εὑρίσκονται δὲ αἱ μεσότητες κατὰ μὲν τὴν ἀριθμη- τικὴν 〈ἀναλογίαν〉 οὕτως. τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μείζονος
παρὰ τὸν ἐλάττονα τὸ ἥμισυ προστιθέντες τῷ ἐλάττονι ἕξομεν τὸν μέσον, ἢ ἑκατέρου τῶν δοθέντων ἀριθμῶν τὰ ἡμίσεα συνθέντες τὸν συντεθέντα μέσον εὑρήκαμεν, ἢ τοῦ συνθέτου ἐξ ἀμφοῖν λαμβάνοντες τὸ ἥμισυ [ὥστε καὶ εἰς τὰ Πλατωνικὰ τὸ χρήσιμον ἀνευρεῖν]. προστε-
τάχθω δύο ἀριθμῶν τῶν ιβʹ καὶ Ϛʹ μέσον ὅρον λαβεῖν κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν μεσότητα. λαμβάνομεν τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα ςʹ· ὧν ἥμισυ γʹ. ταῦτα προσθῶμεν τῷ ἐλάττονι· γίνεται θʹ, ὅς ἐστι μέσος τῶν ιβʹ καὶ ϛʹ, ἀριθμητικῶς τρισὶν ὑπερέχων καὶ
ὑπερεχόμενος· ιβʹ θʹ Ϛʹ. πάλιν συνθῶμεν τοὺς ἐξ ἀρχῆς ἄκρους τὰ ιβʹ καὶ τὰ ϛʹ· γίνεται ιηʹ. ὧν ἥμισυ θʹ, ὅς ἐστι μέσος.
παρὰ τὸν ἐλάττονα τὸ ἥμισυ προστιθέντες τῷ ἐλάττονι ἕξομεν τὸν μέσον, ἢ ἑκατέρου τῶν δοθέντων ἀριθμῶν τὰ ἡμίσεα συνθέντες τὸν συντεθέντα μέσον εὑρήκαμεν, ἢ τοῦ συνθέτου ἐξ ἀμφοῖν λαμβάνοντες τὸ ἥμισυ [ὥστε καὶ εἰς τὰ Πλατωνικὰ τὸ χρήσιμον ἀνευρεῖν]. προστε-
τάχθω δύο ἀριθμῶν τῶν ιβʹ καὶ Ϛʹ μέσον ὅρον λαβεῖν κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν μεσότητα. λαμβάνομεν τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα ςʹ· ὧν ἥμισυ γʹ. ταῦτα προσθῶμεν τῷ ἐλάττονι· γίνεται θʹ, ὅς ἐστι μέσος τῶν ιβʹ καὶ ϛʹ, ἀριθμητικῶς τρισὶν ὑπερέχων καὶ
ὑπερεχόμενος· ιβʹ θʹ Ϛʹ. πάλιν συνθῶμεν τοὺς ἐξ ἀρχῆς ἄκρους τὰ ιβʹ καὶ τὰ ϛʹ· γίνεται ιηʹ. ὧν ἥμισυ θʹ, ὅς ἐστι μέσος.
De utilitate mathematicae. Theon Smyrnaeus. ed. Eduardus Hiller. United States. 2016.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.