Theon Smyrnaeus De utilitate mathematicae 37

τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ πολυγώνων ἀριθμῶν πρῶτος ὁ τρίγωνος, ὡς καὶ τῶν ἐπιπέδων εὐθυγράμμων σχη- μάτων πρῶτόν ἐστι τὸ τρίγωνον. πῶς δὲ γεννῶνται προείρηται, ὅτι τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ ἐξῆς ἀρτίου καὶ
περιττοῦ προστιθεμένου. πάντες δὲ οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοί, ἀπογεννῶντες τριγώνους ἢ τετραγώνους ἢ πολυγώνους, γνώμονες καλοῦνται. τοσούτων δὲ μονάδων ἕκαστον τρίγωνον ἔχει πλευρὰς πάντως, ὅσων καὶ μόνος ἐστὶν ὁ προσλαμβανόμενος γνώμων. οἷον ἔστω πρῶτον ἡ
μονάς, λεγομένη τρίγωνον οὐ κατʼ ἐντελέχειαν, ὡς προειρήκαμεν, ἀλλὰ κατὰ δύναμιν· ἐπεὶ γὰρ αὕτη οἷον σπέρμα πάντων ἐστὶν ἀριθμῶν, ἔχει ἐν αὑτῇ καὶ τρι- γωνοειδῆ δύναμιν. προσλαμβάνουσα γοῦν τὴν δυάδα ἀποτελεῖ τρίγωνον, ἔχον πλευρὰς τοσούτων μονάδων,
ὅσων ἐστὶν ὁ προσληφθεὶς γνώμων τῆς δυάδος. τὸ δὲ ὅλον τρίγωνον τοσούτων ἐστὶ μονάδων, ὅσων καὶ οἱ συντεθέντες γνώμονες. ὅ τε γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ 〈ὁ〉 τῶν δυεῖν γνώμων τὰ γ΄ ἐποιήσαν, ὥστε καὶ τὸ τρίγωνον ¹ ἔσται μὲν τριῶν μονάδων, ἕξει δʼ ἑκάστην πλευρὰν τῶν δυεῖν, ὅσοι καὶ οἱ γνώμονες συνετέθησαν. εἶτα τὸ γ΄ τρίγωνον προσλαμβάνει τὸν τῶν γ΄ γνώμονα, ὃς μονάδι ὑπερέχει τῆς δυάδος, καὶ γίνεται τὸ μὲν ὅλον τρί-
γωνον Ϛ΄· πλευρὰς δʼ ἕξει τοσούτων μονάδων καὶ τοῦτο τὸ τρίγωνον, ὅσοι γνώμονες συντέθεινται· ἐκ γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ β΄ καὶ γ΄ συνετέθη ὁ ϛ΄. α α αα αα ααα εἶτα ὁ Ϛ΄ προσλαμβάνει τὸν δ΄· γίνεται τὸ τοῦ ι΄ τρίγω- νον, ἑκάστην πλευρὰν ἔχον δ΄ μονάδων· ὁ γὰρ προσλη-
φθεὶς γνώμων ἦν ὁ δ΄, καὶ ἐκ δ΄ δὲ γνωμόνων ἦν τὸ ὅλον, τοῦ τε ἑνὸς καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄. ἔτι ὁ ι΄ προσ- λαμβάνει τὸν ε΄, καὶ γίνεται 〈τὸ τοῦ ιε΄〉 τρίγωνον, πλευρὰν ἔχον ἑκάστην μονάδων ε΄, καὶ ἐκ τῶν ε΄ γνω- μόνων συνέστη. ὁμοίως καὶ οἱ ἓξ γνώμονες . . . . . . . . . . . .
τοὺς γνωμονικοὺς ἀριθμοὺς ἀποτελοῦσι.