Search the Perseus Catalog for:

Ad definitiones.

1. Τῶν δεδομένων τὰ μὲν θέσει ἐστὶ δεδομένα, τὰ δὲ μεγέθει, τὰ δὲ καὶ θέσει καὶ μεγέθει.

[2] 2. Τὸ δεδομένον λέγεται τετραχῶς· ἢ γὰρ μεγέθει ἢ εἴδει ἢ λόγῳ ἢ θέσει δεδόσθαι λέγεται. καὶ τί μὲν
τούτων ἕκαστον σημαίνει, αὐτὸς σαφῶς διδάσκει. κοι- νῶς δὲ λέγεται δεδομένον, ᾧ δυνατόν ἐστιν ἴσον εὑρεῖν τε καὶ πορίσασθαι.

[3] 3. Τὴν τῶν δεδομένων πραγματείαν ἐν ἑνὶ ἐπι- πέδῳ κειμένων ὑποθετέον, ὥσπερ καὶ τὰ πρῶτα ἓξ τῆς
στοιχειώσεως βιβλία.

¹²³⁴

4. Δεδομένα ἐστὶ τὰ ὡρισμένα, τουτέστιν ὧν τὰ πέρατα δέδοται εἴτε διανοίᾳ εἴτε αἰσθήσει· τούτοις γὰρ δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι ὁμοίως εἴτε διανοίᾳ εἴτε αἰσθήσει. δύναται δὲ καὶ ῥητὸν καὶ ἄλογον δεδο-
μένον εἶναι, ὡς λέγει Πάππος ἐν ἀρχῇ τοῦ εἰς τὸ ι΄ Εὐκλείδου· τὸ μὲν γὰρ ῥητὸν καὶ δεδομένον ἐστίν, οὐ πάντως δὲ καὶ τὸ δεδομένον ῥητόν ἐστιν.

Ad def 5.

5. Ἵνα ᾖ ὡρισμένος τῷ μεγέθει.

Ad def 6.

6. Ἵνα καὶ τῷ τόπῳ καὶ τῷ μεγέθει ὡρισμένος ᾖ.

Ad def. 8.

7. Ταῦτα ὡς ἐπὶ ἑνὸς ἐπιπέδου ἀκουστέον.

Ad def 9.

8. Τῷ γὰρ ἀφαιρεθέντι τὸ τὴν ἀφαίρεσιν ὑπο- μεῖναν μεῖζόν ἐστιν.

Ad def 10.

9. Τὸ μὲν πρὸ αὐτοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐνταῦθα δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος.

⁵⁶⁷⁸

Ad deff. 9—10.

10. Τὰ ϛ τῶν δ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν· τοῖς γὰρ δύο· καὶ τὰ δ τῶν ς δοθέντι ἔλαττόν ἐστιν· τοῖς γὰρ δύο πάλιν δεδομένοις.

Ad def. 11.

11. Τὸ ἢ ἐν λόγῳ ἀντὶ τοῦ παρʼ ὃ ἐν λόγῳ. ἔχει δὲ τὴν ἀναφορὰν πρὸς τὸ μεῖζον· παρὰ τοσοῦτον γὰρ οὐκ ἔχουσι λόγον δοθέντα τὰ δύο μεγέθη, παῤ ὅσον ὑπερέχει τὸ ἓν τοῦ ἑτέρου δοθέντι τινὶ μεγέθει, οὗ ἀφαιρεθέντος εὑρίσκεται καὶ ὁ δεδομένος λόγος τῶν
δύο μεγεθῶν. εἰ μὲν γὰρ λείπει τὸ ἢ ἐν λόγῳ, ἀφ- αιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ λοι- πὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον ἐστίν. εἰ δὲ πρόσκειται τὸ ἢ ἐν λόγῳ, ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος οὐκέτι τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον, ἀλλʼ ἔχει τινὰ λόγον.
μεῖζον οὖν ἐστι τὸ ἓν μέγεθος τοῦ ἑτέρου ἢ ὥστε ποιῆσαι λόγον. ἐὰν οὖν ἡ ὑπεροχὴ δεδομένη ᾖ, καὶ ὁ λόγος δεδομένος ἐστίν.

Ad def. 12.

12. Ἀπὸν γὰρ τὸ προστεθὲν ἐλυμαίνετο τὴν σχέσιν
τοῦ δεδομένου λόγου.

⁹¹⁰

Ad deff. 13—15.

13. Τούτους Ἀπολλωνίου φασὶν εἶναι τοὺς τρεῖς ὅρους.

Ad def 13.

14. Τουτέστιν ἀκίνητον, ἵνα ὁμολογουμένη μοι ᾖ ὁποία ἐστὶν ἡ γωνία.

Ad prop. I.

15. Εἰδέναι δεῖ, ὡς, ἔνθα ὁ φιλόσοφος λέγει ἀπο- λελυμένως δεδομένα μεγέθη, μεγέθει δεδόσθαι ση-
μαίνει.

16. Ὁ λόγος τοῦ πόσου διακόλουθος, ἡ θέσις δὲ οὐ διὰ τοῦ πόσου, ἀλλὰ τοῦ κεῖσθαι.

17. P. 6, 2] δέδοται καὶ τὸ διὰ τὸ ἀντιστρό- φιον τοῦ ὅρου. (l. 4) ὁμοίως καὶ τὸ ∠· ὁ αὐτὸς γὰρ
αὐτῷ πεπόρισται ἐν δεδομένοις μεγέθεσι τοῖς Γ καὶ ∠.

18. Ὁ αὐτὸς γάρ p. 6, 8] διὰ τοὺς ὅρους· λόγος δεδόσθαι λέγεται, ᾧ δυνάμεθα τὸν αὐτὸν πορίσασθαι.

Ad prop. II.

19. Τῶν μὲν δεδομένων μεγεθῶν καὶ ὁ λόγος ὁ
πρὸς ἄλληλα δέδοται· οὐκέτι δέ, εἰ τῶν μεγεθῶν ὁ ¹¹¹²¹³¹⁴ πρὸς ἄλληλα λόγος δέδοται, καὶ ταῦτα πάντως δέδοται τὰ μεγέθη. πολλάκις γὰρ ὁ μὲν λόγος αὐτῶν δέδοται, αὐτὰ δὲ οὐ δέδοται.

20. Τοῦτο ἀντίστροφόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ. οὐ γὰρ δὴ καθόλου ῥητέον αὐτὸ ἀντίστροφον. ἧν γὰρ
ἂν τὸ ἀντίστροφον τὸ καθόλου ὄν· ἐὰν μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, δέδοται τῷ μεγέθει. τινὲς δὲ τὸ θεώρημα ψευδογραφοῦντες ἐπείγονται δεικνύειν ἀντίστροφον αὐτὸ τοῦ πρὸ αὐτοῦ καί τί φασιν ὡς· ἐὰν μεγέθη τινὰ λόγον ἔχῃ πρὸς ἄλληλα δεδομένον,
δέδοται τῷ μεγέθει.

21. Καὶ ἔστω ὁ τοῦ Γ p. 6, 20] δέδοται καὶ ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ ∠ λόγος διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ ὅρου. δέδοται δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Γ λόγος διὰ τοῦ α΄. δέ- δοται δὲ καὶ τοῦ Β πρὸς τὸ ∠ λόγος διὰ τὸ ἀντι-
στρόφιον τοῦ ὅρου. ἴσον γὰρ αὐτῷ τῷ Β τὸ ∠ πεπόρισται ἐν δεδομένῳ λόγῳ.

22. Ἴσον ἄρα p. 6, 23] διὰ τοῦ θ΄ τοῦ ε΄. χρὴ δὲ γινώσκειν, ὅτι τὰ ἴσα καὶ τὸ αὐτὸ λέγειν ἕν ἐστιν. ὃ γάρ ἐστιν ἴσον τινί, καὶ τὸ αὐτό ἐστιν ἐκείνῳ κατὰ
τὴν ἰσότητα. οὐκ ἀντιστρέφει δέ· οὐ γὰρ ὅπερ ἐστὶ τὸ αὐτό τινι, καὶ ἴσον ἐστὶν ἐκείνῳ· δύναται γὰρ καὶ κατὰ ποιότητα τυχὸν τὸ αὐτὸ εἶναι.

¹⁵¹⁶¹⁷

23. Ἐὰν λέγῃ ὅτι δέδοται ἄρα, δῆλον, ὅτι τῷ με- γέθει αὐτῷ δεδόσθαι λέγει. ἐὰν δεδομένον τῷ εἴδει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ εἴδει. ἐὰν δεδομένον τῇ θέσει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῇ θέσει. σπανίως πάνυ,
ἐὰν ᾖ δεδομένον τῷ μεγέθει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ μεγέθει.

Ad prop. III.

24. Ὅλον ἄρα p. 8, 11] ἐὰν γὰρ ἴσα ἴσοις προσ- τεθῇ, τὰ πάντα ἐστὶν ἴσα.

Ad prop. IV.

25. Καὶ τοῦτο ἀντιστρόφιόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ· τὸ γὰρ κυρίως ἀντιστρόφιον ἧν ἐὰν δεδομένον μέγεθος εἰς ὁποσαοῦν διαιρεθῇ, καὶ ἕκαστον τῶν, εἰς ἃ διῄρηται, δεδομένον ἐστίν.

26. Λοιπὸν ἄρα p. 8, 24] ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπά ἐστιν ἴσα.

Ad prop. V.

27. Οἷον ὁ ιε πρὸς ἑαυτοῦ μέρος τὸν ῑ λόγον ἔχει τὸν ἡμιόλιον, καὶ πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ε λόγον ἔχει
τὸν τριπλασίονα.

28. Τοῦτο ἔοικε τῷ καὶ ἀντιστρέψαντι λόγον ἔχειν δεδομένον.

¹⁸¹⁹

29. Ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεπορίσθω p. 10, 10] δυνατὸν γὰρ τριῶν δοθέντων μεγεθῶν τέταρτον ἀνάλογον εὑρεῖν.

30. Λόγος ἄρα τοῦ ∠ Ζ p. 10, 14] τῶν γὰρ δεδο- μένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται.

31. Ἀναστρέψαντι ἄρα p. 10, 16] διὰ τοῦ ὅρου τοῦ ε8·
ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.

32. Λόγος ἄρα καί p. 10, 19] ἴσον γὰρ αὐτῷ ἐπορίσαμεν τὸν τοῦ ∠ Ζ πρὸς ΖΕ.

Ad prop. VI.

33. Ὁ ἄρα τοῦ ∠Ε πρὸς ΕΖ p. 12, 5] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ ἐστιν ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ.

34. Λόγος ἄρα τοῦ ∠Ζ πρὸς ἑκάτερον p. 12, 8–9] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ πεπόρισται ὁ τοῦ ∠Ζ πρὸς ἑκάτερον τῶν ∠Ε, ΕΖ.

Ad prop. VII.

35. Λόγος ἄρα καί p. 12, 24] διὰ τοῦ ϛ΄ τῶν Δεδομένων.

36. Δοθὲν ἄρα καὶ ἑκάτερον p. 14, 1] διὰ τοῦ β΄ τῶν αὐτῶν. ἐπεὶ γὰρ μέγεθός τι τὸ ΑΒ δοθὲν λόγον
ἔχει πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ ὡς πρὸς ἄλλα τινὰ ἄρα καὶ ἑκάτερον ἐκείνων ὡς ἄλλο τι δέδοται.

²⁰²¹

Ad prop. VII.

37. Οἱ τῷ αὐτῷ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.

38. Πάλιν, ἐπεί p. 14, 12] ἐπεὶ γὰρ δέδοται ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Β λόγος, δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ
λόγος.

39. Διʼ ἴσου ἄρα p. 14, 18] διʼ ἴσου λόγος ἐστίν: ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ πλειόνων ὄντων καὶ ἄλλων ἴσων τὸ πλῆθος, ὅταν ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν, οὕτως τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον
ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν.

Ad prop. IX.

40. Ὡς ἐκ περιουσίας ἔχων τὸ αὐτὸ δεικνύμενον, ἢν ὁ λόγος ὁ τῶν προτεθέντων πρὸς τὰ τυχόντα με- γέθη ὁ αὐτὸς ᾖ, ὅτι καὶ τὰ τυχόντα λόγον ἕξει δεδο-
μένον, παρῆκεν ἐπὶ τούτου γυμνάσαι τὸ πρόβλημα. Ad prop. X.

41. P. 16, 18 Ἐνταῦθα συνεπεράνθη τὸ πρῶτον μέρος τῆς προτάσεως.

42. Ἐνταῦθα ἄρχεται τὸ δεύτερον μέρος τῆς προ-
τάσεως. τὸ δεύτερον μέρος τῆς προτάσεως πάλιν ὑπο- διαιρεῖται. τὸ οὖν πρῶτον μέρος τῆς ὑποδιαιρέσεως συνεπεράνθη ἐνταῦθα.

²²²³²⁴

43. Καὶ τὸ συναμφότερον p. 16, 24] τουτέστι καὶ συνθέντι δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

44. Ἔστω μέγεθος τὸ ῑ καὶ ἕτερον κγ, δοθέντα δὲ ἔστω τὰ γ καὶ συναμφότερα τὰ λγ τὴν ῑ τοῖς δοθεῖσι γδ ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
ἀφαιρείσθω ἴσους τῶν δοθέντων τῶν γα τὰ ῑ πρὸς τὰ κ δοθέντα, οἷον ὡς νῦν τῶν β λό- γων, ὡς καὶ ἐν τοῖς ὅροις εἴρηται.

45. Τοῦτο τὸ σχόλιόν ἐστι τοῦ ῑ θεωρήματος, ὅπου
σημεῖον τόδε Ƒ.

οἷον μέγεθος τὸ ΑΒ καθʼ ὑπόθεσιν κγ μεγέθους τοῦ ΒΓ ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν ῑ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. καὶ ἔστω δοθὲν τὸ Α∠ ὂν γ. ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ ΑΒ τοῦ κγ ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ Α∠ τὰ γ,
τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ κ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ ῑ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον· τῷ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ. τοῦτο δηλοῖ καὶ δείκνυσι λοιπόν, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ δο- θέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἀλλὰ δὴ συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ ²⁵²⁶ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. τὸ δὴ δοθὲν ἤτοι ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒ ἢ ἔλαττον ἢ μεῖζον. ἐὰν μὲν οὖν τὸ δοθὲν ἴσον ᾖ τῷ ΑΒ, ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον η, τοῦ δὲ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ ὄντος δ, ἐὰν ἀπὸ
τοῦ ΑΓ τοῦ η ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ ΑΒ οἷον δ, τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ τὰ δ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ τὰ δ λόγον ὅλη ἡ ΑΓ μονάδων κ. ὅλη ἡ μὲν ΑΓ μονάδων ἐστὶ(ν) ιη, ἡ δὲ ΒΓ η, ἡ δὲ Α∠ δύο. ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ δείκνυσι, καὶ ὅτι λοιπὸν τὸ ΑΒ. ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ ΑΓ ἀφέλω τὸ ΒΓ, τὸ λοιπόν ἐστι τὸ ΑΒ. δείκ-
νυσιν οὖν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. μετὰ γὰρ τὸ ἀφαιρεθῆναι καὶ αὐτοῦ τὸ ΑΓ δοθέν, τὸ λοιπὸν τὸ ²⁷²⁸²⁹ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον. πάλιν συν- αμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ, καὶ ἔστω τὸ δοθὲν ἔλασσον τοῦ ΑΒ τὸ Α∠ καὶ ἔστω τὸ β. ἐὰν οὖν ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον ιη, τοῦ δὲ ΒΓ ὄντος η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ
ΑΓ τῶν ιη ἀφέλω τὸ Α∠ τὰ β, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Γ τὰ ιϛ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ δείκνυσι λοιπόν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ῑ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον. καὶ διὰ τοῦτο καὶ τὸ
λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ι τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ τῶν η δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· ἐὰν γὰρ ἀφέλω καὶ ἀπὸ τοῦ ΑΒ τῶν ῑ τὸ Α∠ δοθὲν τὰ β, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ ἢ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ η λόγον ἔχει δοθέντα· τὸν γὰρ ἴσον. πάλιν συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον
ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· καὶ ἔστω τὸ δοθὲν μεῖζον τοῦ ΑΒ τὸ ΑΕ καὶ ἔστω ιδ. ἐὰν οὖν ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ οἷον ιη, τοῦ δὲ ΒΓ οἷον η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τοῦ ιη ἀφέλω τὸ ΑΕ τὰ ιδ, τὸ λοιπὸν τὸ EΓ τὰ δ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς
³⁰³¹³²³³ ὄροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ διὰ τούτου δείκνυσιν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ· τὸ γὰρ ΒΕ ἐστιν, πρὸς ὅ τὸ ἕτερον τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον· δοθέν ἐστιν· ὅλον γὰρ τὸ ΑΕ δοθέν ἐστιν.

46. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ∠Β p. 18, 4–5] τοῦτο τὸ σχό- λιον τοῦ ι΄ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε P. πῶς λέγει· λοιποῦ τοῦ ∠Β πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς; ἐπεὶ γὰρ τοῦ ∠Γ πρὸς τὸ ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔσται τοῦ ∠Γ καὶ πρὸς τὸ ∠Β λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ε΄, ὥστε
καὶ ἑκατέρου τῶν ∠Β, ΒΓ πρὸς τὸ ∠Γ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ διὰ τὸ η΄ καὶ τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς.

47. Τὸ ΓΑ ἄρα τοῦ ΓΒ p. 18, 7] ἐπεὶ γὰρ τοῦ Γ∠ λόγος ἀπεδείχθη δοθεὶς πρὸς τὸ ΓΒ, προσκείσθω
πάλιν τὸ ἀπʼ ἀρχῆς δοθὲν τὸ Α∠· ὅλον ἄρα τὸ ΓΑ δοθέντι μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΒ ἢ ἐν λόγῳ.

48. Τὸ δὴ δοθέν p. 18, 15] ἐὰν γὰρ ἴσον ὑπάρχῃ τὸ δοθὲν τῷ ΑΒ, τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον. δύναμαι γὰρ αὐτῷ
ἴσον πορίσασθαι τῷ ἴσῳ λόγῳ, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

49. Λόγος ἄρα λοιποῦ p. 18, 22] δέδοται γὰρ τὸ ΕΓ διὰ τὸ δ΄ θεώρημα. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἑκάτερον ³⁴³⁵³⁶³⁷³⁸ τῶν ΑΓ, ΑΕ, καὶ ὁ πρὸς ἄλληλα λόγος αὐτῶν δέδοται διὰ τὸ α΄· ὥστε καὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΕ· ἀλλὰ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ· καὶ τοῦ ΒΓ ἄρα πρὸς ΓΕ.

50. Μδετὰ τοῦ ἐξῆς p. 20, 2] τουτέστι μετὰ τοῦ ΒΕ, πρὸς ὃ τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα.

51. Πρὸς ὃ τὸ ΒΓ, τουτέστι πρὸς τὸ ΒΕ.

52. Τὸ γὰρ ΒΓ πρὸς τὸ ΒΕ λόγον ἔχει δοθέντα· τὸ οὖν ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ. δοθέν ἐστιν, ὅλον τὸ ΑΕ.

Ad prop. XI.

53. Ἔστι δὲ καὶ ὅλου τοῦ ΑΓ p. 20, 20] διὰ τὸ ιβ΄
τοῦ ε΄· ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. ἡγούμενα γάρ εἰσι τό τε Γ∠ καὶ τὸ Α∠, ἑπόμενα δὲ τό τε ∠Β καὶ τὸ ∠Ε. ὡς γοῦν τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε, οὕτως ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς ὅλον τὸ ΕΒ. ὅλον γὰρ τὸ
ΑΓ τὰ δύο εἰσὶν ἡγούμενα τό τε ∠Α καὶ τὸ Γ∠, καὶ ὅλον τὸ ΕΒ τὰ δύο εἰσὶν ἑπόμενα τότε Ε∠ καὶ τὸ ∠Β.

54. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α∠ πρὸς ∠Ε, οὕτως ὁ Γ∠ πρὸς ∠Β, καὶ ἐναλλὰξ ὡς Α∠ πρὸς ∠Γ, οὕτως Ε∠ πρὸς ∠Β, καὶ συνθέντι ὡς ΑΓ πρὸς Γ∠, οὕτως
ΕΒ πρὸς ∠Β, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως Γ∠ πρὸς ∠Β, δέδοται δὲ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β λόγος, δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος. μᾶλλον συντομώτερόν ἐστιν οὕτως εἰπεῖν· ὡς ἓν τῶν ἡγουμέ- ³⁹⁴⁰ νων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, τουτέστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπό- μενα, ἡ ΑΓ πρὸς ΕΒ.

55. Τοῦτο τὸ σχόλιον τοῦ ια΄ θεωρήματος, ὅπου
σημεῖόν ἐστι τόδε ⊙. ὥσπερ λέγομεν τὰ θ τῶν δ μείζονα ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι· οἷον τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον, ἐὰν τὸ Α∠ δεδομένον, τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· τοῦ γὰρ ∠Β
πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον καὶ τοῦ Α∠ δεδομένου ὑπάρχοντος, δεδομένον καὶ ῥητὸν ὃν καὶ ἄλογον, οὐκ ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει· ὅτι γὰρ ἄλογόν ἐστι τὸ Α∠, οὐ δύναται τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχειν. διὸ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ
∠Β τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ Β∠ δεδομένον τῷ Α∠ δεδομένῳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὰ ζ τῶν δ ἐλάσσονα λέγομεν ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ ἔλασ- σον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι.

56. Ὀ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω p. 22, 6 – 7] σχόλιον εἰς
τὸ ια΄ θεώρημα ??· ἐν τῷ ια΄ θεωρήματι λαβὼν τὸ ⁴¹⁴²⁴³⁴⁴⁴⁵⁴⁶⁴⁷ ΑΒ μέγεθος συναμφοτέρου τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ καὶ ἀφελὼν τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΕ καὶ βουλόμενος δεῖξαι, ὅτι τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ καὶ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγω, λέγει· γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε.
ἐὰν οὖν βουλώμεθα ποιῆσαι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ, οὕτως τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε, κατασκευάσαντες ποιήσο- μεν οὕτως· ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΑΕ ἴση ἡ ΓΖ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ἴση τῇ ΖΓ. τουτέστιν ἡ ΑΕ,
πρὸς τὴν Ε∠· δῆλον γάρ, ὅτι ποιοῦντες ὡς τὴν ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὴν ΑΕ πρὸς ἄλλην τινά, πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΒΕ ποιήσομεν· γεγονέτω οὖν πρὸς τὴν Ε∠. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς Ε∠, συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ,
οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Ε. ἱση δὲ ἡ ΖΕ τῇ ΑΓ διὰ τὸ τῇ ΑΕ ἴσην εἶναι τὴν ΓΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Ε.

57. Σχόλιον. ὡς συναμφότερον τὸ ΑΕ, ΒΓ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς Α∠. καὶ ἀνάπαλιν καὶ ὡς
τὸ ΑΓ πρὸς συναμφότερον ΑΕ, ΒΓ, οὕτως τὸ ∠Α πρὸς ΑΕ καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ Α∠ πρὸς ∠Κ δοθείς.

⁴⁸⁴⁹⁵⁰⁵¹

58. Ἔσται δὴ καὶ λοιποῦ τοῦ Γ∠ p. 22, 13] ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ Α∠ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ∠Ε, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ Γ∠ πρὸς λοιπὸν τὸ ∠Β ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ· δοθεὶς
δὲ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β.

Ad prop. XII.

59. Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη p. 22, 19] κἂν ᾖ δεδομένα κἂν μή.

60. Καὶ λοιπὸν τὸ ΑΕ p. 24, 11] ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον μέγεθος ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν δεδομένον ἔσται.

61. Ἐὰν δὲ μεῖζον ᾖ τὸ Β∠ τοῦ ΑΓ, θέντες τῷ ΑΓ ἰσον ἀπὸ τοῦ Β∠ καὶ τὰ αὐτὰ ποιήσαντες δείξο-
μεν τὸ Γ∠ τοῦ ΑΒ δοθέντι μεῖζον. τοῦτο γὰρ δηλοῖ τὸ ἐν τῇ προτάσει· ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν.

Ad prop. XII.

62. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ∠Ζ p. 24, 25 — 26, 1] ὡς ἐν
τοῖς ὅροις· σύγκειται γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ.

63. Καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ p. 26, 5] ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ λοιπὸν πρὸς λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.

⁵²⁵³

Ad prop. XIV.

64. P. 26, 17] κἄν τε ἴσα ᾖ τὰ ΑΕ, ΓΖ κἄν τε ἄνισα.

65. Λόγος ἄρα τοῦ ΕΑ p. 26, 21–22] τῶν γὰρ δεδομένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται.

66. Λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΒ p. 28, 6–7] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ε΄ καὶ διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ ὅρου. ἐπεὶ δέδοται ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς Γ∠ λόγος καί ἐστιν ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ΗΑ πρὸς ΖΓ. δέδοται καὶ οὕτως ὁ τοῦ ΗΒ πρὸς Ζ∠.

67. Ἐὰν δὲ ποιήσωμεν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ∠,
οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ Γ ὡς ἐπὶ τὸ Ζ, εὑρε- θήσεται τὸ Ζ∠ τοῦ ΕΒ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ. Ad prop. XV.

68. Τοῦτο ἀντιστρόφιόν πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ. δείξας γάρ, ὅτι ἐὰν προστεθῇ δεδομένα μεγέθη τοῖς δεδο-
μένον ἔχουσι λόγον, νῦν καὶ ἀφαιρῶν τὰ αὐτὰ τῶν αὐτῶν δείκνυσι τὸ αὐτό.

Ad prop. XVI.

69. Καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ p. 30, 23–24] καὶ δῆλον, ὅτι καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ Ε∠ λόγος
ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ιθ΄ τοῦ ε΄ τῶν στοιχείων.

⁵⁴⁵⁵⁵⁶

Ad prop. XX.

70. Ἀντιστρόφιον τοῦ ιε΄.

71. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΕ p. 38, 21] ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ΑΕ πρὸς ΓΖ, οὕτως ΑΗ πρὸς Γ∠, δῆλον.
ὅτι καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΗ πρὸς λοιπὸν τὸ Ζ∠ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ιθ΄ τοῦ ε΄ τῶν στοιχείων, καὶ ἐν ἅπασι τοῖς τοιούτοις διὰ τὸ σχόλιον μάλιστα τοῦ ι΄ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε P.

Ad prop. XXII.

72. Ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ p. 42, 21] ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρε- θέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.

73. P. 44, 5] διὰ μὲν τὸ ε΄ τούτου τοῦ Γ∠ καὶ
πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς.

74. P. 44, 6] συμπέρασμα· ὥστε τοῦ Γ∠ πρὸς ἕκαστον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγος δοθείς· ἔστι δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΖ λόγος δοθείς· καὶ τοῦ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ΓΖ λόγος ἐστὶ δοθεὶς καὶ πρὸς τὸ Ζ∠.

75. Ὥστε πάντων πρὸς πάντα p. 44, 8] ὥστε καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΑΕ καὶ ΕΒ μέρη αὐτοῦ λόγος ⁵⁷⁵⁸ δοθείς, καὶ πάλιν τοῦ ΑΕ πρὸς πάντα καί ἐστι τοῦ ΕΒ πρὸς πάντα.

76. Ἐπεὶ οὖν συνήχθη ὁ τοῦ ΓΖ πρὸς Ζ∠ λόγος δοθείς, κεῖται δὲ καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς Ζ∠ λόγος δοθείς, καὶ τοῦ ΓΖ ἄρα πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄.
πάλιν ἐπεὶ ὁ τοῦ ΑΕ πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ὡς ἐδείχθη, κεῖται δὲ καὶ ὁ τοῦ ΕΒ πρὸς Ζ∠ λόγος δο- θείς, καὶ ὁ τοῦ ΑΕ ἄρα πρὸς Ζ∠ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄. καὶ ἐπεὶ τὰ ΑΕ, ΕΒ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ τὸ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον
τῶν ΑΕ, ΕΒ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ϛ΄. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγον ἔχει δεδομένον. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγον ἔχει δεδομένον, ἔχει δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγον δεδομένον, καὶ τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκά-
τερον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ η΄. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΕ, ΕΒ λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε πάντα πρὸς πάντα λόγους ἔχει δεδομένους.

Ad prop. XXIV.

77. Εἰλήφθω τῶν ∠, Ζ p. 44, 20] δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.

78. Δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ∠, Ζ p. 44, 22] ἐπεὶ γὰρ ἐμάθομεν ἐν τοῖς ὅροις, ὅτι εὐθύγραμμα ⁵⁹⁶⁰ σχήματα τῷ εἴδει δεδόσθαι λέγεται, ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ κατὰ μίαν καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας δεδομένοι, ἐὰν ποιήσωμεν ὀρθογώνιον παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον ἴσην τῇ μὲν ∠
τὴν ΑΒ, τῇ δὲ Ζ ἴσην τὴν ΒΓ. ἔχομεν τῶν μὲν γω- νιῶν ἑκάστην δεδομένην διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι· πᾶσα γὰρ ὀρθὴ δέδοται· ὀρθὴ γὰρ ὀρθῆς οὐ διαφέρει. καὶ δῆλον, ὅτι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν δεδομένοι εἰσίν· ὁ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ λόγος δέδοται, ἐπεὶ καὶ ὁ τῆς ∠
πρὸς Ζ λόγος δέδοται. καὶ διὰ τοῦτο δέδοται τὸ ὑπὸ τῶν ∠, Ζ.

79. Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε p. 44, 24] εἰ γὰρ δέδοταί μοι τὸ τετράγωνον, ἐπεὶ καὶ τὸ ἴσον αὐτῷ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓ, δέδοται καὶ ἡ εὐθεῖα ἡ
ποιοῦσα αὐτό. καὶ ἄλλως· ἐπεὶ ἕσαι εἰσὶν αἱ δ πλευραὶ τοῦ τετραγώύνου, δῆλον, ὅτι δέδοται ἡ ποιοῦσα αὐτὸ εὐθεῖα· ἴσαι γὰρ αὐταὶ ἐπορίσθησαν· ὤστε δέδοται ἡ Ε.

80. Καὶ τὸ ἀντιστρόφιον αὐτοῦ ἀληθές.

Ad prop. XXV.

81. Λέγω, ὅτι — σημεῖον p. 46, 17–18] δῆλον, ὅτι τῇ θέσει· μόνον γὰρ τῇ θέσει δέδοται τὰ σημεῖα.

⁶¹

Ad prop. XXVI.

82. Τὰ Α, Β δέδοται τῇ θέσει· μόνον γὰρ τῇ θέσει δέδοται τὰ σημεῖα.

Ad prop. XXVIII.

83. Εἰ μὲν γὰρ τὸ Β σημεῖον ἢ ἐντὸς ἢ ἐκτὸς
μεταπεσεῖται, οὐκ ἔσται τῷ μεγέθει δεδομένη ἡ εὐθεῖα· εἰ δὲ μεταπεσεῖται ἢ ἄνω ἢ. κάτω, οὐκ ἔσται τῇ θέσει δεδομένη.

Ad prop XXX.

84. Παντὸς γὰρ τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς
ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν.

Ad prop. XXXI.

85. Ἐὰν εὐσεῖα τῇ θέσει δοθῇ, δέδοται καὶ τῳ μεγέθει· ἐὰν τῷ μεγέθει, οὔπω καὶ τῇ θέσει· δύναται γὰρ μεταπίπτειν.

86. Θέσει ἄρα p. 52, 23] διὰ τοὺς ὅρους. κύκλος γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέγεται, οὐ δέδοται τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.

87. Τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδόσθαι
λέγεται, οὗ δέδοται κτλ., ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

⁶²⁶³

Ad prop. XXXIII.

88. Ἀντιστρόφιον τοῦ λβλ΄.

Ad prop. XXXVII.

89. Ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ p. 64, 9] κἂν τε
οὖν αἱ ΖΕ, ΛΝ παράλληλοι ὦσι κἄν τε μὴ ὦσι παρ- άλληλοι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΝ, ἔσται ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΞ πρὸς ΞΕ, ὡς δὲ ἡ ΝΞ
πρὸς ΞΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ, ὥστε ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ.

Ad prop. XXXIX.

90. Δέδοται ἄρα p. 68, 19] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι
εἰσὶν αἱ ΚΕ, ΕΖ, ὁ πρὸς ἀλλήλας λόγος αὐτῶν δέδοται διὰ τὸ α΄. ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ΕΖ, ΖΚ λόγος δέδοται· καὶ ἔτι ὁ τῶν ΖΚ, ΚΕ λόγος δέδοται. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΚΕ, ΕΖ δεδομέναι εἰσὶ τῇ θέσει, τὸν αὐτὸν ἄρα ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν. καὶ διὰ τοῦτο.
δέδοται ἡ ὑπὸ ΚΕΖ τῷ μεγέθει. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΚ δέδοται τῷ μεγέθει· καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΖΚΕ δέδοται τῷ μεγέθει.

⁶⁴⁶⁵

Ad prop. XI.

91. Δέδοται ἄρα τὸ ∠ΖΕ τρίγωνον p. 70, 21] ἐπεὶ οὖν δέδοται ἑκατέρα τῶν ∠Ε, ΕΖ, δέδοται καὶ ὁ πρὸς ἀλλήλας αὐτῶν λόγος διὰ τὸ α΄. ὁμοίως καὶ ὁ τῶν ΕΖ, Ζ∠ δέδοται λόγος· καὶ ἔτι ὁ τῶν Ζ∠, ∠Ε δέ-
δοται λόγος. ἔστι δὲ καὶ ἑκάστη τῶν ∠, Ε, Ζ γωνιῶν δεδομένη τῷ μεγέθει. δέδοται ἄρα τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον τῷ εἴδει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

92. Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ p. 70, 23] ἐπεὶ τὰ ΑΒΓ, ∠ΕΖ τρίγωνα ἀνάλογον ἔχοντα τὰς πλευρὰς
ἐδείχθη, τῶν δὲ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευρῶν ὁ λόγος ὁ πρὸς ἀλλήλας δέδοται, δέδονται δὲ αὐτοῦ αἱ γωνίαι· ἴσαι γάρ εἰσι ταῖς τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου· δέδοται ἄρα τῷ εἴδει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

Ad prop. XLIII.

93. Θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ∠ΗΕ ἡμικύκλιον p. 76, 23] ἐπεὶ γὰρ κεῖται ἡ ∠Ε τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδο- μένη, δῆλον, ὅτι, ἐὰν τμηθῇ δίχα ὁ κύκλος, ἔστι κέν- τρον τοῦ κύκλου ἡ ἡμίσεια, τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ⁶⁶⁶⁷⁶⁸ δέδοται τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει, ὥστε καὶ ὁ κύκλος διὰ τὸν ὅρον.1)

Ad prop. XLIV.

94. Μὴ ἔστω δή p. 80, 6] εἰ γὰρ ὑποτεθείη ὀρθή,
εὐθὺς δέδοται τῷ εἴδει διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ.

95. Λόγος ἄρα τῆς ΒΑ p. 80, 11] διὰ τὸ ἀντί- στροφον τοῦ ὅρου τῶν Δεδομένων διὰ τὸ μ΄. ἐπεὶ γάρ, ὧν αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας, ἐκεῖνα δεδομένα εἰσίν, καὶ τῶν
δεδομένων ἄρα τῷ εἴδει δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ γωνίαι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας.

Ad prop. XLV.

96. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 82, 21] ὡς ἐν τῷ ς΄ τῶν στοιχείων (VI, 3)· ἐὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα
τμηθῆ, ἡ δὲ τέμνουσα αὐτὴν ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῇ, τὰ τῆς βάσεως καὶ τὰ ἑξῆς. εἰ δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β· καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς ΑΒ, ἡ ΓΒ πρὸς Β∠· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς
ΓΒ, ἡ ΑΒ πρὸς Β∠.

⁶⁹⁷⁰⁷¹

97. Καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ p. 82, 23] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.

Ad prop. XLVI.

98. Ἐὰν γὰρ τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ, τὰ τῆς
βάσεως τοῦ τριγώνου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς τοῦ τρι- γώνου πλευραῖς.

Ad prop. L.

99. Ὥστε καὶ τῆς ΑΒ p. 92, 6] ἐπεὶ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ ὁ
τῆς Γ∠ πρὸς τὴν Η λόγος δοθείς, δῆλον ἄρα, ὡς καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν δύο δοθέντων λόγων δοθείς ἐστι λόγος· ἢ καὶ διὰ τὸ η΄, ὃ καὶ βέλτιον.

100. Ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 92, 7] ὡς γὰρ ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς α΄ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς β΄
τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.

Ad prop. LII.

101. Δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ p. 94, 14] πᾶν γὰρ τετράγωνον δοθέν ἐστι τῷ εἴδει διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας ⁷²⁷³⁷⁴⁷⁵⁷⁶ αὐτοῦ δεδόσθαι· πᾶσαι γάρ εἰσιν ὀρθαί· καὶ τοὺς λόγους δὲ τῶν πλευρῶν· πᾶσαι γάρ εἰσιν ἴσαι· καὶ γὰρ οὐ τῶν ἀνίσων μόνων ἐστὶ λόγος, ἀλλὰ καὶ τῶν ἴσων. καὶ ἐπεὶ ἔκκειται τὸ τετράγωνον· ἀναγέγραπται
γάρ· δύναμαι αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι· καὶ διὰ τοῦτο δέδοται καὶ τῷ μεγέθει καὶ αὐτὸ τὸ τετράγωνον καὶ ἑκάστη αὐτοῦ πλευρά.

Ad prop. LIII.

102. P. 96,1] δεδομένα τῷ εἴδει καθʼ ἑαυτὰ ἕκαστον.

103. Τῆς δὲ ∠Β p. 96, 8] ὑπόκειται γὰρ ἐν τοῖς ὅροις· δεδομένα γάρ ἐστι τῷ εἴδει.

Ad prop. LIV.

104. Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τοῖς πρώ- τοις σχολίοις τοῦ πρό, ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε P, ὅτι,
ἐὰν α΄ πρὸς β΄ λόγον ἔχῃ δεδομένον, ᾖ δὲ καὶ τὸ γ΄ δεδομένον, καὶ γένηται ὡς τὸ α΄ πρὸς τὸ β΄, οὕτως τὸ γ΄ πρὸς ἄλλο τι τὸ δ΄, οὐκέτι καὶ ἐναλλὰξ λόγον ἕξουσι δεδομένον, διόπερ καὶ ἐνταῦθα οὐκ ἐκ τοῦ ἐναλλὰξ εὗρε τὸν λόγον αὐτῶν δεδομένον, ἀλλὰ ἄλλως, ὡς νῦν λέγει.

105. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ∠ p. 96, 24] ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ὡς ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.

⁷⁷⁷⁸⁷⁹⁸⁰⁸¹

106. Καὶ τῆς Γ∠ ἄρα p. 98, 1] σχόλιον. ἐδείχθη γάρ, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ δὲ α΄ πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς τὴν δευτέραν λόγον ἕξει δεδομένον, ἐν τῷ κδ΄. ἢ καὶ οὕτως· ἐπεὶ ὁ συγκείμενος λόγος δέδοται, καὶ ἑκάτερος τῶν
τιθέντων αὐτὸν λόγων δέδοται· ἑκάτερος γὰρ ὁ αὐτός.

107. Καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β p. 98, 2] ἀντὶ τοῦ· καί εἰσι δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α, Β· καὶ γὰρ ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν, ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας
γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον· ὥστε δεδομένα εἰσὶ τῷ εἴδει τὰ ὅμοια· τὰ οὖν ὅμοια καὶ τῷ εἴδει εἰσὶ δεδομένα, τὰ δὲ τῷ εἴδει δεδομένα οὐ πάντως ὅμοια.

Ad prop. LVII.

108. Ὥστε καὶ τῆς ΕΑ p. 102, 23] ἐπεὶ γὰρ δύο
εἴδη τὰ ΕΒ, Β∠ δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.

109. Καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος p. 104 8–9] τὸ μὲν ἀληθῶς πλάτος τοῦ ΑΓΗΒ παραλληλο-
γράμμου ἐστὶν ἡ ΑΘ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ· αὐτοῦ δὲ τούτου τοῦ ΑΓΗΒ παραβλήματος ὡς ἐπὶ τούτων τῶν ⁸²⁸³⁸⁴ τεσσάρων εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΗ, ΗΓ, ΓΑ μήκους ὄντος τοῦ ΑΒ, πλάτος ἔσται τὸ ΑΓ· ἐπὶ γὰρ τῶν προκειμένων τεσσάρων εὐθειῶν τὸ πλάτος ζητεῖ, οὐ τὸ ἀληθῶς τοῦ χωρίου πλάτος· ἄλλη γάρ ἐστι παρὰ τὰς
τέσσαρας ὡς ἡ ΑΘ.

Ad prop. LVIII.

110. Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε∠ p. 104, 17–18] ἡμί- σεια γάρ ἐστι τῆς Α∠ δοθείσης ἡ Ε∠.

111. Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΖ p. 104, 20] ὅμοιον
γάρ ἐστι τῷ ∠Γ δεδομένῳ.

112. Καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ, ΚΘ p. 104, 23] ἐπεὶ γὰρ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον, κοινὸν προσκείσθω τὸ Γ∠· ὅλον ἄρα τὸ Κ∠ τῷ ὅλῳ τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ Κ∠ τῷ ΑΚ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΕ τῇ
Ε∠ ἴση· δίχα γὰρ τέτμηται. καὶ τὸ ΑΚ ἄρα τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΒ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ τῷ γνώμονί ἐστιν ἴσον, τουτέστι τῷ ΒΚ καὶ ΒΖ. ἔτι κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΘ· τὰ ΑΓ, ΚΘ ἄρα ἴσα ἐστὶ τῷ ΕΖ.

113. Ἔστι δὲ καὶ ἡ Ε∠ δοθεῖσα p. 06, 5] ἡμίσεια γάρ ἐστιν ἡ Ε∠ τῆς Α∠ δεδομένης.

⁸⁵⁸⁶⁸⁷

Ad prop. LIX.

114. Περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρον p. 106, 17] ἐδείχθη γὰρ ἐν τοῖς στοιχείοις, ὡς τὰ ὅμοια παραλληλό- γραμμα περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον.

115. Καί ἐστιν ἴσα τῷ ΚΛ p. 106, 24] καὶ ὁμοίως
τῷ σχολίῳ τῷ αὐτῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος.

116. Ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει p. 108, 1] τῷ εἴδει γὰρ δεδομένον ὑπόκειται τὸ ΓΒ.

Ad prop. LX.

117. Ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΑΒ p. 108, 17] ὅτι δὲ
ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΑΗ, δῆλον· παντὸς γὰρ παρ- αλληλογράμμου εἶς μόνος ἐστὶ γνώμων. καὶ γὰρ γνώ- μων ἐστὶν ἓν ὁποιονοῦν τῶν περὶ τὴν διάμετρον ταραλληλογράμμων σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασιν, ὃς προστιθέμενος ὅμοιον ποιεῖ, προσετέθη παρ-
αλληλογράμμῳ, τὸ γενόμενον ὑπὸ τοῦ ἐξ ἀρχῆς παρ- αλληλογράμμου καὶ τοῦ γνώμονος. ὁμοίως δέ, κἂν ἀφαιρεθῇ γνώμων παραλληλογράμμου· περὶ τὴν αὐτὴν γάρ ἐστι διάμετρον, ὡς ἐν τῷ ς΄ βιβλίῳ τῶν στοιχείων.

⁸⁸⁸⁹⁹⁰⁹¹

Ad prop. LXI.

118. Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ γωνία p. 110,22] δεδομένον γὰρ τῷ εἴδει ὑπόκειται τὸ ΑΖΓΒ.

119. Δοθὲν ἄρα τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον p.110,23]
ὅτι δέδοται τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον, δῆλον. ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἡ ΖΓΒ γωνία, δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΓΖΒ γωνία· εἰς γὰρ παραλλήλους τὰς ΖΒ, ΓΒ εὐθεῖα ἐμ- πέπτωκεν ἡ ΓΖ ποιοῦσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, ὧν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ δέδοται· καὶ
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΗ δέδοται· ὥστε καὶ αἱ λοιπαὶ δύο δεδομέναι εἰσίν. καὶ ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΓΒ λόγος, ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΓ τῇ ΗΒ, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΖΗ, καὶ ὁ λόγος τῶν πλευρῶν δέδοται.

120. Τοῦ δὲ ΖΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς
p. 112, 3–4] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΖΒ παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΑΖΒΓ εἶδος λόγος ἐστὶ δοθείς, τοῦ δὲ ΑΖΒΓ εἴδους πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ διʼ ἴσου τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς.

121. Ἴση γὰρ τῇ ὑπὸ ΚΓΒ p. 112, 14] ἐπεὶ γὰρ
παράλληλος ἡ ΓΒ τῇ ΛΘ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΓΚ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

⁹²⁹³⁹⁴

Ad prop. LXIII.

122. Δεῖ τοῦτο προσεπιθεωρεῖν, ὅτι καὶ τὰ τετρά- γωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον· τούτῳ γὰρ ἐξῆς προσχρήσεται. ὅτι δὲ ἀληθές ἐστιν, δῆλον. εἰ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΕΒ, ΖΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ λόγον ἔχει
δεδομένον, δῆλον, ὅτι καὶ τὰ ΕΒ, ΖΓ πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.

Ad prop. LXIV.

123. Τὸ ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ δωδέκατον θεώρημα συμβάλλεται εἰς τὸ παρὸν θεώρημα· ἀλλὰ καὶ τὸ ιγ΄
πάλιν εἰς τὸ μετὰ τοῦτο ἤτοι τὸ ξε΄, καὶ ζήτει αὐτὰ ἐκεῖ.

124. Πόθεν ἐστίν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως ὁ ὑπὸ τῶν Α∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ ἐκ- κείσθω τις εὐθεῖα ἡ αβ, καὶ
κείσθω τῇ μὲν Α∠ ἴση ἡ αδ, τῇ δὲ ∠Β ἴση ἡ δβ, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ δζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ δζ· καὶ συμ- πεπληρώσθω τὸ σχῆμα τὸ αθ
παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ αδ πρὸς δβ, οὕτως τὸ αζ πρὸς τὸ δθ, καί ἐστι τὸ μὲν αζ ⁹⁵⁹⁶⁹⁷⁹⁸ τὸ ὑπὸ τῶν αδ, δζ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν Α∠, ΒΓ· ἴση γὰρ ἡ ΒΓ τῇ δζ, ἡ δὲ αδ τῇ Α∠ τὸ δὲ δθ τὸ ὑπὸ τῶν δζ, δβ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ· ἴση γὰρ ἡ μὲν ζδ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ δβ τῇ ∠Β ἔστιν ἄρα
ὡς ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, οὕτως τὸ ὑπὸ Α∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ.

125. Ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ∠Α, ΒΓ p. 118, 13] ἀν- ήχθω πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ σημείου τῇ Α∠ ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ∠Γ
διήχθω ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΒΕ παραλληλό- γραμμον τοῦ τριγώνου διπλά- σιόν ἐστιν· ἐπί τε γὰρ τῆς
αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις· καὶ περι- έχεται τὸ παραλληλόγραμμον ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ Α∠, ἡ δὲ ΖΕ τῇ ΒΓ, διὰ τοῦτο λόγον ἔχει τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον, ὥστε καὶ διπλα- ⁹⁹¹⁰⁰¹⁰¹ σίονα τὸ παραλληλόγραμμον λόγον ἔχει πρὸς τὸ τρί- γωνον, ὅπερ ἐστὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν Α,∠, ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα πρὸς τὸ τρίγωνον τετραπλασίονα. τὸ γὰρ ∠Γ τοῦ ὑπὸ ΓΒ μεῖζόν ἐστιν, ὡς ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων.

126. Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ p. 118, 16]
ἐν τῷ ιβ΄ θεωρήματι τοῦ β΄ τῶν στοιχείων ἐν τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις.

Ad prop. LXV.

127. Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ p. 120, 13] καί ἐστιν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Α, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ∠Β
πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒ, Α∠.

128. Πόθεν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Α, οὕτως καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, Β∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ. Α∠; ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ εζ καὶ ἀφῃρήσθω ἀπʼ αὐτῆς τῇ μὲν
Β∠ ἴση ἡ εδ, τῇ δὲ ∠Α ἴση ἡ δζ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ηδ ἴση οὗσα τῇ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ εδ πρὸς δζ, οὕτως τὸ εη πρὸς ηζ, καί ἐστι τὸ μὲν εη
τὸ ὑπὸ τῶν εδ, δη, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν Β∠, ΒΓ, τὸ δὲ ηζ τὸ ὑπὸ τῶν ζδ, δη, ¹⁰²¹⁰³¹⁰⁴ τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ∠Α· ἴση γὰρ ἡ μὲν δη τῇ ΒΓ, ἡ δὲ δζ τῇ ∠Α· λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τὰ ἑξῆς.

129. Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ των ΓΒ, Β∠ p.120,17–18] ὡς ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐν τῷ ιγ΄ θεωρήματι ἐν
τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις.

Ad prop. LXVI.

130. Ὡρ δὲ ἡ ΑΒ πρὸς Β∠ p. 122, 9] πάλιν καὶ ἐνταῦθα, ἐὰν τῇ μὲν ΑΒ ἴσην εὐθεῖαν λάβωμεν τὴν εη, τῇ δὲ Β∠ τὴν ηζ καὶ πρὸς
ὀρθὰς τὴν ηθ ἴσην οὖσαν τῇ ΑΓ· καὶ συμπεπληρώ- σθω τὸ σχῆμα· ἔσται ὡς ἡ εη πρὸς ηζ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Β∠, οὕτως τὸ εθ
πρὸς θζ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν θηε, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, πρὸς τὸ θζ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν θη, ηζ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠· ἴση γὰρ ἡ μὲν εη τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ηθ τῇ ΑΓ. ἡ δὲ ηζ τῇ Β∠.

131. Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠ p. 122, 12] ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλον ἀγάγωμεν καὶ ποιήσωμεν παραλληλόγραμμον, ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν Β∠, ¹⁰⁵¹⁰⁶¹⁰⁷¹⁰⁸ ΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος δοθείς· διπλά- σιον γάρ.

132. Τὸ θεώρημα ὡς ὀξείας οὔσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ καταγέγραπται. ἐὰν δὲ ὀρθὴ ᾖ, αὐτόθεν τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον· δι-
πλάσιον γὰρ αὐτοῦ ἐστιν. ἐὰν δὲ ἀμβλεῖα ᾖ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἤχθω κάθετος ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ ἡ ΒΕ. δέδοται οὖν ἡ Ε· ὀρθὴ γάρ· ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, ἐπειδὴ καὶ ἡ ἐφεξῆς αὐτῆς ὑπό-
κειται· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΑ δέδοται. δέδοται ἄρα τὸ τρίγωνον τὸ ΕΒΑ τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΒ πρὸς ΒΑ δοθείς. ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ, τῆς ΑΓ μέσης λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΑΓ λόγος
ἄρα τοῦ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΙ δοθείς. τοῦ δὲ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος δοθείς· διπλάσιον γάρ· ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Α, Γ τῇ ΕΒ παρ- αλλήλους ἀγάγωμεν καὶ ἔτι διὰ τοῦ Β τῇ ΕΓ, δῆλον γίνεται· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΓ
τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.

¹⁰⁹¹¹⁰¹¹¹¹¹²

Ad prop. LXVII.

133. Ἐὰν ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἐπὶ τὴν βάσιν, τὸ ἀπὸ τῆς καταχθείσης μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς βάσεως ἴσον ἐστὶ τῷ
ἀπὸ μίας τῶν ἴσων πλευρῶν.

ἔστω δὴ ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω τις εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἡ Α∠. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν Β∠, ∠Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ.

ἡ Α∠ ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤτοι κάθετός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον κάθετος. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ ∠, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠, ∠Β ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β∠. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς Α∠· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠, ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς
Α∠ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ∠Β. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ∠Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.

ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω κάθετος ἡ Α∠, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΕ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά
τις τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ ∠, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν ¹¹³¹¹⁴¹¹⁵¹¹⁶¹¹⁷ ΑΕ∠ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΕΒ. καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΕ∠ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπδ τῶν ΑΕ, ΕΒ. καί ἐστι τοῖς ἀπὸ ΑΕ, ΕΒ
τὸ ἀπὸ ΑΒ ἴσον. τὸ ἄρα ὑπὸ Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ Α∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ.

134. Ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ ∠ΑΓ ∠ΒΕ τρίγωνα.

135. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 124, 18] παρ-
άλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΕ.

Ad prop. LXVIII.

136. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 128, 3–4] ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Ζ, ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Θ, καὶ ἡ Θ ἄρα τῇ Ζ ἐστιν ἴση· ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

Ad prop. LXIX.

137. Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ∠ΑΓ, ΑΚ∠ p. 130, 2] ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Β τῇ ΑΓ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐνέπεσεν εὐθεῖα ἡ Α∠, αἱ ἐντὸς γωνίαι αἱ ὑπὸ Β∠Α, ∠ΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
¹¹⁸¹¹⁹¹²⁰ δέδοται δὲ ἡ ὑπὸ Β∠Α καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ ∠ΑΓ λεί- πουσα εἰς τὰς ὀρθὰς δέδοται. δέδοται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΚ∠ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ Κ∠Β ἐναλλὰξ οὔσῃ.

138. Καθόλου γάρ, ἐὰν παραλληλογράμμου μία
γωνία δοθῇ, καὶ αἱ λοιπαὶ δεδομέναι εἰσίν. μιᾶς γὰρ δοθείσης ἐξ ἀνάγκης καὶ ἡ ἐφεξῆς δοθήσεται, ὥστε καὶ τῶν δοθεισῶν αἱ ἀπεναντίον δοθήσονται.

Ad prop. LXX.

139. Ἀντιστρόφιον δύο πρὸ αὐτοῦ θεωρήμασιν.

140. Ἀντιστρόφιον τοῖς δύο ὁμοῦ τῷ τε ἑξηκόστῳ ὀγδόῳ καὶ τῷ ξθ΄ θεωρήματι.

141. P.132,4] ἐπʼεὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ∠Β τῇ ΒΜ. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΝ τῇ ∠Μ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ∠ΒΓ, ΒΓΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. πάλιν
ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΒ τῇ ΑΓ, αἱ ὑπὸ ΜΒΓ, ΑΓΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΒ, ΒΓΝ ταῖς ὑπὸ ∠ΒΓ, ΓΒΜ ἴσαι εἰσίν. ὀρθαὶ δὲ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, BΓΝ· ὀρθαὶ ἄρα καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΒΓ, ΓΒΜ. ἐὰν ¹²¹¹²²¹²³ δὲ πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ καὶ τὰ ἑξῆς, ὡς ἐν τῷ α΄ τῶν στοιχείων (I, 14).

142. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 132, 6] ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιον κεῖται τὸ ΑΒ τῷ ΕΗ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ζ· ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ν,
ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός· καὶ ἡ πρὸς τῷ Ν ἄρα τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

143. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ δοθεῖσα p. 132, 20] ἴση γάρ ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ζ δοθεῖσα.

144. Καθόλου γὰρ πάλιν, ἐὰν δύο τετραγώνων
δύο γωνίαι ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνια ἔσται τὰ παραλληλό- γραμμα.

145. Λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς p. 134, 6] μᾶλλον ἀληθῶς διὰ τοῦτο· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ Ζ καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ
πλευραὶ λόγον ἔχουσι δεδομένον, διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ ο΄ θεωρήματος λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς ΖΘ δοθείς.

¹²⁴¹²⁵¹²⁶¹²⁷¹²⁸¹²⁹

Ad prop. LXXII.

146. Αἱ ἐπʼ αὐτὰς ἠγμέναι p. 136, 9] κατὰ κοινοῦ τὸ ἐν δεδομένῳ λόγῳ ὦσιν.

Ad prop. LXXIII.

147. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 140, 4] ὅτι δέ, ἐὰν παραλληλογράμμου δύο πλευραὶ ἐκβληθῶσι, καὶ συμπληρωθῇ παραλληλόγραμμον, ἰσογώνια ἔσονται τὰ παραλληλόγραμμα. ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΓ, ∠Β, καὶ συμπεπληρώσθω
τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον· λέγω, ὅτι ἰσογώνιά ἐστιν τὰ ΑΒ, ΓΘ παραλληλόγραμμα. ἐπεὶ γὰρ παράλληλοί εἰσιν αἱ Α∠, ΓΒ, ΚΘ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΚΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΑ∠, ὥστε ἰσο- γώνιά εἰσιν.

148. Πρὸς ἣν ἡ ΑΓ p. 140, 8] ἡ ΑΓ λόγου χάριν πρὸς τὴν ∠ ἢ πρὸς οἷον δή ποτέ τινα λόγον ἐχέτω δεδο- μένον. ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, τουτέστι β πρὸς τὴν ΓΚ.

149. P. 140, 8—9] πόθεν, ὅτι ἡ ΑΓ πρὺς τὴν ΓΚ λόγον
ἔχει δεδομένον; δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΗ τῷ ΓΘ, ἔστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, ¹³⁰¹³¹¹³² ἡ ΖΕ πρὸς ΓΚ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον. μὴ γάρ, ἀλλʼ, εἰ δύνατον, ἡ ΑΓ πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν ∠ λόγον ἐχέτω δεδομένον. καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, ἡ ΖΕ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως
ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ∠· ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, ἡ ΖΕ πρὸς ΓΚ· ἴση ἄρα ἡ ∠ τῃ ΓΚ. ἔχει δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠ λόγον δεδομένον· καὶ πρὸς τὴν ΓΚ ἄρα ἴσην αὐτῇ οὖσαν λόγον ἔχει δεδομένον.

150. Ἐπεὶ συνήχθη ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ
ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, οἷον πρὸς τὴν ∠, πρὸς ἃ δὲ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν, ἴση ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ∠. ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ∠ λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε ἡ ΑΓ καὶ πρὸς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον.

151. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ p. 140, 22] δεικτέον δὲ οὕτως. ἐπεὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ∠, πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δο- θέντα, ἔσται καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ∠, πρὸς ἣν ἡ ΓΛ λόγον ἔχει δοθέντα. καὶ ἁρ-
μόσει ἡ προτέρα κατασκευή· καὶ τὸ ἑξῆς δὲ οὕτως δεικτέον.

¹³³¹³⁴¹³⁵¹³⁶

152. Λόγος ἄρα τοῦ ΓΜ παραλληλογράμμου p. 142, 1–2] ἐπεὶ γὰρ τῶν ΓΜ, ΕΗ περὶ ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Γ, Ζ αἱ πλευραὶ οὕτως ἔχουσιν, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς
ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, ὡς πρὸς τὴν ΛΓ, διὰ τὸ νῦν ἄρα δειχθὲν τοῦ ογ΄ τὸ πρῶτον λόγος τοῦ ΓΜ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς.

153. Μὴ ἀντιστρέψῃς· οὐ γὰρ ἀληθές.

Ad prop. LXXIV.

154. Ἀντιστρόφιον τῷ πρὸ αὐτοῦ.

155. Τὸ οδ΄ θεώρημα καθολικώτερον τοῦ νς΄.

156. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ p. 144, 14] διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδ΄.

157. Ὅτι δέ ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ
ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον, ἀντὶ τοῦ πρὸς τὴν ἴσην ἑαυτῇ, δείξομεν οὕτως. παρα- βεβλήσθω γὰρ ὁμοίως τῷ ἐπάνω παρὰ τὴν ΓΒ τῷ ΕΗ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΞ καὶ κείσθω, ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΝ τῇ ΛΓ· ἐπʼ εὐθείας ἄρα
ἐστὶ καὶ ἡ ΜΒ τῃ ΒΞ. καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὑπόκειται γάρ· ἀλλὰ τὸ μὲν ¹³⁷¹³⁸¹³⁹ ΑΒ τῷ ΓΜ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΕΗ τῷ ΓΞ, καὶ τοῦ ΓΜ ἄρα πρὸς ΓΞ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΛ πρὸς ΓΝ λόγος ἐστὶ δοθείς· τῆς δὲ ΓΑ πρὸς ΓΛ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ δεδόσθαι τὸ ΑΓΛ τρίγωνον· καὶ τῆς ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΝ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ
ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΞ τῷ ΕΗ, ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΓΝ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΛΓ λόγον ἔχει δεδομένον, τουτέστι πρὸς τὴν ΑΓ, διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδ΄. ἔστιν ἄρα ὡς
ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΓ, ΓΝ· ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΓΝ.

Ad prop. LXXVI.

158. Τῆς δὲ ΑΒ p. 148, 4] δέδοται γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

Ad. prop. LXXVII.

159. Καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα p. 148, 22] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ∠ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΒΗ λόγος δοθείς, καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν ἐπεὶ τοῦ
ΒΗ πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ ¹⁴⁰¹⁴¹¹⁴² τοῦ ΕΘ πρὸς τὸ ∠ΕΖ λόγος δοθείς, καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς.

160. Καὶ δῆλον, ὅτι καί, ἐὰν μὴ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον ἀναγράψωμεν, ἀλλὰ ἀπὸ ἄλλης τινός, οἷον
τῆς ΖΞ, καὶ πρὸς ἐκείνην, οἷον τὴν ΖΞ, λόγον ἔχει δεδομένον ἡ ΒΓ.

Ad prop. LXXVIII.

161. P. 150, 18–20] ἴσον δὲ τὸ ΖΗ τῳ ΕΚ· λόγος ἄρα τοῦ Γ∠ πρὸς τὸ ΕΚ δοθείς, ὥστε διὰ
τοῦτο καὶ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ α΄ τοῦ ϛ΄ βιβλίου Εὐκλείδου.

162. P.152,5–6] ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ δοθεὶς τῆς ΕΘ πρὸς ΖΛ, ἀλλὰ τῆς ΕΘ πρὸς ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΖΛ λόγος δοθείς. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΖΛ
τῇ ΒΖ· τετράγωνον γάρ· καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΖΒ λόγος δοθείς. ἀλλὰ τῆς ΖΒ πρὸς ΕΔ λόγος δοθείς· ὑπόκειται γάρ· καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς Ε∠ λόγος δοθείς. καί ἐστιν ἴση ἡ Ε∠ τῇ ΓΜ· ἀπεναντίον γάρ· καὶ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς ΓΕ λόγος δοθείς. ὁμοίως δὴ καὶ
αἱ λοιπαὶ πλευραί. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ Ε· ὀρθὴ γάρ· ὥστε καὶ ἡ λοιπὴ εἰς β ὀρθὰς ἡ Γ, καὶ αἱ ἀπεναντίον· δέδοται ἄρα τῷ εἴδει τὸ Γ∠.

¹⁴³¹⁴⁴¹⁴⁵

Ad prop. LXXIX.

163. Τὸ ἀντιστρόφιον τούτου ἀληθέστατον, καὶ ἐχρήσατο αὐτῷ κατιών.

164. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ p. 154, 8] ὅτι καθόλου ἐπὶ ὁμοίου τριγώνου τοῦτο συμβαίνει. ἔστω τρίγωνον
τὸ ΒΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ Β∠, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΘΕ πρὸς ΕΒ, καὶ ἐναλλὰξ
ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΘΕ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΜ, καὶ διʼ ἴσου ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΘΕ, ἡ ∠Β πρὸς ΒΜ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ∠Ε, ἡ ΘΕ πρὸς ΜΒ.

165. Οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς ΜΛ [p. 154, 8]. ἰσογώνια γὰρ τὰ τρίγωνα, καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραί. ὁμόλογος δέ ἐστιν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΗ· ἴσας γὰρ γωνίας ὑποτείνουσι τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΘΛΗ· ἡ δὲ Β∠ ἴση τῇ ΛΜ· ὁμόλογοι γὰρ καὶ αὗται ἴσας γωνίας
ὑποτείνουσιν.

166. Ὅπως ἡ ΖΚ τῇ ΛΜ ἐστιν ἴση; ἐπεὶ ὑπό- κειται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς Β∠, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΖΚ, ¹⁴⁶¹⁴⁷¹⁴⁸ ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ∠Β, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΜΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς ΜΛ, οὕτως αὐτὴ ἡ ΘΗ πρὸς ΖΚ. τὰ δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλή- λοις ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΛΜ τῇ ΚΖ.

Ad prop. LXXX.

167. Δέδοται ἄρα τὸ Α∠Β p. 156, 7] ἐπεὶ τρι- γώνου τοῦ ΑΒ∠ αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ Α∠Β ὀρθή ἐστιν, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ∠ΑΒ, ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ
οὖσα ἡ ὑπὸ Α∠Β δέδοται, καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΑΒ, ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ οὖσαι ἴσαι δέδονται, ὧν ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ δέδοται, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ δέδοται. ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον ἀφαιρεθῇ, καὶ τὸ ὑπολειπόμενον δέδοται.

168. Πῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου; ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠ΑΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ τῇ ΑΕ παράλληλοι ἡ ∠Β, ΖΓ· τὸ ∠Γ ἄρα παραλληλόγραμμον περιέχεται ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ· ἴση δὲ ἡ Β∠ τῇ ΑΕ· τὸ ἄρα ∠Γ ἐστι τὸ
ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ περιεχόμενον ὀρθογώνιον καί ἐστι διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐὰν γὰρ παραλληλό- ¹⁴⁹¹⁵⁰¹⁵¹¹⁵²¹⁵³ γραμμον τριγώνῳ βάσιν ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ᾖ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, διπλάσιον ἔσται τὸ παραλληλόγραμ- μον τοῦ τριγώνου· διπλάσιον ἄρα τὸ ΑΓ παραλληλό- γραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τρι-
γώνου· τὸ δὲ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠.

169. Καὶ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ p. 156, 6] ὡς γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ, τουτ- έστι τὸ ΓΟ πρὸς τὸ ΓΡ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΑΕ·
δέδοται δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ· οὕτως γὰρ ἐδείχθη πρὸ μικροῦ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ λόγος.

170. Καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΖΗ p. 156, 19] διὰ τὸ λγ΄ τοῦ γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου.

171. Πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς [p. 158, 4]. ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Γ, Β τῇ ΕΑ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ὁμοίως δὲ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ, ἔσται τὸ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον διὰ τὸ ἴσας γίνεσθαι τὰς γωνίας ἑκάστην τῇ ὑπὸ ΑΕΓ· δοθήσεται ἄρα τὸ παραλληλόγραμμον,
καὶ ἔσται λόγος τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΜ δοθείς, τουτ- έστι πρὸς τὴν ΕΑ· ἴση γὰρ ἡ ΓΜ τῇ ΕΑ.

¹⁵⁴¹⁵⁵¹⁵⁶¹⁵⁷

172. Ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ παράλληλος τῇ ΖΗ ἀγο- μένη ἐφάπτεται τῆς περιφερείας, δῆλον· καὶ γάρ, ἐὰν περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τμῆμα περιγράψωμεν, ὅμοια ἔσται τὰ τμήματα, καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ,
οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΚ· ἡ δὲ ΕΑ ἐφάπτεται· ὥστε καὶ ἡ διὰ τοῦ Κ.

173. Ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἑκάστη τῶν πλευρῶν τοῦ ΖΗΘ τριγώνου, δέδοται ὁ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΗ λόγος διὰ τὸ α΄. πάλιν ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΑΒ πρὸς Β∠
λόγος, ὡς δέδεικται, δέδοται δὲ καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς Β∠ λόγος· ὡς γὰρ δέδεικται ὁ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς, οὕτως δειχθήσεται καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς Β∠ λόγος δοθείς· καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄. ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ
ΒΑΓ, ΖΘΗ γωνίαι, καὶ λόγον ἔχει δεδομένον ἡ μὲν ΒΑ πρὸς ΑΓ, ἡ δὲ ΖΘ πρὸς ΘΗ, δεδομένα ἄρα ἐστὶ τῷ εἴδει.

174. Τούτου τοῦ θεωρήματος ἔνστασις κεῖται ἐν τῇ πρώτῃ ἐξωχιῇ, ὅπου σημεῖον τόδε ??.
175. Ἔνστασις εἰς τὸ π΄ θεώρημα ??. φησὶ γὰρ ἐν τῷ π΄ θεωρήματι· ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΗΚ· καὶ γεγονέτω, φησίν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ¹⁵⁸¹⁵⁹¹⁶⁰ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Κ σημείου τῇ ΖΗ παράλληλος ἡ ΚΘ. λέξει τις, ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ τῇ ΖΗ παράλληλος ἀγομένη οὔτε ἐφάψεται οὔτε τεμεῖ τὸ ΖΘΗ τμῆμα, ἀλλʼ ὑπερπεσεῖται. ὑπερπιπτέτω οὖν, εἰ δύνατον, καὶ ἔστω ἡ ΚΙ, καὶ τετμήσθω ἡ ΖΗ τῇ
ΒΓ ὁμοίως κατὰ τὸ Λ σημεῖον, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Λ σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΛΘΙ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΙΖ, ΙΗ, ΘΗ, ΘΖ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ,
καὶ συνθέντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΛΖ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ, οὕτω γέγονεν ἡ ΖΗ πρὸς ΛΙ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΙ. καί ἐστιν ἡ
ὑπὸ τῶν ΒΕΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΛΙ ἴση. ὅμοιον ¹⁶¹¹⁶² ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΙΖΛ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΙΛ γωνίᾳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΙΛ ἴση ἐστίν· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση. ἔστι
δὲ καὶ ἡ ὑπὸ φῶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· οὕτως γὰρ ὑπέκειτο διὰ τὸ ἐν ΖΘΗ τμήματι εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΘΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ διὰ τοῦ Κ σημείου ἀγομένη παράλληλος τῇ ΖΗ ὑπερπεσεῖται τῆς ΖΘΗ περιφερείας.
ὁμοίως δέ, κἂν ἐντός τις ὑπόθηται.

Ad prop. LXXXI.

176. Ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Γ p.160, 11–12] ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης διὰ τὸ ιζ΄ τοῦ ϛ΄ τῶν στοιχείων.

Ad prop. LXXXIII.

177. Καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α, ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Ε [p. 164,
– 16]. ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω τῇ μὲν Ε ἴση
ἡ ΑΓ, τῃ δὲ ∠ ἴση ἡ ΓΒ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ¹⁶³¹⁶⁴¹⁶⁵¹⁶⁶¹⁶⁷¹⁶⁸ ΑΒ ἡ ΓΕ ἴση οὖσα τῇ Α. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ, τουτέστι τὸ ὑπὸ Α, Ε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν Α, ∠, ἔστιν οὖν ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Ε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, ∠.

178. Τοῦτό φησιν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δ εὐθεῖαι καὶ ἔχωσιν οὕτως πρὸς ἀλλήλας· πῶς δὲ ἔχωσιν; ὥστε λαβεῖν τινα ἐξ αὐτῶν τρεῖς, οἵας ἂν βούλοιτο, προσ- λαβεῖν δὲ καὶ τετάρτην ἀνάλογον οὖσαν ταῖς ληφθεί- σαις τρισί· ἔσται ὡς ἡ τετάρτη ἤτοι ἡ προσληφθεῖσα
πρὸς τὴν τρίτην ἤτοι τὴν μετʼ αὐτὴν τρίτην, οὕτως ἡ δευτέρα ἤτοι ἡ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευτέραν, πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον ἤτοι πρὸς τὴν οὖσαν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν τετάρτην, πρὸς ἣν ἔχει ἡ πρώτη ἤτοι ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα πρὸς αὐτὴν δευτέραν
οὖσαν λόγον δεδομένον.

ἔστωσαν εὐθεῖαι αὗται αἱ Α, Β, Γ, ∠, καὶ ἔστω ἡ μὲν Α κδ, ἡ δὲ Β ιβ, ἡ δὲ Γ η, ἡ δὲ ∠ ς. λαβὲ γοῦν ἐξ αὐτῶν τρεῖς, οἵας βούλει, οἷον τὴν Α καὶ τὴν Β καὶ τὴν Γ· προσλαβοῦ καὶ ἑτέραν ἀνάλογον ταύταις
ἤτοι τὴν Ε, καὶ ἔστω δ· ὥστε ἔχει αὐταῖς ἀναλόγως ἤτοι τὸν διπλασίονα λόγον. ἔχει οὖν ἡ τετάρτη ἤτοι ἡ προσληφθεῖσα· τετάρτη γὰρ ἀριθμεῖται μετὰ τὰς τρεῖς τὰς ληφθείσας· πρὸς τὴν τρίτην ἤτοι τὴν Γ τὴν μετὰ τὴν προσκληθεῖσαν ἀριθμουμένην τρίτην λόγον
ὑποδιπλάσιον. θέλει γοῦν ἔχειν οὕτως καὶ ἡ δευ- ¹⁶⁹¹⁷⁰ τέρα, πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον· ἡ γὰρ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευτέρα οὖσα ἔχει πρὸς τὴν Β ἤτοι τὴν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν οὖσαν τετάρτην, πρὸς ἣν ἡ ἐξ ἀρχῆς πρώτη ὡς πρὸς δευτέραν λόγον
ἔχει δεδομένον· ἔχει γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ἤτοι τὸν ὑποδιπλασίονα. ἡ γὰρ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευ- τέρα, ἥτις ἐστὶ ϛ, πρὸς τὴν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν τετάρτην, δευτέραν δὲ ὡς πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς πρώτην, ἤτοι τὴν Β ιβ οὖσαν ὑποδιπλάσιόν ἐστιν.

κἂν γοῦν ταύτας οὐ λαβῇς τὰς εὐθείας ἀλλʼ ἄλλας τῶν δ, οἵας βούλει, οὕτως εὑρήσεις ταύτας φυλάττειν τὴν παραδοθεῖσαν τάξιν κατὰ τὴν ἐμὴν τέως ἐπιβολήν· ἤ, εἰ βούλει, ἔστωσαν μὲν ὡς ἐν τῷ ἐδαφίῳ τοῦ βιβλίου κείμενα διʼ ἀριθμῶν τοιοῦτον. ἀλλὰ δὴ ἐκ
τῶν ἀριθμῶν οὕτως· καὶ ἁπλῶς οἵους βούλει τρεῖς πως τῶν ἐξ ἀρχῆς δ λάμβανε, καὶ εὑρήσεις κατὰ τὴν ἄνωθεν ῥηθεῖσαν ἐξήγησιν ἁρμόζειν τὸ θεώρημα.

Ad prop. LXXXIV.

179. Λοιπὴ ἄρα ἡ ∠Β p. 166, 4] ἡ γὰρ ΒΓ τῆς
ΒΑ μείζων ἐστὶ τῇ ∠Γ εὐθείᾳ δοθείσῃ, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

Ad prop. LXXXV.

180. Καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία p.168, 2]

ὡς ἂν εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι
δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει.

¹⁷¹¹⁷²

181. Καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ p. 168, 10] συναμφό- τερος ἡ ΑΒ, ΒΓ ὑπόκειται δοθεῖσα, καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ∠Β, καί εἰσι δοθεῖσαι· ὥστε καὶ ἡ ∠ΒΓ δο- θεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα ὅλη ἡ ∠Γ. ἐὰν οὖν ἀπὸ δεδομένης τῆς ∠Γ δεδομένη ἡ ∠Β ἀφαιρεθῇ, καὶ ἡ
ὑπολειπομένη δέδοται.

Ad prop. LXXXVI.

182. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ∠ΓΒ p. 168, 23] τὸ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ ἐστίν, ὅταν ἀφαιρε- θέντος τοῦ δοθέντος τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον
ἔχει δεδομένον, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

183. Ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ p 170, 4] ἐὰν γὰρ τὴν Β∠ τῇ ΑΒ ἐπʼ εὐθείας ποιήσωμεν, δῆλον· ὡς γὰρ τὰ παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα, οὕτως καὶ αἱ βάσεις.

184. Ἐὰν γὰρ εὐθεῖα ὡς ἡ ΒΓ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ ∠, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθο- γωνίῳ, ὡς ἐν τῷ β΄ θεωρήματι τοῦ β΄ βιβλίου Εὐκλείδου.

185. Καὶ συνθέντι ἄρα p. 170, 18–19] ἐὰν γὰρ συν-
αμφοτέρου τῆς ΒΓ∠ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, συνθέντι συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΒΓ∠ μετὰ τῆς Β∠ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ἐστὶ δοθείς· συναμφότερος δὲ ἡ ΒΓ∠ μετὰ τῆς Β∠ δύο εἰσὶν αἱ ΓΒ.

¹⁷³¹⁷⁴

186. Ὡρ δὲ ἡ ΓΒ πρὸς Β∠ p. 170, 21] ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ἐπʼ εὐθείας τὴν ΓΒ τῇ ΒΑ καὶ ἴσην τὴν Β∠ τῇ ΒΕ, δῆλον, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠, τουτέστι τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ∠Ε·
ὡς γὰρ αἱ βάσεις, οὕτως τὰ παραλληλόγραμμα.

187. Καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ p. 170, 22] ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἑκατέρα τῶν ΓΒ, Β∠, καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν δεδο- μένην ἔχει γωνίαν· ὀρθογώνιον γάρ· δέδοται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠, ὡς ἐν τοῖς ὅροις. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς
Β∠ δοθέν· τετράγωνον γάρ· λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ ἐστι δοθεὶς διὰ τὸ α΄.

188. Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ p. 172, 3] ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς, τῆς Β∠ πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα
ἡ Β∠· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ. ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ δοθεῖσα.

Ad prop. LXXXVII.

189. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ δοθεῖσα p. 172, 16] διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ· ὑπόκειται γὰρ τὸ ΑΕΓ δεχόμενον
γωνίαν δοθεῖσαν κατὰ τὸν ὅρον.

Ad prop. LXXXIX.

190. Ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Β, ∠ p. 176, 1] δέδοται ἐξ ἀρχῆς τὸ Β, καὶ τὸ ∠ δὲ διὰ τὸ τὸν κύκλον δεδόσθαι τῇ θέσει.

¹⁷⁵¹⁷⁶

Ad prop. XC.

191. Καί ἐστιν ὀρθή p. 176, 18] διὰ τὸ ιη΄ τοῦ γ΄ βιβλίου τῶν στοιχείων.

192. Τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ∠Γ p. 176, 19] διὰ τὸ ἀνά- παλιν τοῦ ιϛ΄ θεωρήματος τοῦ γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου.

Ad prop. XCII.

193. Δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΑ, ΑΕ p. 180, 10–11] ταῦτα δέδεικται ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τῷ ἐπάνωθεν, ὅπου σημεῖον τόδε ??.1)

194. Καί ἐστιν ἴσον p. 180, 11] ὡς δέδεικται ἐν
τῷ γ΄ βιβλίῳ Εὐκλείδου ἐν τῷ λε΄ θεωρήματι.

Ad prop. XCIII.

195. Τῆς κάτω p. 180, 20] τουτέστι τῆς ὑπὸ τὴν ἀχθεῖσαν καὶ ἀπολαμβάνουσαν τὸ τμῆμα τὸ δεχόμενον τὴν δεδομένην γωνίαν.

196. Διὰ τὰ αὐτὰ δή p.182, 11] ἡ γὰρ ὑπὸ ΒΑ∠ ἡμίσεια οὖσα τῆς ὑπὸ ΒΑΓ δοθείσης δοθεῖσά ἐστιν.

197. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ p. 182, 14] διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ ς΄ βιβλίου τῶν στοιχείων.

¹⁷⁷¹⁷⁸¹⁷⁹¹⁸⁰

198. Καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑΓ p. 182,
–17] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν, ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.

199. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ p. 182, 19] ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας τῆς ΑΒ βεβήκασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ Β∠ΓΑ.

200. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ p. 182, 22–23] περὶ γὰρ τὰς ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν.

201. Πῶς ἐστιν, ὡς ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως συν- αμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ; ἐπεὶ τοῦ ΒΑΓ τριγώνου ἡ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται, ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, ὡς ἐν τῷ ς΄ τῶν στοιχείων. συνθέντι ὡς συναμφό-
τερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ, πρὸς τὴν ΒΓ.

202. Πῶς, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β; ἐδείχθη, ὅτι ἐστὶν ὡς
ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ¹⁸¹¹⁸²¹⁸³ ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Β· ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ γὰρ τὰ μεγέθη.

203. Πῶς ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΒΕ∠ τρίγωνον τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ; ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ ∠· ἀλλὰ καὶ κατὰ κορυφὴν αἱ ὑπὸ ΒΕ∠, ΓΕΑ καὶ
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΒΕ τῇ ὑπὸ ΕΑΓ ἴση διὰ τὸ καὶ τὸ ∠Γ τμῆμα ὑποτείνειν αὐτάς.1)

Ad prop. XCIV.

204. Πόθεν, ὅτι ἡ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἀγομένη ὡς ἐπὶ τὸ Ε πίπτει καὶ οὐκ ἐπὶ τὸ Η ἢ ἐνδοτέρω; καὶ
σαφέστερον εἰπεῖν· κέντρου ὄντος τοῦ Η καὶ τῇ ΒΗ διαμέτρῳ πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῆς ΝΗΞ, δεικτέον, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη οὔτε ἐπὶ τὸ Η πίπτει οὔτε ἐνδοτέρω τοῦ Η. ὅτι μὲν ἐκτὸς οὐ ¹⁸⁴¹⁸⁵¹⁸⁶¹⁸⁷ πεσεῖται τοῦ κύκλου, δῆλον· εἰ δὲ μή, ἐπʼ εὐθείας ἔσται τῇ Α∠· πιπτέτω δὲ ἐντὸς ὁπουδηποτοῦν τοῦ ἡμικυκλίου, ὡς ἐπὶ τὸ Κ· καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΗ
διήχθω ἐπὶ τὸ Θ ἢ ὁπου- δηποτοῦν. ἐπεζεύχθω δὲ καὶ ἡ ΑΘ· διάμετρός ἐστιν ἡ ΚΘ, ἡμικύκλιόν ἐστιν ἡ ΚΑΘ· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ
ΚΑΘ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΑΚ ὀρθή· ἴσαι ἄρα ἀλ- λήλαις, ἡ μείζων τῇ ἐλάσ- σονι· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγο- μένη τῇ Α∠ ἐπὶ τὰ ἐντὸς τοῦ κύκλου ὡς ἐπὶ τὰ
Κ, Α, Β πεσεῖται· ἐπʼ ἐκεῖνα ἄρα ὡς ἐπὶ τὸ Ε.

205. Ἡ ΘΑ διάμετρος p. 186, 4] πρὸς ὀρθὰς γὰρ ἦκται τῇ Α∠ ἡ ΑΕ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ Α∠· αἱ ἄρα ὑπὸ ∠ΑΕ, ΑΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὥστε καὶ ἡ πρὸς τῷ Ε ὀρθή ἐστιν· ἐν ἡμικυκλίῳ ἄρα ἐστίν·
διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ.

206. P. 186, 7] οὕτως γὰρ κεῖται· καὶ τὸ ∠ δοθὲν καὶ ὁ κύκλος τῇ θέσει δεδομένος.

¹⁸⁸¹⁸⁹¹⁹⁰¹⁹¹¹⁹²

207. Ἴση ἄρα, φησίν, ὡς ἡ ΖΗ τῃ Η∠, καὶ ἡ ΘΖ τῇ Α∠· ἰσογώνια γὰρ τὰ Α∠Η, ΗΘΖ τρίγωνα· παραλλήλων γὰρ οὐσῶν τῶν Α∠, ΕΘ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ Α∠Η, ΗΖΘ ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ διὰ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΑΘ, ΑΘΖ ἴσαι ἀλλή-
λαις· καὶ αἱ πρὸς τῷ Η κατὰ κορυφὴν οὖσαι ἴσαι εἰσίν· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΗΘ πρὸς ΗΑ, ἡ ΖΗ πρὸς Η∠. ἴση δὲ ἡ ΘΗ τῃ ΗΑ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῇ Η∠. ὁμοίως καὶ ἡ ΘΖ τῇ Α∠ ἴση ἐστίν.

208. Δοθὲν ἄρα ἐστί p. 186, 15] τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ
δοθέν ἐστι διὰ τὸ 𝔮β΄.

¹⁹³¹⁹⁴

Scholia in Euclidis Data. Scholia in Euclidem. ed. Heinrich Menge. United States. 2016.

Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.

Current edition First1KGreek

Scholia in Euclidis Data (Greek) (Scholia in Euclidis Data, Menge, Teubner, 1896)

Notes on the current edition

Scholia in Euclidis Data

1. σχόλια ρS. 1. PlVat. C1Mon.σρS. 2. Vat. vC1lρS, cum nr. 1 coniunctum PMon.S. ln hoc scholio ρ post μεγέθει add.: ὡς ἡ εὐθεῖα καθʼ ὑπόθεσιν πηχῶν τοσούτων, post εἴδει: ὅταν ἡ τὸ σχῆμα △ ἢ ⁗ ἢ ⊙, post λόγῳ: ὅταν ἡ διπλάσιον ἢ τριπλάσιον, post θέσει: ὅταν ἐν τῷ δεῖνι τόπῳ λέγῃς δεῖν τεθεῖσθαι τὸ σημεῖον ἢ τὴν εὐθεῖαν ἢ ἐν τόπῳ ἁπλῶς καὶ μὴ νοητῶς αὐτὴν θεωρῇς. 3. C1Mon.σρ, cum nr. 2 conounc- tum Vat.

2. 3. τά — μεγέθει (alt.)] om. ρ. 4. τετραχῶς λέγεται ρ.

3. 5. λόγῳ] θέσει ]. θέσει] λόγῳ l. τί] ὅτι S. 7. δεδο- μένον, ᾧ] δεδομένῳ Pl: ω mut. in οις l1: δεδομένα οἷς C1.

4. ἐστιν] om. Vat. vMon.S. 8. τε] om. Vat. vMon.S.

5. 4, 5. PlVat. vC1Mon. σρλc. 6. PlVat. vC1Mon. ρ. 7. Mon.σρ. 8. PlVat. vC1Mon. σρλ. 9. PlVat. vMon. ρ σλ.

6. 2. Post πέρατα add. ὡρισμένα v. τούτοις] τουτέστι ρ.

7. τούτοις — 4. αἰσθήσει] om. vρ. 3. εἴτε — εἴτε] ἤτοι — ἢ λ.

8. 5. ι΄] om. Mon. 7. καί] om. vρ. 15. τῷ] τὸ lλ. 16. Ante μεῖζον add. αὐτοῦ λοιποῦ σ.

9. 10. PlVat. vC1Mon. ρσ; initdio add.: εἰς τὸ αὐτὸ C1; pro τοῖς γάρ lin. 3 — δεδομένοις lin. 4 haec habet C1: δοθεὶς γὰρ ὁ β. ὁ οὖν ϛ ὁ τὴν ἀφαίρεσιν ὑπομείνας τῶν δύο αὐτῷ τῷ ἀφαιρεθέντι τῶν δ μείζων ἐστίν. 11. C2l1λ; initio huius scholii haec habet C2: Ƒ ζήτει τὸ σημεῖον τοῦτο εἰς τοὺς ὅρους τῶν δεδομένων. σχόλιον εἰς τὸν ὅρον τῶν δεδομένων η (ras. del.) θ (ἔνθα?) τὸ ῥηθὲν σημεῖον. Ƒ signum in textu C2 hab. ad def θ΄. 12. PlVat. vC1Mon. σρλ.

10. 4. δεδομένοις] -να Mon. 9. ὑπερέχει] ὑπερβάλλει l2λ. 12. ὑπερέχοντος ἀπὸ τοῦ] δοθέντος l2λ. 14. ὑπερέχοντος] τοῦ δοθέντος μείζονος l2λ. 16. μεῖζον — 18. ἐστίν] om. l2λ.

11. 13. PlVat. vC1Mon. σρλ. 14. PlVat. C1Mon. σρλ. 15. PlVat. vC1 Mon. σρλc; C1 post σημαίνει continuo hab. schol. nr. 10. 16. v (coniunct. cum nr. 15.) 17. v. 18. C2.

12. 19. Pl (ad finem libri post schol. nr. 23).

13. 2. τούτους] τούτου Pl, τοῦτά ρ. Ἀπολλώνιος Plvσλ. τοὺς τρεῖς ὅρους Ἀπολλωνίου C1. φησίν Plvσλ. εἶναί φησι Vat. Mon. ρ. εἶναι] om. vσ. τοὺς τρεῖς ὅρους] om. C1.

14. 8. λέγει] λέγῃ ρ. ἀπολελυμένως] -να Mon. 10. Post ση- μαίνει add. τὰ μεγέθη v. 12. οὐ] οὐκ v. 20. εἰ] om codd.

15. 20. PlVat. vC1Mon. (superscr. τοῦ δευτέρου) σρc. 21. vσ. 22. C2l2λ.

16. 1. ταῦτα] fort. αὐτά. 4. ἀντίστροφον] -ιον Pl. 5. αὐτό] τό l. ἀντίστροφον] -ιον Mon., item lin. 6. 6 ἄν] om. vr.

17. τό (alt.)] om. Mon. 8. τό] om. Vat. C1Mon., τῷ l. ψευδο- γραφοῦντες] -?? PlVat. v; -γραφ᾿ C1; γράφει Mon. 9. αὐτό] om. Mon. lacuna relicta 5 litt. 14. Γ] β σ. τοῦ (alt.)] τό σ. 19. λέγειν καὶ τὸ αὐτὸ C2.

18. 23. PlVat. ρc (ad finem libri post schol. nr. 101). 24. C2. 25. PlVat. vMon. σρc. 26. C2λ. 27. PIVat. vMon. σρS. 28. PIVat. Mon. σρλ.

19. 3. ἄρα] comp. bis Vat. 11. ἀντίστροφον τσρ. 13. τῶν, εἰς ἃ] αὐτῶν ἴσα Pl. 16. λοιπά] καταλειπόμενα λ. 18. ἑαυτοῦ] τὸ ἑαυτοῦ v. τόν] τό lρ. 20. τριπλάσιον Mon.S.

20. 29. PVat. σρS. 30. PVat. Mon 31. l2. 32. PlVat. Mon. ρ. 33. PlVat. vλ. 34. PlVat. ρ. 35. l2. 36. l2λ.

21. 4. πρός] ὁ πρός Vat. 21. ΑΓ] ΑΒ codd. ὡς] comp. l2. 22. ἄρα] fort. del. ὡς] πρός l2.

22. 37. PlVat. Mon. ρλc. 38. PlVat.vc. 39. PlVat. vρλc. 40. PlVat. vMon. λρ. 41, 42. l2λ.

23. 2. οἱ (alt.)] om. Vat. Mon ρc. ἀλλήλοις] -ων ρ. 8. πρῶτον] ᾱ lλ. τό (tert.)] om. codd. 12. ἐκ] γάρ Mon.

24. ἔχων] ἔχον Vat. Mon., ἔχειν ρ 13. ἤν] ἢ codd. προσ- τεθέντων codd. 14. ᾖ] ἤ codd.

25. 43. PlVat. Mon. λ. 44. PlMon.; coniunctum cum nr. 43 Vat. ρλ (corruptum). Fig. om. P. 45. PlVat. v Mon. Ambr. σρcS (Ambr. σ inde a τὸ δὴ δοθέν p 270, 2, cS inde ab ἀλλὰ δὴ συν- αμφότερον p. 270, 1). hoc schol. PlVat. c hab. ad finem libri.

26. 4. ἔστω] ὡς Plλ. τήν] fort. τῶν. 5. γδ ἐστιν] fort. γ μείζονα ἔστω. 6. ἀφαιρεθείς ρ. ἴσους] fort ἀπὸ. 7. τῶν (alt.)] τήν l. 8. γα] scr. λγ. 9. καί] om. λ. 10. τοῦτο — 11. τόδρ Ƒ] Pl, om. cett., σχόλιον vMon. ρ. 12. οἷον] ὅμοιον Pl. 13. μεῖζον] -ων P (in ras). 16. τὸ ∠Β] om. Mon. lac. 3 litt. relicta. 17. τῷ] τὸ Pl. 19. πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ] om. Mon. 20. λόγῳ] seq. spatium 4. lin. in P; nihil deest. hinc relquam partem scholii om. v Mon. ρ.

27. Fig. om. lAmbr.S.

28. 1. ἔστω] ἔσται cS. 3. ΑΒ] mut. in ΑΓ S. 4. οἷον η] ογ Ambr, ον σ (superscr.) m. 1). τοῦ δέ — 5. δ] τοῦ δὲ ΒΓ ξ, τοῦ δὲ ΑΒ ιμ καὶ ἀφέλω λοιποῦ τοῦ ΑΓ ἤτοι τοῦ ιγ τὸ δοθὲν τὸ AB ἤτοι τὰ ιμ Ambr. 4. αὐτοῦ] τοῦ αὐτοῦ codd. 5. δ] ις codd. τὸ λοιπόν] καὶ τὸ λοιπόν c. 6. δ (utrumque)] ξ Ambr.σ. 7. διά — ὁμοίως] om. Vat. σcS, item p. 271, 8.

29. 8. καὶ ὅτι] ὅτι καί Ambr. 9. ΑΓ] ΑΓ ἤτοι τοῦ ιγ Ambr τὸ (alt.)] om. Ambr. 11. δοθέντι μεῖζον] δοθέν P. 12. καί] om. Ambr. fort. del. αὐτοῦ] αὐτὸ P. τό( pr.)] τοῦ S.

30. 1. λόγον ἔχει δεδομένον] δοθέντα λόγον ἔχει Ambr. 2. δοθέντι] om. c. 4. τὸ β] τὸ Α∠, γ Ambr. 5. ιη] ιδ Ambr. (item lin. 6), η c. 6. τῶν] ἤτοι τῶν Ambr. ἀφέλωμεν Ambr. τά] ἤτοι τά Ambr, item lin. 7 utr. β] γ Ambr, γ σ.

31. 7. λόγον] ὅλον P. 9. ῖ] ιο Ambr. σ, item lin. 11, 13. 10. η] δ Ambr, δ σ; item lin. 11. 13. τὸ Α∠ δοθέν] δοθὲν τὸ Α∠ Ambr.σ. β] γ σ (β m. 1). η] δ σ, item lin. 14. 14. τόν] τό l. τὸν γὰρ ἴσον] τὸν τῆς ἰσότητος δηλαδή Ambr.

32. Post ἴσον lac. unius litt. (comp.) hab. Vat.S. 17. ιδ] ιξ Ambr, ιδξ σ; item lin. 19. 18. ἐάν] καί Ambr. τοῦ (tert.)] τόν l. τοῦ ιη] om. Vat. Ambr. σcS. 19. τά(pr.)] ἤτοι τά Ambr.S.

33. 20 η] δ σ.

34. 46. PlVat. vρc (ad finem libri PlVat.c, post schol. nr. 19 Pl.) 47. λ. 48. PlVat. v Mon ρλ. 49. Vat. Mon. Ambr. ρc.

35. 1. ὁμοίως] om. Vat. Ambr. σcS. 3. ὅ]σ, om. cett. τό (alt.)] om. c. 5. τοῦτο — 6. P] om. v. 5. τοῦτο τό] om. Vat.

36. 7. λέγει] om. v. 8. τό] om. v. τοῦ (alt.)] καὶ τοῦ v. 9. καί] ὡς ρ. 10. ∠Β] ΑΒ Vat. vc. 11. καί (pr.)] om. vρ.

37. ∠B] ∠Ε Vat. ρc. 17. ὑπάρχῃ] ὑπάρχει ρ. 18. τό (quint.)] om. lvλ. 19. λόγον ἔχει] τὸ λόγον ἔχειν Pρ. 20. ἴσον] ἔτι lλ. τῷ] fort. ἐν τῷ. τῷ ἴσῳ λόγῳ] τοὺς ἴσους λόγους ρ.

38. 21. τό] ὅτι τό c.

39. 50. PlVat. ρ. 51. PVat. ρ. 52. PlVat. vρλ. 53. l2. 54. PiVat. v Mon. ρλ.

40. 2. ὥστε] ἦ τε c. 5. ΒΓ] ΒΑ codd. 8. τό (utrumque)] τά Plλ. ΑΕ] ε PlVat. ρλ. 18. οὕτω PlVat. λ. 19. ὁ] om. Vat. Mon. 19. ὡς] om. Vat. 23. ἄρα καὶ ὁ] om. l lac relicta. 24. συντομιότερόν Mon. οὕτως] τό Mon.ρ.

41. 55. PlVat. vAmbr. ρc (PlVat.c ad finem libri post schol. nr. 45). 56. PlVat. ρc (ad finem libri post schol. nr. 46).

42. 1. πρός] ὡς l. 4. τοῦτο — 5. ⊙] om. Ambr. 4. τοῦτο τό] om. Vat. 5. ἐστι] om. Vat. θ] ?? Ambr. τῶν] τόν PL.

43. δ] ξ Ambr. 6. ἤ] om. PlVat., εἰσιν ἢ Ambr., ἦσαν ρ.

44. οὕτω] ὄντος ρ. λέγωμεν ρ. 8. 10. δεδομένον] Ambr., om cert. 11. δεδομένον — 13. ἔχει] om. Ambr. lac relicta et add. λείπει. 11. καί (pr.)] om. ρ. 13. ἔχειν PlVat ρc.

45. 16. ὁμοίως] — 18. δοθέντι] om. Vat. Ambr c. 16. τά] τὸ l.

46. τῶν] τόν Pl. 19. σχόλιον τοῦ ια θεωρήματος Vat., om. c.

47. 20. ια΄) ιβ΄ c.

48. Fig. om PL.

49. 57. v.

50. 2. ἀφέλω l. τὸ ΑΕ τὸ δοθὲν μέγεθος c. 7. τό (alt.)] om l. 8. οὕτως] om ρ. 9. τῇ] τά P, τό l. ΖΒ] Β c.

51. 10. ἡ (pr.)] om. l. 15 ἐτίν] ἔσται ρ. 19. σχόλιον] comp. v.

52. 58. PlVat. vMon. c. 59. PlVat. λ. 60. PVat.ρc. 16. PlVat. vMon. Ambr. ρλc. 62. PlVat. σρ. 63. PlVat. ρc.

53. 3. Α∠ — τό (pr.)] om. l. 13. τοῦ] τό l. θέντες] δο- θέντος Vat. Mon. c, ἀφελόντες Ambr. 16. προτάσει] πρώτῃ Mon. c. 20. σύγκειται] fort. κεῖται.

54. 64. l. 65. PlVat. ρ; praem. διὰ τὸ α΄ c. 66. v. 67. PlVat. vMon. σρ. 68. PlVat. vMon. Ambr. ρc. 69. PlVat. ρ.

55. 5. πρός] ὁ πρός l. 11. τό (alt.)] τοῦ lσ. ὡς] comp. Vat., πρός ρ. 14. ἀντιστρόφιόν] ἀ. ἐστι Ambr. πως] που ρ.

56. 19 καί] ὡς ρ. 20. ΗΒ] BΕ ρ.

57. 70. Plλ. 71. PlVat. vMon. ρc; inde a uerb. καὶ λοιποῦ λ. 72. l2vσλ. 73. l2λ. 74. v. 75. v.

58. 2. τοῦ] τῷ l. ιε΄] ιδ΄ λ. 5. ὅτι] om. PlVat. vc, ἐστί (comup.) ρ. 8. ὅπου — P] om. v. P] om. ρ. 10. ᾖ ὡς] om. l2λ. 14. μέν] suspectum 18. τό] τόν v.

59. 76. PlVat. vMon. Ambr. ρλ. 77. P. 78. PlVat. vMon. Ambr. ρλ.

60. 1. ἐστι] fort. ἔτι. 6 ὁ] om. Mon. Ambr. ὡς] ρ, sustulit lac. bombyc. Mon., om. cett. 7. ἐδείχθη] ἐ. γάρ Ambr. 16. διά — 18. δεδομένον] om. Vat. Mon. Ambr. 24. ὅτι] om. Mon, τό l.

61. 79. PVat.vMon Ambr 2ρ. 80. Vat. Mon. 81. PlVat ρ. 1. σχήματα λέγονται Ambr. λέγεται] om. Ambr. 3. ἀλλήλας] Mon., ἄλληλα ρ, ἀλλήλους cett. δεδομένοι εἰσίν Ambr. ρ. 4. ΑΒΓ∠] ΑΗΓ∠ P, ΑΒΓ ρ. τῇ — 5. τῇ] τήν — τήν Pl. 4. μέν] del m. 1 Mon. 5. τῇ δέ — ΒΓ] om. Mon. 6. ὀρθήν] τὴν ὀρθὴν γωνίαν l, πρὸς ⊥ ρ. 8. λόγοι] λοιποί ρ. 10. τοῦτο δέ PVat. Mon. Ambr. ρ. 12. Ante εἰ add. σχόλιον. Vat. Mon. Ambr. εἰ] ἐπεί Mon. 13. αὐτῷ] αὐτό ρ. 17. ἡ] καὶ ἡ v, καὶ τό ρ. 21. μόνον] μόνως lVat, μόνως ρ. δίδοται Vat.

62. 82. PlVat. ρλ. 83. PIVat. vMon. Ambr ρλc. 84. Pz. 85. PIVat. Mon. zρλS. 86. Plz. 87. Plσ.

63. 2. τά] δῆλον, ὅτι τά λ. μόνως λ. 6. ἔσται] ἔστι Vat. vρ, ἄρα Mon. Ambr. δεδομένη ἔσται Ambr. 7. ἔσται] ἔστι vMon. ρ, ἄρα Ambr. ἔσται δεδομένη Ambr. 13. δοθῇ] δειχθῇ ρ. 14. οὔπω] om. Mon. S lacuna relicta.

64. 88. Vat. Mon. 89. PlVat. vMon zσρλc. Fig. om. codd. 90 PlVa vMon. Ambr. zσρλ.

65. 4. κἄν τε οὖν] ἐάν v, κἀντεῦθεν l. 5. τε μὴ ὧσι] τεμνω- σιν P. 7. ἔσται] ἄρα Mon., om. z. 11. ΜΛ] ΜΝΛ. διὰ τὸ β΄ τοῦ ςʹ. z. ὡς] om. c. 14. οὗν] γάρ Ambr. 15. αἱ ΚΕ, ΕΖ] τῷ μεγέθει z. 16. καί] om. l. τῶν] Pl, ὁ τῶν cett.; item lin. 17. 17. ΚΕ] ΚΑ Mon. Ambr.ρ. 19. ἄρα ἀεί] ἀεὶ ἄρα Ambr. ἐπέχουσιν] ἔχουσιν Mon. Ambr. ρ.

66. 91. PlVat. v b Mon. Ambr. zσρλc. 92. z. 93. PlVat. vb (m. rec.) Mon. Ambr. zρ.

67. 3. οὖν — τῶν] γὰρ δεδομέναι εἰσὶν αἰ Ambr. τῶν] τήν l.

68. 4. ὁμοίως] Pl, ὁμοίως δέ cett. 5. λόγος δέδοται Ambr. καί — 6. λόγος] om. z. 6. τῶν] τῶν πρός Ambr. 7. δεδομένη] -ῳ b. 11. ΑΒΓ] om. z lac. relicta. 18. κέντρου ἔσται τοῦ κύκλου Ambr. κέντρον — 19. ἡμίσεια] καὶ τοῦ κύκλου ἡμί- σεια b. κέντρον] ἡ ἐκ τοῦ κέντρου z. 19. ἡ ἡμίσεια, τουτ- ἐστιν] τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνεται δίχα ἡ ∠Ε. ἡ δὲ ἡμίσεια ἔσται ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου. καὶ δέδοται Ambr. τουτ- ἑστιν — κέντρου] τῆς δεδομένης· καὶ γὰρ αὐτοῦ τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ ἡ διχοτομία· καί z.

69. 1) Hic in vz continuo add.: δέδοται τὸ κέντρον (καὶ τὸ κέντρον γὰρ αὐτοῦ δέδοται z) τῇ θέσει. εἰ γὰρ μή, μεταπιπτέτω (μεταπέσοι ἄν z)· διαφυλάττον (-οι z) τῆς ἡμισείας τῆς ∠Ε τῷ μεγέθει καὶ τὴν θέστν οὐ φυλάττει. δέδοται ἄρα (pro τῷ μεγέθει — ἄρα z: τὸ μέγεθος καὶ τῇ θέσει οὔ· μεταπίπτει δέ· οὐδὲ γὰρ φυλάξει).

70. 94. PMon. S. 95. z. 96. Plσλ.

71. 1. ὥστε] ὥστε δέδοται Ambr. 17. ∠Β] ΑB codd. 19. Β∠] ΒΑ λ.

72. 97. PlVat. cS. 98. Pzσ. 99. PlVat. vMon. Ambr. ρλc.

73. 100. Plσ. 101. PlVat. v Mon. Ambr. σρ. Lin. 18. πᾶν — p. 286, 4 ἴσων om. γάρ lin. 18 et τῷ εἴδει lin. 19, post ἴσων autem add. μεγεθῶν in PlVat. iterum, in c primum leg. ad finem libri post schol. nr. 55, ubi sequuntur haec: καὶ πάλιν, ἐὰν ὑπὸ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν χωρίον περιέχηται ὀρθογώνιον, δοθέν ἐστι τὸ χωρίον διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας αὐτοῦ δεδόσθαι· πᾶσαι γάρ εἰσιν ὀρθαί· καὶ τοὺς λόγους δὲ τῶν πλευρῶν διὰ τὸ α΄ θεώρημα.

74. 5. γάρ] om. z. τμηθῇ] hinc z haec habet: ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τοῦ (sic) βάσεως τμήματα ἀνάλογόν ἐστι ταῖς λοιπαῖς τῷ τριγώνῳ (sic) πλευραῖς.

75. 6. τοῦ (pr.)] om. codd. 9. τῆς] Pl., ὁ τῆς cett. 10. τήν] τὸ v. 13. καί (alt.)] comp. Vat., κείμενον ρ. 15. γ΄] β΄ L.

76. 18. Ante πᾶν add. σχόλιον. P. 19. καί] om. Ambr.

77. 102. 103. PlVat. Mon. S. 104. PlVat. vMon ρ. 105. Plv.

78. 1. Ante καί add. δεδόσθαι δέ Ambr. 2. δέ] om. Ambr.

79. 3. μόνων] μόνον Vat. (comp.) Ambr. ρ. ὁ λόγος vMon. ρ.

80. 13. γάρ] om. Vat. ρ. γάρ — 14. P] om. v. 14 τοῦ πρό] τῆς ⊓ (ὑποθέσεως?) l. 15. δεδομένον ἔχῃ Vat ρ. ἔχῃ) ἔχει Mon. ᾖ]ν Vat. ρ. 17. καί] πρός ρ. λόγον] om Mon.

81. 19. ἀλλά] ἀλλʼ lσ. 22. δευτέρας) ἴσης (comp.) P, β΄ σ.

82. 106. 107. Plvσ. 108. PlVat. v Mon. σρλc. 109. Pl Vat. vMon. σρ. (hab. fig. Theonis).

83. 3. ἔχῃ] ἔχει codd. 6. τιθέντων] fort. συντιθέντων. αὐτὸν λόγων] om. σ lac. relicta. ὁ] om. Pv. αὐτός] αὐτός ἐστιν lσ.

84. 9. ἐστι εὐθύγραμμα σ. 10. ἀλλήλαις] -οις Plv. ἔχει κατά] σχήματα Pv. 15. Ante ἐπεί add. σχόλιον. P. 16. ΕΒ, Β∠] ΕΑ, Α∠ codd. 17. ἄλληλα Vat. vc. 20. ΑΓΗΒ] ΑΗΒ Mon. 21. ὀρθάς] ὀρθήν Mon. 22. τούτων τῶν τεσσάρων] compp. P, τῆς τῶν δ Mon. σρ.

85. 110. 111. P. 112. PlVat. vMon. Ambr. σλ. 113. P.

86. 2. ὄντος] ὄντως l. ἔσται] ἐστί l, mut. m. 1 in ἔσται. ἐπί] ἐπεί codd. 5. ΑΘ] ΑΕ Mon. σρ. 14. ἐπεῖ — 15. ἴση] ἴση γάρ ἐστι ἡ ΑΕ τῇ Ε∠ Ambr. 15. δίχα γὰρ τέτμηται] om. Ambr. ΑΚ] Ambr., ∠Κ cett. 17. ΑΓ] ΚΓ Ambr.

87. 18. ΚΘ (alt.)] om. Ambr. 19. ἐστί] εἰσί Ambr.

88. 114. Plσ. 115. P. 116. Pl. 117. PlVat. vMon. Ambr κρλcS.

89. 6. τῷ αὐτῷ] τοῦ? 10. δέ — 11. ΑΗ] δεδομένα εἰσὶ τό τε ΑΒ καὶ τὸ ΑΗ Ambr. 10. δὲ ὅμοιον] τι δεόμενον S. 11. τῷ] τοῦ z, om cett. παραλληλογράμμου] παραλλήλου Mon.ρc.

90. 12. γνώμων] γνωμον l, γνώμονος Mon. καί — 14. παρα- πληρώμασιν] om. Vat. Mon. Ambr.ρc. 15. προστιθέμενος] καὶ τιθέμενος Mon. ρc, καὶ προστιθέμενος τῷ κύκλῳ Ambr. ποιεῖ ὅμοιον v. προσετίθη ρ. παραλληλογράμμῳ] -α Mon.c, -ον z, om. Ambr. 16. παραλληλογράμμου] z, παραλλήλου cett. 17. ὁμοίως] om. z. lac. relicta. κἄν] καὶ ἄν Pl. 19. γάρ] om. ρ.

91. ἐστι] εἰσι vAmbr. c. ς΄ βιβλίῳ] ες Vat., κζʹ τοῦ ϛ΄ Ambr., ς΄ Mon.z, ε΄ — ς΄ ρ, ιϛ΄ c. τῶν στοιχείων] τοῦ Εὐκλείδου v.

92. 118. P(bis) Vat σ. 119. Pl Vat. vMon. Ambr. zσρλ (in z textui post τὴν ΓΒ δοθείς p. 110, 23 interpositum). 120. Pl Vat. Mon. Ambr. σρλ. 121. Plσ.

93. 7. εἰς γάρ] ἐπεὶ γὰρ εἰς Ambr. ἐμπέπτωκεν] ἐμπέπτοκεν Vat. 9. ΖΓΒ] ΖΓΒ γωνία z. καί] om. z. 10. Post δέδοται add. διὰ τοῦ δ΄ (comp.) z. 12. ἡ (pr.)] τῇ Ambr.

94. τῇ] om. Mon, ἡ Ambr. ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΖΗ] τῇ δὲ ΖΗ ἡ ΓΒ Ambr. 13. καί — δέδοται] δέδοται ἄρα καὶ ὁ λόγος τῶν πλευρῶν Ambr., ὥστε καί — δέδοται cett. 15. παραλληλο- γράμμου] comp. Mon., εὐθυγράμμου σ. παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΑΖΓΒ] in fine scholii hab. Pl. 16. ΑΖΒΓ (utrumque)] ΑΖΓΒ Mon. σρ. 17. ἴσου] ἴσου ἄρα σ.

95. 122. PlVat. νσρλ. 123. P2. 124. PlVat. v Ambr. zσρλ (in z textui post πρός p. 118, 10 interpositum); fig. hab. Vat. zσρ.

96. 2. τά] om. σ. 4. προσχρήσται ρ. 5. πρὸς τὸ ΑΒΓ] om. codd. ἔχει] ἔχῃ Vat. 6. ΕΒ] Ε om. codd. 13. ἐστίν] δείκνυται Ambr. et m. 2 σ. τήν] om. vσρ. ∠Β] ΑΒ zρ.

97. 16. κείσθω] ἀφηρείσθω z. 17. ἡ δβ] sustulit resarcinatio bombyc. l. 20. σχῆμα] om. z. τό (alt.)] ἤτοι τό Ambr.

98. 21. ἐπεὶ οὖν] καὶ ἐπεί Ambr. z. ἡ] om. Pl. 22. δβ] τὴν δβ z. μὲν αζ τό] sustulit resarcinatio bombyc. I.

99. 125. Pl Vat. Mon. Ambr. σρλc; fig. ex P.

100. 1. τό (pr.)] om. λ. τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν] bis l, sed alte- rum del. m. 1. 2. δθ] αθ Vat. Ambr. 4. ἴση] sustulit resarcinatio bombyc. l. ἡ μέν] om. z. 5. ∠Β] τὴν ∠Β Ambr., τὸ ∠Β ρ. Α∠, ΒΓ] τῶν (comp.) Α∠, ΒΓ Ambr. 9. παράλληλος] ἡ παράλληλος PlVat. 10. διήχθω τῇ ∠Γ Ambr. 11. ΑΕ] ∠Ε Mon. ρ. 12. καὶ ἐπεί] Ambr., ἐπεὶ γάρ cett.; malim ἐπεὶ οὗν. 13. διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου Ambr. 14. ἐπί τε] ΓΕΖ∠ Vat., ἐπεί τε Mon. γάρ] om. Vat. Mon.c.

101. 15. εἰσι] ἐστι Ambr. 17. τό] τὸ μὲν ΒΕ Ambr. 18. τῇ (alt.)] τῆς Pλ. διὰ τοῦτο] sustulit resarc. bombyc. l, ὥστε Ambr. τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον Ambr. 19. τό] om. λ. ὥστε — p. 293, 4. στοιχείων] δι- πλασίονα· καὶ τὸ θὶς ἄρα ὑπὸ τῶν Α∠, BΓ πρὸς τὸ ΑBΓ τρί- γωνον λόγον ἔχει τετραπλασίονα, καὶ φανερόν, ὅτι καὶ δοθέντα Ambr. 19. καί] om. Vat. Mon. ρϲ.

102. 126. P. 127. Pl. 128. PlVat. Mon. σρλ. Fig. om. codd.

103. 2. ὅπερ ἐστί] καί λ. 3. δοθέντα] δεδομένον lλ, om. Mon. πρὸς τό] τὸ γάρ c. τετραπλασίονα] comp. codd. τὸ γάρ — 4. ἐστιν] non intellego. 3. τό (alt.)] σ, τόν cett. ∠Γ] sust. resarc. bombyc. l. 4. ὡς ἐν] tineis adesa Mon. 12. ὡς] om. Vat, ἴση ρ. 13. τῶν (pr.)] τό l. τῶν (alt.)] om. l.

104. 15. ἀπʼ αὐτῆς] ἀπὸ ταύτης Vat., ὑπὸ ταύτης Mon., ἀπὸ τῆς αὐτῆς ρ. 16. ∠Α] ∠Ζ Mon ρ. 17. ἡ (alt.)] om. P. 22. τό (tert.)] τῷ codd.

105. 129. Pl. 130. P Vat. v Mon. σρλ. Fig. dedi ex Vat.; om. Plv. 131. PVat. σρλ.

106. 1. τό] τῷ Vat. ρ, τά Mon. τῶν] om. ρ. τῇ ΒΓ] om. Mon. 2. τῇ] om. Vat. λόγος — ἑξῆς] haec codd. habent initio scholii nr. 130. 8 ΑΒ] Β∠ Vat. 12. ἔσται] comp. PVat., om. l. 16. θηε — 17. τῶν (pr.)] om. Vat. Mon. ρ.

107. 17. πρός (alt.)] καί Vat. ρ. θη, ηζ — 18. τῶν] om. Vat. Mon. ρ.

108. 19. ΑΒ] ΑΘ Vat. Mon. ρ.

109. 132. PlVat. Ambr. σρ. Fig. addidi.

110. 1. διπλασίων P. 8. ἡ (alt.)] καὶ ἡ ρ. Ε] πρὸς τῷ Ε Ambr. 10. ἡ] om. codd. 11. ΕΒΑ] ΒΕΑ Ambr, ΕΒ∠ cett 12. τρίγωνον τὸ ΕΒΑ] ΕΒΑ τρίγωνον Ambr.

111. 15. οὕτως] ουτο PVat. τὸ ὑπό (alt.)] τοῦ P. ΒΑ, ΑΓ] τῶν ΒΑ, ΑΓ Ambr. 17. ΑΒΓ τρίγωνον] ΑΒΓ∠ Ambr.

112. 18. ἐὰν γάρ] supra add. m. 2 σ. 19. Post ἀγάγωμεν habet τάς Ambr et in hoc τάς desinit adscr. λει. τῇ] om σ. 20. ΒΑ — ΒΑΓ] om. ρ. ΒΑ, ΑΓ] ∠ΒΓ σ. 21. ἐστί] om. σ.

113. 133. PlVat. vMon. σρλ.

114. 2. ἰσοσκελοῦς] -ἐς vρ. τριγώνου] comp. vρ. 4. τῷ] τό Pl. 7. Α] Ε Pl. 9. Β∠, ∠Γ] ΒΑΓ Vat., ΒΑ ΑΓ cett. 10. Α∠] ΑΒ ρ. 11. πρώτερον Vat. 12. Γ∠, ∠Β] Γ∠Β Vat. 15. ἀλλά] καί Vat. Mon ρ. 16. τό (pr.)] τῷ ρ.

115. ΑΒ] τῆς ΑΒ lvMon. ρ. τό (alt.) — 17. AB] om. ρ. 17. Γ∠Β] add. m. 1 Vat., ∠Β Mon. ἀπό (pr.) ] Mon., om. cett.

116. 21 Γ∠Β] ΓΕΒ Plv. 22. τῷ] τδ Pl. 23. Γ∠Β] ΓΕΒ Plv.

117. τῶν (tert.)] τῆς ρ.

118. Figuram dedi ex P.

119. 134. Pl. 135. P. 136. PlVat. vσρλ. 137. Plλ.

120. 1. ΑΕ∠] ΑΕ, Ε∠ Vat. Mon ρ, item lin. 2. Post ΑΕΒ Pl habent: καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΕΒ. ἴσον] om. Mon. 3. Γ∠Β] ΓΑΒ Pl. ἴσον ἐστί] om. Pl. 5. ἐστι] om. Vat. ρ. ΑΕ, ΕΒ] Α∠Β codd. 6. ἀπό] om. Pl. τό (alt.)] τοῖς PlVat. 7. ἀπό] om. codd. Α∠] Α∠Β Pl. 8. ἴσον] om. Mon. τῷ] τὸ P. 14. Ζ] ΖΑ codd. 19. ἐντὸς] αὐτός P.

121. 138. PlVat. vMon. σρλ. 139. Vat. Mon. σ (m. 2) S. 140. Vat. Mon. (ad prop. LXXIII). 141. PlVat. vMon. σρλ.

122. 1. Β∠Α] Η∠Α P. λοιπή] λόγος P, om. lλ. 3. ΑΚ∠] ΑΒ∠ P. 4. Ante καθόλου add. σχόλιον. Mon. 7. δοθή- σονται] om. Mon. σ 9. θεωρήμασιν] θεωρήματα codd. 10. Ante ἀντιστρόφιον 4 litt. dubias habet Mon. τε] om. Mon.

123. 11. ξθ΄] ἑξηκόστῳ ∠ Mon 12. καί] ὡς Vat v. τῇ] om. codd. 13. ἐστιν] om. Mon ΑΝ] ΑΒ Pl, ΑΒ m. 1 del. et supra scr. ΑΝ Vat. ∠Μ] ΑΝ Pl, ΑΝ m. 1 del. et supra scr ∠Μ Vat. 14. ∠ΒΓ] ΑΒΓ l. 15. ἡ] ημ Pl. 16. ΑΓΒ (pr.)] om. Pl. αἱ] ἠ ρ. 17. ΓΒΜ] ΓΒΝ P. ΜΒ postea mut. in ΓΒΜ m. 1 Vat., ΓΒΛ Mon. αἱ] δύο αἱ Vat. Mon. 18 ΑΓΒ] ΑΓΝ l. ΒΓΝ] om. l.

124. 142. PlVat. vMon. σρλS. 143. PlVat. vσS; ante ἴση hab. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΒ δοθεῖσα lvσS; u. uerba Euclidis.

125. 144. PVat. vMon. σS. 145. Plvλ.

126. 1. πρός (pr.)] καί Mon. ρ. καί (pr.)] πρός ρ. πρός (alt.)] καί ρ. αὐτῇ] τῷ αὐτῇ ρ. 2. ὡς — στοιχείων] om. Mon.

127. 4. κεῖται] om. Mon. τό — τῷ] τῷ — τό Vat. Mon. ρ. ΑΒ] Α∠ Vat., sed ∠ m. 1 mut. in B. 5. τῇ (pr.)] om. Pl. τῷ (utrumque)] τὸ Pl. Ζ — Ν] Η ἐστιν ἴση ἡ τῷ Ζ Mon.

128. Post Ν add. ἐστιν ἴση m. 1 Vat. et sic ρ. 6. ἡ (pr.)] om. Mon. ἡ (alt.)] ἡ ἄλλη Mon. πρός (pr.)] ἐν ρ. τῷ (utrumque) τό l. τῷ (alt.)] om. Vat., τῷ ὑπό Mon. 7. ἴση] ἐστιν ἴση Vat. v Mon., ὡς ρ. καί] δὴ καί v. λοιπαί] ἄλλαι Vat., ἄλλαι ΑΓΒ Mon. 9. ἡ — δοθεῖσα] τῇ — δοθείσῃ vσS.

129. 10.τετραγώνων] παραλληλογράμμων? 11. ἔσται] comp. P, ἄρα Mon. τά] om. Vat. Mon.σ.

130. 146. PlMon. S; textui post αὐτάς p. 136, 9 interpos. b: διὰ τὸ ἐκ κοινοῦ λόγον ἔχουσι δεδομένον. 147. Plv. 148. PVat. zρc. 15. ἡ ΑΓ — 16. δεδομένον bis z, ἡ ΑΓ — δεδο- μένον post δεδομένον p. 140, 8 textui interpos. Mon. 17. ὡς — 18. ΓΚ ibidem textui interpos. b. ὡς — ΓΚ om. c. 149. PV at. v Mon. σρ.

131. 11. γάρ] γωνίαι ἴσαι Pv. 12. ΚΘ] ΒΘ P. 15. λόγου] λόγ ?? λόγου P. 18. ἣν ἡ] τήν b. τουτέστι — ΓΚ] om. z.

132. 20. δείξωμεν P. 21. τῷ] τό P. ὡς] καί punctis del. et mg. ὡς ρ. ΖΗ] ΖΒ Vat. v Mon. ρ.

133. 150. PIVat. Mon. ρλ. 151. PIVat. v Mon. σρλ.

134. 1. ἡ (pr.)] οὕτως ἡ Mon ρ. 3. ∠] Α codd. 4. πρός (pr.)] om. codd. 8. πρός (alt.) ὡς ρ. 9. αὐτῇ] αὐτῷ Pρ, αυ Vat., αὐτοῦ Mon. ἔχει] ἕξει Vat. Mon. σ. 10. ἐπεί] om. l. ΓΚ] τὴν ΓΚ ρ. 12 ἅ] om. Pl. λόγον ἔχει ρ. 13. ∠] Ε∠ Mon.

135. 18. ΕΖ] ΑΖ ρ. ΑΓ] ΑΒ R, ΓΒ Vat. Mon. σρ. 19. ἔσπαι] ἄρα Mon., δῆλον ρ. 20. δοθέντα] δεδομένον l. ἁρμόζει ρ.

136. 21. κατασκευή] om. ρ lacuna relicta. καί] ὡς ρ.

137. 152. PIVat. v Mon. σρ. 153. PIV at. v Mon. σρλ. 154. Vat. Mon. 155. Vat. Mon. S; coniunct. cum nr. 154 et om. τὸ οδ΄ θεώρημα ρ. 156. PlVat. 157. PIVat. v Mon σρλ (σχόλιον εἰς τὸ οδ΄ θεώρημα ρ).

138. 2. τῶν] τὸ Pl. 4. ὡς] ἴσην ρ. 5. ΑΓ] Vat. Mon ρ.

139. ΛΓ] ΑΓ codd. 6. ογ΄] θβ Vat. Mon. 12. νῦν — 13. οδ΄] προδειχθὲν ἐνταῦθα Vat. 14. ὅτι] τό lλ. 16. δείξω- μεν Pl. παραβεβλήσθω] περι- ρ. 17. παρά] περί ρ. 19. ΛΓ] ΛΝ ρ. 20. ΒΞ] ΕΞ Vat. Mon., ΕΖ ρ. 21. ΕΗ] ΘΗ Pv.

140. 158. P. 159. Plv; textui post πρὸς τὸ ΒΗ δοθείς p. 148, 18 interpos. λ (in mg. οἶμαι τοῦτο σχόλιον εἶναι· εἰς τὸ μέτωπον γὰρ ἔκειτο).

141. 4. διδόσθαι PIv. τό (alt.)] om. Pl Vat. Mon. ρ. 6. τό] τῆς Mon. 7. ὡς] καί ρ. ΓΝ — 8. πρός (alt.)] om. lρλ.

142. 7. ΓΝ] ΓΜ v. 9. ΛΓ] lλ. τουτέστι] ἔστιν Mon. lacuna relicta. τήν] corr. ex ἥν ρ. Ante ΑΓ hab. ἡ ΛΓ del. m. 1 ρ. 10. ὡς] καί ρ. 11. ΖΗ] Η om. Mon.

143. 160. PI Vat. v σρλ. 161. PI Vat. v Mon. σρ. 162. PI Vat. v σρλ.

144. 3. Ante καί add. σχόλιον. Vat. ρ. 5. ἔχει] ἔχῃ ρ. 6. ἡ ΒΓ] om. Vat. σ, ἡ ΘΓ v. 11. βιβλίου] om. ρ. Εὐκλείδου] om. Vat., τῶν στοιχείων Mon. σρ. 12. ΕΘ] ΕΓ Vat. σρ. 14. δοθείς] ἐστὶ δοθείς Vat. v ρ; item lin. 16 (utr.), 17, 19. τῇ] τῆς lλ. 15. γάρ] om. λ. 17. ὑπόκειται — δοθείς] om. lλ.

145. 20. γάρ] om. ρ. 22. τό] τῷ Plλ.

146. 163. Vat. Mon. ρ cS. 164. Pl Vat. v σρλ; fig. om. Plvλ. 165. PI Vat. v σρλ. 166. PVat. v Mon. σρ c.

147. 2. τούτου] τοῦτο S. ἀληθέστατον] ἀληθεύσεται Mon., ἀληθεύεται ρ. 6. καί] ὡς ρ. 13. ΒΜ] ΒΑ lλ, ΒΗ ρ.

148. 14. ΒΜ] ΒΗ ρ. 16. ΗΘ] ΘΗ v ρ, ΘΜ σ. 17. τάς] om. ρ. 19. ὑποτείνουσι] ὑποτείνει codd. ἡ – 20. ΛΜ] fal- sum. 20. ἴση] τῇ ἔσῃ v σ.

149. 167. PI Vat. v σρλ; in δέδοται lin. 12 des. Vat. σρ. 168. PI Vat. σρλ.

150. 1. ἡ (pr.)] om. Mon. ΘΗ] ΘΝ Mon. c, item lin. 2 utr.

151. 3. αὐτό] αὐτῷ Mon. Post αὐτό in ρ τόπον punctis del. ἀλλήλοις] -ων ρ. 4. ἴση] ἴση ἐστίν ρ. 6. ἐπεί] ἐπεὶ γάρ Vat. σ. τριγώνου τοῦ ΑΒ∠] τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου Vat. σ.

152. 7. ΑΒ∠] Α∠ lλ. 9. μιᾷ ὀρθῇ] μιᾶς ὀρθῆς codd. 11. μιᾷ] ἄνα Plv. ἴσαι οὖσαι Vat. ρ. 12. λοιπὴ ἄρα ἡ] λο⌜ ἡ l.

153. 17. ΖΓ] ΖΗ ρ. 21. ἐάν — p. 307, 3. τριγώνου] τὸ ∠Γ παραλληλόγραμμον (comp.) Vat. σρ.

154. 169 PI Vat. v σρλ. 170. Plλ. 171. PI Vat. v σρλ.

155. 2. ἔσται] ἀπὸ lλ. 4. ὁμοίως] οὕτως ρ. 6. τά — 7. Β∠] om. Vat. σρ. 6 τοῦ — ἴσα] τῷ αὐτῷ ἴσα καί λ.
τό (alt.)] om. lλ. 11. δέ] ἄρα δέ ρ. 16. τήν — δοθεῖσαν] τό — δοθέν Plλ. 17. τῶν] τήν l, τοῦ σρ. παραλλήλους] -ον v. ἀγάγωμεν] ἄγωμεν σ. ὁμοίως] ὁμοῦ ρ. 18. ἔσται] comp. PVat., α l. 19. ὀρθογώνιον] ὀρθὴν (comp.) γωνίαν ρ.

156. τό] τοῦ ρ. ἴσας] ἴσας γωνίας ρ. γωνίας] om. ρ. ἑκάστην τῇ] ἑκάστης Plv, ἑκάστης τήν Vat., ἑ. τῆς σ, ἑκατέρας τὴν τῆς ρ.

157. 20. δοθείσεται Vat. ρ, corr. ει in η. 21. τουτέστιν — 22. ΕΑ] om. v. 22. ΕΑ] ΕΗ Vat. (supra scr. m. 1 alio atra- mento Α) ρ. ἴση γάρ] ἰσογώνια comp. Pl.

158. 172. PI Vat. v σρ. 173. PI Vat. v Mon. σρ. 174. PVat.

159. 175. PI Vat. σ cS (PIVat.c ad finem libri post schol. nr. 56); inde a u. λέξει τις p. 309, 2 Ambr.

160. 1. ἡ] om. PI. ΖΗ] ΗΖ Vat., ΚΖ ρ. ἀγομένη] ἀγά- γωμεν Pl, -ο- ἡ Vat. 2. τῆς περιφερείας] om. v. 4. ἐπεί – 6. Κ] corrupta. 15. ΖΘΒ] om. codd. 19. ἐξωχιῇ] sic codd. 20. ἔνστασιν c. ??] om. PS. 21. ἐν τῷ π΄ θεω- ρήματι] om. Vat. σcS. 23. ἡ] om. Pl. ΕΑ] Ε∠ PIVat, sed mut. postea im ΕΓ∠ Vat, ΕΑ∠ cS.

161. 2. παράλληλος] ἴσος c. λέξει τις ἴσως ἐνταῦθα Ambr."4. ΖΘΗ] ΖΑΗ codd. ὑπερπεσεῖται ὡς ἡ ΚΓ PI Vat. σcS."5. ἡ ΚΙ] ΚΙΜ Plc, ἡ ΚΙΝ Vat. σ, ἡ ΚΗ S. 7. καί — 10. ΛΗ] om. S. 8. τῇ ΖΗ] om. Ambr. 9. ΛΘΙ] Λ Ambr., ΛΘ c. 12. πρὸς ΛΖ] supra add. m. 1 Vat. ΕΒ – 13. ΖΗ] ΒΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΛΖ Ambr. 14. πρός] καί cS. διʼ ἴσου — 15. ΛΙ] om. S. 15. ἡ (pr.)] om. c.

162. ΕΑ] Α c. 16. τῶν (pr)] τήν l. τῶν (alt.)] om. Vat. cS, τήν l. ὅμοιον] ὁμοίως S.

163. 176. Plλ; idem schol. rursus habent ad u. p. 160, 21 ἀλλὰ τῷ μέν κτλ. 177. PI Vat. v σρ. Figuram dedi ex Vat.

164. 2. Post ἄρα add. ἐστίν Ambr. γωνίᾳ] om. Ambr. 3. ΗΙΛ — 6. ΖΙΗ] ΖΙΗ ἐστιν ἴση, ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΖΘΗ PI.

165. 4. ἴση ἐστίν Ambr. ἔστι — 5. ἴση] Ambr., om. cett. 5. οὕτως — 6. ΖΘΗ(alt.)] om. Ambr. 6. ἐν] supra scr. m.1 Vat.

166. 7. ΖΘΗ] ΖΟΗ PVat., corr. m. 1 Vat., ΖΑΗ I, ζη θ S.

167. ἄρα] om. S. ΖΙΗ] ΖΗΙ c. ἐστιν ἴση] ἴση ἐστίν, ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι Ambr. 8. ἐστίν] om. Ambr. ἡ] om. l.

168. 9. ΖΘΗ] ΖΗΘ Ambr. S. 16. καί – 17. Ε] om. v.

169. 178. P2.

170. 2. τῶν] om. l Vat. σ. ΓΕ] Γ∠ I Vat. σ 3. ΕΓ, ΓΒ] ΕΓΒ ρ, ∠ΕΒ cett. 4. ∠ (pr.)] E l. 5 τῶν (utrumque)] τῆς P ρ.

171. 179. 180. Pv.

172. 24. ποιῇ] ποιεῖ codd.

173. 181. PI Vat. v σρλ. 182. PIvλ. 183. P. 184. 185. Plvλ.

174. 2. ὑπόκειται γάρ lλ. 3. ΑΒ] Α∠ Pl. 4. δέδοται] δέδεικται Vat. ρ. 16. ἔτυχε λ. 21. ΒΓ∠] Β∠ codd. Β∠] Α ∠ λ.

175. 186. PIvλ. 187. Pv. 188. PIvλ. 189. PIλ. 190. Pl.

176. 2. εὐθείας] λ, εὐθεῖαν cett. ΒΑ] ΒΑ Pλ. 3. δῆλον] διὰ τοῦτο λ. 11. Β∠] Β∠Ε codd. 15. ἑκάστη ἄρα] scripsi, ἑκάστην codd. 23. τό (tert.)] om. codd.

177. 1) Idem signum inuenitur ad schol. app. nr. 41.

178. 191. P. 192. P Vat. 193. P. 194. Plλ. 195. PI Vat. v σλ. 196. Plλ. 197. PIvλ.

179. 5. βιβλίου Εὐκλείδου] τῶν στοιχείων Vat. 11. τῷ] om. lλ.

180. 13. Ante τουτέστι add. σχόλιον. (comp.) l. 14. καί] om. Vat. σ. 19. τῶν] om. Pv. στοιχείων] Εὐκλείδου v.

181. 198. P Vat v σ. 199. PlVat. σ. 200. PVat. v ρ. 201. v σ, coniunct. cum nr. 200 PVat. ρ. 202. Pl Vat. v σρ.

182. 3. οὕτως — 4. ἑπόμενα] om. Vat. v σ. 6. ἐπί] ἐκ λ. βεβή- κασι] βεβληκασιν PVat. 9. εἰσιν] ἔχει v. 14. ὡς — στοι- χείων] om. Vat. σρ. 17. ΒΓ] ΓΕ codd. 18. ὡς] om. codd.

183. 19. Ante ἐδείχθη hab. ὡς δέ Vat., καὶ δέ ρ.

184. 1) Boc schol. sic habet Ambr.: Πῶς ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΕΓ τρίγωνον (comp.) τῷ ∠ΕΒ τριγώνῳ (comp.); ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ Β∠Ε· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασι τῆς ΑΒ πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσαι· ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕ∠ τῇ ὑπὸ ΑΕΓ ἐστιν ἴση· κατὰ κορυφὴν γάρ εἰσιν ἀλλήλαις· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒ∠ τῇ ἐπὶ (scr. ὑπὸ) ΕΑΓ ἐστιν ἴση.

185. 203. Pl Vat. v σρλc. 204. PI Vat. v Ambr. σρλc.
γάρ] comp. P, γίνονται Vat., γάρ εἰσι l(compp.)λ. 3. ἰσογώνιον] -ια Plλ. 4. ΑΕΓ] ΕΑΓ v. ἐστίν] δέ v, γάρ ρ. ἡ] om. Pl. 6. ∠ΒΕ] ΑΒΕ codd. τῇ] τῆς c.

186. καὶ τό] om. c. 9. ὀρθὰς γωνίας Ambr. αὐτῇ] τῇ Α ∠ ἀπὸ τοῦ Α Ambr. ὡς] om. Ambr. 10. ἐπί (pr.)] om. λ.

187. τὸ Ε] bis λ. οὐκ] οὐ ρ. Η] Ν Ambr., Κ lλ. καὶ σαφέστερον] σαφέστερον οὖν Ambr. 11. εἰπεῖν] ἐστιν ρ. ὅτι κέντρου Ambr. ΒΗ] ΒΗΓ Ambr., ΕΗ c. 12. διαμέτρου PI Vat. v σρλ. ὀρθάς] ἴσας c, item l. 13. τῆς] in hoc de- sinit adscr. λείπει Ambr. 13. τῇ Α∠] om. Vat. σρc.

188. Fig. ego addidi.

189. 205. PI Vat. v σS. 206. P.

190. 3. Κ] Η c. 5. ὁπωσδηποτοῦν v. 7. ΑΘ] ΑΗ c, ΑΘΕ cett. διάμετρος] comp. P, καί ρ. ἐστιν] comp. P Vat. ρ, δέ c. 8. ΚΘ] om. Vat. ρ. ἡμικύκλιόν ἐστιν ἡ] om. at. ρ c.

191. 9. ὀρθή] comp. Pl Vat. ρ, ἴση c. 11. ἴσαι] ἴσαις c. 12. μείζων] μεῖζον c. 13. ἐστίν] comp. P, om. σρc. 15. ἐκεῖνο ρ.

192. τό] τά codd. Ε] ΕΖ ρ. 18. ∠ΑΕ] Α∠Ε Vat. σS. 19. τῷ] τό S. ἄρα ἐστίν] om. Vat. S.

193. 207. P Vat. v σρ. 208. P.

194. 4. διά] διὰ ὑπό P.

Search the Perseus Catalog for:

Search the Perseus Catalog for:

SCHOLIA.

Ad definitiones.

Ad def 5.

Ad def 6.

Ad def. 8.

Ad def 9.

Ad def 10.

Ad deff. 9—10.

Ad def. 11.

Ad def. 12.

Ad deff. 13—15.

Ad def 13.

Ad prop. I.

Ad prop. II.

Ad prop. III.

Ad prop. IV.

Ad prop. V.

Ad prop. VI.

Ad prop. VII.

Ad prop. VII.

Ad prop. IX.

Ad prop. XI.

Ad prop. XII.

Ad prop. XII.

Ad prop. XIV.

Ad prop. XVI.

Ad prop. XX.

Ad prop. XXII.

Ad prop. XXIV.

Ad prop. XXV.

Ad prop. XXVI.

Ad prop. XXVIII.

Ad prop XXX.

Ad prop. XXXI.

Ad prop. XXXIII.

Ad prop. XXXVII.

Ad prop. XXXIX.

Ad prop. XI.

Ad prop. XLIII.

Ad prop. XLIV.

Ad prop. XLV.

Ad prop. XLVI.

Ad prop. L.

Ad prop. LII.

Ad prop. LIII.

Ad prop. LIV.

Ad prop. LVII.

Ad prop. LVIII.

Ad prop. LIX.

Ad prop. LX.

Ad prop. LXI.

Ad prop. LXIII.

Ad prop. LXIV.

Ad prop. LXV.

Ad prop. LXVI.

Ad prop. LXVII.

Ad prop. LXVIII.

Ad prop. LXIX.

Ad prop. LXX.

Ad prop. LXXII.

Ad prop. LXXIII.

Ad prop. LXXIV.

Ad prop. LXXVI.

Ad. prop. LXXVII.

Ad prop. LXXVIII.

Ad prop. LXXIX.

Ad prop. LXXX.

Ad prop. LXXXI.

Ad prop. LXXXIII.

Ad prop. LXXXIV.

Ad prop. LXXXV.

Ad prop. LXXXVI.

Ad prop. LXXXVII.

Ad prop. LXXXIX.

Ad prop. XC.

Ad prop. XCII.

Ad prop. XCIII.

Ad prop. XCIV.