ιβ΄.

Τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ἐξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ δύνουσι
καὶ ἀνατέλλουσιν.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ PΣΤ, θερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΑΕ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΖ, ἰσημερινὸς δὲ ὁ ΒΗ∠, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΑΗΓ. καὶ ἔστω ¹
²³⁴⁵ τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὲρ γῆν τὸ ΑΗΓ, καὶ διῃρήσθω ἑκάτερον τῶν ΑΗ, ΗΓ τεταρτομορίων εἰς τὰ ζῳδία κατὰ τὰ Θ, Κ, Λ, Μ· λέγω, ὅτι αἱ ΑΘ, ΘΚ, ΚΗ, ΗΛ, ΛΜ, ΜΓ ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσι,
καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ ΑΘ, ΓΜ, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ΘΚ, ΛΜ, ἐν ἐλαγίστῳ δὲ αἱ ΚΗ, ΗΛ, ἐν ἴσῳ δὲ ἡ μὲν ΑΘ τῇ ΜΓ. ἡ δὲ ΘΚ τῇ ΜΛ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΛΗ.

⁶⁷⁸

γεγράφθωσαν γὰρ διὰ τῶν Θ, Κ, Λ, Μ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΝΘ, ΞΚ, ΟΛ, ΠΜ, διὰ δὲ τῶν Θ, Κ μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν ἐφαπτόμενοι τοῦ ΡΣ οἱ ΣΘΦ, ΤΚΧ, ὥστε τὰς μεταξὺ τῶν ΑΡ, ΣΘΦ, ΤΚΧ
τῶν παραλλήλων κύκλων ὁμοίας εἶναι, τουτέστιν οὕτω γεγράφθωσαν, ὡς τὸ ἀπὸ τοῦ Ρ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Α, Ν μέρη ἀσύμπτωτον εἶναι τοῖς διὰ τῶν Σ, Τ ἡμικυκλίοις ὡς ἐπὶ τὰ Χ, Φ. αἱ μὲν ΝΘ, ΞΥ ΒΦ ἀπεναντίον εἰσίν· καὶ ἄρα αἱ ΥΚ, ΦΧ. ὥστε ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν
ΦΝ διέρχεται, ἐν τούτῳ τότε Υ τὴν ΥΞ διαπορεύεται καὶ τὸ Φ τὴν ΦΒ διαπορεύεται. καὶ ἐπεί, ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Θ τὴν ΘΝ διαπορεύεται, ἡ ΥΑ δύνει, ἐν ἄρα τότε Υ τὴν ΥΞ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ Φ τὴν Β Φ, ἡ Θ Α δύνει. πάλιν, ἐπεὶ ἐν ᾧ τότε Κ τὴν ΚΞ διέρχεται
καὶ τὸ Χ τὴν ΧΒ, ἡ ΚΑ δύνει, ἐν ᾧ ἄρα τὸ Κ τὴν Κ διέρχεται, τουτέστι τὸ τὴν ΧΦ ὅμοιαι γάρ εἰσιν· ⁹¹⁰ ἡ ΚΘ δύνει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐν τὸ Η τὴν ΗΧ διέρχεται, ἡ ΗΚ δύνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρα μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΡΣΤ ἐφάπτεται, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΑΗ
λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους μειζόνων ἐφάπτεται ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ ἐφάπτεται, καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΘ, ΘΚ, Κ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ Β Η ∠, διὰ δὲ τῶν Θ, Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν οἱ ΣΦ, ΤΧ ἐφαπτόμενοι
τοῦ ΡΣΤ κύκλου, οὗ καὶ ὁ ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ ἐχήπτετο, ἀσύμπτωτα ποιοῦντες τὰ ἀπὸ τῶν Σ, Τ ἐπαφῶν ἡμικύκλια ὡς ἐπὶ τὰ Κ, Θ μέρη τῷ ΡΑΒ ἡμικυκλίῳ τοῦ ὁρίζοντος, ἐφʼ οὗ ἐστιν ἡ συναφὴ τοῦ λοξοῦ κύκλου ¹¹¹² ἡ μεταξὺ τοῦ τε φανεροῦ πόλου καὶ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων κύκλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΦ περιφέρεια τῆς ΦΧ, ἡ δὲ
ΦΧ τῆς ΧΗ· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Φ τὴν ΦΒ διέρχεται, ἤπερ τὸ Χ τὴν ΦΧ διέρχεται· ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ τὸ Χ τὴν ΦΧ ἤπερ Η τὸ τὴν ΗΧ· ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Φ τὴν ΦΒ διέρχεται, ἡ ΘΑ δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Χ τὴν ΧΦ διέρχεται, ἡ ΘΚ δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Η τὴν ΗΧ
διέρχεται, ἡ ΗΚ δύνει· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ μὲν ΑΘ τῆς ΚΘ δύνει, ἡ δὲ ΘΚ τῆς ΚΗ.

λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ. μετακεκινήσθω γὰρ ὁ τῶν ¹³¹⁴ ζῳδίων κύκλος καὶ τὸ ἐπὶ τὸ Β παραγινέσθω· ἔξει ἄρα θέσιν ὁ ζῳδιακὸς τὴν ΩΒΨ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ Κ τῇ ΗΛ ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Ω Β τῇ ΒΨ. καί ἐστι μέγιστος τῶν παραλλήλων ὁ ΒΗ∠, καὶ παράλληλοι κύκλοι
οἱ ΩΚ, ΨΛ ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ω Κ τῷ ΨΛ ὥστε καὶ ἡ ΒΞ τῇ ΒΟ ἴση ἐστίν, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω ἄρα ἐπὶ τὸ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ο ἐπὶ τὸ Ψ. ὥστε καὶ ἡ ΩΞ περι- ¹⁵
¹⁶
¹⁷¹⁸ φέρεια ἴση ἐστὶ τῇ Ο Ψ. ἐν ἄρα τὸ Ω ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΞΩ διέρχεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ψ τὴν ΨΟ. ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν τὸ Ω ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΩ διέρχεται, ἡ ΒΩ δύνει· ἐν ᾧ δὲ τὸ Ψ τὴν ΟΨ διέρχεται,
ἡ ΒΨ δύνει. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ αἱ ΩΒ, Β περιφέρειαι δύνουσιν· ὥστε καὶ αἱ ΚΗ, ΗΛ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν· ὁμοίως καὶ αἱ ΘΚ, ΛΜ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ΑΘ, ΜΓ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν. ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ¹⁹²⁰²¹ ἡ μὲν ΑΘ τῆς ΘΚ δύνει, ἡ δὲ ΘΚ τῆς Κ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ δύνει καὶ ἡ μὲν ΓΜ τῆς ΜΛ, ἡ δὲ ΜΛ τῆς ΛΗ. τὰ αὐτὰ δειχθήσεται καὶ ὅταν ὁ πόλος τῶν παραλλήλων ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ᾖ, καὶ γραφομένων διὰ τῶν Κ,
Θ μεγίστων κύκλων καὶ διὰ τοῦ πόλου γραφομένων ὥστε τῷ ἕκτῳ θεωρήματι τοῦ τρίτου βιβλίου τῶν Σφαιρικῶν.

²²²³²⁴

τοῦ ἄρα μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστῳ μὲν αἰ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἱσημερινῷ,
ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀλλήλαις ἀνατέλλουσιν.

Phaenomena. Euclid. ed. Heinrich Menge. United States. 2017.

Current edition First1KGreek

Phaenomena (Greek) (Euclid. Euclidis Opera Omnia, Volume 8. Menge, Heinrich, editor. Leipzig: Teubner, 1916.)

Notes on the current edition

Phaenomena

1. παραγένηται, ἀνατέλλει ἡ ΒΖ ὅταν δὲ τὸ Ε τὴν ΕΝ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγένηται, δύνει ἡ ΓΕ· ἐν ἄρα χρόνῳ ἡ ΒΖ περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ ΓΕ περιφέρεια δύνει.

2. ιβ΄. Τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι
τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν.

3. ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ ΕΖ, καὶ θτρινὸς μὲν τροπικὸς ὁ ΒΑ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ Γ∠, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον τὸ Β∠ ὑπὲρ γῆς, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ὁ ΗΘ, καὶ διῃρήσθω
ἑκατέρα τῶν ΒΞ, ∠Ξ εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ Κ, Λ, Μ, Ν

4. a. 1. δύνει] supra scr. ἀνατέλλει m. 2 V. ἐν — 2. δύνει] om. a. 6. ἀνίσοις] ἀν- supra m. 2 V. 7. ἐν] addidi.

5. b. 11. ΑΒΓ∠] Α∠ΓΒ m. 2 Vat. 12. ΑΒ] ΑΒ m. 2 V at. 13. Ι∠] ∠ m. 2 Vat. 15. ∠Ξ] Ξ∠ m. 2 Vat.

6. σημεῖα· λέγω, ὅτι αἱ ΒΚ, ΚΛ, ΛΞ, ΞΜ, ΜΝ, Ν∠ ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσι, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ ΒΚ, Ν∠, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ΚΛ, ΜΝ, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ ΛΞ, ΞΜ, ἐν ἴσοις δὲ ἡ μὲν ΛΞ τῇ ΞΜ, ἡ δὲ ΚΛ τῇ ΜΝ, ἡ δὲ ΒΚ
τῇ Ν∠.

7. a. 7. ΜΛ] ΜΚ a.

8. In fig. cod. L altera zodianci positio deest; litt. Ψ om. l.

9. ἔστωσαν καθʼ ὧν φέρεται τὰ Κ, Λ, Μ, Ν σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ ΟΠ, PΣ, ΤΥ, ΦΧ, καὶ γεγράφθωσαν διὰ τῶν Κ, Λ μέγιστοι κύκλοι οἱ Ψα, Ωβ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΕΖ κύκλου. ἐπεὶ αἱ ΒΚ, ΚΛ, ΛΞ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ Ηα,
αβ, ἄρα μείζονές εἰσιν ἀλλήλων, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς Η α, ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ Η α τῆς αβ, ἀλλʼ ἡ μὲν Η α τῇ Ο Κ ἐστιν ὁμοία, ἡ δὲ α β τῇ Ϛ Λ, καὶ ἡ Ο Κ ἄρα τῆς Ϛ Λ μτίζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, τῆς δὲ ΛΡ ἐλάσσων ἢ ὁμοία ἡ Ο Κ. ἔστω τῇ Ο Κ ὁμοία ἡ Λγ· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Κ
σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν Κ Ο περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Λ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Λ τὴν Λγ διελθὸν ἐπὶ τὸ γ παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἔξει ὡς τὴν γ Οδ. ἐπεὶ οὖν ὁμοία ἐστὶν ἡ ΟΚ

10. a. 3. οἱ] scripsi; τοῖς a. 8. ΞΥ] ΖΥ a. Post Β Φ add. Ο Ψ a. 9. ὥστε — 16. διέρχεται] καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Υ. τὴν ΥΞ περιφέρειαν διαπορευεται, ἡ ΑΘ δύνει, ἀλλʼ ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν διαπορεύεται, ἡ ΥΞ δύνει ἐν ᾧ δὲ τὸ Υ τὴν ΥΞ, καὶ τὸ τὴν Φ Β διαπορεύεται. ὥστε ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν Θ Ν διέρχεται, ἐν τούτῳ τό τε τὴν ΥΞ διαπορεύεται καὶ τὸ Φ τὴν Φ Π διαπορεύεται. πάλιν ἐπεὶ ἐν ᾧ τὸ Κ τὴν ΚΞ διέρχεται, ἡ ΚΑ δύνει,

11. περιφέρεια τῇ γΛ, ἀλλὰ ἡ ΟΚ τῇ Ρϛ ὁμοία ἐστίν, καὶ ἡ ΡϚ ἄρα τῇ γΛ ἐστιν ὁμοία· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ρϛ τῇ γΛ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ γϚ· λοιπὴ ἄρα ἡ Ργ τῇ ϚΛ ἐστιν ἴση. ἡ δὲ ΟΚ τῆς ϚΛ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία
καὶ ἡ ΟΚ ἄρα τῆς Ργ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Κ τὴν ΚΟ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται, ἤπερ τὸ γ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ γ τὴν γ Ρ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παρέσται. ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ Κ τὴν ΚΟ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται, δύνει ἡ ΒΚ
περιφέρεια, ἐν δὲ χρόνῳ τὸ γ τὴν γ Ρ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίνεται, δύνει ἡ ΚΛ περιφέρεια· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΒΚ δύνει ἤπερ ἡ ΚΛ. πάλιν ἐπεὶ μείζων ἐστιν ἡ αβ τῆς βΞ, ἀλλʼ ἡ αβ τῇ ϚΛ ἐστιν ὁμοία, καὶ ἡ ϚΛ ἄρα τῆς β μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία· πολλῷ ἄρα ἡ ΡΛ τῆς βΞ
μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, τῆς δὲ ΗΞ ἐλάσσων ἢ ὁμοία. ἔστω τῇ ΡΛ ὁμοία ἡ Ξε· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Ξ τὴν Ξε περιφέρειαν. διελθὸν ἐπὶ τὸ ε παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Λ τὴν ΛΡ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ε Ρη. ἐπεὶ οὖν ὁμοία ἐττὶν ἡ ΡΛ

12. a. 5. λοξὸς ὢν πρὸς τοὺς παραλλήλους) addidi. μειζόνων] μείζων a. 6. ἀπειλημέναι a. 8. BΗ∠] B a. δέ] addidi. 11 τῶν] supra m. 1 V.

13. τῇ ε Ξ, ἀλλʼ ἡ ΡΛ τῇ Ηβ ἐστιν ὁμοία, καὶ ἡ Ηβ ἄρα τῇ ε Ξ ἐστιν ὁμοία· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ηβ τῇ ε Ξ, περιφερείᾳ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ εβ· λοιπὴ ἄρα ἡ Η ε λοιπῇ τῇ β Ξ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἡ ϛ Λ τῆς βΞ μείζων ἐστὶν
ἢ ὁμοία, ἴση δὲ ἡ μὲν Ϛ Λ τῇ Ργ, ἡ δὲ βΞ τῇ Η ε, καὶ ἡ Ργ ἄρα τῆς Ηε μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ γ τὴν γ Ρ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται, ἤπερ τὸ ε τὴν ε H διελὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται. ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ γ τὴν γ Ρ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται,
ἡ γ Ο περιφέρεια δύνει, τουτέστιν ἡ ΚΛ περιφέρεια· ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ ε τὴν ε Η διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται, δύνει ἡ ε Ρ, τουτέστιν ἡ ΛΞ. περιφέρεια· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ Κ Λ δύνει ἤπερ ἡ ΛΞ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΤΜ τῆς Η Ξ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, ἔστω τῇ ΗΞ ὁμοία ἡ Μζ· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ
τὸ Ξ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΗ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Μ τὴν Μ ζ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ ζ παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ζ Ηθ. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΤΥ, ΡΣ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ Β∠ τὰς ΛΞ
ΞΜ ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν

14. a. 3. τῶν] punctis del. V.

15. ΗΘ, ἴσος ἐστὶν ὁ ΡΣ τῷ ΤΥ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΡΣ, ΤΥ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ∠ τὰς ΤΗ, ΗΡ ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΗΘ, ἴση ἐστὶν ἡ ΤΗ τῇ ΗΡ.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ζ Η τῇ Η θ ἴση, ἐπεὶ καὶ ἡ Λ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ ΞΜ ἴση ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ θ ἐπὶ τὸ P τῇ ἀπὸ τοῦ Τ ἐπὶ τὸ ζ. καί ἐστιν ἴσος ὁ ΡΣ κύκλος τῷ ΤΥ κύκλῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ θΡ περιφέρεια τῇ Τζ περιφερείᾳ. ἀλλʼ ἡ Θ Ρ τῇ Η ε περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ Η ε ἄρα τῇ Τ ζ ἐστὶν ὁμοία· ἐν ᾧ
ἄρα χρόνῳ τὸ ε ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ ε τὴν ε περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ ζ τὴν ζΤ διελθὸν ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται. ἀλλὰ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ ε ἐπὶ τὸ παραγίγνεται, δύνει ἡ ε Ρ περιφέρεια, τουτέστιν ἡ Λ Ξ περιφέρεια· ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ ζ ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται,
δύνει ἡ ζ Η περιφέρεια, τουτέστιν ἡ ΞΜ ἡ ΛΞ ἄρα περιφέρεια τῇ ΞΜ περιφερείᾳ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΚΞ τῇ ΞΝ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΜΝ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΒΚ τῇ Ν∠ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει.

16. καὶ ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΒΚ δύνει ἤπερ ἡ ΚΛ, ἡ δὲ ΚΛ ἤπερ ἡ ΛΞ, ἀλλʼ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ ΒΚ δύνει, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ∠Ν, ἐν ᾧ δὲ ἡ ΚΛ, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΜΝ, ἐν ᾧ δὲ ἡ ΛΞ, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΞΜ, καὶ ἡ μὲν ∠Ν ἄρα τῆς ΝΜ ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει, ἡ δὲ ΝΜ τῆς ΜΞ.

17. λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΛΞ τῇ ΞΜ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει, ἡ δὲ ΚΛ τῇ ΜΝ, ἡ δὲ ΒΚ τῇ Ν∠.

18. a. 3. ΗΛ] ΝΛ a. 5, Ψ (utrumque) ΘΑ a 6. Β Ο] ΩΞ] a.

19. καὶ θεωρείσθω τὰ λεγόμενα ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ ΑΓ καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα τῶν ΑΗ, ΗΓ εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ Θ, Κ, Λ, Μ σημεῖα, καὶ ἔστωσαν καθʼ ὧν φέρεται τὰ Θ, Κ, Α,
Μ σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ ΝΞ, ΟΠ, PΣ, ΤΥ ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῆς ΚΠ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, ἔστω τῇ ΚΠ ὁμοία ἡ ΗΦ· ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Κ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Κ τὴν ΚΠ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Π παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΗΦ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ
τὸ Φ παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΦΠΧ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΛΣ τῆς ΗΖ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία,

20. a. 6. αἱ] ἡ a.

21. b. 5. ἐπεί] καὶ ἐπεί m. 2 Vat,

22. ἔστω τῇ ΗΖ ὁμοία ἡ ΛΨ. ἐν ὁ ἄρα χρόνῳ τὸ τὴν ΗΖ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Λ τὴν Λ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ψ παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει ὡς τὴν ΨΖΩ. καὶ ἐπεὶ ἐν
σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΟΠ, ΡΣ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΓ τὰς ΛΗ, ΗΚ ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ, ἴσος ἐστὶν ὁ ΟΠ τῷ ΡΣ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΠΟ, ΡΣ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ∠ τὰς ΣΖ,
ΖΠ ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ, ἴση ἐστὶν ἡ ΣΖ τῆ Ζ Π ἔστι δὲ καὶ ἡ ΨΖ τῇ ΖΩ ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ Ω τῇ ἀπὸ τοῦ Ψ ἐπὶ τὸ Σ. καί ἐστιν ἴσος ὁ ΟΠ κύκλος τῷ ΡΣ κύκλῳ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΠΩ τῇ ΨΣ περιφερείᾳ. ἐπεὶ δὲ ἀσύμπτωτόν ἐστι τὸ ἀπὸ
τοῦ Χ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Χ, Π μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Ω ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Ω, Ζ μέρη, ὁμοία ἐστὶν ἡ ΠΩ περιφέρεια τῇ ΦΖ περιφερείᾳ. ἀλλὰ ἡ ΠΩ τῇ ΨΣ ἐστιν ὁμοία· καὶ ἡ ΦΖ ἄρα τῇ ΨΣ ἐστιν ὁμοία. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Φ τὴν ΦΖ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ
Ψ τὴν ΨΣ διελθὸν ἐπὶ τὸ Σ παραγίγνεται. ἀλλʼ ὅταν μὲν τὸ Φ ἐπὶ τὸ Ζ παραγένηται, ἀνατέλλει ἡ ΠΦ περιφέρεια, τουτέστιν ἡ ΚΗ· ὅταν δὲ τὸ Ψ ἐπὶ τὸ Σ παραγένηται, ἀνατέλλει ἡ ΨΖ περιφέρεια, τουτέστιν ἡ ΛΗ· ἡ ΚΗ ἄρα τῇ ΛΗ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει. ὁμοίως δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΚΘ
τῇ ΛΜ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀντέλλει, ἡ δὲ ΑΘ τῇ ΜΓ.

23. τοῦ ἄρα μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς

24. a. 2. ΓΜ] ΓΝ a ΜΛ (pr.)] corr. ex MA V. 4. καί) τῶν a. 5. γραφομένων — 6. Σφιρικῶν] deleo.

Euclid Phaenomena 12

ed. Heinrich Menge

Search the Perseus Catalog for:

ιβ΄.

Current edition First1KGreek

Notes on the current edition

Stable identifiers