Τὴν ῥοπήν, γενναιότατε Πέτρε, κοινὸν εἶναι γένος βαρύτητος καὶ κουφότητος Ἀριστοτέλης τε λέγει καὶ
Πτολεμαῖος τούτῳ ἀκολουθῶν· ὁ δέ γε παρὰ Πλάτωνι Τίμαιος πᾶσαν ῥοπὴν ἀπὸ βαρύτητος λέχει γίνεσθαι· τὴν γὰρ κουφότητα στέρησιν νομίζει. Ὧν ἔξεστι τὰς δόξας τοῖς φιλομαθέσιν ἀναλέγεσθαι ἔκ τε τοῦ Περὶ ῥοπῶν βιβλίου τῷ Πτολεμαίῳ συγγεγραμμένου καὶ ἐκ
τῶν Ἀριστοτέλους φυσικῶν πραγματειῶν καὶ ἐκ τοῦ Πλάτωνος Τιμαίου καὶ τῶν ταῦτα ὑπομνηματισάντων. Ὁ δὲ Ἀρχιμήδης ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ κέντρον ῥοπῆς ἐπιπέδου σχήματος νομίζει, ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενον παράλληλον μένει τῷ ὁρίζοντι, δύο δὲ ἢ πλειόνων ἐπιπέδων κέντρον
ῥοπῆς ἤτοι βάρους, ἀφʼ οὗ ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς παράλληλός ἐστι τῷ ὁρίζοντι.

Οἷον ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν τῷ μέσῳ αὐτοῦ σημεῖόν τι τὸ △, ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενον παράλληλον μένει τῷ ὁρίζοντι· δῆλον οὖν ὅτι ἰσορροπήσει τὰ Α Β, Γ μέρη ἑαυτοῖς, καὶ οὐδέτερον τοῦ ἑτέρου μᾶλλον ῥέψει
ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα. Ὁμοίως δὲ καὶ ζυγοῦ ὄντος τοῦ ΑΒ καὶ ἀπηρτημένων ἐξ αὐτοῦ τῶν Α, Β μεγεθῶν, ἐὰν ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς ἀπὸ τοῦ Γ ἰσορροποῦντα ἔχῃ τὰ Α, Β μέρη, παράλληλος μένει τῷ ὁρίζοντι, καὶ ἔσται κέντρον τῆς ἀρτήσεως τῶν Α, Β μεγεθῶν τὸ Γ.

Καλῶς δὲ δοκεῖ ὁ Γεμῖνος εἰπεῖν περὶ τοῦ Ἀρχιμήδους ὅτι τὰ ἀξιώματα αἰτήματα λέγει· τὰ γὰρ ἴσα βάρη ἀπὸ ἴσων μηκῶν ἰσορροπεῖν ἀξίωμά ἐστι καὶ τὰ ἑξῆς, καὶ ἔστιν πάντα σαφῆ τοῖς μετρίως αὐτὰ ἐπισκεπτομένοις.

Τῶν δὲ ἴσων καὶ ὁμοίων, φησίν, ἐπιπέδων σχημάτων ἐφαρμοζομένων ἐπ᾿ ἄλληλα καὶ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐφαρμόζει ἐπ᾿ ἄλληλα πάντα γὰρ τὰ μέρη αὐτῶν πᾶσιν ἐφαρμόζει.

Τῶν δὲ ἀνίσων, ὁμοίων δέ, τὰ κέντρα τῶν βαρέων
ὁμοίως ἔσται κείμενα.

Νοείσθω δέ, ὡς ἐπὶ τῆς ὑποκειμένης καταγραφῆς, τὰ ΑΒΓ, △ΕΖ τρίγωνα ἄνισα καὶ ὅμοια, κέντρον δὲ βάρους τοῦ μὲν ΑΒΓ τὸ Η, τοῦ δὲ △ΕΖ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΗΓ, ΒΗ, △Θ, ΘΕ, ΘΖ. Λέγω ὅτι εἰς ἴσα διαιροῦσιν
τὰς γωνίας αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ σημείων ἐπιζευχθεῖσαι.

Γινέσθω γὰρ ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ καὶ ἡ ΖΘ πρὸς ΘΛ καὶ ἡ △Θ πρὸς ΘΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΚ, ΚΛ, ΛΜ· ἔσται δὴ ὅμοιον τὸ ΚΛΜ τρίγωνον τῷ △ΕΖ τριγώνῳ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ, ἡ
ΘΖ πρὸς ΘΛ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΚΛ· ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΜΚ τῇ △Ε καὶ ἡ ΛΜ τῇ △Ζ· ὅμοιον ἄρα τὸ △ΕΖ τρίγωνον τῷ ΚΛΜ τριγώνῳ. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Ε πρὸς ΜΚ, ἡ ΕΖ πρὸς ΚΛ καὶ ἡ △Ζ πρὸς ΜΛ. Ὑπόκειται δὲ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ, △ΕΖ τριγώνων ὡς ἡ △Ε πρὸς
ΑΒ, ἡ ΕΖ πρὸς ΒΓ καὶ ἡ △Ζ πρὸς ΑΓ· ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΒΓ ταῖς ΜΚΛ· ὥστε ἐφαρμόζει ἑκάστη ἐπὶ ἑκάστην.

Ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΚΜΛ τργώνῳ· ὥστε καὶ ἐφαρμόσει τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τοῦ ΜΚΛ. Τοῦ δὲ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐφαρμόζοντος καὶ τῶν
Α, Β, Γ ἐπὶ τὰ Μ, Κ, Λ ἐφαρμόσουσιν καὶ αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ ἐπὶ τὰς ΜΘ, ΚΘ, ΛΘ καὶ ἴσας ποιήσουσιν γωνίας πρὸς τοῖς Μ, Κ, Λ ταῖς ἐν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ἐν τῷ △ΕΖ· αἱ αὐταὶ γάρ εἰσιν εὐθεῖαι αἱ ἀπο τοῦ Θ ἐπί τε τὰ Μ, Κ, Λ καὶ ἐπὶ τὰ △, Ε, Ζ ἐπιζευγνύμεναι.
Παντὸς σχήματος, οὗ κα ἁ περίμετρος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλα ᾖ, τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐντὸς εἶναι δεῖ τοῦ σχήματος | Τίνας καλεῖ τὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας γραμμὰς εἴρηται ἡμῖν σαφῶς ἐν τοῖς προοιμίοις τοῦ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου. Ἐπειδὴ δὲ τὸ σχῆμα τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ
κοίλην ἔχον τὴν περίμετρον πάντα τὰ μέρη τοῦ ἐπιπέδου ἐντὸς ἔχει καὶ τὰς γωνίας, δῆλον ὅτι καὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐντὸς ἔχει τοῦ σχήματος· ἐπὶ γάρ τινων σχημάτων τὸ κέντρον τοῦ σχήματος ἐκτός ἐστι καὶ ἐπὶ τῆε περιμέτρου. Ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου
κέντρον τοῦ σχήματός ἐστι τὸ Η, ἐπὶ δὲ τῆς △ΕΖ ὑπερβολῆς τὸ κέντρον τοῦ σχήματος ἐκτὸς ἐστιν, καθ᾿ ὃ αἱ διάμετροι συμπίπτουσιν ἀλλήλαις, ὡς ἔχει τὸ Θ· εἴρηται γὰρ ταῦτα ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν. Ὅμως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ σχήματος καὶ ἐπὶ τοῦ △ΕΖ
τὸ κέντρον τοῦ βάρους, ἀφ᾿ οὗ δηλονότι ἀρτώμενον τὸ σχῆμα παράλληλόν ἐστι τῷ ὁρίζοντι, ἐντός ἐστι τῆς περιμέτρου· εἰ γὰρ ἔσται ἐπὶ τῆς περιμέτρου ἢ ἐκτός, ῥέψει ἐπὶ θάτερα· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.

Ἔστω κέντρον τοῦ βάρους τὸ △, εἰ δυνατόν | Ὅτι γάρ ἐστιν ἐπὶ τῆς ΑΒ δέδεικται· εἴρηται γὰρ ἀνωτέρω ὅτι δύο μεγεθῶν κέντρον ἐστίν, ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς ἰσορροποῦντα ἔχει τὰ μέρη παράλληλος μένων τῷ ὁρίζοντι· ὥστε οὖν ἐπὶ τῆς ΑΒ ἐστὶ τὸ κέντρον τῶν
Α, Β μεγεθῶν.

Ἤτοι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ὥστε ἰσορροπεῖν ἢ οὔ | Τούτου τοῦ ῥητοῦ δεῖ ἀκούειν οὐχ ὡς μείζονος ὑπάρχοντος πάντως τοῦ ΑΒ μεγέθους τοῦ Γ, ἀλλὰ
μείζονος ὑποκειμένου ἢ κατὰ τὴν ἰσορροπίαν· δυνατὸν γάρ ἐστι καὶ τὸ ἔλαττον μέγεθος τοῦ μείζονος μείζονα ἔχειν τὴν ῥοπὴν διὰ τὸ μῆκος τοῦ ζυγοῦ μεῖζον ὂν πάνυ καὶ ἄνισον ποιοῦν τὸν λόχον.

Καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς,
ᾆ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ὥστε ἰσορροπεῖν, ὥστε λοιπὸν τὸ Α σύμμετρον εἶναι τῷ Γ | Δεῖ, φησίν, ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ ΑΒ μέγεθός τι τὸ Β, ὃ ποιεῖ λοιπὸν τὸ Α τῷ Γ σύμμετρον καὶ μεῖζον τὸ Α τοῦ Γ ἢ κατὰ τὴν ἰσορροπίαν τοῦτο δὲ δυνατὸν ποιεῖν διὰ τῶν ἐν τῇ ἀρχῇ τοῦ δεκάτου τῆς
Στοιχειώσεως Εὐκλείδου εἰρημένων καὶ ἐν τῷ τρίτῳ τῶν Θεοδοσίου Σφαιρικῶν.

Καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΗΚ, ΛΜ· ἐσσοῦνται δὴ αὗται παρὰ τὰν ΒΓ | Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΟ τῷ ΨΓ
καὶ ἡ △Β τῇ △Γ, ἔσται ὡς ἡ △Β πρὸς ΟΒ, ἡ △Γ πρὸς ΨΓ, καὶ διελόντι ὡς ἡ △Ο πρὸς ΟΒ, ἡ △Ψ πρὸς ΨΓ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ △Ο πρὸς ΟΒ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ· ἡ γὰρ ΕΟ παρὰ τὴν Α△ ἐστίν· ὡς δὲ ἡ △Ψ πρὸς ΨΓ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΓ· παράλληλος
ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ λοιπαί.

Τὸ δὴ Α△Γ ποτὶ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τῷ Α△Γ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΓΑ πρὸς ΑΜ, διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς εὐθείας | Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιά ἐστι τὰ Α△Γ, ΑΣΜ τρίγχωνα,
πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς ΑΜ, Ἐπεὶ δὲ νῦν ὑπόκειται ἡ ΑΓ τῆς ΑΜ τετραπλασίων, τὸ Α△Γ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΣΜ λόγον ἔχει, ὃν ιϚ πρὸς ἕν, πρὸς δὲ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν ιϚ πρὸς τέσσαρα ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν
ὡς τὸ Α△Γ τρίγωνον πρὸς τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ ὅμοια τῷ Α△Γ, οὕτως αὐτὰ τὰ τρίγωνα πρὸς τὸ ΑΣΜ, τουτέστιν ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ· ὅμοια γάρ εἰσιν καὶ ἐπὶ ἴσων βάσεων καὶ διὰ τοῦτο ἴσα, καὶ εἰσὶν πρὸς ἄλληλα ὡς αἱ βάσεις.

Ἀλλὰ ἁ ΓΑ πρὸς ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΦΡ πρὸς ΡΘ· ὁ γὰρ τῆς ΑΓ πρὸς ΑΜ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΦΡ πρὸς ΡΠ | Εἰ γὰρ νοήσειας ἐκβεβλημένας τὰς ΡΦ, Γ△ καὶ συμπιπτούσας, διὰ τὰς παραλλήλους ἔσται ὡς ἡ ΦΡ πρὸς ΡΠ, ἡ Γ△ πρὸς △Ω. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Γ△
πρὸς △Ω, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ, ἡ ΦΡ πρὸς ΡΠ. Ἡ δὲ ΦΡ πρὸς ΡΠ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΦΡ πρὸς ΡΘ· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα πρὸς ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΦΡ πρὸς ΡΦ.

Ὅπερ ἀδύνατον τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Χ εὐθείας παρὰ
τὰν △Α ἀγομένας ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἐσσεῖται πάντα τὰ κέντρα | Τουτέστιν ἐπὶ θάτερον μέρος· καὶ ῥέψει δηλονότι ἐπ᾿ ἐκεῖνο πάντα τὰ μεγέθη καὶ οὐκ ἰσορροπήσει ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· ὑπόκειται γὰρ κέντρον τῶν μὲν παραλληλογράμμων τὸ Ρ, τῶν δὲ τριγώνων τὸ Χ.

Ὁμοίως γάρ ἐντι κείμενα τὰ Θ, Κ, Λ ἐν τοῖς τριγώνοις | Αἵ τε γὰρ ΑΘ, ΕΚ, ΖΛ παράλληλοι οὖσαι ὁμοίως διαιροῦσιν τὰς γωνίας, καὶ αἱ ΘΛΓ, ΘΚΒ αἱ αὐταί εἰσιν ἐν πᾶσι τοῖς
τριγώνοις, καὶ λοιπαὶ αἱ Κ△, △Λ.

Ἐὰν γὰρ ἐκβάλῃς τὰς Γ△Η, ΖΕΗ, ΒΑΗ, δῆλον ὅτι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σαμεῖον ἔρχονται | Ἐκβληθεισῶν γὰρ τῶν ΒΑΗ, ΖΕΗ καὶ συμπιπτουσῶν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Η καὶ ἡ Γ△
ἐκβαλλομένη ἐν τῷ αὐτῷ πεσεῖται· ἔστιν γὰρ ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΑΕ καὶ ἡ ΖΓ πρὸς Ε△ καὶ δηλαδὴ ἡ ΓΗ πρὸς △Η.

Ἔσται δὴ τοῦ μὲν Β△Γ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΘΜ, ἐπειδήπερ τρίτον μέρος ἁ ΒΘ τᾶς Β△ | Ἔστω
τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς διχοτομίας τῶν πλευρῶν αἱ ΑΕ, ΒΖ, Γ△· κέντρον ἄρα ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Η. Καὶ φανερὸν ὅτι πάντα τὰ τρίγωνα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις, καὶ ὅτι αἱ ἐπὶ τὰς διχοτομίας τῶν πλευρῶν ἐπιζευγνύμεναι διὰ τοῦ Η ἔρχονται, ἵνα μὴ τοῦ αὐτοῦ πλείονα κέντρα ᾗ. Ἐπεὶ
γὰρ ἴσαι αἱ Α△, △Β, ΒΕ, ΕΓ, ΓΖ, ΖΑ, ἴσα ἔσται καὶ τὰ τρίγωνα, ὧν κορυφὴ τὸ Η σημεῖον, βάσεις δὲ αἱ εἰρημέναι εὐθεῖαι· ὥστε διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΗΒ τρίγωνον τοῦ ΗΒΕ τριγώνου· ὥστε καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΗΕ. Ἐὰν οὖν διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ΒΓ ἀγάγωμεν τὴν ΘΚ, διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΘ
τῆς ΘΒ· ὥστε καθόλου, ἐὰν μία πλευρὰ τριγώνου τμηθῇ, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ μέρος διπλάσιον εἶναι τοῦ πρὸς τῇ βάσει, καὶ διὰ τοῦ ληφθέντος σημείου παράλληλος ἀχθῇ τῇ βάσει, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ βάρους τοῦ τριγώνου.