δεικτέον δὲ καὶ τὸ ἀναστρέφον. ἔστω γὰρ πάλιν ζῳδιακὸς μὲν ὁ αβγδ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ᾱγ, καὶ κέντρον τὸ θ, ἡλίου δὲ κύκλος ἔκκεντρος ελυξ· καὶ ἔστω
ἀπογειότατον μὲν αὐτοῦ τὸ ε ὑπὸ ε΄ ς΄ μοῖραν τῶν Διδύμων, κέντρον δὲ ἐπὶ τῇ αθ τὸ η· καὶ γεγράφθω κέντρῳ μὲν τῷ θ, διαστήματι δὲ τῷ ηε, κύκλος ὁ μονξ. πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ μ, διαστήματι δὲ τῷ με, κύκλος γεγράφθω ὁ εζηκ· δῆλον οὖν ὡς οὗτος ἔσται ὁ
αὐτὸς τῷ ἐπικύκλῳ. λέγω δὴ ὅτι ὁ ἥλιος κινούμενος ὁμαλῶς κατὰ τοῦ ελυξ ἐκκέντρον γράψει κατὰ συμβεβη- κὸς καὶ τὸν εζηκ ἐπίκυκλον φερόμενον ὁμαλῶς κατὰ τοῦ μονξ καὶ ἰσοχρονίως τῷ ἡλίῳ. ἐνηνέχθω γὰρ ὁ ἥλιος τυχοῦσάν τινα περιφέρειαν ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου τὴν επ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ πη, καὶ 〈ἡ〉 ρθ παράλληλος, ἴση δὲ τῇ θη ἡ ορ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ πο. ἐπεὶ οὖν αἱ ηθ πο ἴσαι ἔσονται καὶ παράλληλοι, ἔστι δὲ ἡ θη ἴση τῇ με, τουτ- έστι τῇ ορ τῇ οπ, ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ ο, διαστήματι δὲ τῷ ορ γραφόμενος κύκλος ὕξει καὶ διὰ τοῦ π, καὶ
ὁ αὐτὸς ἔσται τῷ εζηκ ἐπικύκλῳ. γεγράφθω οὖν ὁ πρχ· ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους αἱ τ φ γωνίαι ἴσαι 1 εἰσὶν ἀλλήλαις, ἐν δὲ τοῖς κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐφʼ ὁμοίων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐν δὲ τοῖς ἴσοις καὶ ἐπὶ ἴσων, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις, αἱ ρπ επ μεο περιφέρειαι [δὲ] ὅμοιαι
ἔσονται ἀλλήλαις, αἱ δὲ επ μο καὶ ἴσαι. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν επ περιφέρειαν ἐκινήθη τοῦ ἐκκέντρου, ἐν τούτῳ καὶ τὸ μ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου, τὴν μο περι- φέρειαν ἐνεχθέν, τὸν εζη ἐπίκυκλον ἐπὶ τὸν πρχ μετή- νεγκε, καὶ ὁ ἥλιος τὴν επ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου διανύσας,
ἀρξάμενος ἀπὸ τοῦ ε, τουτέστιν ἀπὸ τοῦ ρ, καὶ τὴν ρπ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρειαν ὁμοίαν ἔγραψε. τὸ δʼ αὐτὸ δειχθήσεται καὶ κατὰ πᾶσαν κίνησιν ποιούμενος· ὥστε καὶ ὅλον διανύσας τὸν ἔκκεντρον ὁ ἥλιος ὅλον γράψει τὸν ἐπίκυκλον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ἀπογειότατον μὲν αὐτοῦ τὸ ε ὑπὸ ε΄ ς΄ μοῖραν τῶν Διδύμων, κέντρον δὲ ἐπὶ τῇ αθ τὸ η· καὶ γεγράφθω κέντρῳ μὲν τῷ θ, διαστήματι δὲ τῷ ηε, κύκλος ὁ μονξ. πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ μ, διαστήματι δὲ τῷ με, κύκλος γεγράφθω ὁ εζηκ· δῆλον οὖν ὡς οὗτος ἔσται ὁ
αὐτὸς τῷ ἐπικύκλῳ. λέγω δὴ ὅτι ὁ ἥλιος κινούμενος ὁμαλῶς κατὰ τοῦ ελυξ ἐκκέντρον γράψει κατὰ συμβεβη- κὸς καὶ τὸν εζηκ ἐπίκυκλον φερόμενον ὁμαλῶς κατὰ τοῦ μονξ καὶ ἰσοχρονίως τῷ ἡλίῳ. ἐνηνέχθω γὰρ ὁ ἥλιος τυχοῦσάν τινα περιφέρειαν ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου τὴν επ,
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ πη, καὶ 〈ἡ〉 ρθ παράλληλος, ἴση δὲ τῇ θη ἡ ορ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ πο. ἐπεὶ οὖν αἱ ηθ πο ἴσαι ἔσονται καὶ παράλληλοι, ἔστι δὲ ἡ θη ἴση τῇ με, τουτ- έστι τῇ ορ τῇ οπ, ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ ο, διαστήματι δὲ τῷ ορ γραφόμενος κύκλος ὕξει καὶ διὰ τοῦ π, καὶ
ὁ αὐτὸς ἔσται τῷ εζηκ ἐπικύκλῳ. γεγράφθω οὖν ὁ πρχ· ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους αἱ τ φ γωνίαι ἴσαι 1 εἰσὶν ἀλλήλαις, ἐν δὲ τοῖς κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἐφʼ ὁμοίων περιφερειῶν βεβήκασιν, ἐν δὲ τοῖς ἴσοις καὶ ἐπὶ ἴσων, ἐάν τε πρὸς τοῖς κέντροις ὦσιν ἐάν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις, αἱ ρπ επ μεο περιφέρειαι [δὲ] ὅμοιαι
ἔσονται ἀλλήλαις, αἱ δὲ επ μο καὶ ἴσαι. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν επ περιφέρειαν ἐκινήθη τοῦ ἐκκέντρου, ἐν τούτῳ καὶ τὸ μ κέντρον τοῦ ἐπικύκλου, τὴν μο περι- φέρειαν ἐνεχθέν, τὸν εζη ἐπίκυκλον ἐπὶ τὸν πρχ μετή- νεγκε, καὶ ὁ ἥλιος τὴν επ ἐπὶ τοῦ ἐκκέντρου διανύσας,
ἀρξάμενος ἀπὸ τοῦ ε, τουτέστιν ἀπὸ τοῦ ρ, καὶ τὴν ρπ τοῦ ἐπικύκλου περιφέρειαν ὁμοίαν ἔγραψε. τὸ δʼ αὐτὸ δειχθήσεται καὶ κατὰ πᾶσαν κίνησιν ποιούμενος· ὥστε καὶ ὅλον διανύσας τὸν ἔκκεντρον ὁ ἥλιος ὅλον γράψει τὸν ἐπίκυκλον· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
De utilitate mathematicae. Theon Smyrnaeus. ed. Eduardus Hiller. United States. 2016.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.