ἑτέρα δὲ πάλιν ἐστὶ τάξις ἐν τοῖς πολυγώνοις τῶν ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων ἀριθμῶν. τῶν γὰρ ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων, λέγω δὲ διπλασίων τριπλασίων καὶ τῶν ἑξῆς, οἱ μὲν ἕνα παῤ ἕνα διαλείποντες ἀριθμοὶ
τετράγωνοι πάντες εἰσίν, οἱ δὲ δύο διαλείποντες κύβοι πάντες, οἱ δὲ πέντε διαλείποντες κύβοι ἅμα καὶ τετρά- γωνοί εἰσι καὶ τὰς μὲν πλευρὰς ἔχουσι τετραγώνους 1 2 ἀριθμοὺς κύβοι ὄντες, τετράγωνοι δὲ ὄντες ἀριθμοὶ κυβικὰς ἔχουσι τὰς πλευράς. ὅτι δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀριθμιῶν οἱ μὲν παρʼ ἔνα ἀπὸ μονάδος τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ παρὰ βʹ κύβοι, οἱ δὲ παρὰ εʹ κύβοι ἄμα καὶ τε- τράγωνοί εἰσι, δῆλον οὕτως. ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις,
κειμένων πλειόνων ἀριθμῶν οἷον αʹ βʹ γʹ δʼ εʹ ςʹ ζʹ ηʹ θ΄ ι΄ ια΄ ιγ΄ ιδ΄ ιεʹ ιϛʹ ιζ ιηʹ ιθʹ κʹ καʹ κβʹ κγʹ κδʹ κε πρῶτος διπλάσιος ὁ β· εἶτα ὁ δʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· εἶτα ὁ ηʹ, ὅς ἐστι κύβος· εἶτα ιϛʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· εἴτα ὁ λβ΄· μεθʼ ὅν ὁ ἔδʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος ἅμα καὶ
κύβος· εἶτα ρκη· μεθʼ ὅν σνςʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. καὶ ἐν τῷ τριπλασίῳ εὑρεθήσονται οἱ παρʼ ἕνα τετράγωνοι, καὶ ἐν τῷ πεν- ταπλασίῳ, καὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς πολλαπλασίους. ὁμοίως δὲ εὑρεθήσονται καὶ οἱ δύο διαλείποντες ἐν τοῖς πολλα-
πλασίοις κύβοι πάντες, καὶ οἱ εʹ διαλείποντες κύβοι ἂμα καὶ τετράγωνοι. ἰδίως δὲ τοῖς τετραγώόνοις συμβέβηκεν ἤτοι τρίτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάντως, ἢ πάλιν τέταρτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχειν πάντως· καὶ τὸν μὲν μονάδος ἀφαιρε-
θείσης τρίτον ἔχοντα ἔχειν καὶ τέταρτον πάντως, ὡς ὁ δʹ, τὸν δὲ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχοντα ἔχειν τρίτον πάντως, ὡς ὁ θʹ, ἢ τὸν αὐτὸν πάλιν καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς ὁ λςʹ [ἢ μηδέτερον τούτων ἔχοντα τοῦτον μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάν-
3 4 τως], ἢ μήτε τρίτον μήτε τέταρτον ἔχοντα μονάδος ἀφαιρεθείσης καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς ὁ κε΄.
τετράγωνοι πάντες εἰσίν, οἱ δὲ δύο διαλείποντες κύβοι πάντες, οἱ δὲ πέντε διαλείποντες κύβοι ἅμα καὶ τετρά- γωνοί εἰσι καὶ τὰς μὲν πλευρὰς ἔχουσι τετραγώνους 1 2 ἀριθμοὺς κύβοι ὄντες, τετράγωνοι δὲ ὄντες ἀριθμοὶ κυβικὰς ἔχουσι τὰς πλευράς. ὅτι δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀριθμιῶν οἱ μὲν παρʼ ἔνα ἀπὸ μονάδος τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ παρὰ βʹ κύβοι, οἱ δὲ παρὰ εʹ κύβοι ἄμα καὶ τε- τράγωνοί εἰσι, δῆλον οὕτως. ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις,
κειμένων πλειόνων ἀριθμῶν οἷον αʹ βʹ γʹ δʼ εʹ ςʹ ζʹ ηʹ θ΄ ι΄ ια΄ ιγ΄ ιδ΄ ιεʹ ιϛʹ ιζ ιηʹ ιθʹ κʹ καʹ κβʹ κγʹ κδʹ κε πρῶτος διπλάσιος ὁ β· εἶτα ὁ δʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· εἶτα ὁ ηʹ, ὅς ἐστι κύβος· εἶτα ιϛʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· εἴτα ὁ λβ΄· μεθʼ ὅν ὁ ἔδʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος ἅμα καὶ
κύβος· εἶτα ρκη· μεθʼ ὅν σνςʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος· καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. καὶ ἐν τῷ τριπλασίῳ εὑρεθήσονται οἱ παρʼ ἕνα τετράγωνοι, καὶ ἐν τῷ πεν- ταπλασίῳ, καὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς πολλαπλασίους. ὁμοίως δὲ εὑρεθήσονται καὶ οἱ δύο διαλείποντες ἐν τοῖς πολλα-
πλασίοις κύβοι πάντες, καὶ οἱ εʹ διαλείποντες κύβοι ἂμα καὶ τετράγωνοι. ἰδίως δὲ τοῖς τετραγώόνοις συμβέβηκεν ἤτοι τρίτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάντως, ἢ πάλιν τέταρτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχειν πάντως· καὶ τὸν μὲν μονάδος ἀφαιρε-
θείσης τρίτον ἔχοντα ἔχειν καὶ τέταρτον πάντως, ὡς ὁ δʹ, τὸν δὲ μονάδος ἀφαιρεθείσης τέταρτον ἔχοντα ἔχειν τρίτον πάντως, ὡς ὁ θʹ, ἢ τὸν αὐτὸν πάλιν καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς ὁ λςʹ [ἢ μηδέτερον τούτων ἔχοντα τοῦτον μονάδος ἀφαιρεθείσης τρίτον ἔχειν πάν-
3 4 τως], ἢ μήτε τρίτον μήτε τέταρτον ἔχοντα μονάδος ἀφαιρεθείσης καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς ὁ κε΄.
De utilitate mathematicae. Theon Smyrnaeus. ed. Eduardus Hiller. United States. 2016.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.