οἱ δὲ τετράγωνοι γεννῶνται μέν, ὡς προείρηται, ἐκ τῶν ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος περιττῶν ἀλλήλοις ἐπισυντι- θεμένων· συμβέβηκε δὲ αὐτοῖς ὥστε ἐναλλὰξ παῤ ἕνα ἀρτίοις εἶναι καὶ περιττοῖς, ὥσπερ ὁ πᾶς ἀριθμὸς παῤ
ἕνα ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός· οἷον α΄ δ΄ θ΄ ις΄ κε΄ λϚ΄ μθ΄ ξδ΄ πα΄ ρ΄. τῇ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἐξῆς ἐκθέσει τῶν ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ἀριθμῶν συμβέβηκε, τοὺς γνώμονας τοὺς δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἐν τῇ συν- θέσει τετραγώνους ἀποτελεῖν, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται·
ὑπερέχουσι γὰρ δυάδι ἀλλήλων ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι 〈οἱ〉 περιττοί. ὁμοίως δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχον- τες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτε- λοῦσιν, ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι, αἰεί τε ἡ ὑπεροχὴ τῶν γνωμόνων ἐξ ὧν ἀποτελοῦνται οἱ πολύγωνοι δυάδι
λείπεται τοῦ πλήθους τῶν ἀποτελουμένων γωνιῶν.
ἕνα ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός· οἷον α΄ δ΄ θ΄ ις΄ κε΄ λϚ΄ μθ΄ ξδ΄ πα΄ ρ΄. τῇ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἐξῆς ἐκθέσει τῶν ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ἀριθμῶν συμβέβηκε, τοὺς γνώμονας τοὺς δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἐν τῇ συν- θέσει τετραγώνους ἀποτελεῖν, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται·
ὑπερέχουσι γὰρ δυάδι ἀλλήλων ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι 〈οἱ〉 περιττοί. ὁμοίως δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχον- τες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτε- λοῦσιν, ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι, αἰεί τε ἡ ὑπεροχὴ τῶν γνωμόνων ἐξ ὧν ἀποτελοῦνται οἱ πολύγωνοι δυάδι
λείπεται τοῦ πλήθους τῶν ἀποτελουμένων γωνιῶν.
De utilitate mathematicae. Theon Smyrnaeus. ed. Eduardus Hiller. United States. 2016.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.