APPENDIX SCHΟLIΟRUM.
Ad prop. XXX demonstr. quart.
1. Δοθεῖσα ἄρα ἐστίν p. 196, 8] ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΒΓ εὐθειῶν δέδοται τῇ θέσει, δέδοται ἡ ὑπὸ ΑΕ∠ γωνία τῷ μεγέθει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις· δύ- ναμαι γὰρ αὐτῇ ἴσην πορίσασθαι.
Ad prop. XXXIII demonstr. alt.
2. P. 198, 1] ὅτι τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν. ~ αἳ γὰρ περιέχουσαί εἰσιν εὐθεῖαι, τῇ θέσει δεδομέναι εἰσίν.
3. Τῶν γὰρ αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν αἱ ΒΗ, Η∠.
4. Τουτέστι τῇ ΗΒ p. 198, 6] αἱ γὰρ ΗΒ, Η∠ ἴσαι εἰσίν· ἐκ τοῦ κέντρου γάρ εἰσι τοῦ κύκλου· ἐξ ἀρχῆς δὲ ἐτέθη ἴση τῇ ΕΖ ἡ Η∠.
5. Ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΘΗ p. 198, 7] ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν εὐθεῖα γραμμὴ
ἀνάλογον τέμῃ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΘ· ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΒΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΗΘ.
ἀνάλογον τέμῃ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΘ· ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΒΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΗΘ.
6. Δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ ΘΗΖ p. 198, 8–9] ἡ γὰρ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΒΗ∠ δοθεῖσά ἐστιν, ὡς ἐδείχθη ἀνωτέρω.
Ad prop. XXXIV demonstr. alt.
7. Ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ p. 200, 3] διὰ τὸ δ΄ τοῦ ϛ΄· ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ ΚΖΕ, ΕΘΗ τρίγωνα, ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι.
Ad prop. XLV demonstr. alt.
8. Καί ἐστι δοθεῖσα p. 200, 12] ἐπεὶ γὰρ ἡ πρὸς
τῷ Α γωνία δεδομένη ἐστίν, ἴση δὲ ἡ πρὸς τῷ Α ταῖς ∠, γωνίαις, ἡ ἐκτὸς δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναν- τίον ἴση ἐστίν, ἴσαι δέ εἰσι καὶ αἱ ∠, Γ γωνίαι, ὥστε δεδομέναι εἰσὶν αἱ ∠, ∠ γωνίαι.
τῷ Α γωνία δεδομένη ἐστίν, ἴση δὲ ἡ πρὸς τῷ Α ταῖς ∠, γωνίαις, ἡ ἐκτὸς δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναν- τίον ἴση ἐστίν, ἴσαι δέ εἰσι καὶ αἱ ∠, Γ γωνίαι, ὥστε δεδομέναι εἰσὶν αἱ ∠, ∠ γωνίαι.
9. Ἡμίσεια γάρ ἐστι p. 2Ο0, 12] ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ
ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ Α∠Γ, ∠ΓΑ ἴσαις οὔσαις ἀλλήλαις, ἡ ὑπὸ Α∠Γ ἄρα ἡμίσειά ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ Α∠Γ, ∠ΓΑ ἴσαις οὔσαις ἀλλήλαις, ἡ ὑπὸ Α∠Γ ἄρα ἡμίσειά ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
Ad prop. XLVI demonstr. alt.
Ad prop. LIV demonstr. alt.
11. Ἐκκείσθω δοθεῖσα p. 202, 12] τῷ μεγέθει· οὕτω
γὰρ ἀεὶ λαμβάνει ἀοριστῶς λέγων.
γὰρ ἀεὶ λαμβάνει ἀοριστῶς λέγων.
12. Ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β p. 202, 21] ἐμά- θομεν γάρ, ὅτι, ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται.
13. Καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραί p. 204, 8] ἐπεὶ λόγος τῆς Γ∠ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ τὸ Α ὅμοιον τῷ Β, τῶν δὲ ὁμοίων σχημάτων αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, πρὸς ἃς αὗται ἀνάλογόν εἰσιν, κἀκεῖναι δεδομέναι ἔσονται.
Ad prop. LV demonstr. alt.
14. Δέδοται ἄρα τῷ εἴδει p. 204, 19] ἐμάθομεν γὰρ ἐν τοῖς ὅροις, ὅτι εὐθύγραμμα σχήματα τῷ εἴδει δε- δόσθαι λέγεται, ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσί κτλ.
15. Διὰ τὰ αὐτὰ δή p. 204, 24] ὡς ἐν τῷ σχολίῳ
τοῦ νβ΄ ἀπὸ γὰρ ἑκάστης ἀναγράφοντες τετράγωνον ὁμοίως δείξομεν.
τοῦ νβ΄ ἀπὸ γὰρ ἑκάστης ἀναγράφοντες τετράγωνον ὁμοίως δείξομεν.
Ad prop. LXVII demonstr. alt.
16. Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓ∠ p. 206, 13] σχόλιον. ἐκ τῶν λαμβανομένων τῇ Γ∠ τῇ αὐτῇ ἀποδείξει τῇ ἐπὶ τοῦ ξδ΄ χρησόμεθα.
ἐκθέμενοι εὐθέως τὴν αβ καὶ τῇ μὲν ΕΓ ἴσην τὴν αγ, τῇ δὲ ΑΖ τὴν γβ καὶ πρὸς ὀρ- θὰς ἀπὸ τοῦ γ τὴν γδ
ἴσην οὖσαν τῇ Γ∠ καὶ τὰ ἑξῆς ὡς ἐν τῷ ξδ΄ θεωρήματι.
ἐκθέμενοι εὐθέως τὴν αβ καὶ τῇ μὲν ΕΓ ἴσην τὴν αγ, τῇ δὲ ΑΖ τὴν γβ καὶ πρὸς ὀρ- θὰς ἀπὸ τοῦ γ τὴν γδ
ἴσην οὖσαν τῇ Γ∠ καὶ τὰ ἑξῆς ὡς ἐν τῷ ξδ΄ θεωρήματι.
17. Σχόλιον. ὡς γὰρ ἡ ΕΓ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠.
18. Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ πρὸς τὸ ΑΓ∠
τρίγωνον p. 206, 15] διπλάσιον γάρ, φησίν, ἔστιν αὐτοῦ. πῶς; ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ηθ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Γ∠ ἴση ἡ ηθ, τῇ δὲ ΑΖ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ηκ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ κθ παρ-
αλληλόγραμμον, καὶ ἔστω διαγώνιος ἡ θκ ἀντὶ τῆς Α∠· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν θη, ηκ ἐστι τὸ κθ, καί ἐστι δι᾿ αὐτοῦ ἡ θκ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τοῦ κηθ τριγώνου· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ηθ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παρ- 8 9 10 αλλήλοις ταῖς ηθ, κλ· καί ἐστι τὸ μὲν θκ παραλληλό- γραμμον ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠, τὸ δὲ κηθ ἴσον τῷ ΑΓ∠ τριγώνῳ· διπλάσιον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου.
τρίγωνον p. 206, 15] διπλάσιον γάρ, φησίν, ἔστιν αὐτοῦ. πῶς; ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ηθ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Γ∠ ἴση ἡ ηθ, τῇ δὲ ΑΖ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ ηκ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ κθ παρ-
αλληλόγραμμον, καὶ ἔστω διαγώνιος ἡ θκ ἀντὶ τῆς Α∠· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν θη, ηκ ἐστι τὸ κθ, καί ἐστι δι᾿ αὐτοῦ ἡ θκ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τοῦ κηθ τριγώνου· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ηθ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παρ- 8 9 10 αλλήλοις ταῖς ηθ, κλ· καί ἐστι τὸ μὲν θκ παραλληλό- γραμμον ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠, τὸ δὲ κηθ ἴσον τῷ ΑΓ∠ τριγώνῳ· διπλάσιον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου.
19. Πῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου
διπλάσιόν ἐστιν; δείξομεν οὕτως. ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΗ καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΑΖ παράλληλος ἡ ΗΘ. δύο ἄρα παραλληλόγραμμά
ἐστι τὰ ΑΘ, Α∠ (ὑπό- κειται γὰρ καὶ ἡ ΑΓ τῇ Β∠ παράλληλος) ἐπὶ τῆς ΑΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς
παραλλήλοις ταῖς ΑΗ, Ζ∠· ἴσον ἄρα τὸ ΑΘ παραλληλό- γραμμον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΑΗ ἐστι τὸ ΑΘ, ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ Γ∠, καὶ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ ἐστι τὸ ΑΘ διπλάσιον δὲ τὸ ΑΘ τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου, ἐπεὶ καὶ τὸ Α∠· τὸ
ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου.
διπλάσιόν ἐστιν; δείξομεν οὕτως. ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΗ καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΑΖ παράλληλος ἡ ΗΘ. δύο ἄρα παραλληλόγραμμά
ἐστι τὰ ΑΘ, Α∠ (ὑπό- κειται γὰρ καὶ ἡ ΑΓ τῇ Β∠ παράλληλος) ἐπὶ τῆς ΑΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς
παραλλήλοις ταῖς ΑΗ, Ζ∠· ἴσον ἄρα τὸ ΑΘ παραλληλό- γραμμον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΑΗ ἐστι τὸ ΑΘ, ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ Γ∠, καὶ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ ἐστι τὸ ΑΘ διπλάσιον δὲ τὸ ΑΘ τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου, ἐπεὶ καὶ τὸ Α∠· τὸ
ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου.
Ad prop. LXVII demonstr. tert.
20. Καί ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 7] διὰ γὰρ τὸ ξς΄ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε καὶ τὸ δίς.
21. Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 11–12] ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐδείχθη τῷ ιγ΄ θεωρήματι.
22. Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 14] ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐδείχθη ἐν τῷ δ΄ θεωρήματι.
23. Τουτέστι τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ∠
p. 208, 17–18] ἐὰν γὰρ λάβωμεν τὴν βα μίαν εὐθεῖαν ὡς ἄτμητον, τὴν δὲ δαγ μίαν μὲν καὶ αὐτήν, τετμη- μένην δὲ κατὰ τὸ α, γίνεται τὸ ὑπό τε τῆς ἀτμήτου
τῆς βα καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων τῶν δα, αγ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς δαγ καὶ τῆς αβ διὰ τὸ α΄ τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν στοιχείων· ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν βα, αδ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν βα, αγ ἴσον
ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς γαδ καὶ τῆς αβ.
p. 208, 17–18] ἐὰν γὰρ λάβωμεν τὴν βα μίαν εὐθεῖαν ὡς ἄτμητον, τὴν δὲ δαγ μίαν μὲν καὶ αὐτήν, τετμη- μένην δὲ κατὰ τὸ α, γίνεται τὸ ὑπό τε τῆς ἀτμήτου
τῆς βα καὶ ἑκάστου τῶν τμημάτων τῶν δα, αγ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς δαγ καὶ τῆς αβ διὰ τὸ α΄ τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν στοιχείων· ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν βα, αδ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν βα, αγ ἴσον
ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς γαδ καὶ τῆς αβ.
24. Καὶ τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ∠ΑΓ p. 208, 26] ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ἐπʼ εὐθείας τὴν ∠Α τῇ Α∠ ὡς τὴν ∠ΑΓ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ∠Γ πρὸς ὀρθὴν ἀναστήσωμεν τὴν Α∠, δηλαδὴ ἴσης μενούσης τῆς μὲν
13
14
∠Α τῇ ∠Α, τῆς δὲ ΑΓ τῇ ΑΓ, τῆς δὲ ΒΑ τῇ ΒΑ, ἔσται σαφὲς τὸ λεγόμενον· ὡς γὰρ αἱ βάσεις, οὕτω καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα.
25. Καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠ΑΓ p. 210, 2] ἔστω εὐθεῖα ἡ δε, καὶ κείσθω τῇ μὲν ∠Α ἴση
ἡ δα, τῇ δὲ ΑΓ ἡ αγ, καὶ ἀπὸ τοῦ α τῇ δγ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ αβ, καὶ κείσθω ἡ αβ τῇ ΑΒ ἴση. ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς δαγ πρὸς γα λόγος ἐστὶ δοθείς, ὡς δὲ ἡ δαγ πρὸς
γα, οὕτως τὸ ὑπὸ δαγ, αβ πρὸς τὸ ὑπὸ γα, αβ, καὶ τοῦ ὑπὸ δαγ, αβ πρὸς τὸ ὑπὸ γα, αβ ἄρα λόγος ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν γα, αβ πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ξς΄ θεώ-
ρημα· καὶ τὸ ὑπὸ δαγ, αβ ἄρα πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄ θεώρημα.
ἡ δα, τῇ δὲ ΑΓ ἡ αγ, καὶ ἀπὸ τοῦ α τῇ δγ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ αβ, καὶ κείσθω ἡ αβ τῇ ΑΒ ἴση. ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς δαγ πρὸς γα λόγος ἐστὶ δοθείς, ὡς δὲ ἡ δαγ πρὸς
γα, οὕτως τὸ ὑπὸ δαγ, αβ πρὸς τὸ ὑπὸ γα, αβ, καὶ τοῦ ὑπὸ δαγ, αβ πρὸς τὸ ὑπὸ γα, αβ ἄρα λόγος ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν γα, αβ πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ξς΄ θεώ-
ρημα· καὶ τὸ ὑπὸ δαγ, αβ ἄρα πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄ θεώρημα.
26. Καὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΓΖ p. 210, 21–22] ἐὰν γὰρ συμπληρώσωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βα, αγ παραλληλό- γραμμον ὡς τὸ αη, καὶ
διὰ τοῦ ζ παράλληλον ἀγάγωμεν τῇ αβ, ἔπειτα ἀφέλωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βαζ, καταλείπεται, τὸ ζη παρ- αλληλόγραμμον, ὅ ἐστιν
ὑπὸ τῶν βα, ζγ· τῇ γὰρ βα ἴση ἐστὶν ἡ ζκ.
διὰ τοῦ ζ παράλληλον ἀγάγωμεν τῇ αβ, ἔπειτα ἀφέλωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βαζ, καταλείπεται, τὸ ζη παρ- αλληλόγραμμον, ὅ ἐστιν
ὑπὸ τῶν βα, ζγ· τῇ γὰρ βα ἴση ἐστὶν ἡ ζκ.
27. Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἀφέλω- μεν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΖ, τὸ καταλειπόμενόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΖΓ.
28. Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΑΒ p. 212, 6]
εἰ γὰρ τὴν ΖΓ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΕΓ νοήσωμεν καὶ κοινὸν ὕψος τὴν ΒΑ, ἔσται τὸ λεγόμενον δῆλον· ὡς γὰρ ἡ ΕΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΕΑ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΒΑ, πρὸς τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν
ΖΓ, ΑΒ.
εἰ γὰρ τὴν ΖΓ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΕΓ νοήσωμεν καὶ κοινὸν ὕψος τὴν ΒΑ, ἔσται τὸ λεγόμενον δῆλον· ὡς γὰρ ἡ ΕΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΕΑ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΒΑ, πρὸς τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν
ΖΓ, ΑΒ.
29. Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΕ πρὸς τὸ ΑΒΓ p. 212, 7–8] διὰ τὸ τὴν ΓΕ κάθετον εἶναι ἐπὶ τὴν ΒΑ ἐκβαλλομένην καὶ γίνεσθαι διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΕΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
30. Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΕΒ παράλληλον ἀγάγω- μεν καὶ διὰ τῶν Α, Β τῇ ΕΓ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ἔσται δῆλον. τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓ, ΑΒ ἐστι τὸ ΑΒ, καὶ τὸ ΑΒ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, καὶ διὰ τοῦτο λόγον ἔχει πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δεδομένον.
31. Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΕΒ παράλληλον ἀγάγω- μεν καὶ διὰ τῶν Α, Β τῇ ΕΓ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ἔσται δῆλον· ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἴση ἐστὶ τῇ ΕΓ, ὡς ἔχει ἄνω τὸ σχόλιον.
Ad prop. LXVII demonstr. quart.
32. Πῶς μὲν τὴν ὑπὸ ∠ΕΓ δύναμαι συστήσασθαι ἴσην τῇ ὑπὸ Α∠Γ χωρὶς τῶν Ἀπολλωνίου; οὕτως. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ τῇ ὑπὸ Α∠Γ, μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ τῆς ὑπὸ Α∠Γ. κείσθω οὖν ἴση τῇ ὑπὸ ΒΓ∠ ἡ ὑπὸ Β∠Ε, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ. ἔστι δὲ κοινὴ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τοῦ τε ∠ΒΓ τρι- γώνου καὶ τοῦ ∠ΒΕ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Β∠Γ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ∠ΕΓ ἐστιν ἴση.
33. Πῶς δὲ δυνατὸν καθόλου ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου ὡς τοῦ α ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ὡς τὴν βγ καταγαγεῖν εὐθεῖαν ἴσην ποιοῦσαν γωνίαν τῇ δο- θείσῃ τῇ ὑπὸ δεζ; δείξομεν οὕτως. ἡ γὰρ ὑπὸ δεζ ἢ ὀρθή ἐστιν ἢ ὀξεῖα ἢ ἀμβλεῖα. εἰ μὲν οὖν ὀρθή, φανερόν· ἄγω γὰρ ἀπὸ τοῦ α κάθετον τὴν αη· καὶ
ἔσται ἴση ἡ ε τῇ η. ἀλλὰ δὴ ἔστω ὀξεῖα ἡ ὑπὸ δεζ. καὶ ἤχθω κάθετος ἀπὸ μὲν τοῦ δ ἐπὶ τὴν εζ ἡ δθ, ἀπὸ δὲ τοῦ α ἐπὶ τὴν βγ ἡ αη, καὶ συνεστάτω πρὸς 21 22 τῇ αη εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ α τῇ ὑπὸ εδθ ἴση ἡ ὑπὸ ηακ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δεζ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ακη. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ δεζ. ἐκ- βληθείσης ἄρα τῆς ζε ὀξεῖα ἔσται ἡ ὑπὸ δελ. κάθετος
οὖν ἤχθω ἡ δλ, καὶ τῇ ὑπὸ λδε ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ ηακ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δελ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ακη, ὥστε καὶ ἡ ἐφεξῆς ἡ ὑπὸ δεζ τῇ ἐφεξῆς τῇ ὑπὸ ακγ ἴση ἐστίν.
Τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΒ p. 214, 6–7] ἐὰν γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης
καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προ- ειρημένου τετραγώνῳ.
ἔσται ἴση ἡ ε τῇ η. ἀλλὰ δὴ ἔστω ὀξεῖα ἡ ὑπὸ δεζ. καὶ ἤχθω κάθετος ἀπὸ μὲν τοῦ δ ἐπὶ τὴν εζ ἡ δθ, ἀπὸ δὲ τοῦ α ἐπὶ τὴν βγ ἡ αη, καὶ συνεστάτω πρὸς 21 22 τῇ αη εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ α τῇ ὑπὸ εδθ ἴση ἡ ὑπὸ ηακ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δεζ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ακη. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ δεζ. ἐκ- βληθείσης ἄρα τῆς ζε ὀξεῖα ἔσται ἡ ὑπὸ δελ. κάθετος
οὖν ἤχθω ἡ δλ, καὶ τῇ ὑπὸ λδε ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ ηακ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δελ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ακη, ὥστε καὶ ἡ ἐφεξῆς ἡ ὑπὸ δεζ τῇ ἐφεξῆς τῇ ὑπὸ ακγ ἴση ἐστίν.
Τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΒ p. 214, 6–7] ἐὰν γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης
καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προ- ειρημένου τετραγώνῳ.
35. Ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Β∠ p. 214, 7–8] ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον, τὸ ὑπὸ πρώτης καὶ τρίτης ἴσον
ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς δευτέρας.
ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς δευτέρας.
Ad prop. LXVIII demonstr. alt.
36. Πῶς δυνατὸν ποιῆσαι, ὡς τὸ Α παραλληλόγραμ- μον πρὸς τὸ Β παραλληλόγραμμον, οὕτως τὴν Κ πρὸς Λ; εἰλήφθω τῶν Γ∠, ΕΖ τρίτη ἀνάλογον. ἔστιν ἄρα ὡς
ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀνα- γραφόμενον, καὶ λοιπὸν ὡς ἐπὶ εὐθειῶν γεγονέτω, ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως ἡ Κ πρὸς Λ.
ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀνα- γραφόμενον, καὶ λοιπὸν ὡς ἐπὶ εὐθειῶν γεγονέτω, ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως ἡ Κ πρὸς Λ.
37. Τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β p. 218, 3] ὡς δέδεικται ἐν τῷ ς΄ βιβλίῳ τοῦ Εὐκλείδου ἐν τῷ κγ΄ θεωρήματι.
38. Ἀλλὰ μὲν καὶ ἡ Κ p. 218, 6] ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ληφθῇ τις μία εὐθεῖα, ἡ μία τῶν πρότε- ρον πρὸς τὴν ἑτέραν λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρώτη πρὸς τὴν ἔξωθεν, ὡς ἔτυχεν, ληφθεῖσαν καὶ ὃν ἡ ληφθεῖσα πρὸς τὴν ἑτέραν.
39. Ὁ ἄρα συγκείμενος p. 218, 8] κεῖται δὲ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως ἡ Κ πρὸς Λ· ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸς Λ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν, τοῦ ὃν
ἔχει ἡ Γ∠ πρὸς ΕΖ καὶ ἡ ΘΓ πρὸς ΕΗ.
ἔχει ἡ Γ∠ πρὸς ΕΖ καὶ ἡ ΘΓ πρὸς ΕΗ.
Ad λῆμμα τοῦ ἐπάνω p. 224.
40. Πῶς δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἀμβλείας ὑποκειμένης τῆς Β γωνίας ἢ ὀξείας; τὸ λημμάτιον ἐν τῷ τέλει εὑρήσεις, ὅπου σημεῖον τόδε α??.
Ad prop. XCI demonstr. alt.
41. Δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α∠Ζ p. 226, 9] ἐπεὶ γὰρ δεδομέναι εἰσὶν αἱ ΑΖ, Ζ∠, καὶ ὅλη ἡ Α∠ δέδοται διὰ τὸ γ΄ ὥστε ἑκατέρα τῶν Α∠, ΑΖ δέδοται. καὶ δῆλον, ὅτι τὸ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον δέδοται, ὡς
ἐν τοῖς ὅροις· ὅ τε γὰρ λόγος τῆς Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ δέδοται, ἐπειδήπερ ἑκατέρα τῶν Α∠, ∠Ζ δέδοται διὰ τὸ α΄, καὶ αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσίν· ὀρθαὶ γάρ.
ἐν τοῖς ὅροις· ὅ τε γὰρ λόγος τῆς Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ δέδοται, ἐπειδήπερ ἑκατέρα τῶν Α∠, ∠Ζ δέδοται διὰ τὸ α΄, καὶ αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσίν· ὀρθαὶ γάρ.
42. P. 226, 10] ἐὰν γὰρ διάμετρον ἀγάγωμεν, τὰ λοιπὰ δῆλα, ὡς ἐν τῷ γ΄ τῶν στοιχείων ἐν τῷ λδ΄ θεωρήματι· ὅλαι γὰρ αἱ τέμνουσαι εὐθεῖαι τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων ἴσον ἔχουσι τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης.
43. Ἑκάτερον γὰρ αὐτῶν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τοῦ κύκλου.
Ad prop. XCIII demonstr. alt.
44. Πῶς ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἑκατέρας τῶν ὑπὸ ΑΓ∠, ΓΒΕ ἐστι διπλῆ; ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι δίχα
τέμνει τὴν ὑπὸ ΑΓΒ. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΓΕΒ ἐκτός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ· αἱ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ τῆς ὑπὸ ΕΒΓ διπλαῖ εἰσιν· ἴσαι γὰρ ἀλλήλαις εἰσίν, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΕΓ πλευρᾷ τῇ ΒΓ ἴση· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΓΒΕ.
ἔστι δὲ καὶ τῆς ὑπὸ ΑΓ∠ διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ τῇ ὑπὸ ΓΒΕ.
τέμνει τὴν ὑπὸ ΑΓΒ. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΓΕΒ ἐκτός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ· αἱ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ τῆς ὑπὸ ΕΒΓ διπλαῖ εἰσιν· ἴσαι γὰρ ἀλλήλαις εἰσίν, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΕΓ πλευρᾷ τῇ ΒΓ ἴση· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΓΒΕ.
ἔστι δὲ καὶ τῆς ὑπὸ ΑΓ∠ διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ τῇ ὑπὸ ΓΒΕ.
45. Τουτέστι τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒ∠ p. 226, 19] τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνει αὐτὰς τὸ Α∠.
47. Τῆς γὰρ ὑπὸ ΖΓΒ γωνίας ἴσης οὔσης τῇ ὑπὸ ΓΒΕ συνάγεται ὅλη ἡ ὑπὸ ΖΒΕ ἴση δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΖΒΓ, ΖΓΒ, τουτέστι τῇ ὑπὸ ∠ΖΒ.
48. Ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓΒ p.228, 4] πάλιν δ μεγέθη γίνεται ἀνάλογον, τὰ ΑΓΒ, ΑΒ, Β∠, ∠Ζ.
Ad prop. XCIII demonstr. tert.
49. Καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ p. 230, 3] ἐπεὶ γὰρ ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον, αἱ ἄρα ἀπ-
εναντίον αἱ ὑπὸ ΑΒ∠, ∠ΓΑ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ αἰ ὑπὸ ∠ΓΑ, ∠ΓΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. κοινῆς ἀφαιρουμένης τῆς ∠ΓΑ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ ἐστιν ἴση.
εναντίον αἱ ὑπὸ ΑΒ∠, ∠ΓΑ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ καὶ αἰ ὑπὸ ∠ΓΑ, ∠ΓΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. κοινῆς ἀφαιρουμένης τῆς ∠ΓΑ ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ ἐστιν ἴση.
50. Καὶ ὁμοίως τῷ πρότερον δείξομεν p. 230, 18]
ἐπειδὴ γάρ, ὡς εἴρηται ἐν τῇ κατασκευῇ τοῦ qγ΄ θεω- ρήματος, τῆς Α γωνίας δίχα τμηθείσης καὶ τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τὸν αὐτὸν ἐχόντων λόγον ταῖς πλευ- ραῖς συνήγετο, ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα
τὰ ἑπόμενα, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως συν- αμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ· ἀλλʼ ἐπεὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΓΕ∠ τριγώνῳ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ 31 32 πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ∠Ε· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ∠Ε. τὸ ἄρα ὑπὸ πρώτης καὶ τετάρτης, τουτέστι τὸ ὑπὸ συν- αμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς Ε∠ ἴσον τῷ ὑπὸ δευτέρας
καὶ τρίτης, τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Γ∠· δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Γ∠· δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα τῶν ΒΓ, Γ∠ διὰ τὸ πη΄· ἡ μὲν γὰρ Β∠ ἀπολαμβάνει τμῆμα τὸ ΒΑΓ∠ ἔχον δεδομένην γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑ∠, ἡ δὲ Γ∠ τὸ τμῆμα ἔχον δοθεῖσαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ∠ΑΓ· δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς Ε∠.
ἐπειδὴ γάρ, ὡς εἴρηται ἐν τῇ κατασκευῇ τοῦ qγ΄ θεω- ρήματος, τῆς Α γωνίας δίχα τμηθείσης καὶ τῶν τῆς βάσεως τμημάτων τὸν αὐτὸν ἐχόντων λόγον ταῖς πλευ- ραῖς συνήγετο, ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα
τὰ ἑπόμενα, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως συν- αμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ· ἀλλʼ ἐπεὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΓΕ∠ τριγώνῳ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ 31 32 πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ∠Ε· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ∠Ε. τὸ ἄρα ὑπὸ πρώτης καὶ τετάρτης, τουτέστι τὸ ὑπὸ συν- αμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς Ε∠ ἴσον τῷ ὑπὸ δευτέρας
καὶ τρίτης, τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Γ∠· δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Γ∠· δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα τῶν ΒΓ, Γ∠ διὰ τὸ πη΄· ἡ μὲν γὰρ Β∠ ἀπολαμβάνει τμῆμα τὸ ΒΑΓ∠ ἔχον δεδομένην γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑ∠, ἡ δὲ Γ∠ τὸ τμῆμα ἔχον δοθεῖσαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ∠ΑΓ· δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς Ε∠.
Scholia in Euclidis Data. Scholia in Euclidem. ed. Heinrich Menge. United States. 2016.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.