I.

Zu Μέλισσα εἰς τὸν ἐν Πολιτείᾳ λόγον τῶν Κ#x772;Α#x772;, S. 23 f.

Die Εrklärung der schwierigen Stelle hat zu beginnen mit der Deutung der auf ünf Grruppen verteilten grofsen Zahl. Offenbar konnen das nicht, wie die Handschrift angiebt, lauter μονάδες sein, sondern die ersten vier Gruppen sind μυριάδες, und erst am Schlusse werden Einheiten aufgezahlt, die als ἴτη bezeichnet sind. Die vorhergehenden Zahlen haben demnach als μυριάδες ἐτῶν zu gelten. tjber die Unterscheidung verschiedener Stufen der Myriaden durch Ordnungszahlen πρώτων, δευτέρων u. s. w.) kann nach den friiher von mir gegebenen Nachweisen kein Zweifel sein. Bekanntlich hatten die Griechen kein besonders benanntes Zahlwort iiber μύριοι oder μυριάς hinaus. Als Archimedes sein kilhnes System der bis ins Unendliche aufsteigenden Zahlenreihe entwarf, legte er sich die strenge Regel auf, keine anderen Zahlbenennungen als die im Laienmunde iiblichen zu bilden. 1 ) Über μύριοι hinaus konnten die Griechen mit Hilfe der Zahladverbien bis ,, 9999 mal 10000" zahlen. Statt μυριάκις μύριοι setzte nun Archimedes die Zahl 1 und begann somit eine zweite Zahlen- reihe, deren sprechbare Bezeichnungen ebenso weit reichten als die der ersten Reihe, sodafs nach Erfüllung der Reihe eine dritte daran kam und dann eine vierte u. s. f. Die Zahlen der ersten Reihe nannte er πρῶτοι ἀριθμοί, die der ¹ zweiten δεύτεροι u. s. f, In Anlehnung an Archimedes hat ApoUonios von Perge in einer Schrift, zu welcher Erlauterungen in der συναγωγή des Pappos erhalten sind1), gezeigt, dafs, um die Zahlenreihe bis zu aufserordentlich hohen Betragen auf- steigen zu lassen, es nicht notig sei Gruppen von 10000 2 Ein- heiten zu bilden. Die μυριάς selbst gab den hoheren Zahlengruppen die Namen. Die Zahlen von 10000 bis vor 10000 2 wurden von 1 an auf der Stufe der ἁπλῆ μυριάς gezahlt, dann kam 10000 2 = 1 auf der Stufe der διπλῆ μυριάς, 10000 31 auf der Stufe der τριπλῆ μυριάς u. s. f. Noch in weit spateren Zeiten haben Domninos, Simplikios und Nikolaos Rhabdas so gezahlt. 2) Allein mit Recht ist von anderen Mathematikern eine ählungsweise bevorzugt worden, die von Apollonios die Gruppierung nach Myriaden und von Archimedes die Unterscheidung der Zahlengruppen durch Ordnungszahlen entnahm. Theon von Smyrna fand ür das Yolumen der Erde eine grofse Zahl von Kubikstadien, die er wahrscheinlich nach dritten, zweiten und ersten Myriaden abteilte, denen sich eine gewisse Zahl von Einheiten στάδια) anschlofs. 3) Ahnlich hat spater Diophantos den Nenner eines Bruches als eine aus zweiten und ersten Myriaden und Einheiten bestehende Zahl abgeteilt. 4) Etwas umstandlicher, aber fiir seine Zwecke ganz passend hat amblichos, der etwa ein halbes Jahrhundert junger als Diophantos war, einen πρῶτος und δεύτερος βαθμὸς τῶν μυριάδων unterschieden und angedeutet, dafs diese Reihe der myria- ^{2 3 4 5} dischen Stufen nach Belieben (soweit die griechischen Ordnungszahlen reichen) fortgesetzt werden kann. 1) Nun kommt als ältester, bisher bekannter Gewahrsmann Sosigenes hinzu. Die von ihm ausgerechnete, leider nicht vollständig erhaltene Zahl gruppiert sich, wie folgt: μυριάδες ἐτῶν τέταρται τρίται Ι δεύτεραι πρῶται ἴτη μονάδες) 34 4300+ x Zehner + y Einer 7876 3836 0609? oder 0670 d. i. 344 3** 787 638 360 ***, wobei durch Sterne die aus- gefallenen oder nur unsicher iiberlieferten Zahlen bezeichnet sind. Wegen dieser Lucken üssen wir uns mit der Begren- zung begniigen, dafs die von Sosigenes ausgerechnete Zahl zwischen 344 300 und 344 400 Billionen gelegen hat.

Wenn der alexandrinische Astronom eine solche unabseh- bare Reihe von Jahren zu einem τέλειος ἐνιαυτός zusammen- fafste (Prokl. S. 23, 23), so hat er sich ohne Zweifel an Platon (Tim. 39 C. D) angeschlossen : ὡς ἕπος εἰπεῖν οὐκ ἴσασι χρόνον ὄντα τὰς τούτων τῶν κύκλων) πλάνας, πλήθει μὲν ἀμηχάνῳ χρωμένας, πεποικιλμένας δὲ θαυμαστῶς· ἔστι δ’ ὅμως οὑδὲν ἧττον κατανοῆσαι δυνατόν, ὡς ὅ γε τέλεος ἀριθμὸς χρόνου τὸν τέλεον ἐνιαυτὸν πληροῖ τότε, ὅταν ἁπασῶν τῶν ὁκτὼ περιόδων τὰ πρὸς ἄλληλα ξυμπερανθέντα τάχη σχῆ κεφαλὴν τῷ τοῦ ταὐ- τοῦ καὶ ὁμοίως ἰόντος ἀναμετρηθέντα κύκλῳ. Also eine unendliche Menge von Einzelbewegungen war es, deren Summe das vollkommene oder, wie Spatere sagten, grofse Jahr bildete 2), ^{6 7} und dieser Zeitraum war nach einer Zahl von Sonnenjahren bemessen, die nach Platon ebenfalls die yoUkommene hiefs und durch keine endliche Zahl ausgedriickt werden konnte. Da nun nach der Lehre der Pythagoreer der Name τέλειος ἀριθμός zunacht an der Zehnzahl haftete 1), so hat Platon bereits den grofsen, spater von Archimedes ausgefiihrten Gedanken angedeutet, dafs man durch eine fortschreitende Potenzierung dekadischer Abteilungen sich der unendlichen Zahl des vollkommenen Jahres aUmahlich nahern konnen, dabei aber immer sich bescheiden miisse, dafs eine andere noch grofsere Zahl gebildet werden konne , die der unerreichbaren voU- kommenen Zahl noch naher stehe. 2) Sosigenes hat von Platon ^{8 9} nur die Anschauung entlehnt, dafs das voUkommene Jahr aus einer iiberaus grofsen Zahl von Sonnenjahren bestehen miisse; er ist aber von ihm abgewichen, indem er eine endlich begrenzte, bis auf Einer oder Zehner bestimmbare Zahl auszurechnen unternahm, Dafs jeder Versuch der Art von vornherein aussichtslos ist, kann hier nicht ausgefuhrt werden; dennoch verdient die Zahl des Sosigenes alle Beachtung. Man vergleiche nur den schuchternen Versuch des Aristarchos von Samos, der nicht liber eine Annaherung auf 2484 Jahre hinauskam. 1) Daran reihten sich andere , auf mehr oder minder schwankenden Hypothesen beruhende Ansätze, die von bis zu 3600000 und 6 570000 Jahren ansteigen. 2) Mit den Fortschritten der astronomischen Wissenschaft mufsten die ^{10 11} Bereclinungen einer Periode von ganzen Sonnenjahren, die durch ganze Zahlen von Umlaufszeiten des Mondes und der fiinf Planeten teilbar war, auf um so grofsere Betriige fiihren, je genauere Beobachtungen man angestellt hatte. 1) Wenn also Sosigenes mehr als den dritten Teil einer Trillion von Jahren ausrechnete, so haben ihm verhaltnismafsig genaue Daten vorgelegen. Ware nun in der Handschrift die vollstandige Zahl iiberliefert, so wiirde man sie auf ihre Teiler zuruckfiihrtn und, da die Verhaltnisse der von den Alten beobachteten Um- laufszeiten annahernd bekannt sind, wahrscheinlich ermitteln konnen, wie viele ganze Jahre Sosigenes gleich einer ganzen Zahl von synodischen Monaten gesetzt und wie er jene Zahl von Jahren weiter vermehrt hat, um eine grofste Zahl zu erhalten, in welcher auch die Umlaufszeiten der fiinf Pla- ¹² neten dergestalt enthalten -waren, dafs die grofste Zahl, wenn man sie der Reihe nacli durch fiinf andere Zahlen von Jahren, die gewisse Multipla je eines Planetenumlaufes darstellten, dividierte, jedesmal als Quotienten eine ganze Zahl ergab. Um indes wenigstens von dem Anfange der Ausrechnung des Sosigenes eine angenaherte Vorstellung zu geben, vergleiche ich seine Zahl mit der Hipparchischen Beobachtung, dafs auf 126 007 1/24 Tage 4267 volle Monate (μῆνες ἀπαρτιζόμενοι, synodische) kommen. 1) Da bei Sosigenes die Einheit des τέλειος ἐνιαυτός das tropische Jahr von nahezu 365 1/4 Tagen ιστ 2), so sind zunachst die 126 007 1/24 Tage Hipparchs einzurichten zu 3024 169.4 _ 3024169 24. 1461 8766 Jahren. Sosigenes brauchte aber eine ganze Zahl von Jahren, die gleich einer gewissen Zahl von Monaten ist; er wiirde ^{13 14} demnacli, wenn er die Hipparchische Beobachtung zu Grunde legte, 3024169 Jahre gefunden haben, die so gut wie genau 4267 8766 = 37404 522 Monaten entsprachen. So grofs jene Zahl von Jahren auch war, mufste sie doch jedesmal bedeutend vervielfacht werden, wenn nach einander die Umlaufszeiten des Merkur, der Venus u. s. w. in Rechnung gebracht und ahnlich, wie bei Mond und Sonne, jedesmal eine voUe Zahl von Jahren, die ein Vielfaches von 3024169 sein mufste, einer vollen Zahl von Planetenumlaufen entsprechen soUte.

Nach dem Verlaufe von mehr als 1/3 TriUion Jahren werden nach Sosigenes bei Prokl. 23, 26 die συναποκαταστάσεις τῶν ἑπτὰ σφαιρῶν, d. i. die gleichzeitige Riickkehr der Sonne, des Mondes und der fiinf Planeten zu den Anfangspunkten ihrer Bewegungen, stattfinden. Denn jedes einzelne Gestirn erreicht seine ἀποκατάστασις, wenn es zu einer beHebigen SteUe seiner Bahn, die man als Anfangspunkt seines Umlaufes setzt, nach VoUendung eines voUen Umlaufes zurdckkehrt. Wenn man nun fiir zwei Gestirne den gleichen Zeitpunkt als Anfang der Bewegung setzt, so wird die συναποκατάστασις stattfinden, wenn beide Gestirne zu demselben Zeitpunkte an die Anfangs- steUen ihrer Bahnen zuriickkehren. Der grofse Zeiger der Uhr erreicht seine ἀποκατάστασις nach einmaUgem Umlaufe; er mufs aber 12 mal umlaufen, damit die συναποκατάστασις des grofsen und des kleinen Zeigers eintrete. Wenn sich — immer nach der geocentrischen Anschauung der Alten — der Mond ahnUch wie der grofse Zeiger der Uhr genau zwolfmal so schneU wie die Sonne bewegte, so wiirde die erste συναποκατάστασις nach Ablauf eines Jahres sich erfiiUen; da aber die Umlaufs- zeit der Sonne zu der des Mondes sich nicht wie 12:1, sondern wie 12,368529 ...: 1 verhält 1), so miissen nach Hipparch 3024169 Jahre vergehen, ehe die erste συναποκατάστασις von Sonne und Mond eintritt.

Damit sind zugleich die Worte des Proklos (23, 27) er- klärt: λαβὼν γὰρ ἑνὸς (scil. ἄστρου) ἀποκατάστασιν ἀκριβῆ ἄλλου, εὗρεν τὸν ὑπὸ τούτων 2) μετρούμενον (scil. ἀριθμόν). ^{15 16} Denn nach Eukl. Elem. Y def. 1 f. mifst eine Gröfse b Grofse a, wenn b, mit einer ganzen Zalil multipliziert, die Grofse a ergiebt, oder, indem wir mit Elem. VII def. 3 statt des allgemeinen Begriffes Grofse die Zalil einsetzen, eine Zahl a wird von einer Zahl b gemessen, wenn b ein Teiler (μέρος) von a ist.

Wenn es dann weiter heifst καὶ τρίτον (ἀρινθμὸν) καὶ ἑξῆς· καὶ οὕτως εὗρεν τὸν ὑπὸ πάντων τῶν ἑπτὰ ἄστρων μετρούμενον ἀριθμόν), 80 sieht man deutlich , dafs die Zahl von Jahren der συναποκατάστασις von Sonne und Mond zuerst vermehrt wurde durch die Hinzufiigung eines Planeten. Welcher Planet dies war und welche Umlaufszeit von Sosigenes in Rechnung gestellt wurde, wissen wir nicht; doch ist es gestattet, als τρίτον ἄστρον des Proklos entweder den Merkur oder die Venus zu setzen. Nehmen wir nun an, dafs Sosigenes bei Berechnung der Umlaufszeit des einen oder des andern Gestirns mit der Annaherung auf ganze Tage sich begniigte, so waren diese einzurichten zu ungelenken Jahresbriichen, woraus dann ahnlich wie vorher eine weit iiber 3 Millionen Jahre hinausreichende zAveite Zahl fiir die συναποκατάστασις der Sonne, des Mondes und des Planeten zu berechnen war. Und so war fortzufahren bis zur sechsten Zahl, welche die συναποκατάστασις aller sieben Gestirne umfafste; das war jene grofste Zahl, die bei Proklos, wenn auch nicht voUstandig, doch insoweit erhalten ist, dafs wir uns von ihrem Umfange eine geniigende Vorstellung machen konnen. 1)

II.

Zu Μέλισσα ΚݲΓݲ. ΚݲΖݲ, S. 24 f. 2729.

Theon von Smyrna hat in dem Abschnitte iiber die Zahlenlehre (S. 18,3 — 46,19 der Ausg. von Hiller), wie er selbst (S. 17, 25 ff. 47, 11 ff.) angiebt, lediglich τὰ ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν παραδοθέντα, und zwar, wie aus S. 47, 12 f. zu schliefsen ist, in Form einer erlautemden Paraphrase wiederholt. Da er nun bald darauf in dem Abschnitte περὶ ἁρμονίας καὶ συμφωνίας (49, 6 f.) den Peripatetiker Adrastos als Gewahrsmann nennt und 50, 4 eine Aufserung desselben iiber die betreffende Lehre der Πυθαγορικοί anfiihrt, so liegt die Vermutung nahe, dafs auch der Abschnitt iiber die Pythagoreische Zahlenlehre aus Adrastos, und zwar aus dessen Kommentar zum Timaios, geschöpft sei. 1) In dem vorletzten Kapitel dieses Abschnittes, das im Cod. Marcianus 307 die zwar erst nachträglich hinzugefügte, aber durch den Text S. 43, 2 bestatigte Uberschrift περὶ πλευρικῶν καὶ διαμετρικῶν ἀριθμῶν aufweist, finden wir die umstandliche Entwickelung von zwei Zahlenreihen, deren eine die sogen. πλευραί, die andere die διάμετροι enthalt. Aus der von Theon benutzten Quelle riihrt augenscheinlich auch her, was Proklos im Kap. χݲγݲ als eine Pythagoreische anfiihrt. Grleich aus den Eingangsworten erkennen wir den verstandigen Berichterstatter, und einen nicht minder giinstigen Eindruck erweckt die darauf folgende knappe und sachgemilfse Darstellung. Wir haben also hier, abgesehen von den Kürzungen, einen an die Quelle sich eng anschliefsenden Bericht, wahrend Theon eine ziemlich umstandliche Paraphrase bietet, die bei dem Leser ein moglichst geringes Mafs mathematischer Kenntnisse voraussetzt.

Auch in Kap. κζ handelt Proklos iiber πλευρά und διά- μετρος, aber nicht blofs im arithmetischen , sondern auch, gemäfs der eigentlichen Bedeutung dieser Worte, im geometrischen Sinne. Hier hat ihm eine andere Quelle als die vorher in ¹⁸ Kap. χݲγݲ benutzte vorgelegen, vielleicht die μαθημάτων des Geininos, die er im Kommentar zum I; Buche der Elemente Euklids so ausgiebig benutzt hat.

Nach Theon a. a. 0., dem sich Jamblichos anschliefst 1), war die Doppelreihe der durch die geometrischen Ausdriicke πλευρά und διάμετρος bestimmten Zahlen (πλευρικοὶ καὶ λόγοι bei Theon 43, 2) von Nesselmann 2), CANTOR 3) und anderen behandelt worden. Dabei hatte Nesselmann (S. 231) mit Recht hervorgehoben , dafs keiner der (damals bekannten) Autoren uns irgend einen Wink dariiber giebt, wie man auf die Auflosung der durch diese Doppelreihe angezeigten Glei- chungen gekommen ist. Diese Lucke der Tradition wird nun durch den hier vorliegenden Text ausgefiillt und es ist danach moglich geworden, nicht nur die eigentliche Doppelreihe der πλευραί und διάμετροι geometrisch darzustellen , sondern auch den Pythagoreischen Ursprung der Reihen sowohl-der geometrischen als der daraus abgeleiteten arithmetischen Funktionen zu erweisen. 4)

Je naher man den Kommentar des Proklos zum I. Buche der Elemente kennen lernt, desto deutlicher treten die Verdienste hervor, die der Verfasser durch eine sorgfaltige Aus- wahl der Quellen und durch die Bethatigung eines streng historischen Sinnes sich um die Geschichte der Mathematik erworben hat. In der hier vorliegenden Abhandlung zu Platons Republik hatte er in Kap. χݲγݲ, auf Adrastos fufsend, Pythagoreer als Erfinder der Reihe der ῥηταὶ διάμετροι genannt und zugleich angedeutet, dafs diese Reihe aus einer ahnlichen, welche die ἄρρητοι διάμετροι (mithin auch die dazugehörigen πλευραί) enthielt, hervorgegangen war. Zu den all gemeinen Satzen der Pythagoreer fiigte er dann die von Platon daraus abgeleitete Erklarung der Zahl 48 hinzu (S. 25, 6 ff.). Ahnlich werden in Kap. χݲζݲ οἱ Πυθαγόρειοι καὶ Πλάτων und bald darauf vdrd, gleich als ob jedem Zweifel an der Prioritat der Pythagoreer vorgebeugt werden ^{19 20 21 22} i solle, liinzugefiigt : προετίθεσαν δὲ οἱ Πυθαγόρειοι τούτου τοιόνδε θεώρημα γλαφυρὸν περὶ τῶν διαμέτρων καὶ πλευρῶν u. s. w. Wenn nun bald darauf mit den Worten δείκνυται διὰ τῶν ἐν τῷ δευτέρῳ στοιχείων γραμμικῶς auf Eukl. Elem. II 10 hingewiesen wird, so folgt aus der Erwahnung dieses Satzes, der zu dem Beweise des ersterwahnten Theorems dient, durchaus nicht, dafs auch dieses Theorem erst in der Zeit nach Euklid entstanden sei. Denn die allermeisten Satze der Elemente waren schon langere oder kiirzere Zeit vor Euklid, namentlich von den Pythagoreern und Eudoxos, festgestellt worden, und auch an der Form mag Euklid zumeist wenig geandert haben; nur die methodische Anordnung des gesamten Stoffes und dessen Erganzung in einzelnen Punkten war sein eigenes wohlgelungenes Werk. Wenn hier bei Proklos die glaubwiirdige Uberlieferung vorliegt, dafs die Pythagoreer die Doppelreihe der Seiten und Diagonalen gefunden und durch geometrische Konstruktion erwiesen haben, so ist auch jedes einzelne Glied der Beweisfiihrung als Pythagoreisch anzusehen, und wenn ein solches Einzelglied spater dem II. Buche der Elemente eingereiht worden ist, so bestatigt das nur die nach anderen Erwagungen wahrscheinliche Annahme, dafs das ganze zweite Buch der Elemente, ebenso wie erwiesenermafsen das erste, aus Satzen besteht, die schon von den Pythagoreern gefunden und bewiesen worden waren,

Wie aus dem Anfange von Kap. κζ hervorgeht, waren die Pythagoreer von der Beobachtung ausgegangen, dafs die Diagonale eines Quadrates mit rationaler Seite irrational ist. 1)

Weiter aber bildeten sie eine von 1 aufsteigende Doppelreihe von Seiten- und Diagonalzahlen von der Eigenschaft, dafs die Quadrate der Diagonalzahlen jedesmal nur um das ganzzahlige Minimum 1 von den doppelten Quadraten der Seitenzahlen sich unterschieden, mithim, zu je gröfseren Zahlen die Doppelreihe aufsteigh, der Unterschied relativ desto geringer und zuletzt verschwindend klein wird. 1)

Ehe man nun diese Zahlenreihen aufstellen konnte, mufste anf geometrischem Wege eine Doppelreihe von Seiten und Diagonalen von der Eigenschaft gebildet werden, dafs in der Reihe der Seiten jede folgende Seite gleich war der Summe der vorhergehenden Seite und Diagonale, und in der Reihe verdoppelten vorhergehenden Seite und der vorhergehenden Diagonale (S. 27, 13—16).

Um eine solche Doppelreihe aufzubauen, bedurfte es des schon erähnten Hülfssatzes, der von den Pythagoreern gefunden und später von Euklid in das II. Buch der Elemente aufgenommen worden ist: wenn eine Gerade AD in zei Abschnitte AB=BC und einen dritten beliebigen Abschnitt CD geteilt wird (Fig. 1), so ist AD2 + CD2 = 2AB2 + 2BD2, oder in algebraischer Formel (a+b)2+b2=2(a/2)2+2(a/2+b)2.

Wenn nun (Fig. 2) liber A B ein Quadrat mit der Diagonale B E konstruiert und auf der Verlangerung von A B zuerst B C = A B und dann CD = B E eingetragen wird, so beweist man mit Hilfe des eben angefuhrten Satzes, dafs die Diagonale des iiber Β D errichteten Quadrates =2 A B + CD = 2 AB + BE ist. 1) Es ist also aus Seite A B + Diagonale Β Ε des ersten Quadrates eine zweite Seite B D, und aus 2 AB +| Diagonalw B E eine zweite Diagonale D F gebildet worden. Weiterkann man aus der zweiten Seite und der zweiten Diagonale eine dritte Seite und eine dritte Diagonale bilden (Fig. 2) und dieses Yerfahren beliebig fortsetzen, kurz man erhalt, wenn man der Reihe nach die Seiten mit s 1, s2, u. s. f. und die Diagonalen mit d 1, d 2 u. s. f. bezeichnet, die Doppelreihe d 1, d 2=2 s1 + d 1, d 3 = 2 s 2 + d 2, . . ., in welcher das Quadrat jedes unteren Gliedes gleich dem dop- pelten Quadrate des dariiber stehenden Gliedes ist.

Aufser dieser geometrischen Darstellung entwickelten nun die Pythagoreer (S. 28, 10 — 29, 4) eine Doppelreihe von ratio- nalen und ganzen Zahlen, indem sie die erste Seite = 1 setzten und fur die erste Diagonale statt des ihr zukommenden Zahlenwertes 1 2 die nachste ganzzahlige Annaherung 1 eintreten liefsen. Das war, im Gegensatze zu der ἄρρητος διάμετρος τῆς μονάδος, d. i. der eigentlichen Diagonale des Quadrates liber der Seite 1, die ῥητὴ διάμετρος τῆς μονάδος, und ihr folgten die ῥηταὶ διάμετροι τῆς δυάδος = 3 (S. 28, 17 — 21), τῆς πεμπά- δος = 7 (Plat. Staat 546 C, Procl. 28, 22–27) u. s. ²⁵ wir nun, ahnlich wie vorher, die Zahlen der Seiten mit Sj, Sg . . . und die ῥηταὶ διάμετροι oder Diagonalzahlen mit δ 1, δ 2 . . ., so wird die vorhergehende Doppelreihe umgebildet zu in welcher zwar nicht mehr, wie vorher, das Quadrat jedes unteren Grliedes gleich dem doppelten Quadrate des oberen Gliedes sein kann , die Differenzen aber stetig = 1 bleiben, und zwar alternierend nach der Seite des Plus oder Minus hin. Dies wird bei Proklos (28 , 10 — 29, 4) fiir die Anfangsglieder, wie die folgende Tabelle zeigt, im einzelnen ausgefiihrt: Seiten- zahlen Diagonal- zahlen 1 1 2 3 5 7 12 17 Doppelte Quadrate der Seitenzahlen Quadrate der Diagonalzahlen Differenzen 2 2 2 2 = 8 2. 5 2 = 50 2. 12 2 = 288 3 2 = 9 7 2 = 49 17 2289 + 1 — 1 + 1 — 1 Durch die Schlufsworte καὶ ἀεὶ οὕτως (29, 4) weist Proklos darauf hin, dafs die Reihe nach der angegebenen Regel beliebig fortgesetzt werden kann und dafs die Differenzen stetig so wechseln werden wie bei den ersten vier Gliedern. Daraus geht zugleich hervor, dafs die Summe der Quadrate von je 2 benachbarten Diagonalzahlen gleich der doppelten Summe der Quadrate von je 2 entsprechenden Seitenzahlen ist, z. B. 32 + 7 2 = 2 (2 2 + 52). Dies hat Proklos in Kap. χݲγݲ, wo er Adrastos folgte, kurz erwahnt 1) und aus derselben Quelle hinzugefügt, dafs die Summe der Quadrate “aller" Diagonalzahlen, d. i. eine unendliche Reihe von Quadratzahlen , gleich der doppelten Summe der Quadrate aller Seitenzahlen sein wird.

Kehren wir nun wieder zu dem Anfange von Kap. κζ zurück. Die Pythagoreer hatten beobachtet, dafs es (im Bereiche der rationalen und ganzen Zahlen) keine Quadratzahl giebt, die doppelt so grofs als eine andere Quadratzahl ware. Weitere Untersuchungen , die sie daran kniipften, fiihrten zu den folgenden Ergebnissen:

1) Es ’ giebt eine unendliclie Reihe von Quadratzahlen, deren Glieder je von dem doppelten Quadrate einer anderen Zahl nur um 1 sich unterscheiden, sodafs die Differenz zuletzt verschwindend klein wird.

2) Die Summe von je zwei benachbarten Quadratzahlen dieser Reihe ist gleich der doppelten Summe von je zwei anderen Quadratzahlen.

3) Die Summe aller Glieder dieser Reihe ist gleich der doppelten Summe einer andern unendlichen Reihe von Quadratzahlen, in welcher jedes Glied sich um den Zahlenwert 1/2 von der Hälfte des entsprechenden Gliedes der ersten Reihe unterscheidet.

4) Die Giieder beider Reihen sind aus der Quadrierung der sogen. Diagonal- und Seitenzahlen hervorgegangen. Bildet man eine Reihe der Verhältnisse jeder Diagonalzahl zu der ihr zugehorigen Seitenzahl , so erhalt man immer genauere Naherungswerte für ABBREV2.

In sprachlicher Hinsicht läfst der Bericht des Proklos hin und wieder die Schärfe und Deutlichkeit der mathematischen Ausdrucksweise vermissen. Die Worte S. 27, 6 ff. sind zunächst durch eine Einschaltung zu erklären: ἐπενόησαν οὕτω λέγειν οἱ Πυθαγόρειοι καὶ Πλάτων, τῆς πλευρᾶς οὔσης ῥητῆς, τὴν διάμετρον ῥητὴν οὐχ ἁπλῶς ἀλλ᾿ ἐν οἷς <ἥ τε πλευρὰ καὶ ἡ διάμετρος> δύνανται τετραγώνοις. Hier genügt es auf das Platonische Beispiel (Staat 546 C) hinzuweisen: die Diagonale eines Quadrates, dessen Seite = 5 ist, hat den Wert ABBREV2.5 2 = 5ABBREV2; dieser ist inkommensurabel zu 5, aber das Quadrat von 5ABBREV2 = 50 ist kommensurabel zu dem Quadrate von 5 = 25 (Eukl. Elem. X def. 1 f.).

Wenn es nun mit Beziehung auf τὴν διάμετρον weiter heifst τοῦ διπλασίου λόγου, ὅν δεῖ τὴν διάμετρον ποιεῖν, ἢ μονάδι δέουσαν ἢ μονάδι πλεονάζουσαν, so meint Proklos, wie auch die von ihm hinzugefügten Beispiele zeigen, dafs das Quadrat der ῥητὴ διάμετρος entweder um 1 gröfser ist als das doppelte Quadrat der Seite, z. B. 3 2 = 2.2 2 + 1, oder um 1 kleiner, z. B. 7 2=2.5 2 — 1.

Bald darauf (S. 28, 14) wird die ῥητὴ διάμετρος erklärt als μονάδι ποιοῦσα ἔλασσον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς. Statt ποιοῦσα hatte es eigentlich δυναμένη heifsen müssen; doch erklärt sich der abweichende Ausdruck aus Z. 20 f. γίνεται τριὰς καὶ ποιεῖ τὸν ἐννέα, wo hinter καὶ die Worte ἐφ’ ἑαυτὴν πολλαπλασιαζομένη hinzuzudenken sind, Dann hat Proklos mit τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς offenbar τοῦ δὶς ἀπὸ τῆς πλευρᾶς gemeint; doch ist δὶς nicht etwa in den Text einzuschalten , denn Ζ. 21 und 26 heifst es ahnlich, dafs das Quadrat 9 um 1 grofser ist τοῦ ἀπὸ δυάδος und das Quadrat 49 um 1 kleiner τοῦ ἀπὸ τῆς πεμπάδος, beide Male im Sinne von τοῦ δὶς ἀπὸ δυάδος, bez. πεμπάδος. Erst am Ende des Kapitels (S. 29, 2–4) hat er wieder an den genauen Ausdruck erinnert, denn er erklart die Zahl 17 2= 289 als μονάδι μείζων ἢ διπλάσιος τοῦ ἑκατὸν τεσσαράκοντα τέσσαρα, d. i. um 1 gröfser als

III.

Zu Μέλισσα ΛΕ, S. 36, 3—42, 10.

Die geometrische Zahl Platons (Staat 546 B. C) wird von Proklos unter folgenden, gleich zu Anfang angefiihrten Gesichtspunkten behandelt: ἀριθμητικῶς S. 36, 7 — 40, 1, γεω- μετρικῶς 40, 2 — 42, 12, μουσικῶς 42, 12 — 43, 19, ἀστρονομικῶς 43, 20 — 45, 16, endlich διαλεκτικῶς 45, 17 — 54,24, wonach zu Anfang von Kap. λζ mit den Worten εἰ ἔστιν ὁ ἀριθμὸς οὗτος καὶ ἐν τῷ παντὶ δηλούμενος u. s. w. der Abschlufs der Untersuchung über die geometrische Zahl angedeutet wird. Von diesem langen Abschnitte hatte Schoell nur den Schlufs (54, 3 — 24) veroffentlichen konnen. Der jetzt vorliegende, nahezu voUstandige Text bietet nach verschiedenen Seiten hin wichtige Aufschliisse, giebt aber auch neue Ratsel auf. Das alles zu untersuchen wird eine Aufgabe fiir sich sein; hier konnen nur einige sachliche Erlauterungen zu dem Berichte des Proklos beigefiigt werden.

Bei der arithmetischen Erklarung der Platonischen Stelle hat Proklos zu Anfang sich eng an die einzelnen Textesworte angeschlossen ; diese mogen also im Folgenden jedesmal vorangestellt werden.

αὐξήσεις δυνάμεναί τε καὶ δυναστευόμεναι] im Proklostexte (36, 7–11) sind an sieben Stellen zusammen als 120 Buchstaben ausgefallen; doch geht aus den erhaltenen Resten wenigstens soviel hervor, dafs αὐξήσεις δυνάμεναι die Erhebung ganzer Zahlen ins Quadrat, und δυναστευόμεναι die Wurzeln einer Quadratzahl bedeuten. Damit hat sich Platon in freierer Nachbildung an den Sprachgebrauch der Mathematiker angeschlossen, mithin auch es, vermieden, etwa Kubikzahlen, wie man auf den ersten Blick aus 36, 21 — 25 vgl. mit 37, 9 — 14 schliefsen konnte, als δυνάμεναι, und Kubikwurzeln als δυναστευόμεναι zu bezeichnen,

ὁμοιούντων καὶ ἀνομοιούντων καὶ αὐξόντων καὶ φθινόντων] namlich ἀριθμῶν, wie Proklos 36, 13 mit Recht suppliert. Ὁμοιοῦντες sind nach ihm die Quadrat- und Kubikzahlen, ἀνομοιοῦντες solche Zahlen, die nicht durchweg aus gleichen Faktoren bestehen. Die letzteren sind entweder αὔξοντες, d. i Produkte von zwei einander gleichen Zahlen und einer dritten grofseren Zahl, oder φθίνοντες, d. i. Produkte von zwei einander gleichen und einer dritten kleineren Zahl. Die ersteren Produkte werden δοκίδες, Balken, die letzteren πλινθίδες, Ziegel, benannt.

τρεῖς ἀποστάσεις, στάσεις, τέτταρας δὲ ὅρους λαβοῦσαι] ὅροι sind die Glieder einer Proportion 1( ; zwischen vier Gliedern einer stetigen Proportion giebt es drei ἀποστάσεις, z, B. bei 1:2 = 2:4 = 4:8 die Abstande von 1 zu 2 , von 2 zu 4 und von 4 zu 8. 2)

πάντα προσήγορα καὶ ῥητὰ πρὸς ἄλληλα ἀπέφηναν] diese Worte citiert Proklos 36, 23 in der Fassung πάντα ῥητὰ καὶ προσήγορα ποιοῦσιν und erklart sie durch den Zusatz καὶ τοὺς δυναμένους καὶ τοὺς δυναστευομένους, καὶ τοὺς ὁμοιοῦντας καὶ τοὺς δνομοιοῦντας ἀλλήλοις, καὶ τοὺς αὔξοντας καὶ φθίνοντας. Dazu gebe es eine geometrische Figur διάγραμμα), in welcher auf einer Querlinie zwei Schenkel sich erheben. Auf der horizontalen Geraden seien die ὁμοιοῦντες und von den ἀνομοιοῦντες sowohl die αὔξοντες als die φθίνοντες einzutragen; alle diese Zahlen seien durch den noch darzulegen- den ἐπέτριτος πυθμήν verbunden. Auf den Schenkeln des von der Horizontaien aufsteigenden Winkels sollen die Qyadrat- ^{27 28} zahlen und ihre Wurzeln eingetragen werden. Die in der Handschrift fehlende Figur hat also drei Gerade etwa in der Zusanunenstellung V gezeigt. Unterhalb der Basis haben, wie es scheint, die Zahlen κζ', λζ', μη', ξδ' gestanden, von denen κζ' und ξδ' ὁμοιοῦντες, die beiden anderen aber ἀνομοιοῦντες sind, und zwar λς' ein αὔξων, μη' ein φθίνων, wie sofort sich zeigen wird. Zu den Schenkeln mufsten zuerst die Zahlen γ' und δ' , die den ἐπίτριτος πυθμήν bilden , beigeschrieben sein, vemiutlich γ' zu dem einen, δ' zu dem andem Schenkel. Dann kamen oberhalb von γ', bez. δ', die Quadratzahlen θ' und ις' und dariiber standen, wenn es auch keine δυνάμενοι im eigentlichen Sinne waren, die Kubikzahlen κζ' und ξδ'. Zum Schlusse hat Proklos, soweit es sich aus dem luckenhaften Texte ersehen lafst, noch darauf hingewiesen, dafs alle diese Zahlen sowie ihre Verhaltnisse zu einander rational und aus- sprechbar sind.

ὧν ἐπίτριτος πυθμήν] das sind nach Proklos 37,5 die Zahlen γ' und δ'. Beide werden ins Quadrat erhoben; da aber diese Quadrate zu einander ein anderes Verhaltnis als das von 3:4 haben, so ist, um den ἐπίτριτος πυθμήν durchzufiihren, zwischen 9 und 16 als mittlere Proportionale die Zahl 3,4 = 12 einzuschieben. 1) Weiter werden 3 und 4 in ihre Kuben erhoben. Nun geniigt, um zwischen 27 und 64 das Verhaltnis 3:4 durchzufuhren , nicht mehr eine mittlere Proportionale, sondem es sind deren zwei zu bilden. 2) So erhalten wir 3 3: 3 2.4 = 3 2. 4:3.4 2 =3. 4 2:4 3, d. i. 27: 36 = 36:48 = 4864. Die Zahl 36 heifst, wie schon erwahnt wurde, δοκίς, denn das Quadrat von 3 ist mit einer grofseren Zahl als 3 multipliziert ; die Zahl 48 erscheint als πλινθίς, denn das Quadrat von 4 ist mit einer kleineren Zahl als 4 multipliziert.

Hier ist ahnlich, wie vorher zu Μέλισσα χݲγݲ und κζ, den Unterschied zwischen der arithmetischen und geometrischen Darstellung hinzuweisen. In arithmetischer Form miissen δοκίς und πλινθίς Produkte ganzer Zahlen sein 3), wie auch die Kuben, ^{29 30 31} zwischen denen sie als mittlere Proportionalen eingeschaltet werden, ganzzahlige Wurzeln haben. Das kleinste ganzzahlige Beispiel bieten die Kuben 1 und 8, zwischen denen die δοκίς = 1 . 1 . 2 und die πλινθίς = 2 . 2 . 1 ist. Allein eine solche Einschaltung kann auch stattfinden, wenn nicht, wie hier, der grofsere Wurfel zu dem kleineren in dem Verhaltnisse einer ganzen Zahl zu 1 steht, sondern auch, wenn das Verhaltnis einer ganzen Zahl n zu einer kleineren Zahl m, die grofser als 1 sei, gegeben ist. Das Platonische, auf dem ἐπίτριτος πυθμήν beruhende Beispiel kann ausgesprochen werden als die Aufgabe, einen Wiirfel zu konstruieren , der 6/2 4/7 so grofs als ein gegebener Wurfel sei. Dann setzen wir den gegebenen Wiirfel = 27 Kubikeinheiten, mithin seine Kante = 3 Längeneinheiten; demnach wird der gesuchte Wiirfel 64 Kubikeinheiten und seine Kante 4 Langeneinheiten haben. Nach dem Verhältnis von Kante zu Kante = 3:4 werden nun die Zahlen 27, 36, 48, 64 zu einer stetigen Proportion verbunden und daraus erhellt, dafs zwischen den beiden Wiirfeln eine δοκίς, d. i. ein rechtwinkliges Parallelepiped mit der Breite und Hohe = 3 und der Lange = 4, sodann eine πλινθίς mit der Lange und Breite = 4 und der Hohe = 3 1) derart eingeschoben ³² sind, dafs von dem kleineren zu dem grofseren Wiirfel eine viergliedrige , stetige Proportion nach dem durch die Kanten der Wiirfel gegebenen Verhaltnisse besteht.

Damit ist zugleich die geometrische Darstellung vorbereitet. Nach der Pythagoreischen Lehre hatten wir es vorher nur mit ganzen Zahlen und ihren Verhaltnissen zu thun. Das bekannte delische Problem der Wurfelverdoppelung war fiir Platon, der sich in der Zahlenlehre ganz an die Pythagoreer anschlofs, auf arithmetischem Wege unlosbar; denn die dritte Wurzel aus 2 war eine unaussprechbare Grofse und deshalb konnte auch das Zahlenverhaltnis 1 : ½ nicht zur Losung des Problems verwendet werden. Was aber in arithmetischer Form unsagbar war, konnte doch geometrisch konstruiert werden. Wie man von dem 8 mal so grofsen Wiirfel zuriickgegangen war auf seine Kante und erkannt hatte, dafs 2 die erste von den beiden mittleren Proportionalen zwischen 1 und 8 ist, so war der doppelt so grofse Wiirfel gefunden, wenn es auf geometrischem Wege gelang zwischen zwei Geraden, die sich zu einander wie 1 : 2 verhielten , zwei mittlere Proportionalen zu konstruieren, denn das erste Mittelglied war dann die Kante des doppelt so grofsen Wiirfels.

Platon hat sich aber nicht damit begniigt, eine solche Gerade durch eine besondere Vorrichtung annahernd darzustellen 1), sondern er hat auch , wie wir aus unserm Proklos- texte in Verbindung mit der vielbesprochenen Timaiosstelle 32 A. B erkennen, den Weg gezeigt, wie aus dem gegebenen Verhaltnis zweier Korper das die beiden Korper durch eine ³³ viergliedrige Proportion verbindende Verhaltnis 1) von zwei Geraden zu entwickeln ist. Es seien zwei ahnliclie rechtwinklige Parallelepipede oder zwei Wiirfel Α und D gegeben, die sich zu einander wie die Zahlen a:d verhalten. Wenn man nun das Yerhaltnis a:d geometrisch durch zwei Gerade darstellt und dazu die mittleren Proportionalen b und c konstruiert, so ist an Stelle des Verhaltnisses der dreidimensionalen Grofsen Α und D ein Verhältnis der eindimensionalen Grofsen und b getreten. Nach diesem Verhaltnisse wird nun zuerst zu dem Korper Α ein Mittelglied Β gebildet, das mit Α zwei Dimensionen gleich, die dritte aber, da sie mit — multipliziert a wird, verschieden hat. Durch weitere Anwendung desselben Verhaltnisses tritt dazu ein zweites Mittelglied V, das mit Β zwei Dimensionen gleich, die dritte aber verschieden hat, und in ahnlicher Weise findet drittens auch der Übergang von C zu D statt oder, um die Ausdrdcke nach ’ Vorgange zu wahlen: zwischen zwei Wiirfeln Α und D, deren Verhaltnis a : d gegeben ist , wird , nachdem a:b = b:c=c:d bestimmt worden , nach dem stetigen Verhaltnisse a : b dem Wiirfel Α die δοκίς Β, dieser die πλινθίς C zur Seite gestellt. Da nun auch C: D sich wie a : b verhalten , so ist von Α tm D eine viergliedrige stetige Proportion hergestellt. Solche Erwagungen haben Platon vorgeschwebt, als er im Timaios (32 A. B) die bei der Vergleichung von Wiirfeln erprobten geometrischen Grundanschauungen auf ein gebundenes Verhaltnis der Elemente zu einander ubertrug.

Des weiteren hatte Proklos, dem Texte Platons folgend, die schwierigen Worte πεμπάδι συζυγείς erklaren soUen. Doch ist er, oder vielmehr sein unbekannter Gewahrsmann diesem Hindemisse aus dem Wege gegangen und hat gemeint, spater (39, 14 f. 25 f.) es beilaufig durch eine freilich nicht stichhaltige Auslegung beseitigen zu konnen.

Überhaupt finden wir bei Proklos von 37, 12 an statt einer methodischen , an den Platontext eng sich anschliefsenden Interpretation zumeist nur willkiirliche Kombinationen. Es ³⁴ werden gebildet 27 + 48 = 75 und 36 + 64 = 100. 1) Dann hat der von ihm benutzte Autor die Platonischen Worte ἑκατὸν τοσαυτάκις herausgehoben und durch Multiplikation mit 100 die Zahlen 7500 und 10000 gebildet, von denen die letz- tere die ἰσάκις ἴση ἁρμονία (= 100, 100), die erstere die προμήκης (= 75, 100) sei. Aus dem, was weiter folgt, geniigt es auf die Umschreibung von Platons Worten ἰσομήκη μὲν τῇ, προμήκη δέ durch ἡ δὲ ἰσομήκης μὶν ἐκείνῃ διὰ τὸν ρ', προμήκης δὲ διὰ τὸν οε' (37, 20) hinzuweisen. Die Zahlen 10000 und 7500 haben, als Rechtecke betrachtet, die gleiche Lange 100; aber nur 10000 ist ἰσομήκης, weil auch die Breite = 100 ist, dagegen 7500 προμήκης , weil hier die Lange 100 grofser als die Breite 75 ist.

Weiter wird von dem Gewahrsmann des Proklos, um die Worte ἑκατὸν μὲν ἀριθμῶν ἀπὸ διαμέτρων ῥητῶν πεμπάδος, δεομένων ἑνὸς ἑκάστου, ἀρρήτων δὲ δυεῖν, ἑκατὸν δὲ κύβων τριάδος zu erklaren, 7500 = 48 . 100 + 3 3. 100 gesetzt. Dann zieht er statt der ἑκατὸν ἀριθμοί u. s. w. nur einen ἀριθμὸς ἀπὸ διαμέτρου ῥητῆς πεμπάδος δεόμενος ἑνός, τοῦ ἀπὸ) ἀρρήτου δὲ (δεόμενος) δυεῖν in Betracht. 2) Das soll die Zahl sein, denn die πεμπάς, als Seite eines Quadrates betrachtet, erzeugt eine Diagonale oder ἄρρητος διάμετρος = 1/50 und eine ῥητὴ διάμετρος = 7 (vgl. oben zu Μέλισσα κݲγݲ. κζ). Da es ^{35 36} um Zahlenwerte ἀπὸ διαμέτρου u. s. w. handelt, so sind 150 und 7 in ihire Quadrate 50 und 49 zu erheben; dann ziehe man von 50 zwei Einheiten und von 49 eine Einheit ab, um ein und dieselbe Zahl zu erhalten. So soU Platon die Entstehumg der Zahl 48 sich gedacht haben (38, 9–24). folgt. eine liickenhafte Stelle und dann setzt der Text mit der abschliefsenden Erklarung ein, dafs in der That die Zahl 7500 = 100 (27 + 48) die προμήκης ἁρμονία darstelle, wobei an die Zahl 10000 nochmals erinnert, diese aber nicht, wie vor- her, ἰσομήκης, sondem ταυτομήκης ἁρμονία benannt wird. Was dann bis zum Ende von S. 39 noch folgt, sind teils Wiederholungen teils neue, ganz haltlose Zahlenkombinationen, die vielleicht aus einer anderen als der vorher benutzten Quelle geschopft sind. Im ganzen hat der bei Proklos ilberlieferte Versuch, die geometrische Zahl Platons zu erklaren, zu keinem befriedigenden Ergebnisse gefuhrt, aber nachdem so viele andere Versuche von den Neueren angestellt worden sind, werden weitere Untersuchungen jedenfalls die Aufschliisse be- riicksichtigen mussen, die Proklos iiber einzelne Punkte der schwierigen Frage gegeben hat.

Auf die arithmetische Deutung der Zahl Platons folgt in unserm Texte, wie schon erwahnt wurde, der Versuch einer geometrischen Darstellung. Zu Grunde liegt das sogen. Pythagoreische Dreieck, dessen Seiten sich wie 3:4:5 verhalten. 1) Dieses erscheint auf Seite 41 zunachst fiir sich mit den Buchstaben A, Β, Γ und den beigeschriebenen Zahlen γݲ, δ, εݲ . Dan ist an die Seite A B ein zweites, dem ersten Dreieck angelegt, sodafs wir nun ein Dreieck ΑΖΓ mit der Normale A B vor uns haben. Die Basis Ζ Γ besteht aus den Abschnitten Β Γ = 3 und Ζ Β = 5 1/3, denn nach Eukl. Elem. VI 8 coroll. verhalt sich ΒΓ:AB =AB:BZ. Zu AZ hatte noch ω' beigeschrieben werden soUen (denn in den ahnlichen Drei- ecken Α Β Γ, Ζ Β Α ist ΑΒ Α Γ= ΖΒ: ΖΑ, d. i. 4:5 = 5 1/3 :6 2/3). ³⁷ Um die laier vorkommenden Briiche zu entfernen sind in der dritten Figur die zur zweiten Figur gehorigen Zahlen mit 3 multipliziert worden, sodafs nun ΑΓ= 16, ΒΓ=9, ΖΒ = 16 ΖΓ=24, ΑΖ=20, ΑΒ = 12 gelten (vgl. die Erganzungen des Herausgebers zur dritten Figur). In der vierten Figur ist an die Kathete Α Ζ (die dort einzuzeichnen ist) ein dem Dreieck Α Ζ Γ ahnliches Dreieck ΖΑΚ angelegt und in diesem von Α aus das Lot Α Λ gefallt worden. Dadurch kommen zu den fur die dritte Figur nachgewiesenen Werten noch Α Λ = 16 Λ Ζ = 12, Λ Κ=21 1/3, ΚΑ = 26 2/3 (die letztere, in der Handschrift fehlende Zahl ergiebt sich aus der Proportion ΑΓ=ΚΛ:KA). Wiederum sind nun, um die Briiche zu beseitigen, alle Werte der vierten Figur mit 3 multipliziert worden, sodafs als fiinfte Figur ein Dreieck ΚΖΓ erscheint, in welchem jede Seite den 25 fachen Wert der entsprechenden Seite des an erster Stelle in der Handschrift liberlieferten Dreiecks hat, mithin Κ Γ=125, Κ Ζ = 100, Ζ Γ=75 gelten. Da nun, wie die Figur zeigt, diese Seiten je in zwei Abschnitte zerlegt worden sind, zu denen die Normalen ΑΖ, ΛΑ, ΒΛ die mittleren Proportionalen darstellen, so erhalten wir 4827 ΚΖ = 6436 ΚΓ=ΚΑ+ΑΓ=80+45 (das Zahlzeichen πݲ ist in der Handschrift ausgefallen).

Nun erinnern wir uns, dafs in der vorhergehenden arith- metischen Darlegung aus dem ἐπίτριτος πυθμήν die Proportion 27:36 = 36:48 = 48:64 entwickelt und 27 + 48 zu 75, 3664 zu 100 summiert worden waren; dieselben Zahlen sind hier durch geometrische Zeichnungen aus den Katheten 3 und 4 des Pythagoreischen Dreiecks entwickelt worden. Sehen wir genauer zu, so bietet die fiinfte Figur zugleich die Losung der Aufgabe „nachdem ein Dreieck, dessen Seiten sich wie 345 verhalten, durch das aus der Spitze des rechten Winkels zur Hypotenuse gefallte Lot in zwei dem ersten ahnliche Dreiecke, und weiter jedes Teildreieck in ahnlicher Weise in zwei Dreiecke zerlegt worden ist, sind die kleinsten ganzzahligen Werte sowohl fiir die Seiten des ersten Dreiecks als auch fiir die Seiten der Teildreiecke zu finden."

Der Name des Autors, bei welchem Proklos jene fiinf Zeichnungen und den zugehorigen Text vorgefunden hat, ist zwar S. 42, 10 in einer Liicke von 9 Buchstaben geschwunden; doch lafst er sich mit einiger Wahrscheinlichkeit wieder her- stellen. Nach Proklos 64, 5 f. hat Nestorios τὸν περὶ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου λόγον ἀπόρρητον ans Licht gestellt. Er war Grofsvater des Plutarchos und letzterer Lehrer des Proklos. Setzen wir, ganz ungefahr, vom Grofsvater zum Enkel zwei, und vom Lehrer zum Schiiler eine Generation, so wird uns Nestorios um etwa 100 Jahre alter als Proklos erscheinen, wo- nach des ersteren Bliitezeit um die Mitte des 4. Jahrhunderts fallen wiirde. Nun wird Nestorios von Proklos 64, 6 als ὁ θεῖος ὄντως gepriesen 1), an der Stelle aber, mit der wir es vorher zu thun hatten, ist es (42, 10) ὁ μέγας . . . . . . . . . gewesen, der aus dem ὀρθογώνιον τρίγωνον mit den Katheten 3 und 4 die Zahlen 27, 36 u. s.w. bis 100 entwickelt hat. SoUte also nicht bei dieser Erorterung iiber besondere Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks hinter ὁ μέγας in der Lücke von 9 derselbe Autor zu erganzen sein, der von Proklos weiter unten als Verfasser einer Abhandlung περὶ τοῦ ὀρθογωνίον τριγώνου durch ὁ θεῖος ὄντως hervorgehoben wird?

An die Figuren des Nestorios hat, wie Proklos 40, 25 bis 42, 9 berichtet, ein gewisser Paterios, dessen Epoche zwischen Nestorios und Proklos zu setzen ist, eine schiilerhafte Ausrechnung angekniipft, die jedoch von grofsem historischen Interesse ist, weil sie eine um drei bis vier Jahrhunderte vor der Niederschrift des mathematischen Papyrus von Akhmim zuriickliegende Sammlung von Beispielen zur agyptischen Teilungsrechnung bietet. 2) Die fiinfte Figur des Nestorios war ^{38 39} durch Hinzufugung ahnliclier Dreiecke zu einem ersten Drei- eck ΑΒΓ entstanden (S. 40, 25 — 27), sodafs zuletzt in dem Dreieck XZFjede Seite den 25 fachen Wert der entsprechenden Seite von ΑΒΓ hatte. Es lag nun sehr nahe, das von Nestorios an funfter Stelle gebildete Dreieck als erstes, und dessen Seiten der Eeihe nach gleich 3, 4, 5 zu setzen. Nachdem die Normale ZA gezogen war, berechnete man zuerst nach der Proportion ΚΓ: ΚΖ = KZ:AK, d. i. 5 : 4 = 4 : x, den Abschnitt ΚΑ = 3 1/5, dann durch einen ähnlichen Ansatz den Abschnitt ΑΓ=14/5, die Normale ΖΑ = 22/5, und so fort die iibrigen Stucke. Zuletzt wurde, um die Richtigkeit der Ausrechnungen zu bestatigen, jeder so ermittelte Wert mit 25 multipliziert ; dann mufsten die der fiinften Figur des Nestorios beigeschriebenen Werte herauskommen, z. B.

ΑΓ=1~4/5Χ24 = 45 u. s. w.

Diesen Weg haben nach Proklos (40, 27) „andere", nament- lich Paterios (42, 9) eingeschlagen , dabei aber statt der gemeinen Brüche nach agyptischer Rechnungsweise Reihen Einheitsteilen , μόρια, angewendet. 1) Die in der Handschrift an sechster Stelle iiberlieferte Figur, verglichen mit dem Texte S. 40, 27 — 42, 8, zeigt trotz einiger Schreibfehler 2) deutlich ge- ^{40 41} nug, welche Zahlen an jeder Stelle gemeint sind, aber die Figur selbst ist verderbt; die links sich erhebende Kathete mufs verkiirzt und die andere Kathete, welche die Basis des Dreiecks bildet, verlangert werden. Fiigen wir dann die in der vierten und fiinften Figur gegebenen Buchstaben hinzu, so erhalten wir ΖΚ als Basis, ΖΓ als aufrecht stehende Kathete, und nun stimmen die handschriftlich beigefdgten Zahlenwerte so weit nicht Verderbnisse sich eingeschlichen haben (Fig. 3). α ιε οε γ Β αݲς γ΄ ιε' ν Fig. 3 Ζ

Der tlberlieferung nach ist es nicht ganz sicher, ob Paterios aufser den Zahlen zu den Abschnitten der Seiten auch die Werte 3, 4, 5 fiir die ganzen Seiten beigefiigt hat. Da jedoch an der Stelle, wo in unserer Fig. 3 der geometrische Buchstabe Α steht, in der Handschrift ein εݲ, und an der statt des Buchstabens Λ ein δ sich findet, so kann vielleicht auch das Κ, das in der Handschrift vor den Zahlen, die zum untem Abschnitte der Kathete ΓΖ gehoren, beigefugt ist, als Schreibfehler statt y gedeutet werden. Daher habe ich zu Fig. 3 die Zahlzeichen y, d, I beigefiigt und durch Klammem angezeigt, dafs sie zu den ganzen Seiten, nicht zu deren Abschnitten gehoren.

Es folgt nun die Übersicht der von Paterios für die der Seiten ausgerechneten Werte:

ΖΛ =3/2 6/5 = 11/2 1/5 #x772; γ' ιε' κε' 3), ΓΑ=9/5 =14/5 ς δ' κ' 5) ΑΖ = 12/5 = 2 2/5 β γ' ιε'. 6) AuTserdem sind noch die folgenden Summen von Ganzen und Einheitsteilen ausgerechnet 7):

ΓΒ + ΒΖ = ΓΖ, d. i. 1 1/15 1/75 ½1/3 1/15 1/50 = 3. ΖΛ+ΛΚ=ΖΚ, d. i. 1 1/3 1/15 + 21/2 1/20 1/100 = 4 ΓΑ+ΑΚ=ΓΚ, d. i. 1 1/2 1/4 1/20+ 3 1/5= 5.

Zu dem Kap. Λݲݲ der Μέλισσα (S. 66–70), das Schoell veroffentlicht war, habe ich in einem Exkurse zu dessen Ausgabe (S. 140 — 142) einige Erlauterungen gegeben. Die Quelle, aus welcher Proklos hier geschopft hat, zeigt eine nahe Verwandtschaft mit dem damals noch unbekannten Kap. ΛݲΕݲ; doch ist ltzteres weit ausfiihrlicher und in der einzelnen Zahlen zuverlassiger.

Exknrs von W. Kroll.

Zu S. 218, Iff.

Platon giebt rep. Χ 616 e sq. nicht die Namen der einzelnen Planetenspharen , sondern nur die Farben und die Grofsenverhaltnisse ihrer Dicke. Danach lafst sich folgende Reihenfolge in den Entfernungen der Spharen von der Erde erschliefsen, die ganz zu der im Tim. 38 d stimmt (vgl. Hdltsch bei Pauly-Wissowa II 1844, 60):

1 Fixstemsphare 5 Merkur 2 Saturn 6 Venus 3 Juppiter 7 Sonne 4 Mars 8 Mond.

Was dagegen die Grofsenverhaltnisse anlangte, so fand Proklos Varianten im Platontext ; es gab eine altere Lesart (a) und eine jiingere (b), die sich in den nach κῶλα abgeteilten Hss. fand (vgl. Dziatzko bei Pauly-Wissowa III 960, 27) und auch die unserer Hss. ist (ich ordne in absteigender Folge):

a 1 Fixsternsphare b 1 Fixsternsphare 7 Sonne 6 Venus 8 Mond 4 Mars 6 Venus 8 Mond 4 Mars 7 Sonne 3 Juppiter 5 Merkur 2 Saturn 3 Juppiter 5 Merkur 2 Saturn. 3. Juppiter 5 Merkur 2 Saturn.

Proklos meint nun, nach der alteren Lesart (a) folgten die Spharen in ihrer Dicke ebenso auf einander wie die an ihnen befestigten Steme in ihrer Grofse; nur dariiber bestehe ein Zweifel, ob nicht Venus vielmehr grofser sei als der Mond. 1)j Die andere Lesart dagegen folge wahrscheinlich den Differenzen zwischen Erdnahe iind Erdferne der Planeten, weil von diesen die Dicke der Spharen abhange; allerdings stimme die Reihenfolge nicht ganz zu den Beobachtungen der spateren Astronomen (am ehesten noch zu der Theorie von den ἀνελίττουσαι), jedoch folge Platon wohl den Astronomen seiner Zeit (S. 219,29). tJbrigens hatten sich die jungeren Gelehrten um die Dicke der Spharen nicht recht gekiimmert (S. 222, 4). Die nun folgende Erorterung (S. 222, 5 ff.) ist etwas dunkel, da Proklos es dem Leser uberlafst, den Gedankenzusammenhang herzustellen , kann aber kaum anders verstanden werden als so: die Spateren haben liber die Dicke der Spharen keine bestimmten Angaben gemacht. Allerdings schienen einen Anhaltspunkt für die Bestimmung diejenigen Zahlen zu welche fiir das Verhaltnis der Radien der Epicyklen zu denen der excentrischen Kreise von den Astronomen gegeben würden. 2) Aber auch diese Hoffnung stelle sich bei naherer Betrachtung als triigerisch heraus; denn aus den Verhaltniszahlen folge ^{48 49} gar nichts fiir die wirkliche Grofse der beiden Eadien 1); aber auch wenn man diese kenne, wisse man noch nichts iiber die Dicke der Spharen: denn sie sei weder von der Grofse der Epicyklen noch von der der Sterne noch von dem Umfange der Spharen abhangig. Das schliefse aber nicht aus, dafs Platon auf Grund alterer Beobachtungen liber Erdnahe und Erdferne der Planeten seine Reihenfolge aufgestellt habe.