκ ἄρα ἡ ∠Μ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν Ε∠ ∠Ζ.

Εἰλήφθω τῶν Ε∠ ∠Ζ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΟΠ. ἐπεὶ οὖν τῶν Ε∠ ∠Ζ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν ΟΠ, ἔστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ. καὶ ὡς ἄρα
τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ΟΠ. ἀλλʼ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Μ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ΟΠ
πρὸς τὴν ΔΜ. ἀλλʼ ἦν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Z, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ· καὶ ὡς ἄρα ἔ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ∠Μ· αἱ Ε∠ ∠Ζ ΟΠ ∠Μ ἄρα τέσσαρες οὖσαι ἐν τῇ συνεχεῖ καὶ ἐφεξῆς ἀναλογίᾳ εἰσί· τῶν Ε∠ ∠Μ ἄρα δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ∠Ζ ΟΠ.

104 Τῆς δὲ ἀποδείξεως ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς ἀκολούθως τῇ ὀργανικῇ κατασκευῇ γενομένης δῆλον ὡς ἡ μὲν ὀργανικὴ κατασκευή, δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων καὶ λόγου πρὸς ἀλλήλας τῶν εὐθειῶν δεδομένου, εὑρίσκει τὰς δύο μέσας ἀνάλογον, ἐφʼ ὧν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην,
οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, ἡ δὲ ἀπόδειξις, ὑποστησαμένη τινὰ εὐθεῖαν καὶ ἄλλας δύο λαβοῦσα διὰ τῆς τῶν γραμμῶν καταγραφῆς ἐλάττονας μὲν τῆς πρώτης ἐφεξῆς δὲ αὐτῇ κειμένας καὶ ἀλλήλαις ἀνίσους, εὑρίσκει ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς
τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, οὕτως τὴν δευτέραν πρὸς τὴν ἐλαχίστην. τούτων δὲ τῆς τε πρώτης καὶ τῆς δευτέρας προσλαβοῦσα τρίτην ἀνάλογον ἀποδείκνυσιν τὰς δύο μέσας ἀνάλογον οὕτως θεωρουμένας ὡς ἐπὶ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς. τούτων γὰρ τὸ μὲν συμπέρασμα τὸ αὐτό, διʼ ὧν δὲ τοῦτο
⁶⁸ εὑρίσκεται τῶν πρώτων, οὐ τὸ αὐτό. ἐπὶ μὲν γὰρ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς, λόγου δοθέντος δύο εὐθειῶν ἀνίσων, τὸ συμπέρασμα δείκνυται, ἐπὶ δὲ τῆς ἀποδείξεως, μὴ δοθέντος τοῦ λόγου τῶν εὐθειῶν, διὸ ἔτι τοῦτο μένει ζητούμενον, πῶς ἐν λόγῳ δοθέντι αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι. δεῖ γάρ,
λόγου δοθέντος τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρώτη εὐθεῖα πρὸς τὴν τετάρτην, ἐν τῷ αὐτῷ λόγω γενέσθαι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας.

Synagoge. Pappus Alexandrinus. ed. Friedrich Hultsch. United States. 2018.

Current edition First1KGreek

Synagoge, Book 1 (Greek) (Pappus Alexandrinus. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, Volume 1. Hultsch, Friedrich, editor. Leipzig: Weidmann, 1876.)

Notes on the current edition

Synagoge

1. 1. 2. πάππου ἀλεξανδρέως. συναγωγῶν Γ· περιέχει — στερεά om. A1, add. Α2 (Β, nisi quod huc συναγωγὼν τρίτον), Πάππου ἀλεξανδρέως μαθηματικῶν συναγωγῶν βιβ. Γ S, ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ corr. Ηυ 4. κρατίστη πανδρόσιον ABS, Cratiste Co, corr. Hu (conf. indicem) 10. τὸν ἀκόλουθον τοῦτον ABS, consequens eous Co, corr. Hu ὑγειῶς AB, corr. S 11. ἂν μὲν — 12 ἰδιώτης interpolatori tribuit Hu 16. 17, προσποιούμενος ἠσκηκέναι τὰ μαθήματά πως ἀπείρως προβάλλῃ coni. Hu προβάλλων S, πρόβά| λὼν A, προβαλών B 18. τὰς add. Hu 20. ἀποδειξις (sine acc.) A, corr. BS 21. ὠφελίαν A, corr. BS φιλομαθεωρίας,

2. 1. ἠξίου δὲ Hu, ηφιούτε (sine spir) A (BS) 4. α΄ om. ΑΒ, add. S 6. επι| ζεύχθω (sine spir.) A(B), corr. S 7. ante ἀπὸ τοῦ Ε cogitatione addendum est ἤχθω, quod saepius scriplor omisit 10. ἤχθωσαν ante διὰ τῶν add. Β4 διὰ πῶν ΝΛ ΞΚ A, distinx. BS 13. πρὸς θσ V2 pro πρὸς ΘΕ πρὸς ΘΤ, ὡς Hu, πρὸς τὸ ΘΤ ὡς AB1S, πρὸς τὴν θτ ὡς B3 13. 14. πρὸς Θ οὕτως (omisso Τ) A, corr. BS 15. ἐπιζεύχθω AB, corr. S (nisi quod lapsu calami ἐπεζεύχω habet) 17. 18. ἡ ωΜ πρὸς ΜΘ πρὸς ΜΒ ABS, pro ΜΘ corr. μᾳ B4 Co, lum ὡς δὲ ωμ πρὸς μᾳ οὕτω μᾳ add. et pro ΜΒ corr. μ β B4, reliqua corr. Hu 19. ἀφῃρήσθω add. B4 ἐπιζεύχθω AB, corr. S 23. οὕτως ἡ ΖΗ (Z in rasura) A, lineolam ad Z add. B4 24. ἡ ΘΓ· B1S S, lineolam

3. 3. post πολλοὶ add. μὲν A1, sed id expunctum 7, δε*όντως A2 ex δεν ὄντως 9. οὕτω AsBS 11. πάση δὲ ἀνάγκη AB, πέσῃ δὲ ἀνάγκῃ Ss, corr. Hu 14. τοῦτο accipiendum est pro τόδε; minime igitur τούτω scribendum 16. ὑπερεκτεθέντος B 17. ΘΡ A1, Κ superscr, A2, unde κρ S, θ*ρ B τοῦ om. BS 18. ἡ Η πρὸς τὴν ΒΑ AB1S, corr. B4 Co 20. τουτέστιν add. B4 V2, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει mavult Hu 21. δίδοται AS, corr. Β 23. ὅτι add. V2 24, ΘΡ — ΡΤ AS, distinx. B 24. 25. δῆλον ἔσται ABS, corr. Hu ayclore Co 25. ὅτι γὰρ — p. 36, 3. πρὸς τὴν ΘΡ interpolatori tribuit Hu 25 τῶν ΡΣ A, disinx, BS

4. 1. τῶν ΘΡ et 3. τῶν ΡΤ A, distinx. BS 5. τῆς ΚΘ — 6. πρὸς ΑΓ, manifestum interpretamentum, del. Hu 6. ἢ τῆς Β∠ ΑΒ, ἢ τῆς βα S Co 7. τὰ δύο πρὸς τὸ Α τουτέστιν ὃν ∠ πρὸς δύο AB, τὰ δύο πρὸς τὸ ἕν, τουτέστιν ὃν τέσσαρα πρὸς δύο S 8. 9. λόγος ἐστιν ὃν ∠ πρὸς Γ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΗΘ (voluit ΚΘ, πρὸς ΘΣ om. A1, add. A in marg. 10 ὡς prius] ουτω (sine spir et acc.) A, οὕτω B1S, corr. B4 10. 11. δύο καὶ — δύο καὶ ∠ A, δύο καὶ δ΄ utroque loco B, δύο καὶ τέταρτον V2 Sca 11. τὼ Β ∠ AB, τὰ δύο δ S, τὰ δύο δ΄ Sca, τὰ δύο καὶ τέταρτον V2 πρὸς ἄλλην] προσάλληλα AB (S),

5. 1. αὐτὰ τὰ Hu pro τὰ ἀυτὰ Γ ⌞ ι΄ A (B ut supra) 2. αὐτῶν τῶν Hu pro τῶν αὐτῶν 5, 6. τῶν ΡΘ et 7, τῶν ΡΤ A 10. τῶν ΘΡ — τῶν ΡΤ A itemque posthac, distinx. BS 12. αὐτὸς — 14. τῶν Ρ Τ interpolatori tribuit Hu 15. ἢ] ἣ As Bs S 19. ὡς ante ὁμολ. add. Co 20. τῆς ΞΚ τῆς Κ| Μ AB1, corr. B3 21. τῆς ΜαΘ] minuta littera α atque item posthac β γ δ in ABS ubique super Μ positae sunt 21. 22. τῆς Κ Μ διὰ τὴν Ϲ καὶ Τ καὶ Ρ σημεῖον AB1, corr. B3 (minus feliciter διὰ τὰ — σημεῖα V2) 23. δῆλον πως Λ; vix tamen probabile videtur δῆλον πῶς ἡ ΚΜ AB1S, corr. B3 24. ἡ ΣΜβ Hu, ΕΜ, omisso ἡ, AB1 S, σ pro Ε corr. B3 πρὸς τὴν ΡΜ AB1S, corr. B3V2

6. 1. 2, exsprectaveris ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΚΘ τῇ Βε; sed in * progressu demonstrationis scriptor ordinem inverlit, ut ex proximis apparet ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ Hu auctore Co, ἡ δὲ ΑΕ τῆι ΚΘ AB1 S, ἡ δὲ αε τῇ ρθ B3V2 2. ΡΜ AB1S, corr. B3V2 item vs. 3 ἡρυσθαι (sine acc.) A (B1), ἡυρήσθαι B4, corr. S 4. τὰς σμ B3V V2, τοὺς | Μ AB1, τὰς μ S 6. 7. τῶν — τὰ ΤΣ Α 8. καὶ τὴν ΤΘ AB3, καὶ τὴν θτ B1S 11. δὲ οἶμαι V2 pro δέομαι 12. ὡς ante ὁμολ. add. Hu 13. ἔστω esse Co; voluit igitur εἰναι 14. τῶν ΡΘ Α i6. ἧττον V2 pro πλέον 17, ἑκὼν ψευδογραφεῖ Hu pro ἐκ τῶν ψευδογραφεῖν 20. καὶ ὕστερον — εἰλημμένην, manifestum interpretamentum, del. Hu μη A 22. επιτοινυν δοθείσης ἐστιν AB, corr. S

7. 1. 2. πρὸς ΘΣ δοθεῖσα AB1, corr. B3S 4. ἄρα add. Hu auctore Co 6. τῶν ΘΡ Α, distinx. BS 7. καὶ ἐπιδέδοται A, corr. BS ἥ τε ΦΡ coni. Hu 8. τὰ Ρ Χ Hu pro ΤΑ ΡΧ errorem lam indicaverat B4 lineola ducta sub τα 10, ΡΦ γωνία AB1, corr. B4S ΚϹΦ ἐκτὸς AB1, corr. B4 Co, φ et ψ per dittographiam habet S 12, ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέθει add. Hu (καὶ μεγέθει pro οὕτως coni. Co) 18. οὕτως — 21, δεδομένον ἔσται interpolatori tribuit Hu: vide adnot. ad Latina 15. αὐτὸς γάρ ἐστιν add. A in rasura (BS) 21. post μεγέθει add. η (sic) A, B1 S, del. B3V V2 22. ξκ B4, ΗΚ B1S S, βκ V2

8. 1. ἡ Μω πρὸς τὴν ωΛ AB1S, corr. B3V2 ἡ ΑΜ πρὸς τὴν Μ Β ABS, lineola sub Α addita erat in B, sed nunc crasa est 2. ἡ Μ Β ABS 3. ἡ ΒΛ ABS, lineolam add. Hu 4. ἐδείχθη — δοθείσῃ del. Hu ἐδίχθη ἴση γὰρ AB1S, ἐδείχθη γὰρ ἴση B3 ἴση γὰρ, deleto ἐδείχθη, V2 5. post καὶ ἡ ΚΘ add. δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ μω V2 8. ἡ Μ Β ABS 9, Β σημεῖον ABS ὅπερ ἔστω cet. non vacant corruptelae suspicione; certe ὅπου ἂν βούληται legenda esse videntur 10. τῶν ϚΜ AS, distinx. B 11. ἢ Hu auctore Co pro ἡ τῶν Ϛἀ A, τῶν Ϛᾳ BS, corr. V2 ἑκατέρας AS, corr. B secundum Waitzii collationem 11. 12. τῶν ΚΡ ΑΒ *** Hu. τῶν ΚΡ ΑΒ ΚΞ ΤΝ AB1, τῶν κραβ χξτν S, τῶν κρ αβ χξ γν B3 V2 Co, τῶν κρ αβ καὶ χξ γν B4, in lacuna excidisse verba ἀδύνατόν ἐστιν τὸ πρόβλημα coniicias collata pat. 40, 10 vel εἰς ἄπορον δηλονότι ἐμπίπτει coll. p. 40, 16 12. τὁ B ABS 16. τὰ Α° Α 17. τὴν ΜΑ° καὶ τὴν ΜΑ Α 19. αὐτοδείξω A, αὐτὸ δείξω B, corr. S 21. τὸ Ϛ] fallitur Co pro Ϛ coniiciens Β

9. 1. δεῖξαν B3 (voluit δεῖξαι 2. τῶν Ϛ Αʼ A 3. τῶν ΜϚ ABsS, distinx. Hu 4. πίπτει — 5. λόγου del. Hu 6. δεδόσθαι Hu pro δίδοσθαι τὸ Ϛ βγ B3 V2, τὸ Ϛ Ρ΄ ι΄ A, τὸ Ϛ βι B1S 6. 7. κὰν τὸ Β A, κἂν τὸ β BS 7. η (sic) τῶν Ϛᾳ A (BS) 8. δὲ add. Hu 9. ∠E Hu pro ΛΕ 10. τουτέστιν ὁ τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ om. S, unde λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ηε πρὸς ζῃ καὶ τῆς ζη πρὸς τὴν ηθ coni. V2 11. καὶ ante οὐδαμῶς] ἀλλʼ coni. Hu 11. 12. πρὸς τὴν ΗϠ Hu pro ὁ πρὸς τὴν ΗΕ 12. 13. τῆς ΚΡ — τῆς ΑΒ τῆι ∠Ϡ ABS, corr. Hu 13. τῆς ΛϠ] pro Ϡ nota numerali A et hic et infra formam Ϡ habet, quae in codicibus recentioribus aut in ipsum τ ait in formam simillimam abiit (etiam Co τ legit, Waitzius autem recte Ϡ descripsit) τῶν ΖϠ. AB, τῶν ζ τ Ss 15. δεῖξον A1 ex δεῖξων, ut videtur, δεῖξαν B τῶν ϠΗ AB, τῶν τη S 15. 16. τῶν ϠΖ Α, distinx. BS 16. εἰ δὲ S, ηδε (sine spir, et acc.) A, ἥδε B 18. καὶ ante νῦν add. B

10. 1. καὶ A1B, κὰν A2, ut vindetur, unde κἂν S 2. 3. τὰς ΖΚ ΒϠ. διὰ δὲ τῶν ΚΛ A, lineolas addidit et pro Ϡ correxit Λ B3 3. τῆι ΑΓ τὰ ΚΜ Λν Α, τὰς corr. B3S, lineolam sub Α del. Hu, lineolas sub Μ ΛΝ add. B 5. ὑπὸ ΓΘΗ AS, lineolam sub Θ add. B ἀμβλεῖα B3 V2, /////// A, om. B1S 6. τῶν ΗϠ ΑΒ, sed rum Η ln Α litterae

11. 1. γ΄ add. S αἱ ΑΒ et 2. τῶν ΑΒ Α, distinx. BS 2. ἐλάσσων — τῶν Α Β interpolatori tribuit Hu 9. ὡς ἡ α B3S, ὡς A AB1 10. 11. ἐστὶν ἡ μὲν Α τῇ Β, ἡ δὲ] ἐστὶν ///////// δὲ Α, om. B1, ἐστὶν ἡ μὲν. τῇ ἡ ἡ δὲ S, corr. B3 Sca 11. ΓΚ τῆς Ν Α, corr. BS 12. ἡ β πρὸς τὴν Β Sca, ///////// A, ἡ . . . . . . . . S 13. οὕτως ἡ ΕΖ} οὕτως ἡ Τ∠ πρὸς τὴν ΕΖ καὶ ἡ ΕΖ voluit Co 21. ∠ A1 in marg. (S), om. B 25. ἡ Β ἄρα — p. 52, 2. ὡς δὲ ἡ Β] pro his nihil nisi

12. 5. ἡ ΓΑ ἄρα AS, ἡ γ * ἄρα B, corr. etiam Sca 6. ἡ aute H om. AB3S (plura om. B1), add. Sca 10. ἴση ἡ α B3 (α in rasura) Sca, ἡ ∠ AS 11. ὅπερ nulla sequente nota compendii A, ὅπερ: ~ B, ὅπερ ἔδει ~ S 12. Ε A1 in marg (S), om. B 17. ἄρα add Hu, item vs. 19 21. Ϛ A1 in marg. om. BS 28. ἐπεὶ οὐν — 29. ἡ Γ

13. 1. τὰ] τά τε coni, Hu 18. εἰς τὴν γένεσιν ABS, εἰς τὴν κατασκευὴν Co, corr. Hu 19, βεβιασμένην AS, sed litterae βεβι vix perspicuae in A, μεταπλασμένην B, κατασκευασμένην cod. Paris, 2369, transmutabilom Co 20. τυγχά ////////////// καὶ Α τυγ. .......... καὶ B1, τυγχάνουσιν αἱ ...... καὶ B3, τυγχάνουσι ....... καὶ S, ἕλικες add. Co κοχλοεισυμφώνως

14. 4. — 7. καλουμένων interpolatori tribuit Hu 7. λέλυκε Hu pro καὶ λόγων κοχλοειδοῦς A1 ante rasuram, κογχλοειδοῦς B1, κογχοειδοῦς A2B3S 8. γραμμῆς B et S correctus [incertum an a Scaligero), γραμμικῆς AS1} 10. τὴν ante Ἐρατ. om. AΒ, add. S 11. τὴν περὶ τὸν νικομήδη S 14. στερεοῦ — 17. καταπαλτικοῖς] nec falsum est hoc theorema nec suspecta Heronis, qui citatur, auctoritas, tamen haec interpretamenti loco ab aliena man addita esse apparet 14. στερεοῦ παντὸς interpolator ex ἕτερον suspensa esse voluit (στερεοῦ γὰρ δοθέντος coniecerat Hu, στερεοῦ γὰρ παντὸς δεδομένου Co) 15. τῶν del. Hu 18. τὸ AB Γ∠ A, coniunx. BS 19. ἴσα A2 ex ῖ*α μζκ νηλ B3V2, ΜΖ ΚΜΗΛ Α, μζκ μηδ S. μζκ μηλ B1 20. τὰ πρὸς AB1, corr. B3S 21. ἐπὶ om. AB1S, add. B4V2 V2 Co 23. σωλῆνα Sca, σωληνίσκον Hu, octo fere litterae eyanidae in A, laune in BS

15. 1. γδ κανόνος Sca et καὶ αὐτοῦ Hu, //////////// του A, post lacunam τοτ Β, τοῦ Σ 2. γηλ B3 in rasura, ΝΛΜ AS, γλη V2 Sca 3. κατὰ Sca. per Co, καὶ ABS 4. ὅταν βούληταί — 5. ποιῆσαι, ἡμίσειαν ἀπολαμβάνων τῆς ΑΓ τὴν ΛΞ coni. Hu 6. ΜΖ ΚΝΗΛ A, corr. BS 7. τὸ ΛΞ et 8. ταῖς ΠΟ A, distinx. BS 13. πρὸς ΠΚ] πρὸς ΚΗ AS, πρὸς κπ B, corr. V2 Sca 14. πρὸς ΟΚ] πρὸς ΘΚ AB1S, corr. B2V2 Sca πρὸς ΡΟ] πρὸς ΡϹ ABS, corr. B3V2 Sca 16. αἱ ΠΘ ΟΚ] αἱ ΗΘ ΕΚ AS, αἱ πθ εκ B1, corr. B3V2 Sca 19. ἔχοι ὁ κύβος Hu

16. 1 ante τῇ ΒΓ, ut plurimis aliis locis, cogitatione addendum est ἤχθω, quod ne forle in contextum inserendum esse putes, conf. etiam infra IV propos. 24 3. ἡ ante ΓΘ om. A1, add. A2BS 8. τῇ ΑΛ η τῇ ΓΖ] pro η coni. τουτέστιν Hu 10. ἐδείχθη] demonstratum hoc esse a Nicomede, non a se ipso Pappus dicere voluit; aliter autem idem ἐδείχθη infra sonat IV cap. 43 11. κοχλοειδοῦς A1, κογχλοἐπεὶ

17. 2. καὶ — 3. ἡ ΑΛ interpolata esse putat Hu, quamvis eadem infra IV cap. 43 et apud Eutocium redeant 3. ἡ ΑΛ] ἡ Α∠ AS, corr. B Sca 7. 8. τὸ ἀπὸ ΑΛ A1, tum post exitum versus 𝒢` [i. e. ἴσον) τῶι et ante mutium proximi versus ἀπὸ ΓΖ. ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΑΛ adscripsit A2, porro τῆι ΓΖ ἴσον ἄρα καὶ cel. A1 14. Θ A1 in marg. (S), om. B 17. ὃ ante ἐκθησόμεθα add. ABS, del. Hu 20. ἀλλήλαις B3S, ἀλλήλας A, om. B1 21. τὸ ΑΒ ΓΛ Α, coniunx. BS 22. ἐπεζεύχθωσαν BS, in A manui secunda [an alia recentior?) in particula membranarum antiquae Scripturae superducta scripsit ἐπεζεύχθκω, tum initio proximi versus sequitur σαν pr. m. exaratum 22. αἱ ΛΒ Γ∠ Α, corr. BS 23. B σημείῳ] octo decemve litterarui spatium inductum in A, β . . . . . . . B Sca, β σημείω B4, om. S

18. 1. ἀχθεῖσα ἐπὶ τὴν] tot fere litterae inductae in A, η ἐπὶ τὴν Β Sca, om. S, ἀχθεῖσα add. Hu 4. ἴσαι δὲ αἱ ΕΗ ΗΖ abundant, ideoque suspecta videantur; sed similis pleonasmus infra cap. 97 redit 6. ΑΒ Γ∠ A, coniunx. BS 8. τῇ αη BS, τῆι ΑΝ A 10. δὴ BS. ∠Η Α 12. τοῦ ἀπὸ αη B3V2 Sca. τοῦ ἀπὸ ΓΗ AB1S 13. τοῦ ἀπὸ γη B3V2 Sca, τοῦ ἀπὸ ΓΕ AB1S τῷ ἀπὸ ηα B3 Sca, τῶν ἀπὸ ΗΕ AB1S 16—18. ἥτε ΒΑ πρὸς ΑΖ **** ** *** | πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ. ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ η ΓΕ πρὸς ΓΒ Α1 erasis noem ere litteris ab A2; post ἥτε ΒΑ πρὸς ΑΖ add. A2: καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ· ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ ἥ τε ΖΑ; tum sequuntur, ut modo significatum est, pr. m. seripta πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ; denique ea quae porro A1 habet, ὥστε usque ad πρὸς ΓΒ, del. A2 19. ι΄ om. ABS 19—21. aut negligentissime haec scripta sint a Pappo aut corrupta a librariis et hunc fere in modum restituenda: καθ᾿ ἡμᾶς δὲ διὼ τοῦ ὑποκειμένου ὀργάνου οὐ μόνον εὑρίσκεται κύδος κύβου διπλάσιος, ἀλλὰ καὶ καθόλου λόγον ἔχων τὸν ἐπιταχθέντα

19. 2. ἡ ∠Β Hu pro ἡ Β∠ collato VIII, 26 et Eutocio 6. τῶν ΒΓ Α, distinx. BS, itme vs. 10 10, ἕως οὗ τὸ in A paene evanuerunt 11, 12. τὸ μεταξὺ A, corr. BSV2 19. ἐπι| ζεύχθω A, corr. BS 21. 22. ἐπεζεύχθω δὴ Pappus infra VIII cap. 26 et Eutocius 23. post ἐν ἡμικυκλίῳ add. γὰρ B3, οὖσα Hu 25. καὶ γὰρ ὡς — 28. ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ om. Pappus VIII cap. 26 et Eutocius 29. ὁ ante λόγος additum in ABS del. Hu τοῦ add. B3

20. 1. τοῦ ante τῆς ΑΜ et 3. ante ἀπὸ τῆς ΑΜ add. Hu 4. τοῦ ante τοῦ ἀπὸ add B3 7. ἄρα πρὸς τὴν B3 Sca, ἄρα πρὸς τῆι A(S), omisit et haec et alia B1 14. ἐὼν οὖν et cetera om. Pappus l. c. et Eutocius 15. τὴν δν B3 V2 pro τὴν ΑΜ (ad DX Co) 16. τῶν ∠Μ AB1S S, corr. B3 Sca Co αἱ ∠Θ ∠Η AB1S, corr. B3 17. ΙΑ

21. 1. δὲ ὅτι Hu pro διότι 2. τῶν ΕΒ∠ ABS, corr. Hu auctore Co 5. καὶ τρεῖς Hu pro καὶ αἱ τρεῖς 7. μία δὲ Hu auctore Co pro μίαν δὲ 10. καὶ μετά — ἡμικυκλίῳ del. Hu 17. ΙΒ A1 in marg. (S),

22. 3. Ϛ B3 pro ∠ (idem tacite corr. Co) 15 τὰ Β∠ AS, distinx. B 19. τὰ ∠Ε ABS, distinx. Hu 24. πλευραὶ B3 pro πλευρὰν (idem tacite corr. Co) 24. ιγ΄ add. Hu ἐλάττονα AB, corr. S 28. αὕτη B, αυτη sine spir. et acc. A, αὐτὴ S 29. διὰ B3 Sca, α A, α S, δ** Bt

23. 1. ἡ βγ B3 Sca Co, ἡ Βγώνια AB1S 2. κατὰ τὰ αὐτὼ del. Hu 4— 9. haec alienum a Pappo stilum produnt 4. initio notam ιγ΄ add. S 6. ἴσηι A, corr. BS τῇ om. AB1S, add. B4 Sca πρὸς διχοτομίᾳ B4 7. ἢ ante διπλ.] ἦι A1, ἢι A2 12. ἡ γδ B3 14. αὐτῆς A, corr. BS 15. κατὰ τὸ δ καὶ τῆ βδ B3 16. ἡ αδ B3 20. Ι∠ A1 in marg.. om. BS 22. εγζ B3 pro ΓΖ (idem tacite corr. Co) 23. λέγω ante ὅτι add. B4 27. 28. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ A2 in marg. BS, om. A1

24. 5. τοῦτο — 7. ἡ ΒΗ interpolatori tribuit Hu 7. ἡ ΑΒ Β΄ ΗΒΓ Γ· ἡ ΒΗ A (item B. nisi quod hic distinxit ἡ βγ) , δευτέρα et τρίτη restituit S 13. ΙΕ A1 in marg., om. BS τῶν ΕΒ ΒΓ Hu pro τῶν ΓΒ ΒΕ 14. ∠ΕΖ Hu pro Ε∠Ζ 17. ηθ B3 pro ἡ Θ 8. 19. συμπεσοῦνται γὰρ cet. scholii instar ab aliquo Pappi interprete addita idem diserte monent quod tacite Pappus supposuit 18. συμπεσοῦνται B, convenient Co; octo fere lilterae obductae in A, quas excipit αῦται non satis perspicue scriptum; eandem scripturam post lacunam significat S 18. 19 ἐπὶ τὸ Η ἠγμέναι Hu pro ἐπὶ τὰ Η μέρη 19, ὑποτίθεσθαι τὴν Β et codex Commandini, ὑπὸ τί ac deinde initio versus decem fere litteras obductas habet A, ὑπο τί . . . . . . . . . S ΒΕ aegre agnoscitur in A, om. B1S, βγ add. B4 et codex Commandini τῆς εγ Co. τῆς ΘΓ AB1S cod. Comm., τῆς βε B4 20. ΙϚ A1 in marg.

25. 1. αἱ ΖΓ A, distinx. BS 3. αἱ add. Hu ΑΒΖ A, α β ζ BS, corr. Co 5. τῶν ΑΒΓ A, τῶν α β γ BS, corr. Co 6. τῶν ΑΒ ΖΓ ABS, distinx. Co 8. τῶν ΖΓΗ A, distinx. BS 9. 10. τῶν ΓΗ ὧν μείζων ΗΓ A, distinx. BS 10. ποιησώμεθα Hu pro πορισώμεθα ὥστ᾿ A, ὥστε B, ὡς S 11. τὴν τῶν γ η B3, τὴν ΓΗ AS, τὴν γ η B1 12. ante τῶν ΗΘ add. Θ οὕτως ὁ (ὁ del. A2, ἡ add. S) τὴν ΓΗ ὑπεροχὴν πρὸς τὴν AS, θ οὕτω τὴν add. B1, dcl. B4 (erratum igitur partim correxit B1, partim B4) 12. τῶν ΗΘ A, distinx. BS ἄρα Hu pro μὲν τῶν ΓΗΘ A, distinx. BS 17. δυνάμεναι — ἀλλήλας] vera haec sunt; nec tamen ab ipso Pappo scripta, sed ab interprete addita esse videntur 18. Ἅμα καὶ etc.] haec usque ad cap. 42 extremum Pappi collectioni ab alio scriptore interserta esse videntur Ἅμα] Ἔστω δὲ coni. Hu πέντε S, Ε AB 20. γοῦν Hu, nimirum Co, οὖν ABS 22. ἐν — δοθείσης del. Hu auctore Co (alia est ratio loci qui sequitur p. 80, 12)

26. 2. ιβ S, δώδεκα AB καὶ ὁ ἐννέα καὶ ὁ ἓξ B (sed deinde cum AS καὶ ὁ δ καὶ ὁ γ) 3. τριπλασίονος A2 ex τριπλασί** (erasis litteris ου. ut videtur) 4. καὶ ὁ ΙΒ AB3, om. B1, καὶ ὁ ιδ S καὶ ἡ ς καὶ ἡ Γ καὶ ἡ Β A, καὶ οἱ ἓξ καὶ οἱ γ καὶ οἱ δύο B1, corr. B3S (nisi quod B3 intacta reliquit ἓξ et δύο) 7. προγεγραμμένων B, προ////// μένων A (sed vestigia litterarum γ.γρ... etiam nunc agenoscuntur), προλελεγμένων S 8. ἀριθμητικῆς μεσότητος BS, ἀρ//////////|μεσό//τος A ὄντων Hu, ////ν A, ....ν B, ...ων S 9. α (aute ἐπὶ) B3S, Δ A, om. B1 ἐπὶ δὲ B1 et τῆς B4, tot fere litterae evanuerunt in A, unde lacuna in S δ β α B4 Co pro Ϛ Γ Β 10. καὶ τῶν — 12. λοπούς] nonnulla desiderari videntur Commandino; ante καὶ τῶν add. ἐπὶ δὲ τῆς ἁρμονικῆς Ϛ΄ γ΄ β΄ Hu 13. λόγον ἐχούσης Hu pro οὔσης 44. μὲν τῶν Hu

27. 1. αὐτὰς Hu pro αὐτὰ 3. κάθετον B4S Co, καθέκατον A, καθʼ ἕκαστον B1 cod. Co 6. ἐπεζεύχθω A1 ex ἐπιζεύχθω, ut videtur ἡ ∠ΚΘ Co, ἡ ΚΘ AB1 S, ἡ ακθ 84, ἡ δθ Sca 9. τοῖς ΒΖ A, distinx. BS παράλληλος—12. τριγώνῳ interpolatori tribuit Hu 11. 12. τῶι ΕΖ∠ τριγώνωι ABS, corr. Sca (τῷ ΚΖ∠ τριγώνῳ Co) 12. ἡ ante ΗΒ add. Hu 14. ἀλλʼ ὡς A2 ex ἄλλως 20. τῆς εζ BS, evanuit scriptura in A ἐδείχθησαν B4 (ostensum est Co), ////| θησαν A, ....θησαν B1, ἐλείφθησαν S, ἐλήφθησαν Sca vel alius corrector in S 24. τὴν ἀριθμητκήν (scil. περιέχουσαι μεσότητα) Hu pro τῆς ἀριθμητικῆς αἱ δὲ Α∠ Β∠ ∠Γ τὴν γεωμετρικήν Hu, αἱ δὲ εη εγ εδ τῆς γεωμε B4 (Co) et τρικῆς B1, in A quindecim fere litterae evanuerunt et tantum ετρικῆς manserunt, in S spatium relictum ante γεωμετρικῆς 23. ημι κύκλω A, corr. BS

28. 4. ΙΗ A1 in marg. (S), om. B 5. ταῖς ἐξαυταῖς A, ταῖς ἓξ αὐταῖς BS, corr. Hu 5. 6. ἄλλας — προσευρῆσθαι τέσσαρας AB, corr, Hu nam προσευρῆσθαι συμβαίνει τέσσαρας alienum videtur a Pappi usu) 9—11. lacunam statuit et verba ἀπὸ — πρώτων interpolatori tribuit Hu (conf. p. 87 adnot. 1) 14, τὴν om. S 17. πέμπτη Hu auctore Co pro πέμπτον 21. αὐτὴ S, αυτῆι (sine spir.) A, αὐτῇ B1, αὔτη voluit αὕτη) B3 24. τέσσαρες BS, ∠ A 25. πῆ S, πῆι A,

29. 3. τοῦ ante τρίτου repetit A, corr. BS 5. ἕβδομον AB1S, corr. B4 7. 8. ὅταν γίνηται οὕτως Hu, in A octo fere litterae, chartae fragmento superducto, legi non possunt, quam lacunam sequuntur κατ᾿ αὐτοὺς ὁ πρῶτος etc., unde lacuna et tum eadem scriptura repetita est in BS 8. ὅρος add. Hu 8. 9. τὴν μεσότητα ὀγδόην] τὴν μ, tum undecim fere litterae eo quo statim diximus modo deletae in A, τὴν αὐτὴν μεσότητα ὀγδόην B, τὴν μεσότητα ὄγδοον S 11. ενατον (sine spir. et acc.] A, corr. B (in quo ab alia manu ἔννατον scriptum erat. sed id rursus deletum), ἔννατο S 47. ἀναλογία — 18 ἀρχή, manifestum interpretamentum, quod ex Procli commentario in Platonis Timaeum p. 342 ed. Schneider. repetitum esse videtur, del. Hu 20. αυτη τε αυτὴν A, corr, B (αὕτη τε αὐεὴν S) συνίσταται coni. Hu (constituit Co) 23. λέγει γὰρ — p, 88, 2 φύσις priorum verborum paraphrasim conlinent fortasse ab interpolatore scriptam

30. 1. μαθημάτων] immo γεννημάτων Hu 4. πρὸσ|θεωρήθεντος A1 ex πρὸσ|θεωρήματος, πρὸς θεωρηθέντος B1, corr. B3S 5. συναμφοτέρων AB1, corr. B3S 6. τῶι ΑΓ AS, distinx. B 7. δὲ τῷ β γ, B, δὲ τῶι Β AS 9. ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, omissis reliquis, AB1S, corr. B4 Co 10. ὡ συναμφότερος A, corr. BS 11. ὁ βγ B3 in rasura S, τὸ ΒΓ A 12. 13. εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ forsitan interpolator addiderit; conf. tamen infra cap. 53 13. ὁ ante συναμφότερος additum in ABS, del. Hu ὁ ΑΒ — τοῦ ΒΓ ABS, distinx. Hu (item posthac) 14. τὸν βγ (ante οὕτως) BS, τεῦ ΒΓ A 15. τῶι ΑΒ ABS (sed statim posthac recte A τοῦ Β Γ), 16. δὲ τῷι ΒΓ AS, distinx. B 18. ἐν τῷ — λόγῳ del. Hu τοῦ ΑΒ AB, distinx. B λόγῳ om. S 19. Διόπερ ἴσον etc.] De hoc cap. 49 idem iudicandum esse videtur quod supra

31. 1. συναμφότερος BS, συναμ| A reliquis obductis ὁ ΑΒ AS, ὁ β γ B 2. Α τοῦ Β Co pro ὁ τοῦ Α 3. δὲ η ΘΑ τοῦ Β A (et B1, ut videtur), δὲ ὁ τοῦ Β B4, δὲ θα τοῦ β S, corr. Hu auctore Co καὶ ὁμοίως ἀπὸ coni Hu 5. εἶεν οἱ B4S, εἶναι A ∠ (ante Β Γ, ἡ κατὰ) A, corr. BS 7. τοῖς δ β α B3 in rasura, τοῖς ∠Ν ΑΓ AS 8. ΙΘ A1 in marg. (S), om. B διʼ S 9. οὕτω hoc loco etiam A, sicut BS fere constanter ante consonas 9. καὶ τῆς — 44. παραλαμβανομένης interpolatori tribuit Co 10. κἀν Hu pro καὶ 11. παρα λαμβανομένης AB3, παραλαμβανομένοις B1S 12. οἱ ΑΒΓ A, distinx. BS 13. τρισὶ τοῖς δύο AB1 cod. Co, corr. B3S Co Γ (aute ἴσος) A2 in rasura quattuor litterarum 14. δυσὶ δὲ τοῖς B 17. οἱ ΑΒ Γ A, distinx. BS 20. δύο οἱ α B Co, δύο ὁ ΙΑ A (δύο ὁ εα cod. Co, δύο οἱ εα S) 23. μετὰ τοῦ — p. 92, 1 οἱ Α om. AB1S, add. B4 in marg. (eadem in suo codice legisse videtur Co)

32. 2. τῶν ∠Ε A, distinx. BS 3. ὑπεροχῆε ἐστιν AB1S, corr. B3 4. τοῦ ΒΓ AS, distinx. B τῶν ΕΖ A, ditinx. BS, item paulo post vs. 6 7. λέγοιτα μὲν ἐλαχίστοις A, corr. BS 9. Κ A1 in marg. (S), om. B 40. οὕτω ABS (conf. ad p. 90, 9) ὅρων Hu auctore Co pro τῶν 11. δύο μὲν B1S, λυομεν (sine acc.) A, δυσὶ μὲν B3 11. 12. τῶι Γ ὁ Ε ἴσος A, sed Ε del. prima m. 15—17. ὡς ὁ ///////////| οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α ///////////

33. 2. καὶ δυσὶ (δύο Hu) τοῖς — τῷ β add. B4 (Co) 3. πέμπτην S, Ε AB 5. ὁ α B2S, ἡ Α B1S 6. ὁ Β (ante μετὰ τοῦ Γ) A1 ex ὁ Α 7—9. ὁ ΑΒ — τοῦ ΒΓ — τὸν ΒΓ etc. AS, distinx. B 7. 8. συναμφοτέρου τοῦ Hu, τοῦ συναμφοτέρου AB1S, τοῦ συναμφοτέρου τοῦ B3 10. πρὸς τὸν β add. B4 12. τῶν Ε Ζ Co, τῶν ∠Ε A, τῶν δ ε BS 12. ὁ δὲ Β — 14 τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή om. B1 (add. B3) 12. ᾗ B3, ὡς AS 13. τρεῖς Β AS, δύο οἱ β B3 14. τῶν ∠Ε (post τπθτέστομ ἡ) A, distinx. S, τῶν ε ζ B3 cod. Co 15. ὡς ἄρα — ὑπεροχὴ add. Co, ὡς ἄρα ὁ ε πρὰς τὸν ζ. οὕτως ἡ τῶν δ ε ὑπεροχὴ add. B3 cod. Co 16. τῶν ΕΖ et 17. τοῖς Ε∠Β A, distinx. BS 18. ἡ αὐτὴ

34. 2. Α Β οὕτως — 3. συναμφότερον τὸν om. AB1S, add. B4 (Co) 6. συναμφότερον τὸν ΖΕ AB1S cod. Co, corr. B3 (Co) 9. τῶν ∠Ζ A, distinx. BS 9. 10. ὁ ΑΒ AS, distinx. B 12. τῶν ∠Ε A. distinx. BS 12. 13. πρὸς τὸν Ζ ἡ τῶν ∠Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ∠Ζ ὑπερ AB1 (item S cod. Co, nisi quod pro ∠Ζ S habet δ ε ζ et cod. Co α ζ), corr. B3 (Co) 15. τοῖς Η ∠ Γ AB1S cod. Co, corr. B3 (Co) 16, ΚΒ A1 in marg. (S), om. B ενάτη A(B1), ἐννάτη B3S διʼ add.

35. 3. ενάτης (sine spir.) A, ἐνάτης B, ἐννάτης S 5. ἡ αὐτὴ καταγραφή del. Hu 6. κγ΄ add. S οὕτω ABS (conf. ad p. 90, 9) 8. τοῖς δὲ ΒΓ A, distinx. BS (paulo ante τῶν Α Β Γ et μὲν Α Β Γ recte etiam A) 9. οἱ ∠ΕΖ A, distinx. BS 10. ὁ ΒΓ AS, distinx. B, ac similiter posthac 13. οἱ ΑΒΓ — τῶν ∠Ζ A, distinx. BS, ac similiter posthac 24. μεσότητας A(S), corr. B 22. σἷον Hu, ut Co pro ὁ τὸν 23. ὁ α γ β B3, ὁ ΑΒΓ AB1S 24. τρὶς S. τρεῖς AB

36. 1. συντίθεται Hu pro συντιθέμενος 2. ὁ Α Α Α AB, ὁ ααα S *) ad hanc tabulam varietas scripturae tantummodo ex S enotata est; sed cum Commandinus in sua descriptione eosdem errores ac S exhibeat, ceteros codices fere consentire efficitur **) sequitur in S

37. 2. καὶ ante ληφθέντος add. S 3. ἐκ τῆς τρίτης (scil. μερίδος) Hu, εκτης (sic) A(B1), ἐκτὸς B3, ἐκ S οἱ Η ∠ Α AB1S, corr. B3 4. ὡς γὰρ — 42. λόγον interpolatori tribuit Hu 5. τέσσαρες S, ∠ AB 7. ἓξ BS, Ϛ A ὑπεροχὴν A, ν erasum in B, et abest a S 10. post ἑκάτερος add. τὴν μίαν A1, expunx, A2 ἑκατέρου alius quidam interpolatis iam verbis imperite inseruit 14, κδ΄ add. S 15. 16 τὴν Β γ//////// δι|ήχθω τίς A 17. δίχα τμηθείσης B4 Sca, διχὰ τμ/////// A, tot fere litterarum lacuna in B1S 18. δεῖξαι συνπμ-

38. 1. ὁ προταθείς (is cui problema propositum est?) iure suspectum videatur et ab interpolatore additum, qui verbi ἀποδείξῃ subiectum cogitatione suppleri non intellegeret τυχοῦσαν τῆι Α∠ AB1S, corr. B4 2. θεὶς] ὁ εισ A, ὁ εἷς B1S, θεῖς B3 2. 3. κατὰ Ζ A, τὸ add. BS 5. ἀλλ᾿ ὅτι Hu pro ἀλλὰ 8. ἐρυκειν ουπροτείνοντας A, ἐρυκείνου προτείνοντας B1S, ἐρυκείνου προτείνοντος B3, corr. Hu 10. κε A1 in marg. (S), om. B 16. τῶν ∠Β AS, distinx. B 18. τῆν Ε Α A, coniunx. BS 49. ἐπιζευχθεῖσα* ἡ Η Γ A2 ex ἐπιζευχθεῖσα** Η Γ μὲν add. Hu 24. τῶν ΕΖΗΓ A, distinx. BS 24. κέντρον τὸ Ν AV1, corr. BSV2 26. ἑκατέραν τῶν γθ θη B4 (Co), ἑκα|τερ//////// A, ἑκατέ . . . . . . . . . η B1, ἐκατέρων τῶν . . . . S, ἑκατέραν τῶν ΑΓ ΗΘ Sca

39. 1. μετὰ τῆς ante ΚΓ add. Hu 2. καὶ αἱ] καὶ ABS, αἱ Sca 3. 4. ἡ ΑΒΝ AsB3S Co, ἡ αβμ B1 cod. Co 8. ἡ ΛΚ ἴση AB1S cod. Co, corr. B3 Co Sca 9. τῆι|η ΑΒΓ A, η erasum in B 11. τῆι ΜΓ καὶ AB1SV1, corr. B2V2 Sca 13. ΚΖ A1 in marg. (S), om. B 15. post συσταθῆναι add. ἐπὶ τῆς βάσεως V2 (vid. propos. 29) ταῖς A1 ex τὰς ἀλλ᾿ αἱ B3 Sca, αλλαι (sine spiv. et acc.) A, ἄλλαι S 18. τῆι ΑΓ ASV1, corr. BsV2 Sca ἐλάσσονα om. AB1V1, add. B4SV2 24. ἐπιξεύχθω AB, corr. S ἡ αζ B3S, ἡ ∠Ζ AB1 22. post μείζων add. ἄρα B4, sed idem p. 112, 2 post ἔσται a scriptore huius propositionis omissum est 23. ἡ ὑπὸ βγα V2 Co pro ἡ ὐπὸ ΒΓ∠ τῆι δʼ ὑπὸ AB, corr. S 23. 24. ἡ ὑπὸ Ζ∠ AS, ἡ ὑπὸ ΒΖ∠ Sca, corr. B 25. καὶ ante ἐπεὶ add. B4

40. 6. τῆς ΕΗ] in A littera Η vix differt ab Ν αἱ Η∠ τῶν ΑΒ AB1 (et, ut videtur, cod. Co), αἱ η δ τῶν αβγ S, αἱ ∠ΕΗ τῶν ΑΒΓ Co Sca, corr. B4 7. ΚΗ A1 in marg. (S), om. B 16. 17. μεταξὺ τῶν ΕΝ AB1S, pro Ν corr. η B3 Sca 21. οὕτω ABS (conf. ad p. 90, 9) 22. ἐπὶ τὰ ∠Ζ AB1, distinx. B3S 25. ΚΘ A1 in marg. (S), om. B 26. μόνον συναμφοτέρου AS cod. Co, corr. B Co 29, δʼ οὑτος A, corr. BS

41. 6. 7. ἡ ΖΕΒ ABS, corr. Co 18. τῶν ΘΚ A, distinx. BS 19. τὴν ΑΖ A, sed ex Α fectum esse videtur ∠, unde τὴν δζ BSV1, quod corr. V2 (cod. Paris. 2369 cum A consentit in τὴν αζ) 20. τῶν ΑΗ A, distinx. BS τυχὸν τὰ σημεῖα A, τυχόντα σημεῖα B3S, corr. B1 τὸ Λ Hu auctore Co, τὰ ΛΜ A, τὰ λ μ BS 21. ἐπιζευχθείσης τῆς ∠Λ Hu auctore Co pro ἐπιζευχθεῖσα τῶν ∠Λ ΛΜ ABSV1, τῶν δλ δμ V2, τῶν Λ∠ ∠Μ Co, corr. Hu auctore Co 23. Λ A1 in marg. (S), om. B 28. τῆς δγ V2 Co pro τῆς ΒΓ

42. 2. τὴν Α∠ Co Sca pro τὴν ΑΒ∠ 4. καὶ add Hu auctore Co 6. τῶν ∠Μ ΜΗ ABSV1, corr V2 Sca (τῶν Μ∠ ∠Η voluit Co) 8. λα΄ add S 13. διὰ τῶν πρώτων om. Co (orta esse videtur haec corruptela ex glossa διὰ τὸ κε, i e. propos 29) 14. τὸν μὲν Π διχ//////////////| A, τὸν μὲν .......... συναμφότερον B, τὸν μὲν π, et cetera ut B, S, corr Hu 15. δὲ θζη V2 (ἡ δὲ ΗΖΘ Co) pro ἡ δὲ ΘΗΖ 15. 16. καὶ ἡ ΖΕ — τῇ ΒΑ interpolatori tribuit Hu 47. ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΛ ABSV1 cod. Co, corr. V2 Co τῇ ΑΓ add. Hu 18. ἡ ∠ΜΝ καὶ ἐπὶ τῆς ΛΖΝ ABSV1 cod. Co, corr. Co (ἡ λμν corr. etiam V2) 19. 20 τὰς ΜΘ ΜΔ ABSV1 cod. Co. corr. V2 Co 22. τὴν ΑΛΝΓ ABS, distinx. Co 23. δοθεὶς λόγος] exspectamus λόγος γος ὁ αὐτὸς τῷ δοθέντι 24. πρὸς τὰς ΑΒΓ ABSV1 cod. Co, corr. V2 Co

43. 1. τὴν ΛΜΝ Co pro τὴν ΛΜ 2. 3. ἐπεὶ — διπλασία om. Co 3. τῆς ΑΠ Hu pro τῆς ΑΘ 8. φανερόν Hu pro μᾶλλον εἰ coni. Co, ἔτι AS, ἐπὶ B cod. Co 9. συγκρινόμενα ABS, συγκρινόμεναι vel συγκρίνομεν coni. Co, corr. Hu 12. λβ΄ add. BS 45. ἔτι A2 ex ἐπι 16. ὅσαι δὴ ABS ὅσων οὖν AB, coniunx. S

44. 2. τῶν ΑΠ ΠΟ ΘΓ ἐν τῶι ΑΠ Η A (item BS, nisi quod απη), corr Co 5. κἂν Hu auctore Co pro καὶ (καὶ πάλιν ἂν V2) ἡ ΠΗΘ Co pro ἡ ΗΘ (ἡ πθ V2) 5—9. αἱ ∠ΕΖ | τῶν // /Κ(?) /Θ ΘΓ ἐν πενταπλεύρωι καὶ ἔτι αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΛ ΛΖ | /////// // /Θ ΘΓ κἂν ἡ ΠΗ ΨΘ cet. A et similiter BSV, duae ∠Ε ΕΖ itemque tres ∠Κ ΚΕ ΕΖ maiores quattuor ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ in quinquelatero, et si inflectatur ΕΛΖ. erunt et quattuor ∠Κ ΚΕ ΕΛ ΛΖ maiores quam quattuor ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ. at si inflectatur ΠΗΨΘ cet. Co, reliqua corr. Hu (αἱ δκεζ τῶν

45. 4. ἡ ΒΝ ΞΕ AB (ἡ βν ξε S), coniunx. Co 3. ιδ΄ hoc loco add. Hu, idem paulo post aute Ἔστω exhibent ABS τῶν ΒΕ A, distinx. BS 7. 8. τὰ ΑΒ AB, distinx. S 12. τὰς Β∠ Co pro τὰς ΒΓ 13. τοῦ τῶν A1 ex τούτων 13. 14. ἡ μὲν ΑΘΒ Hu, ἡ μὲν ΑΖ: ~ (quasi sit finis propositionis, et tum ineunte proximo versu) Η A., ἡ μὲν αζ B1S, ἡ μὲν αζη B3 (Co) 14. τῆς ΑΒ] τῆς ΑΗ Co ὑπερέχουσαι ABS, corr. Hu auctore Co 15. post τῆς ΑΘ ὑπερέχουσα add. τῆι Β∠ ποιῆσαι ἡ δὲ ΑΗΘ κεκλάσθω τῆς ΑΗ ὐπερέχουσα AB3S, corr. Co (idem voluit B1, qui spuria illa omittit, sed pro ΑΘ habet αη) 16. ἡ δὲ ΑΘΒ κεκλάσθω τῆς ΑΒ voluit Co (conf. adnot. ad Lat.) 19. τοῦτό τε coni. Hu 21. ΛΕ A1 in marg. (B), om. S 22. 23. συνιστανται — ἴσαι Hu auctore Co pro συνιστᾶν — ἴσας

46. 1. δοδεῖσαι ABS1, δοθείσης cod. Paris. 2368 S2, corr. Hu auctore Co 2. ΛΓ τὴν add. Hu ποιεῖ ABS, corr. Hu auctore Co 3. τὴν Κ∠ πρὸς συναμφότερον τὴν ∠Ε AS, τὴν δκ πρὸς συναμφότερον τὴν δε εγ B, corr. Co 4. γέγονεν τω A1, corr. A2 δοθείση AB, δοθείσης S 7. τὰς ∠ΕΒΓ A, distinx. BS 7. 8. τῶν Ζ∠Ε ABS, distinx. Co 8. ὁ αὐτός ἐστιν add. Hu auctore Co ἡ Ζ AB, ἡ ζη S post ἡ Ζ nullum lacunae Signum posuimus, quanquam in Latinis nonnulla supplevimus; haec enim Graecus scriptor cogitatione addenda esse putavit neque diserte expressit 9. ***θέσει ἄρα ***] de lacunis, quarum nullum est vestigium in Graecis codicibus, vide Latina 13. ΛϚ A1 in marg. (BS) 16. τῆς ∠ΕΒΓ ABS, distinx Co

47. 2. lacunam, cuius nullum vestigium codices exhibent, explevimus in Latina versione 4. τῆς ΓΒ Co pro τῆς Γ∠ 5. τῆς ∠Ε ΒΓ

48. 2. τῶν ΑΒΒΓ A, distinx. BS 4. τὸ ὑπὸ ∠ΕΘΚ ABS, corr. Co 5. τοῦ ΑΓ brevius pro τοῦ ΑΒΓ scriptor posuit et hic et pauio post 8. ἐπιζευχθεῖσαι AB cod. Co, ἐπιζευχθεῖσα Paris 2368 (επιζευχεῖσα S),

49. 5. ΛΘ A1 in marg. (B), om. S 7. δοθέν in A extremum est fol. 24; sequitur rasura versuum duorum et dimidii, tum initio fol. 25 τος τριγώνου cet. 8. 9. ὡς — προείρηται interpolatori tribuit et η καὶ — πολλαπλασία add. Hu 10. τὸ ΑΒΓ A1 ex τὸ Α*Γ 12. 13. ἢ καὶ — πολλαπλασίας del. Hu (scilicet haec ex margine prave huc irrepsisse videntur, postquam paulo supra incuria omissa sunt) 18. τὸ (ante ὑπὸ), V Co pro τοῦ τοῦτο γὰρ προδέδεικται] “nos consulto omisimus; neque enim hoc a Pappo ante demonstratum est, sed ex elementis petitur” Co 21. ἢ add. cod. Paris. 2368 S 23. ἢ πολλαπλασία ἢ καὶ add. Hu (paulo aliter Co: ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ ἢ πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς ἢ μείζων ἢ πολλαπλασία)

50. 1. Μ Α1 in marg. (BS) τὰ πέντε Hu, τε A (fuit igitur in archetypo τὰ ε), τὲ B, τὰ S 2. τέδε et 3. Ἔστω add. Co 5. τὴν ΑΓ διαμέτρωι AB, corr. S 7. ἡμισείᾳ τῆς δοθείσης Co pro δοθείσῃ 8. post ἤχθω edd. A ἡ, sed del. prima m. 10. ἐπεὶ add. Hu 12. ΜΑ A1 in marg. (BS) 13. ΒΕ ΖΓ ABS, coniunx. Co τῶν ΒΓ AS, distinx. B, item vs. 15 16. ἐκθεβλήσθω A, sed litterarum εκβεβλ incerta tantum vestigia comparent, . . . . μήσθω Β, . . . κείσθω S σημεῖον AB, corr. S 17. τὸ μὲν ΑΒΓ∠ μέγιστος κύκλος ABS, corr. Co Sca 18. πολλῶν A Paris. 2369 cod. Co, corr. BS Co 19. τεμεῖ Hu pro τέμνει τὰ Α∠ A Co Sca, τὰ β B1, τὰ α β B 3, τὰ αβ S cod. Co 20. παράλληλος add. Co Sca τὰ ΒΓ AS, distinx. B ἔστι δὲ add. Co 22. ἴση add. Co ἐκπολλῶν Α(BS), ἐκ πὸλων coni. Co, corr. Co Sca 23. ὧν ἡ Hu, ων A, ὢν B, ὧν S καὶ λοιπῆι ἄρα A, corr. BS

51. 1. τὰ Α∠ — τὰ ΒΓ AS, dstinx. B, et similiter posthac cap. 77 2. διάμετρος S pro διαμέτρωι 3. προσκείσθω AS, corr, B 4. παρ- άλληλον A g, παράλληλος BS 8. ὁ ΑΒ Γ∠ Α, coniunx. BS, κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ coni. Co 10. αυτὴν παραλληλας A(B), αὐτὴν παράλληλος S, αὐτὴ corr. Co Sca 11. ΜΒ Α 1 in marg. (BS) 12. αἱ ΜΕΓΖ 13. αἱ ΑΒΓ∠ et τῶν ΑΕΓΖ A, distinx. BS 14. ἐπιπέδων ABS, corr. Co 16. διὰ τῶν ΑΒΓ ABS, corr. Co 17. διὰ τῶν ∠ Γ Ζ add. Hu 18. Εἰ Co pro ἐπεὶ 18. 19. τῆς γωνίας ἴσον τῆι ὑπὸ ΒΑΓ ABS, corr. Co 19. ἀδύνατον add. Hu, ἄτοπον Co 20. ὑποκείσθω ABS, corr. Co Sca 21. ΜΓ A 1 in marg. (BS) ]ἐν edd. Hu auctore Co 22. ὡς ὑπογεγραμμένοι del. Hu 23. αἱ ΑΒΓ∠ — τῶν ΕΖ A, distinx. BS 25. ἡ μὲν ΑΘ τῆι ΓΖ ἡ δὲ ΒΗ ABS, corr. Co

52. 1. 2. αἵ τε Hu pro ἔσται 2. ΑΓ ABS, distinx. Co καὶ αἱ Β∠ AB1S, distinx. Β 3 ἴσαι ἀλλήλαις del. Hu 3. αἱ ΑΒΓ∠ A, distinx. BS 4. Μ∠ A 1 in marg. (BS) δὲ αἱ Hu auctore Co pro δʼ ἐπὶ 10. ΜΕ A 1 in marg. (BS) ἴσοι καὶ add. Co 12. αἱ ΑΒ Γ∠ add. idem 13. τὰ ΓΙΙ αἱ ΑΓ Β∠ ABS, ΓΙΙ αἱ del. Co 25. ἑκπτέραν ABS, corr Hu auctore Co 27. παράλληλοι καὶ add. Co 28. τοῖς κύκλοις ABS, corr. Hu (nam τοὺς κύκλους recte dici vi-

53. 1. καὶ add. Hu auctore Co 1. 2. αἱ — Α ∠, Β Γ add. Hu par- tim auctore Co 5. ΕΙΙ καὶ Co pro ΕΝ καὶ 7. αἱ ∠ ἄρα | ////////////// ἴσαι A, et hinc lacunac in BS, erunt rectae lineae βη ηγ inter se ae quales Co, αἰ post ἄρα add. B 3, reliqua corr. Hu 8. φανερόν Co pro μικρόν ὥστε καὶ | η ///////////// εστιν A, eaedemque lacunae in BS, ὥστε καὶ ἡ δη τῆ . . . ἴση ἐστιν B 3, ὥστε καὶ ἡ ∠Η τῇ ΗΑ ἴση ἐστι Co, corr. Hu 9. ἐκ — κύκλων inlerpolalori tribuit Hu 10. αυτη παρ- άλληλος A, αὕτη παράλληλος B, del. Hu ἡ add. Hu 11. τῆι ὑπὸ ΗΖ∠ ABS, corr. Co Sca ἡ δὲ ΑΗ Hu pro ἡ δὲ ΕΗ (basis εη basi ηζ Co) βάσις Hu auctore Co pro βάσει 14. ἴσαι add. et ὥστε — 15. εἶναε, menifestum interpretamentum, del. Hu 15. ΕΗ∠ (ante ∠ΗΖ δυσὶν) Co pro Ε∠Η 16. ἡ ΕΗ Co pro ἡ ΕΝ 20. αἱ ΑΓΒ∠ Α, distinx. BS 21. ἴσαι — τῶν ΑΒ Γ∠ om. Α 1, add. A 2 in marg.

54. 1. ΜΖ A 1 in marg. (BS) 2. post πέρατα repetunt τὰ AS, del. B 9. τραπεζειον A(B1), corr. B2S, item vs. 10 10. παραλλήλοις ἐπεζευγνύουσαι AB, παράλληλοι corr. S, αἱ restituit Hu 11. τετρά- γκνον ἢ add. Co 16. ἐπεὶ AB, corr. S ἐπι ///// ////// / | ΖΗ Α, ἐπίπεδον . . . . . . . . ξη BS, κάθετος ἡ add. Sca, ὀρθὴ ἡ Co 17. τὰς ΑΒΒΓ A, disinx. BS 17—20. ἐπιζευχθ ////////////// | ἐσονται ἐπὶ τὰς ΑΒΒΓ καὶ διὰ τὸ ἴσας εἰναι /////////////// | ας ἴσαι ἔσονται καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ A (et similiter cum lacunis BS), καὶ ἐπεζεύχθσαν αἱ ζα ζγ ηβ. αἱ ζα ζγ ἄρα ὀρθαὶ ἔσονται ἐπὶ τὰς αβ βγ ὡς ἐδέχθη ἐν τοῖς ὀπτικοῖς. καὶ διὰ τὸ ἴσας εἰναι τὰς ὑπὸ τῶν αβζ γβζ γωνίας cet. Sca, iungantur que ζα ζγ ηβ. erunt ζα ζγ ad αβ βγ perpendiculares. et cum angulli αβζ γβζ sint aequales cet. Co 22. ὑποκείσθω ABS, ponitur Co, corr. Hu 24. ἐπὶ τῆι ∠Ε ABS, corr. Hu

55. 1. μη΄ add. BS μυραμιδα A 1, πϋ superscr. A2 2. σημεῖον AB, corr. S γωντῶν] ἐπʼ AB, γωνιῶν ἐπʼ S 3. τὰ ΑΒ Γ∠ A, distinx. BS 5. δὴ Hu pro δὲ 6. ἑκατέραν — 8. οὖσα interpolatori tribuit Hu 8. καὶ Super vs. add. A1 9. ποιοῦσασ A, sed extremum σ expunxit prima man. 13. ἐξάψεται A2 ex ἐφάψ**ται 20. τῆι σφαίραι A(BS), ἐν τῇ σφπίρᾳ voluit Co, corr. Hu 21. ἐφα-

56. 1. 2. γὰρ ἐπὶ τῆς τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλέσιον τοῦ ἐπὸ τῆς ΑΜΓ ἐπιζευχθείσης ἔσται ABS, corr. Hu auctore Co 3. ἀπὸ ΓΜ Co pro ἀπὸ ΓΒ 5. 5. διπλά| //// // /πὸ ΛΜ Α, διπλέσιον . . . . . λμ S, corr. B 8. 9. ΒΛ τοῦ ////// ὀρθὴ ἐστιν δοθεῖσα A(B), βλ τοῦ . . . . . . . . ἐστὶ δοθεῖσα S, corr. Co 10. 11. δοθεῖ|//////////// ΛΜ A (S), δοθεῖσα . . . . . . . ἡ λμ B, corr. Co 13. τὰ ΑΒ Γ∠ Α, τὰ αβ γ δ B, etiam α β dislinx. S 19. διαμέτρου Hu auctore Co pro διάμετρος 21. ἔχειν] ex- spectamus ἕξομεν, at eadem infinitivi structura infra cap. 89 et 91 re- dit 22. τὰ ΑΒ Γ∠ A, distinx. BS 24. ἐστὶ AaS, ἐστὶν B 25. μθ΄ add. BS

57. 1. τὰ Γ∠ ΕΖ ΗΘ A, distinx. BS 4. τοῦ κύβου B1S, τουτου κυβου A, τὰ τοῦ κύβου B 3, del. Hu 5. ἐπεζευγνυμένη B, ἐπιζευγνυ- μένη S 15. τοῦ ΕΖ Α, coniunx. BS 16. ὁ ante κύκλος add. Hu καὶ ἡ Γ∠ A(S), corr. B 20. ἔστω Hu auctore Co pro ἐστιν 21. τὸ ΑΒ Γ∠ Α, coniunx. BS 23. καθόλου — δοθείσῃ interpolatori tribuit Hu 25. κύβον Co pro κύκλον 26. τὸ ΒΖ ΗΓ A, coniunx. BS 27. τριπλασίων Hu pro τριπλάσιον (conf. p. 150, 7)

58. 3. Ν A 1 in marg. (BS) 4. σημείων A, σημεῖον B, corr. S 5. τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ A, distinx. BS ἐκβληθέντα A2 ex ἐκ**βλήθε 8. τὰ ΖΒ AS Co, distinx. B 9. 10, καὶ γὰρ — εἰσίν inter- polatori tribuit Hu 11. post αἱ ΑΒ repetit ΑΒ A, om. BS 13. δὲ om. A, add. BS 15, ἴσα add. A2 super vs. 16. καὶ ante ἐν αὐ- τοῖς add. Hu auctore Co 17, αἱ add. Hu, item vs. 19 19, καὶ αἱ ΑΕ — 20. προδεδείκται tribuit Hu interpolatori, qui quidem verbis ὡς προδέδεικται significat propos 51; at vero αε εζ ad rectos inter se angulos esse in hac ipsa propositione statim demonstratum est 22. ἐπὶ τρίτον ABS, corr. Co 25. ἐπʼ Hu pro ἀπʼ

59. 5. ἴσην τῆς ΑΒ A, corr BS 8. συνεωρατο (sine acc.) A(BS), corr. Hu 10. 11. ὧν — πολύεδρα interpolatori tribuit Hu 14. NA A1 in marg. (BS) 17. 18. ΑΒΓ ∠ΕΖ ΗΘΚ ΛΜΝ A, distinx. BS 26. ΑΓΖ ΗΕ A, distinx. BS 27. καὶ — 30. εἰσίν interpolatori trubuit Hu 27. γὰρ add. Co, αἱ Hu

60. 1. τὸ ΑΕΖ ΖΓ ABS, corr. Co 2. τῶν ΚΕΒΓ∠ΛΘΖΒΑ A, distinx. BS, ∠ pro Λ corr. Co τὰ ΚΑΛΗΒ BS , corr. Co 3. καὶ — ἐπιπέδῳ interpolatori tribuit Hu ἐν add. Hu auctore Co 4. παράλληλος add. hoc loco Hu, idem post ἐπιζευχθείσῃ Co 5. τὸ ΛΚ∠ ΘΜ A, coniunx. BS, τὸ ΛΗΖΘΜ Co 7. τὰ ΒΓ Ε∠ ΗΘ ΛΗ A (item S, nisi quod τὰς), distinx. B, N pro Η corr. Co παραλ- λήλου ΑΒ, παραλλήλους S, corr. Hu auctore Co 8. τὰ ΒΑ Ζ∠ ΗΚ ΜΝ A (τὰς etc. S), distinx. 8 παραλλήλους ABS (conf. vs. 7) 9. τὰ ΑΒΓ et 10. τὰ ΛΜΝ A, distinx. BS 11. οἱ δὲ] ὁμοίως δὲ καὶ coni. Hu τὰ ∠ΕΖ ΚΗΘ AS, distinx. B 12. κύκλοις AB, corr. S 14. 15. τὰ ∠ΕΖ ΚΗΘ ABS, distinx. Hu 16. ἡ εζκθ B, ἡ εζ κθ S (recte A) 17. τὰ ΖΚ A, distinx. BS 19. ἐπεὶ BS, επι (sine spir. et acc.) A τὸ ΗΕ ΑΓΖ A, coniunx. BS 20. τεμναμένης AB, corr, S

61. 4. τὴν // | τῆι A, τὴν . . τῇ αγ BS cod. Co, corr. Co 6. καὶ

62. 2. αἱ add. Hu 9. ἃς AB cod. Co, ὡς S 14. τούτοις B3S, τούτους A, τουτ B1 16. ὡς τοὺς Hu auctore Co pro ὡς τοῦ 17. πλευρὰν AB, corr. S 20. 21. δωδεκαέδρου — τὰς τοῦ om. Paris. 2368 S 24. post ἐγγραφομένων add. πάππου σιναγωγης τρίτον ες τιν δε των επιπεδων και κτερεων και ///// A3, τῆς τοῦ πάππου ἀλε- ξανδρέως συναγωγῆς τρίτου τέλος B, τέλος τοῦ τρίτου S

63. 1. cap. 96—104, Pappi collectioni a posteriore quodam scriptore inserta , om. Co, e codice Guelferbytano ediderunt G. G. Bredow et Nickelius Epistolae Parisienses, Lipsiae 1812, p. 87—200 ἐν τῷ δω et superscr. γ B1 4. διάμετροι A2 ex διάμετρ** 6. αἱ. ΕΜΘ Bredow, αἱ ΕΜΘΝ Hu (scillcet in producta ΕΜ a scriptore praetor punctum Θ etiam N poni posterior demonstralio, quae habet litteras Ξ etc., docet; puncti autem Ν locus esse non potest nisi in circumferentia circuli) 12. ἡ ΙΙ ∠* καὶ A 17. ἡμικύκλωι A, ἡμιε λίῳ Guelf., corr. BS 21. πρὸς τὸ Α∠Ζ οὕτως ABS, corr. V2 Sca

64. 1. τοῦτον τὸν τρόπον B1 Guelf. (sed in B tertia vel alia quaedam manus verum ordinem restituit) 5. ἀλλήλαις ἤχθωσαν AB3S, inverso ordine B1 Guelf. 8. ὁ ΒΘ | ΖΗ A(S), coniunx. B 12. πολυπλάσιος Bredow 15. δὴ Hu pro δὲ διπλασίονα AB3S Guelf., διπλάσιον B1 16. τὴν ∠Ε διπλέσιον ABS, corr. Hu 17. κανόνι et 20. 21. αὐεῷ μέση γραμμὴ, manifesta interpretamenta , del. Hu (pro αὐτῷ μέση B1 habet κάτω, ad quod B2 addit μέση) 18. τὴν ΕΜΘ Bredow (vide ad p. 164, 6) 21. τῶν ΘΗ A, distinx. BS 23. ὥστε — τῇ ΖΗ abundanter posita perinde ac similia illa supra p. 64, 4 (vid. adnot.)

65. 1. Μαθηματικώτερον Nickel 1. 2. post πρόβλημα add. ἦι A (B Guelf.), ἡ S, del. Nickel 3. ὁ ΑΒΓ∠ ABS, ὁ ΑΒΓ Bredow, corr. Hu 5. προσπίπτουσα ἡ Hu προσπίπτουσαν ABS, προσπίπτουσα Nickel, προσπιπτέτω V2 10. τῆς ἡμισείας add, V2 Nickel καὶ πολλῷ ἄρα add. Hu (nisi forte rectius Sca deletis τῆς BH, breviore demonstra tione scribit πολλῷ ἄρα ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶ καὶ τῆς ΖΗ, in quibus de- nique ἐστὶ καὶ emendandum esse videtur in ἐστὶν) καὶ τῆς ΖΗ AB3S, καὶ τῆς ηζ B1 Guelf. 14. γὰρ ἡ Η∠ V2 Sca Nickel pro γὰρ η ∠ 19. 20. ἐὰν δὲ τριγώνου ἀνάλογον τμηθῶσιν δύο πλευραί coni. Bredow 20. τμηθῶσιν η πλευραι η επὶ A, τμηθῶσι η πλευρα ἡ ἐπὶ

66. 1. ἡ ὑπὸ ΛΚ∠ Bredow ἡ om. ABS ἄρα add. V2 Nickel 8. 9. ἰσογώνιον οὖν ἕκαστον Bredow 16. τὸ om. AB Guelf., edd. S Nickel 17, ἐπεὶ — 20. ποιεῖν] haec verba, ut prorsus otiosa, se- cludit Nickel, neque tamen aliena sunt ab huius interpolatoris mediocri doctrina rudique verborum turba 18. τῷ ΒΚΘ Sca Bredow, τῶ ΒΚ A, τῷ βκ BS 21. τὴν (ante ΚΒ οὕτως) om. A 1, add. A super vs. (BS) 23. 24 τὴν ante Ε∠ οὕτως et ante ∠Ξ add. B Guelf. 27. πρὸς τὴν Μ∠ AS, πρὸς τὴν μα B, πρὸς τὴν ∠Μ Bredow

67. 1. 2. ἄλλως ἡ ΛΚ A1, corr. man. rec. (BS) 2. 3. ἄρα ΕΚ AS, ἡ add. B Guelf. 6. τῆς (ante ∠Ζ) om AB1S, Add. B3 et, ut vi- detur, Guelf. 10. γωνίας τὰς ὑπὸ ΞΛ∠ ΛΑΞ ABS, γωνίας τὰς ὑπὸ ξλδ λδξ V2, corr. Bredow 11. ταῖς ὑπὸ ζδη V2 Sca Bredow pro ταῖς ὑπὸ Ξ∠Η 12. λοιπαῖς ἴσαις AB1S, corr. B3 14. ἡ ∠Ξ τῆι ΛΞ ABS, ἡ δζ τῇ λξ V2 Sca (voluerunt ἡ ∠Z τῇ ∠Ξ. corr. Bredow 15. 16. τῆς Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ] τῆς Ζ∠ πρὸς τὴν τρίτην ἀνάλογον τῶν

68. 3. ΟΠ] ἡ ∠Π Bredowius et similiter posthac, quod sine dubio alienum est a mente scriptoris 6. 7. οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Π ABS, corr. V 7. ἄλλην et 11. αλλην (sine spir. et acc.) A1, corr. man. rec. (BS) 9. πρὸς τὴν ΑΜ ABS, corr. Sca Bredow 11. 12. οὕ- τως ἡ ∠Ξ AB, corr. S 13. ἡ om. A, add. BS 26. post οὕτως A habet τὸ ἀπὸ, sed delevil ea prima manus 29. ἐπὶ ABS, ἦν Bredow

Pappus Alexandrinus Synagoge 2

ed. Friedrich Hultsch

Search the Perseus Catalog for:

ΠΑΠΠΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Γ.

Current edition First1KGreek

Notes on the current edition

Stable identifiers