Β΄.
[toc] Τάδε ἔνεστιν ἐν τῷ β΄ τῆς Πτολεμαίου μαθηματικῆς συντάξεως·
αʹ. περὶ τῆς καθόλου θέσεως τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης.
β΄. πῶς δοθέντος τοῦ τῆς μεγίστης ἡμέρας μεγέθους αἱ ἀπολαμβανόμεναι τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαι ὑπό τε τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου δίδονται.
γ΄. πῶς τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου
δίδοται καὶ τὸ ἀνάπαλιν.
δίδοται καὶ τὸ ἀνάπαλιν.
δ΄, πῶς ἐπιλογιστέον, τίσιν καὶ πότε καὶ ποσάκις ὁ ἥλιος γίνεται κατὰ κορυφήν.
ε΄. πῶς ἀπὸ τῶν ἐκκειμένων οἱ λόγοι τῶν γνωμόνων πρὸς τὰς ἰσημερινὰς καὶ τροπικὰς ἐν ταῖς
μεσημβρίαις σκιὰς λαμβάνονται.
μεσημβρίαις σκιὰς λαμβάνονται.
ς΄, ἔκθεσις τῶν κατὰ παράλληλον ἰδιωμάτων.
ζ΄. περὶ τῶν ἐπὶ τῆς ἐγκεκλιμένης σφαίρας τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ συναναφορῶν.
η΄. ἔκθεσις κανονίων τῶν κατὰ δεκαμοιρίαν παράλληλον ἀναφορῶν.
θ΄. περὶ τῶν κατὰ μέρος ταῖς ἀναφοραῖς παρακολουθούντων.
ι΄. περὶ τῶν ὑπὸ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γινομένων γωνιῶν.
ια΄. περὶ τῶν ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ τοῦ
ὁρίζοντος γινομένων γωνιῶν.
ὁρίζοντος γινομένων γωνιῶν.
ιβ΄. περὶ τῶν πρὸς τὸν αὐτὸν κύκλον τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος γινομένων γωνιῶν καὶ περιφερειῶν.
ιγ΄. ἔκθεσις κατὰ παράλληλον τῶν προκειμένων γωνιῶν
καὶ περιφερειῶν.
καὶ περιφερειῶν.
α΄. Περὶ τῆς καθόλου θέσεως τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης.
Διεξελθόντες ἐν τῷ πρώτῳ τῆς συντάξεως τά τε περὶ τῆς τῶν ὅλων σχέσεως κατὰ τὸ κεφαλαιῶδες
ὀφείλοντα προληφθῆναι, καὶ ὅσα ἄν τις τῶν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας χρήσιμα πρὸς τὴν τῶν ὑποκειμένων θεωρίαν ἡγήσαιτο, πειρασόμεθα κατὰ τὸ ἑξῆς καὶ τῶν περὶ τὴν ἐγκεκλιμένην σφαῖραν συμβαινόντων τὰ κυριώτερα πάλιν, ὡς ἔνι μάλιστα, κατὰ τὸν εὐμεταχείριστον
τρόπον ἐφοδεῦσαι.
ὀφείλοντα προληφθῆναι, καὶ ὅσα ἄν τις τῶν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας χρήσιμα πρὸς τὴν τῶν ὑποκειμένων θεωρίαν ἡγήσαιτο, πειρασόμεθα κατὰ τὸ ἑξῆς καὶ τῶν περὶ τὴν ἐγκεκλιμένην σφαῖραν συμβαινόντων τὰ κυριώτερα πάλιν, ὡς ἔνι μάλιστα, κατὰ τὸν εὐμεταχείριστον
τρόπον ἐφοδεῦσαι.
καὶ ἐνταῦθα δὴ τὸ μὲν ὁλοσχερῶς ὀφεῖλον προληφθῆναι τοῦτό ἐστιν, ὅτι τῆς γῆς εἰς τέσσαρα διαιρουμένης
3
τεταρτημόρια τὰ γινόμενα ὑπό τε τοῦ κατὰ τὸν ἰσημερινὸν κύκλον καὶ ἑνὸς τῶν διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ γραφομένων τὸ τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης μέγεθος ὑπὸ τοῦ ἑτέρου τῶν βορείων ἔγγιστα ἐμπεριέχεται.
τοῦτο δʼ ἂν μάλιστα γένοιτο φανερὸν (ἐπὶ μὲν τοῦ πλάτους, τουτέστιν τῆς ἀπὸ μεσημβρίας πρὸς τὰς ἄρκτους παρόδου, διὰ τοῦ πανταχῆ τὰς ἐν ταῖς ἰσημερίαις τῶν γνωμόνων γιγνομένας μεσημβρινὰς σκιὰς πρὸς ἄρκτους αἰεὶ ποιεῖσθαι τὰς προσνεύσεις καὶ
μηδέποτε πρὸς μεσημβρίαν, ἐπὶ δὲ τοῦ μήκους, τουτέστιν τῆς ἀπὸ ἀνατολῶν πρὸς δυσμὰς παρόδου, διὰ τοῦ τὰς αὐτὰς ἐκλείψεις, μάλιστα δὲ τὰς σεληνιακάς, παρά τε τοῖς ἐπʼ ἄκρων τῶν ἀνατολικῶν μερῶν τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης οἰκοῦσι καὶ παρὰ τοῖς ἐπʼ ἄκρων τῶν
δυτικῶν κατὰ τὸν αὐτὸν χρόνον θεωρουμένας μὴ πλέον δώδεκα προτερεῖν ἢ ὑστερεῖν ὡρῶν ἰσημερινῶν αὐτοῦ κατὰ μῆκος τοῦ τεταρτημορίου δωδεκάωρον διάστημα περιέχοντος, ἐπειδήπερ ὑφʼ ἑνὸς τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικυκλίων ἀφορίζεται. τῶν δὲ κατὰ μέρος
ὀφειλόντων θεωρηθῆναι μάλιστʼ ἄν τις ἡγήσαιτο πρὸς τὴν προκειμένην πραγματείαν ἁρμόζειν τὰ καθʼ ἕκαστον τῶν βορειοτέρων τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου παραλλήλων αὐτῷ καὶ ταῖς ὑποκειμέναις οἰκήσεσι κατὰ τὰ κυριώτερα τῶν ἰδιωμάτων συμπίπτοντα· ταῦτα 4 5 6 δʼ ἐστίν, ὅσον τε οἱ πόλοι τῆς πρώτης φορᾶς τοῦ ὁρίζοντος ἀφεστήκασιν, ἢ ὅσον τὸ κατὰ κορυφὴν σημεῖον τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸν μεσημβρινὸν κύκλον, καί, οἷς ὁ ἥλιος κατὰ κορυφὴν γίνεται, πότε καὶ ποσάκις τὸ τοιοῦτο συμβαίνει, καὶ τίνες οἱ λόγοι τῶν ἰσημερινῶν
καὶ τροπικῶν ἐν ταῖς μεσημβρίαις σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας, καὶ πηλίκαι τῶν μεγίστων ἢ ἐλαχίστων ἡμερῶν παρὰ τὰς ἰσημερινὰς αἱ ὑπεροχαί, καὶ ὅσα ἄλλα περὶ τὰς κατὰ μέρος αὐξομειώσεις τῶν νυχθημέρων ἔτι τε περί τε τὰς συνανατολὰς καὶ συγκαταδύσεις
τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ περὶ τὰ ἰδιώματα καὶ τὰ μεγέθη τῶν γινομένων γωνιῶν ὑπὸ τῶν κυριωτέρων καὶ μεγίστων κύκλων ἐπισυμβαίνοντα θεωρεῖται.
τοῦτο δʼ ἂν μάλιστα γένοιτο φανερὸν (ἐπὶ μὲν τοῦ πλάτους, τουτέστιν τῆς ἀπὸ μεσημβρίας πρὸς τὰς ἄρκτους παρόδου, διὰ τοῦ πανταχῆ τὰς ἐν ταῖς ἰσημερίαις τῶν γνωμόνων γιγνομένας μεσημβρινὰς σκιὰς πρὸς ἄρκτους αἰεὶ ποιεῖσθαι τὰς προσνεύσεις καὶ
μηδέποτε πρὸς μεσημβρίαν, ἐπὶ δὲ τοῦ μήκους, τουτέστιν τῆς ἀπὸ ἀνατολῶν πρὸς δυσμὰς παρόδου, διὰ τοῦ τὰς αὐτὰς ἐκλείψεις, μάλιστα δὲ τὰς σεληνιακάς, παρά τε τοῖς ἐπʼ ἄκρων τῶν ἀνατολικῶν μερῶν τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης οἰκοῦσι καὶ παρὰ τοῖς ἐπʼ ἄκρων τῶν
δυτικῶν κατὰ τὸν αὐτὸν χρόνον θεωρουμένας μὴ πλέον δώδεκα προτερεῖν ἢ ὑστερεῖν ὡρῶν ἰσημερινῶν αὐτοῦ κατὰ μῆκος τοῦ τεταρτημορίου δωδεκάωρον διάστημα περιέχοντος, ἐπειδήπερ ὑφʼ ἑνὸς τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικυκλίων ἀφορίζεται. τῶν δὲ κατὰ μέρος
ὀφειλόντων θεωρηθῆναι μάλιστʼ ἄν τις ἡγήσαιτο πρὸς τὴν προκειμένην πραγματείαν ἁρμόζειν τὰ καθʼ ἕκαστον τῶν βορειοτέρων τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου παραλλήλων αὐτῷ καὶ ταῖς ὑποκειμέναις οἰκήσεσι κατὰ τὰ κυριώτερα τῶν ἰδιωμάτων συμπίπτοντα· ταῦτα 4 5 6 δʼ ἐστίν, ὅσον τε οἱ πόλοι τῆς πρώτης φορᾶς τοῦ ὁρίζοντος ἀφεστήκασιν, ἢ ὅσον τὸ κατὰ κορυφὴν σημεῖον τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸν μεσημβρινὸν κύκλον, καί, οἷς ὁ ἥλιος κατὰ κορυφὴν γίνεται, πότε καὶ ποσάκις τὸ τοιοῦτο συμβαίνει, καὶ τίνες οἱ λόγοι τῶν ἰσημερινῶν
καὶ τροπικῶν ἐν ταῖς μεσημβρίαις σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας, καὶ πηλίκαι τῶν μεγίστων ἢ ἐλαχίστων ἡμερῶν παρὰ τὰς ἰσημερινὰς αἱ ὑπεροχαί, καὶ ὅσα ἄλλα περὶ τὰς κατὰ μέρος αὐξομειώσεις τῶν νυχθημέρων ἔτι τε περί τε τὰς συνανατολὰς καὶ συγκαταδύσεις
τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ περὶ τὰ ἰδιώματα καὶ τὰ μεγέθη τῶν γινομένων γωνιῶν ὑπὸ τῶν κυριωτέρων καὶ μεγίστων κύκλων ἐπισυμβαίνοντα θεωρεῖται.
β΄. Πῶς δοθέντος τοῦ τῆς μεγίστης ἡμέρας
μεγέθους αἱ ἀπολαμβανόμεναι τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαι ὑπό τε τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου δίδονται.
Προκείσθω δὴ καθόλου τῶν ὑποδειγμάτων ἕνεκεν ὁ διὰ Ῥόδου γραφόμενος παράλληλος τῷ ἰσημερινῷ κύκλος,
ὅπου τὸ μὲν ἔξαρμα τοῦ πόλου μοιρῶν ἐστιν λς, ἡ δὲ 7 8 9 10 11 μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιδU+2220΄, καὶ ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, ὁρίζοντος δὲ ἀνατολικὸν ἡμικύκλιον τὸ Β Ε Δ, καὶ ἰσημερινοῦ
μὲν ἡμικύκλιον ὁμοίως τὸ ΑΕΓ, ὁ δὲ νότιος αὐτοῦ πόλος τὸ Ζ. ὑποκείσθωο δὲ τοῦ διὰ
μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τὸ χειμερινὸν τροπικὸν σημεῖον ἀνατέλλον διὰ τοῦ Η, καὶ γεγράφθω
διὰ τῶν Ζ, Η μεγίστου κύκλου τεταρτημόριον τὸ Ζ Η Θ. δεδόσθω δὲ πρῶτον τὸ μέγεθος τῆς μεγίστης ἡμέρας, καὶ προκείσθω τὴν Ε τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν εὑρεῖν.
ὅπου τὸ μὲν ἔξαρμα τοῦ πόλου μοιρῶν ἐστιν λς, ἡ δὲ 7 8 9 10 11 μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιδU+2220΄, καὶ ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, ὁρίζοντος δὲ ἀνατολικὸν ἡμικύκλιον τὸ Β Ε Δ, καὶ ἰσημερινοῦ
μὲν ἡμικύκλιον ὁμοίως τὸ ΑΕΓ, ὁ δὲ νότιος αὐτοῦ πόλος τὸ Ζ. ὑποκείσθωο δὲ τοῦ διὰ
μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τὸ χειμερινὸν τροπικὸν σημεῖον ἀνατέλλον διὰ τοῦ Η, καὶ γεγράφθω
διὰ τῶν Ζ, Η μεγίστου κύκλου τεταρτημόριον τὸ Ζ Η Θ. δεδόσθω δὲ πρῶτον τὸ μέγεθος τῆς μεγίστης ἡμέρας, καὶ προκείσθω τὴν Ε τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν εὑρεῖν.
ἐπεὶ τοίνυν ἡ τῆς σφαίρας στροφὴ περὶ τοὺς τοῦ
ἰσημερινοῦ πόλους ἀποτελεῖται, φανερόν, ὅτι ἐν τῳ αὐτῷ χρόνῳ τό τε Η σημεῖον καὶ τὸ Θ κατὰ τὸν Α Β Γ Δ μεσημβρινὸν ἔσται, καὶ ὁ μὲν ἀπʼ ἀνατολῆς μέχρι τῆς ὑπὲρ γῆν μεσουρανήσεως τοῦ Η χρόνος ὁ περιεχόμενος ἐστὶν ὑπὸ τῆς Θ Α τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερείας,
ὁ δʼ ἀπὸ τῆς ὑπὸ γῆν μεσουρανήσεως μέχρι 12 13 14 τῆς ἀνατολῆς ὁ περιεχόμενος ὑπὸ τῆς Γ Θ. ἀκόλουθον δέ ἐστιν, ὅτι καὶ ὁ μὲν τῆς ἡμέρας χρόνος ὁ διπλασίων ἐστὶν τοῦ ὑπὸ τῆς Θ Α περιεχομένου, ὁ δὲ τῆς νυκτὸς ὁ διπλασίων τοῦ ὑπὸ τῆς Γ Θ περιεχομένου, ἐπειδήπερ καὶ χωρὶς τά τε ὑπὲρ γῆν καὶ τὰ ὑπὸ γῆν τμήματα
τῶν παραλλήλων τῷ ἰσημερινῷ κύκλων πάντων διχοτομεῖται ὑπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ.
ἰσημερινοῦ πόλους ἀποτελεῖται, φανερόν, ὅτι ἐν τῳ αὐτῷ χρόνῳ τό τε Η σημεῖον καὶ τὸ Θ κατὰ τὸν Α Β Γ Δ μεσημβρινὸν ἔσται, καὶ ὁ μὲν ἀπʼ ἀνατολῆς μέχρι τῆς ὑπὲρ γῆν μεσουρανήσεως τοῦ Η χρόνος ὁ περιεχόμενος ἐστὶν ὑπὸ τῆς Θ Α τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερείας,
ὁ δʼ ἀπὸ τῆς ὑπὸ γῆν μεσουρανήσεως μέχρι 12 13 14 τῆς ἀνατολῆς ὁ περιεχόμενος ὑπὸ τῆς Γ Θ. ἀκόλουθον δέ ἐστιν, ὅτι καὶ ὁ μὲν τῆς ἡμέρας χρόνος ὁ διπλασίων ἐστὶν τοῦ ὑπὸ τῆς Θ Α περιεχομένου, ὁ δὲ τῆς νυκτὸς ὁ διπλασίων τοῦ ὑπὸ τῆς Γ Θ περιεχομένου, ἐπειδήπερ καὶ χωρὶς τά τε ὑπὲρ γῆν καὶ τὰ ὑπὸ γῆν τμήματα
τῶν παραλλήλων τῷ ἰσημερινῷ κύκλων πάντων διχοτομεῖται ὑπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ.
διὰ δὲ τοῦτο καὶ ἡ μὲν Ε Θ περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τοῦ διαφόρου τῆς ἐλαχίστης ἢ μεγίστης ἡμέρας παρὰ τὴν ἰσημερινὴν μιᾶς μὲν ὥρας καὶ δ΄ γίνεται
κατὰ τὸν ὑποκείμενον παράλληλον, χρόνων δὲ δηλονότι ιη με, ἡ δὲ λοιπὴ εἰς τὸ τεταρτημόριον ἡ Θ Α τῶν αὐτῶν οα ιε. ἐπειδὴ οὖν κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν ἀποδεδειγμένοις εἰς δύο μεγίστων κύκλων περιφερείας τὰς Α Ε καὶ Α Ζ δύο γεγραμμέναι εἰσὶν αἱ Ε Β καὶ
ΖΘ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν
τῆς Β Ε p. 76, 3. ἀλλὰ ἡ μὲν τῆς Θ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρμβ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριγ λζ νδ, ἡ δὲ τῆς Α Ε μοιρῶν ρπ καὶ ἡ 15 16 17 ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Θ Ζ διπλῆ μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, ἡ δὲ τῆς Ζ Η μοιρῶν ρλβ ιζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ
λόγου τῶν ριγ λζ νδ πρὸς τὰ ρκ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρκ πρὸς τὰ ρθ μδ νγ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε λόγος ὁ τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε περιφερείας, ἐπεὶ τεταρτημορίου
τυγχάνει, τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Η Β τῶν αὐτῶν ἐστιν ργ νε κγ· ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Β Η περιφερείας ἔσται μοιρῶν ρκ ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ Β Η τῶν αὐτῶν ξ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Η Ε τοιούτων καταλείπεται λ, οἵων ἐστὶν ὁ ὁρίζων
τξ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
κατὰ τὸν ὑποκείμενον παράλληλον, χρόνων δὲ δηλονότι ιη με, ἡ δὲ λοιπὴ εἰς τὸ τεταρτημόριον ἡ Θ Α τῶν αὐτῶν οα ιε. ἐπειδὴ οὖν κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν ἀποδεδειγμένοις εἰς δύο μεγίστων κύκλων περιφερείας τὰς Α Ε καὶ Α Ζ δύο γεγραμμέναι εἰσὶν αἱ Ε Β καὶ
ΖΘ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν
τῆς Β Ε p. 76, 3. ἀλλὰ ἡ μὲν τῆς Θ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρμβ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριγ λζ νδ, ἡ δὲ τῆς Α Ε μοιρῶν ρπ καὶ ἡ 15 16 17 ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Θ Ζ διπλῆ μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, ἡ δὲ τῆς Ζ Η μοιρῶν ρλβ ιζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ
λόγου τῶν ριγ λζ νδ πρὸς τὰ ρκ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρκ πρὸς τὰ ρθ μδ νγ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε λόγος ὁ τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε περιφερείας, ἐπεὶ τεταρτημορίου
τυγχάνει, τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Η Β τῶν αὐτῶν ἐστιν ργ νε κγ· ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Β Η περιφερείας ἔσται μοιρῶν ρκ ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ Β Η τῶν αὐτῶν ξ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Η Ε τοιούτων καταλείπεται λ, οἵων ἐστὶν ὁ ὁρίζων
τξ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
γ΄. Πῶς τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου δίδοται καὶ τὸ ἀνάπαλιν.
Προκείσθω δὴ πάλιν τούτου δεδομένου καὶ τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου λαβεῖν, τουτέστιν τὴν Β Ζ περιφέρειαν τοῦ
μεσημβρινοῦ. γίνεται τοίνυν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν 18 τῆς Θ A λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Η πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α p. 74, 15. ἀλλ᾿ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ε Θ μοιρ ἐστιν λζ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων λη λδ κβ,
ἡ δὲ διπλῆ τῆς Θ Α μοιρῶν ρμβ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριγ λζ νδ, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ε Η μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς Η Β μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ργ νε κγ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου
τῶν λη λδ κβ πρὸς τὰ ριγ λζ νδ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ργ νε κγ, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος ὁ τῶν λγ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν πάλιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α περιφερείας τμημάτων
ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Β Ζ τῶν αὐτῶν ἐστιν ο λγ· ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Β Ζ περιφερείας ἔσται μοιρῶν οβ α, ἡ δὲ Β Ζ τῶν αὐτῶν λς ἔγγιστα.
μεσημβρινοῦ. γίνεται τοίνυν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν 18 τῆς Θ A λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Η πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α p. 74, 15. ἀλλ᾿ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ε Θ μοιρ ἐστιν λζ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων λη λδ κβ,
ἡ δὲ διπλῆ τῆς Θ Α μοιρῶν ρμβ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριγ λζ νδ, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς Ε Η μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς Η Β μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ργ νε κγ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου
τῶν λη λδ κβ πρὸς τὰ ριγ λζ νδ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ργ νε κγ, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος ὁ τῶν λγ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν πάλιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α περιφερείας τμημάτων
ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς Β Ζ τῶν αὐτῶν ἐστιν ο λγ· ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς Β Ζ περιφερείας ἔσται μοιρῶν οβ α, ἡ δὲ Β Ζ τῶν αὐτῶν λς ἔγγιστα.
πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἀνάπαλιν ἡ μὲν
Β Ζ περιφέρεια τοῦ ἐξάρματος τοῦ πόλου δεδόσθω 19 20 21 22 τετηρημένη μοιρῶν λς, προκείσθω δὲ εὑρεῖν τὸ διάφορον τῆς ἐλαχίστης ἢ μεγίστης ἡμέρας παρὰ τὴν ἰσημερινήν, τουτέστιν τὴν διπλῆν τῆς ΕΘ περιφερείας. γίνεται τοίνυν διὰ τὰ αὐτὰ p. 74, 15 ὁ τῆς ὑπὸ τὴν
διπλῆν τῆς ΖΒ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ. ἀλλʼ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΒ
μοιρῶν ἐστιν οβ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ο λβ γ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΒΑ μοιρῶν ρη καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ??ζ δ νς, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΗ μοιρῶν ἐστιν ρλβ ῑζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς
ΗΘ μοιρῶν μζ μβ μ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λᾱ νε· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ο λβ γ πρὸς ??ζ δ νς λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μη λᾱ νε, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ λόγος ὁ τῶν
λᾱ ῑᾱ κγ πρὸς τὰ ??ζ δ νς. καὶ ἐπειδὴ ὁ αὐτὸς λόγος ἐστὶν ἔγγιστα καὶ τῶν λη λδ πρὸς τὰ ρκ, ἡ δὲ ὑπὸ 23 24 25 26 27 τὴν διπλῆν τῆς Ε Α τμημάτων ἐστὶν ρκ, συνάγεται καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ τῶν αὐτῶν λη λδ ὥστε καὶ ἡ διπλῆ τῆς Ε Θ περιφερείας μοιρῶν μὲν ἔσται λζ λ ἔγγιστα, ὡρῶν δὲ ἰσημερινῶν βU+2220΄ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Β Ζ περιφέρεια τοῦ ἐξάρματος τοῦ πόλου δεδόσθω 19 20 21 22 τετηρημένη μοιρῶν λς, προκείσθω δὲ εὑρεῖν τὸ διάφορον τῆς ἐλαχίστης ἢ μεγίστης ἡμέρας παρὰ τὴν ἰσημερινήν, τουτέστιν τὴν διπλῆν τῆς ΕΘ περιφερείας. γίνεται τοίνυν διὰ τὰ αὐτὰ p. 74, 15 ὁ τῆς ὑπὸ τὴν
διπλῆν τῆς ΖΒ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ. ἀλλʼ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΒ
μοιρῶν ἐστιν οβ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ο λβ γ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΒΑ μοιρῶν ρη καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ??ζ δ νς, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΗ μοιρῶν ἐστιν ρλβ ῑζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς
ΗΘ μοιρῶν μζ μβ μ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λᾱ νε· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ο λβ γ πρὸς ??ζ δ νς λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μη λᾱ νε, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ λόγος ὁ τῶν
λᾱ ῑᾱ κγ πρὸς τὰ ??ζ δ νς. καὶ ἐπειδὴ ὁ αὐτὸς λόγος ἐστὶν ἔγγιστα καὶ τῶν λη λδ πρὸς τὰ ρκ, ἡ δὲ ὑπὸ 23 24 25 26 27 τὴν διπλῆν τῆς Ε Α τμημάτων ἐστὶν ρκ, συνάγεται καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ τῶν αὐτῶν λη λδ ὥστε καὶ ἡ διπλῆ τῆς Ε Θ περιφερείας μοιρῶν μὲν ἔσται λζ λ ἔγγιστα, ὡρῶν δὲ ἰσημερινῶν βU+2220΄ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δοθήσεται καὶ ἡ Ε Η τοῦ ὁρίζοντος περιφέρεια διὰ τὸ καὶ τὸν τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β λόγον δεδομένον συνῆφθαι
p. 76, 3 ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η δεδομένου καὶ
αὐτοῦ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β, ὥστε καὶ τῆς Ε Β δεδομένης καταλείπεσθαι καὶ τὸ τῆς Ε Η μέγεθος.
αὐτοῦ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β, ὥστε καὶ τῆς Ε Β δεδομένης καταλείπεσθαι καὶ τὸ τῆς Ε Η μέγεθος.
φανερὸν δʼ, ὅτι, κἂν μὴ τὸ χειμερινὸν τροπικὸν σημεῖον ὑποθώμεθα τὸ Η, τῶν ἄλλων δέ τι τοῦ διὰ
μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων, κατὰ τὰ αὐτὰ πάλιν ἑκατέρα τῶν Ε Θ καὶ Ε Η περιφερειῶν δοθήσεται προεκτιθεμένων τε ἡμῖν διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου τῶν ἀπολαμβανομένων τοῦ μεσημβρινοῦ περιφερειῶν ὑφʼ ἑκάστου τμήματος τοῦ διὰ μέσων
τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, τουτέστιν τῶν ὁμοίων τῇ Η Θ περιφερείᾳ, καὶ παρακολουθοῦντος 28 29 30 31 μὲν αὐτόθεν τοῦ τὰ ὑπὸ τῶν αὐτῶν παραλλήλων γινόμενα τμήματα τοῦ διὰ μέσων, τουτέστιν τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου, τὰς αὐτὰς καὶ ἐπὶ
τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ ἰσημερινοῦ ποιεῖν τὰς τοῦ ὁρίζοντος τομὰς καὶ τὰ τῶν νυχθημέρων μεγέθη ἴσα ἑκάτερα ἑκατέροις τῶν ὁμοίων, συναποδεικνυμένου δὲ
τοῦ καὶ τὰ ὑπὸ τῶν ἴσων παραλλήλων γινόμενα, τουτέστιν τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου, τάς τε τοῦ ὁρίζοντος περιφερείας ἴσας ἑκατέρωθεν τοῦ ἰσημερινοῦ ποιεῖν καὶ τῶν νυχθημέρων ἐναλλὰξ ἴσα τὰ μεγέθη τῶν ἀνομοίων. ἐὰν
γὰρ ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης καταγραφῆς ὑποθώμεθα καὶ τὸ Κ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνει τὸ Β Ε Δ τοῦ ὁρίζοντος ἡμικύκλιον ὁ ἴσος καὶ παράλληλος τῷ διὰ τοῦ Η γραφομένῳ, καὶ συναναπληρώσωμεν τὰ Η Δ καὶ Κ Μ τῶν παραλλήλων τμήματα ἐναλλὰξ καὶ ἴσα δηλονότι γινόμενα
διά τε τοῦ Κ καὶ τοῦ βορείου πόλου τὸ Ν Κ Ξ γράψωμεν τεταρτημόριον, ἴσαι μὲν ἔσονται ἡ μὲν Θ Α περιφέρεια τῇ Ξ Γ διὰ τὸ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τῶν Λ Η καὶ Μ Κ ὁμοίαν εἶναι, καταλειφθήσεται δὲ καὶ λοιπὴ ἡ Ε Θ λοιπῇ τῇ Ε Ξ ἴση, γενήσονται δὲ καὶ δύο τριπλεύρων ὁμοίων 32 33 34 35 τῶν ΕΗΘ καὶ ΕΚΞ αἱ δύο μὲν πλευραὶ ταῖς δυσὶν ἴσαι, ἡ μὲν ΕΘ τῇ ΕΞ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΚΞ, ὀρθὴ δὲ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Θ καὶ Ξ γωνιῶν, ὥστε καὶ βάσιν τὴν ΕΗ βάσει τῇ ΚΕ γίνεσθαι ἴσην.
μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων, κατὰ τὰ αὐτὰ πάλιν ἑκατέρα τῶν Ε Θ καὶ Ε Η περιφερειῶν δοθήσεται προεκτιθεμένων τε ἡμῖν διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου τῶν ἀπολαμβανομένων τοῦ μεσημβρινοῦ περιφερειῶν ὑφʼ ἑκάστου τμήματος τοῦ διὰ μέσων
τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, τουτέστιν τῶν ὁμοίων τῇ Η Θ περιφερείᾳ, καὶ παρακολουθοῦντος 28 29 30 31 μὲν αὐτόθεν τοῦ τὰ ὑπὸ τῶν αὐτῶν παραλλήλων γινόμενα τμήματα τοῦ διὰ μέσων, τουτέστιν τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου, τὰς αὐτὰς καὶ ἐπὶ
τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ ἰσημερινοῦ ποιεῖν τὰς τοῦ ὁρίζοντος τομὰς καὶ τὰ τῶν νυχθημέρων μεγέθη ἴσα ἑκάτερα ἑκατέροις τῶν ὁμοίων, συναποδεικνυμένου δὲ
τοῦ καὶ τὰ ὑπὸ τῶν ἴσων παραλλήλων γινόμενα, τουτέστιν τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου, τάς τε τοῦ ὁρίζοντος περιφερείας ἴσας ἑκατέρωθεν τοῦ ἰσημερινοῦ ποιεῖν καὶ τῶν νυχθημέρων ἐναλλὰξ ἴσα τὰ μεγέθη τῶν ἀνομοίων. ἐὰν
γὰρ ἐπὶ τῆς ἐκκειμένης καταγραφῆς ὑποθώμεθα καὶ τὸ Κ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνει τὸ Β Ε Δ τοῦ ὁρίζοντος ἡμικύκλιον ὁ ἴσος καὶ παράλληλος τῷ διὰ τοῦ Η γραφομένῳ, καὶ συναναπληρώσωμεν τὰ Η Δ καὶ Κ Μ τῶν παραλλήλων τμήματα ἐναλλὰξ καὶ ἴσα δηλονότι γινόμενα
διά τε τοῦ Κ καὶ τοῦ βορείου πόλου τὸ Ν Κ Ξ γράψωμεν τεταρτημόριον, ἴσαι μὲν ἔσονται ἡ μὲν Θ Α περιφέρεια τῇ Ξ Γ διὰ τὸ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ τῶν Λ Η καὶ Μ Κ ὁμοίαν εἶναι, καταλειφθήσεται δὲ καὶ λοιπὴ ἡ Ε Θ λοιπῇ τῇ Ε Ξ ἴση, γενήσονται δὲ καὶ δύο τριπλεύρων ὁμοίων 32 33 34 35 τῶν ΕΗΘ καὶ ΕΚΞ αἱ δύο μὲν πλευραὶ ταῖς δυσὶν ἴσαι, ἡ μὲν ΕΘ τῇ ΕΞ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΚΞ, ὀρθὴ δὲ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Θ καὶ Ξ γωνιῶν, ὥστε καὶ βάσιν τὴν ΕΗ βάσει τῇ ΚΕ γίνεσθαι ἴσην.
δ΄. Πῶς ἐπιλογιστέον, τίσιν καὶ πότε καὶ ποσάκις
ὁ ἥλιος γίνεται κατὰ κορυφήν.
Πρόχειρον δέ ἐστιν τούτων δεδομένων τὸ συνεπιλογίζεσθαι, τίσι καὶ πότε καὶ ποσάκις ὁ ἥλιος κατὰ κορυφὴν γίνεται. φανεροῦ γὰρ ὄντος αὐτόθεν, ὅτι τοῖς μὲν ὑπὸ τοὺς πλεῖον ἀπέχοντας τοῦ ἰσημερινοῦ
παραλλήλους τῶν τῆς ὅλης ἀποστάσεως τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ σημείου μοιρῶν κγ νᾱ κ ἔγγιστα οὐδʼ ὅλως ὁ ἥλιος γίνεται κατὰ κορυφήν, τοῖς δὲ ὑπὸ τοὺς αὐτὸ τὸ τοσοῦτον ἀφεστῶτας ἅπαξ ἐν αὐτῇ τῇ θερινῇ τροπῇ, δῆλον γίνεται καί, ὅτι τοῖς ὑπὸ τοὺς ἐλάσσονας
τῶν ἐκκειμένων μοιρῶν ἀπέχοντας δὶς γίνεται κατὰ κορυφήν· καὶ τὸ πότε δὲ πρόχειρον ποιεῖ ἡ τοῦ κανονίου τῆς λοξώσεως ἔκθεσις. ὅσας γὰρ ἂν ὁ ἐπιζητούμενος παράλληλος ἀπέχῃ τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας, τῶν ἐντὸς δηλονότι τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ, τὰς τοσαύτας
εἰσενεγκόντες εἰς τὰ δεύτερα μέρη τῶν σελιδίων τὰς παρακειμένας αὐταῖς ἐκ τοῦ τεταρτημορίου μοίρας ἐν 36 37 38 39 40 τοῖς πρώτοις μέρεσι τῶν σελιδίων ἕξομεν, ὅσας ἀπέχων ὁ ἥλιος ἀφʼ ἑκατέρου τῶν ἰσημερινῶν σημείων ὡς πρὸς τὸ θερινὸν τροπικὸν κατὰ κορυφὴν τοῖς ὑπʼ ἐκεῖνον τὸν ἐκκείμενον παράλληλον γίνεται.
παραλλήλους τῶν τῆς ὅλης ἀποστάσεως τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ σημείου μοιρῶν κγ νᾱ κ ἔγγιστα οὐδʼ ὅλως ὁ ἥλιος γίνεται κατὰ κορυφήν, τοῖς δὲ ὑπὸ τοὺς αὐτὸ τὸ τοσοῦτον ἀφεστῶτας ἅπαξ ἐν αὐτῇ τῇ θερινῇ τροπῇ, δῆλον γίνεται καί, ὅτι τοῖς ὑπὸ τοὺς ἐλάσσονας
τῶν ἐκκειμένων μοιρῶν ἀπέχοντας δὶς γίνεται κατὰ κορυφήν· καὶ τὸ πότε δὲ πρόχειρον ποιεῖ ἡ τοῦ κανονίου τῆς λοξώσεως ἔκθεσις. ὅσας γὰρ ἂν ὁ ἐπιζητούμενος παράλληλος ἀπέχῃ τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας, τῶν ἐντὸς δηλονότι τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ, τὰς τοσαύτας
εἰσενεγκόντες εἰς τὰ δεύτερα μέρη τῶν σελιδίων τὰς παρακειμένας αὐταῖς ἐκ τοῦ τεταρτημορίου μοίρας ἐν 36 37 38 39 40 τοῖς πρώτοις μέρεσι τῶν σελιδίων ἕξομεν, ὅσας ἀπέχων ὁ ἥλιος ἀφʼ ἑκατέρου τῶν ἰσημερινῶν σημείων ὡς πρὸς τὸ θερινὸν τροπικὸν κατὰ κορυφὴν τοῖς ὑπʼ ἐκεῖνον τὸν ἐκκείμενον παράλληλον γίνεται.
ε΄. Πῶς ἀπὸ τῶν ἐκκειμένων οἱ λόγοι τῶν γνωμόνων πρὸς τὰς ἰσημερινὰς καὶ τροπικὰς ἐν ταῖς μεσημβρίαις σκιὰς λαμβάνονται.
Ὅτι δὲ καὶ οί προκείμενοι λόγοι τῶν σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας ἁπλούστερον λαμβάνονται δοθέντων
ἅπαξ τῆς τε μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφερείας καὶ τῆς μεταξὺ τοῦ ὁρίζοντος καὶ τῶν πόλων, οὕτως ἂν γένοιτο δῆλον.
ἅπαξ τῆς τε μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφερείας καὶ τῆς μεταξὺ τοῦ ὁρίζοντος καὶ τῶν πόλων, οὕτως ἂν γένοιτο δῆλον.
ἔστω γὰρ μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέντρον τὸ Ε, καὶ ὑποκειμένου τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου
τοῦ Α διήχθω ἡ ΑΚΓ διάμετρος, ᾗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἤχθω ἐν τῷ τοῦ μεσημβρινοῦ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΚΖΝ, παράλληλος δηλονότι γινομένη τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τε ὁρίζοντος καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ γῆ σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχει πρὸς αἴσθησιν πρὸς
τὴν τοῦ ἡλίου σφαῖραν, ὥστε ἀδιαφορεῖν τὸ Ε κέντρον τῆς τοῦ γνώμονος κορυφῆς, νοείσθω γνώμων μὲν ὁ ΓΕ, ἡ δὲ ΓΚΖΝ εὐθεῖα, ἐφʼ ἣν ἐν ταῖς μεσημβρίαις 41 42 43 πεσεῖται τὰ ἄκρα τῶν σκιῶν, καὶ διήχθωσαν διὰ τοῦ Ε ἥ τε ἰσημερινὴ καὶ αἰ τροπικαὶ μεσημβριναὶ ἀκτῖνες. ἔστω δὲ ἰσημερινὴ μὲν ἡ ΒΕΔΖ, θερινὴ δὲ ἡ ΗΕΘΚ, χειμερινὴ δὲ ἡ ΛΕΜΝ, ὥστε καὶ τὴν μὲν ΓΚ θερινὴν γίνεσθαι σκιάν, τὴν
δὲ ΓΖ ἰσημερινήν, τὴν δὲ ΓΝ χειμερινήν. ἐπεὶ τοίνυν ἡ μὲν ΓΔ περιφέρεια, ᾗ τὴν ἴσην ἐξῆρται ὁ
βόρειος πόλος τοῦ ὁρίζοντος, ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου κλίματος τοιούτων ἐστὶν λς, οἵων ὁ ΑΒΓ μεσημβρινὸς τξ, ἑκατέρα δὲ τῶν ΘΔ καὶ ΔΜ τῶν αὐτῶν κγ να κ, φανερόν,
ὅτι καὶ λοιπὴ μὲν ἡ ΓΘ περιφέρεια τμημάτων ἔσται ῑβ η μ, ὅλη δὲ ἡ ΓΜ τῶν αὐτῶν νθ να κ. ὥστε καὶ τῶν ὑπὸ αὐτὰς γωνιῶν, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΚΕΓ γωνία ἐστὶν ιβ η μ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΕΓ τῶν αὐτῶν λς, ἡ δὲ ὑπὸ ΝΕΓ ὁμοίως
νθ να κ, οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΚΕΓ γωνία κδ ῑζ κ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΕΓ τῶν αὐτῶν οβ, ἡ δὲ ὑπὸ ΝΕΓ ὁμοίως ριθ μβ μ. καὶ 44 45 46 47 48 τῶν γραφομένων ἄρα κύκλων περὶ τὰ ΚΕΓ καὶ ΖΕΓ καὶ ΝΕΓ τρίγωνα ὀρθογώνια ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΓΚ εὐθείας περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν κδ ιζ κ καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΓΕ, λείπουσα δὲ εἰς τὸ ἡμικύκλιον,
τῶν αὐτῶν ριθ μβ μ, ἡ δὲ ἐπὶ τῆς μοιρῶν οβ καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΓΕ ὁμοίως τῶν αὐτῶν ρη, ἡ δὲ ἐπὶ τῆς ΓΝ μοιρῶν ριθ μβ μ καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΓΕ τῶν λοιπῶν πάλιν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ξ ιζ κ. ὥστε καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς εὐθειῶν ἡ ΓΕ συνάγεται, οἵων μὲν ἡ
ΓΚ ἐστιν κε ιδ μγ, τοιούτων ριζ ιη να, οἵων δὲ ἡ ΓΖ πάλιν ο λβ δ, τοιούτων ??ζ δ νς, οἵων δὲ ἡ ΓΝ ὁμοίως ργ μς ῑς, τοιούτων ξ ῑε μβ. καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΕ γνώμων ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΓΚ θερινὴ σκιὰ συναχθήσεται ιβ νε, ἡ δὲ ΓΖ ἰσημερινὴ
μγ λϛ, ἡ δὲ ΓΝ χειμερινὴ ργ κ ἔγγιστα. φανερὸν δὲ αὐτόθεν, ὅτι καὶ ἀνάπαλιν, κἂν δύο μόνοι λόγοι δοθῶσιν ὁποιοιοῦν ἀπὸ τῶν ἐκκειμένων τριῶν τοῦ ΓΕ γνώμονος πρὸς τὰς σκιάς, τό τε τοῦ πόλου ἔξαρμα δίδοται καὶ ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν,
ἐπειδήπερ καὶ δύο δοθεισῶν ὁποιωνοῦν πρὸς τῷ Ε γωνιῶν δίδοται καὶ ἡ λοιπὴ διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ΘΔ, ΔΜ περιφερείας. τοῦ μέντοι περὶ τὰς τηρήσεῖς 49 50 51 αὐτὰς ἀκριβοῦς ἕνεκεν ἐκεῖνα μὲν ἀδιστάκτως ἂν λαμβάνοιτο, καθʼ ὃν ὑπεδείξαμιεν τρόπον, οἱ δὲ τῶν ἐκκειμένων σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας λόγοι οὐχ ὁμοίως διὰ τὸ τῶν μὲν ἰσημερινῶν τὸν χρόνον ἀόριστόν πως καθʼ αὐτὸν εἶναι, τῶν δὲ χειμερινῶν τὰ τῶν
κορυφῶν ἄκρα δυσδιάκριτα.
τοῦ Α διήχθω ἡ ΑΚΓ διάμετρος, ᾗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἤχθω ἐν τῷ τοῦ μεσημβρινοῦ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΚΖΝ, παράλληλος δηλονότι γινομένη τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τε ὁρίζοντος καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ γῆ σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχει πρὸς αἴσθησιν πρὸς
τὴν τοῦ ἡλίου σφαῖραν, ὥστε ἀδιαφορεῖν τὸ Ε κέντρον τῆς τοῦ γνώμονος κορυφῆς, νοείσθω γνώμων μὲν ὁ ΓΕ, ἡ δὲ ΓΚΖΝ εὐθεῖα, ἐφʼ ἣν ἐν ταῖς μεσημβρίαις 41 42 43 πεσεῖται τὰ ἄκρα τῶν σκιῶν, καὶ διήχθωσαν διὰ τοῦ Ε ἥ τε ἰσημερινὴ καὶ αἰ τροπικαὶ μεσημβριναὶ ἀκτῖνες. ἔστω δὲ ἰσημερινὴ μὲν ἡ ΒΕΔΖ, θερινὴ δὲ ἡ ΗΕΘΚ, χειμερινὴ δὲ ἡ ΛΕΜΝ, ὥστε καὶ τὴν μὲν ΓΚ θερινὴν γίνεσθαι σκιάν, τὴν
δὲ ΓΖ ἰσημερινήν, τὴν δὲ ΓΝ χειμερινήν. ἐπεὶ τοίνυν ἡ μὲν ΓΔ περιφέρεια, ᾗ τὴν ἴσην ἐξῆρται ὁ
βόρειος πόλος τοῦ ὁρίζοντος, ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου κλίματος τοιούτων ἐστὶν λς, οἵων ὁ ΑΒΓ μεσημβρινὸς τξ, ἑκατέρα δὲ τῶν ΘΔ καὶ ΔΜ τῶν αὐτῶν κγ να κ, φανερόν,
ὅτι καὶ λοιπὴ μὲν ἡ ΓΘ περιφέρεια τμημάτων ἔσται ῑβ η μ, ὅλη δὲ ἡ ΓΜ τῶν αὐτῶν νθ να κ. ὥστε καὶ τῶν ὑπὸ αὐτὰς γωνιῶν, οἵων μέν εἰσιν αἱ δ ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΚΕΓ γωνία ἐστὶν ιβ η μ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΕΓ τῶν αὐτῶν λς, ἡ δὲ ὑπὸ ΝΕΓ ὁμοίως
νθ να κ, οἵων δὲ αἱ δύο ὀρθαὶ τξ, τοιούτων ἡ μὲν ὑπὸ ΚΕΓ γωνία κδ ῑζ κ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΕΓ τῶν αὐτῶν οβ, ἡ δὲ ὑπὸ ΝΕΓ ὁμοίως ριθ μβ μ. καὶ 44 45 46 47 48 τῶν γραφομένων ἄρα κύκλων περὶ τὰ ΚΕΓ καὶ ΖΕΓ καὶ ΝΕΓ τρίγωνα ὀρθογώνια ἡ μὲν ἐπὶ τῆς ΓΚ εὐθείας περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν κδ ιζ κ καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΓΕ, λείπουσα δὲ εἰς τὸ ἡμικύκλιον,
τῶν αὐτῶν ριθ μβ μ, ἡ δὲ ἐπὶ τῆς μοιρῶν οβ καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΓΕ ὁμοίως τῶν αὐτῶν ρη, ἡ δὲ ἐπὶ τῆς ΓΝ μοιρῶν ριθ μβ μ καὶ ἡ ἐπὶ τῆς ΓΕ τῶν λοιπῶν πάλιν εἰς τὸ ἡμικύκλιον ξ ιζ κ. ὥστε καὶ τῶν ὑπʼ αὐτὰς εὐθειῶν ἡ ΓΕ συνάγεται, οἵων μὲν ἡ
ΓΚ ἐστιν κε ιδ μγ, τοιούτων ριζ ιη να, οἵων δὲ ἡ ΓΖ πάλιν ο λβ δ, τοιούτων ??ζ δ νς, οἵων δὲ ἡ ΓΝ ὁμοίως ργ μς ῑς, τοιούτων ξ ῑε μβ. καὶ οἵων ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΕ γνώμων ξ, τοιούτων καὶ ἡ μὲν ΓΚ θερινὴ σκιὰ συναχθήσεται ιβ νε, ἡ δὲ ΓΖ ἰσημερινὴ
μγ λϛ, ἡ δὲ ΓΝ χειμερινὴ ργ κ ἔγγιστα. φανερὸν δὲ αὐτόθεν, ὅτι καὶ ἀνάπαλιν, κἂν δύο μόνοι λόγοι δοθῶσιν ὁποιοιοῦν ἀπὸ τῶν ἐκκειμένων τριῶν τοῦ ΓΕ γνώμονος πρὸς τὰς σκιάς, τό τε τοῦ πόλου ἔξαρμα δίδοται καὶ ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν,
ἐπειδήπερ καὶ δύο δοθεισῶν ὁποιωνοῦν πρὸς τῷ Ε γωνιῶν δίδοται καὶ ἡ λοιπὴ διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ΘΔ, ΔΜ περιφερείας. τοῦ μέντοι περὶ τὰς τηρήσεῖς 49 50 51 αὐτὰς ἀκριβοῦς ἕνεκεν ἐκεῖνα μὲν ἀδιστάκτως ἂν λαμβάνοιτο, καθʼ ὃν ὑπεδείξαμιεν τρόπον, οἱ δὲ τῶν ἐκκειμένων σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας λόγοι οὐχ ὁμοίως διὰ τὸ τῶν μὲν ἰσημερινῶν τὸν χρόνον ἀόριστόν πως καθʼ αὐτὸν εἶναι, τῶν δὲ χειμερινῶν τὰ τῶν
κορυφῶν ἄκρα δυσδιάκριτα.
[6] ς΄. Ἔκθεσις τῶν κατὰ παράλληλον ἰδιωμάτων.
Τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον τούτοις καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων παραλλήλων λαβόντες τὰ ὁλοσχερῆ τῶν ἐκκειμένων ἰδιωμάτων τετάρτῳ μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς ὡς αὐτάρκει
τὰς ὑπεροχὰς τῶν ἐγκλίσεων παραυξήσαντες ποιησόμεθα τὴν ἔκθεσιν αὐτῶν τὴν καθόλου πρὸ τῆς τῶν κατὰ μέρος ἐπισυμβαινόντων τὴν ἀρχὴν ἀπὸ τοῦ ὑπʼ αὐτὸν τὸν ἰσημερινὸν παραλλήλου ποιησάμενοι, ὃς ἀφορίζει μὲν ἔγγιστα τὸ πρὸς μεσημβρίαν μέρος τοῦ
ὅλου τεταρτημορίου τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης, μόνος δὲ ἔχει τὰς ἡμέρας καὶ τὰς νύκτας πάσας ἴσας ἀλλήλαις πάντων τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ παραλλήλων τῷ ἰσημερινῷ κύκλῳ τότε μόνον δίχα ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος διαιρουμένων, ὥστε τὰ ὑπὲρ γῆν αὐτῶν τμήματα ὅμοιά
τε ἀλλήλοις εἶναι καὶ ἴσα τοῖς ὑπὸ γῆν καθʼ ἕκαστον, τοῦ τοιούτου μὴ συμβαίνοντος ἐπὶ μηδεμιᾶς τῶν ἐγκλίσεων, ἀλλὰ μόνου μὲν πάλιν τοῦ ἰσημερινοῦ πανταχῆ δίχα τε ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος διαιρουμένου καὶ 52 53 τὰς κατʼ αὐτὸν ἡμέρας ταῖς νυξὶν ἴσας ποιοῦντος πρὸς αἴσθησιν, ἐπεὶ καὶ αὐτὸς τῶν μεγίστων ἐστὶ κύκλων, τῶν δὲ λοιπῶν εἰς ἄνισα διαιρουμένων καὶ κατὰ τὸ τῆς ἡμετέρας οἰκουμένης ἔγκλιμα τῶν μὲν νοτιωτέρων
αὐτοῦ τά τε ὑπὲρ γῆν τμήματα τῶν ὑπὸ γῆν ἐλάττονα καὶ τὰς ἡμέρας τῶν νυκτῶν βραχυτέρας ποιούντων, τῶν δὲ βορειοτέρων ἀνάπαλιν τά τε ὑπὲρ γῆν τμήματα μείζονα καὶ τὰς ἡμέρας πολυχρονιωτέρας.
τὰς ὑπεροχὰς τῶν ἐγκλίσεων παραυξήσαντες ποιησόμεθα τὴν ἔκθεσιν αὐτῶν τὴν καθόλου πρὸ τῆς τῶν κατὰ μέρος ἐπισυμβαινόντων τὴν ἀρχὴν ἀπὸ τοῦ ὑπʼ αὐτὸν τὸν ἰσημερινὸν παραλλήλου ποιησάμενοι, ὃς ἀφορίζει μὲν ἔγγιστα τὸ πρὸς μεσημβρίαν μέρος τοῦ
ὅλου τεταρτημορίου τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης, μόνος δὲ ἔχει τὰς ἡμέρας καὶ τὰς νύκτας πάσας ἴσας ἀλλήλαις πάντων τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ παραλλήλων τῷ ἰσημερινῷ κύκλῳ τότε μόνον δίχα ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος διαιρουμένων, ὥστε τὰ ὑπὲρ γῆν αὐτῶν τμήματα ὅμοιά
τε ἀλλήλοις εἶναι καὶ ἴσα τοῖς ὑπὸ γῆν καθʼ ἕκαστον, τοῦ τοιούτου μὴ συμβαίνοντος ἐπὶ μηδεμιᾶς τῶν ἐγκλίσεων, ἀλλὰ μόνου μὲν πάλιν τοῦ ἰσημερινοῦ πανταχῆ δίχα τε ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος διαιρουμένου καὶ 52 53 τὰς κατʼ αὐτὸν ἡμέρας ταῖς νυξὶν ἴσας ποιοῦντος πρὸς αἴσθησιν, ἐπεὶ καὶ αὐτὸς τῶν μεγίστων ἐστὶ κύκλων, τῶν δὲ λοιπῶν εἰς ἄνισα διαιρουμένων καὶ κατὰ τὸ τῆς ἡμετέρας οἰκουμένης ἔγκλιμα τῶν μὲν νοτιωτέρων
αὐτοῦ τά τε ὑπὲρ γῆν τμήματα τῶν ὑπὸ γῆν ἐλάττονα καὶ τὰς ἡμέρας τῶν νυκτῶν βραχυτέρας ποιούντων, τῶν δὲ βορειοτέρων ἀνάπαλιν τά τε ὑπὲρ γῆν τμήματα μείζονα καὶ τὰς ἡμέρας πολυχρονιωτέρας.
ἔστι δὲ καὶ ἀμφίσκιος οὗτος ὁ παράλληλος τοῦ
ἡλίου δὶς κατὰ κορυφὴν τοῖς ὑπʼ αὐτὸν γινομένου κατὰ τὰ τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου τμήματα, ὥστε τότε μόνον τοὺς γνώμονας ἐν ταῖς μεσουρανήσεσιν ἀσκίους γίνεσθαι, τοῦ δὲ ἡλίου τὸ μὲν βόρειον ἡμικύκλιον διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων
σκιὰς ἀποκλίνειν πρὸς μεσημβρίαν, τὸ δὲ νότιον πρὸς τὰς ἄρκτους. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἐκατέρα ἥ τε θερινὴ καὶ ἡ χειμερινὴ σκιὰ κςU+2220΄ ἔγγιστα.
ἡλίου δὶς κατὰ κορυφὴν τοῖς ὑπʼ αὐτὸν γινομένου κατὰ τὰ τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου τμήματα, ὥστε τότε μόνον τοὺς γνώμονας ἐν ταῖς μεσουρανήσεσιν ἀσκίους γίνεσθαι, τοῦ δὲ ἡλίου τὸ μὲν βόρειον ἡμικύκλιον διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων
σκιὰς ἀποκλίνειν πρὸς μεσημβρίαν, τὸ δὲ νότιον πρὸς τὰς ἄρκτους. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἐκατέρα ἥ τε θερινὴ καὶ ἡ χειμερινὴ σκιὰ κςU+2220΄ ἔγγιστα.
λέγομεν δὲ καθόλου σκιὰς τὰς ἐν ταῖς μεσημβρίαις
γινομένας καὶ ὡς μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφερούσας διὰ τὸ μὴ πάντως ἐν αὐταῖς ταῖς μεσημβρίαις τάς τε ἰσημερίας καὶ τὰς τροπὰς ἀκριβῶς ἀποτελεῖσθαι. τοῖς δὲ ὑπὸ τὸν ἰσημερινὸν κατὰ κορυφὴν μὲν γίνονται τῶν ἀστέρων, ὅσοι κατʼ αὐτοῦ τοῦ ἰσημερινοῦ 54 55 56 57 ποιοῦνται τὰς περιφοράς, πάντες δὲ καὶ ἀνατέλλοντες καὶ δύνοντες φαίνονται τῶν τῆς σφαίρας πόλων ἐπʼ αὐτοῦ τοῦ ὁρίζοντος ὄντων καὶ μηδένα κύκλον ποιούντων μήτε τῶν παραλλήλων ἀεὶ φανερὸν ἢ ἀεὶ ἀφανῆ μήτε τῶν μεσημβρινῶν κόλουρον. οἰκήσεις δὲ εἶναι
μὲν ὑπὸ τὸν ἰσημερινὸν ἐνδέχεσθαί φασιν ὡς πάνυ εὔκρατον διὰ τὸ τὸν ἥλιον μήτε τοῖς κατὰ κορυφὴν σημείοις ἐγχρονίζειν ταχείας γινομένης τῆς περὶ τὰ ἰσημερινὰ τμήματα κατὰ πλάτος παραχωρήσεως, ὅθεν ἂν τὸ θέρος εὔκρατον γίνοιτο, μήτʼ ἐν ταῖς τροπαῖς
πολὺ ἀφίστασθαι τοῦ κατὰ κορυφήν, ὡς μηδὲ τὸν χειμῶνα σφοδρὸν ποιεῖν· τίνες δέ εἰσιν αἱ οἰκήσεις, οὐκ ἂν ἔχοιμεν πεπεισμένως εἰπεῖν· ἄτριπτοι γάρ εἰσι μέχρι τοῦ δεῦρο τοῖς ἀπὸ τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης, καὶ εἰκασίαν μᾶλλον ἄν τις ἢ ἱστορίαν ἡγήσαιτο
τὰ λεγόμενα περὶ αὐτῶν. τὰ μὲν οὖν ἴδια τοῦ ὑπὸ τὸν ἰσημερινὸν παραλλήλου συνελόντι εἰπεῖν ταῦτα ἂν εἴη.
γινομένας καὶ ὡς μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφερούσας διὰ τὸ μὴ πάντως ἐν αὐταῖς ταῖς μεσημβρίαις τάς τε ἰσημερίας καὶ τὰς τροπὰς ἀκριβῶς ἀποτελεῖσθαι. τοῖς δὲ ὑπὸ τὸν ἰσημερινὸν κατὰ κορυφὴν μὲν γίνονται τῶν ἀστέρων, ὅσοι κατʼ αὐτοῦ τοῦ ἰσημερινοῦ 54 55 56 57 ποιοῦνται τὰς περιφοράς, πάντες δὲ καὶ ἀνατέλλοντες καὶ δύνοντες φαίνονται τῶν τῆς σφαίρας πόλων ἐπʼ αὐτοῦ τοῦ ὁρίζοντος ὄντων καὶ μηδένα κύκλον ποιούντων μήτε τῶν παραλλήλων ἀεὶ φανερὸν ἢ ἀεὶ ἀφανῆ μήτε τῶν μεσημβρινῶν κόλουρον. οἰκήσεις δὲ εἶναι
μὲν ὑπὸ τὸν ἰσημερινὸν ἐνδέχεσθαί φασιν ὡς πάνυ εὔκρατον διὰ τὸ τὸν ἥλιον μήτε τοῖς κατὰ κορυφὴν σημείοις ἐγχρονίζειν ταχείας γινομένης τῆς περὶ τὰ ἰσημερινὰ τμήματα κατὰ πλάτος παραχωρήσεως, ὅθεν ἂν τὸ θέρος εὔκρατον γίνοιτο, μήτʼ ἐν ταῖς τροπαῖς
πολὺ ἀφίστασθαι τοῦ κατὰ κορυφήν, ὡς μηδὲ τὸν χειμῶνα σφοδρὸν ποιεῖν· τίνες δέ εἰσιν αἱ οἰκήσεις, οὐκ ἂν ἔχοιμεν πεπεισμένως εἰπεῖν· ἄτριπτοι γάρ εἰσι μέχρι τοῦ δεῦρο τοῖς ἀπὸ τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης, καὶ εἰκασίαν μᾶλλον ἄν τις ἢ ἱστορίαν ἡγήσαιτο
τὰ λεγόμενα περὶ αὐτῶν. τὰ μὲν οὖν ἴδια τοῦ ὑπὸ τὸν ἰσημερινὸν παραλλήλου συνελόντι εἰπεῖν ταῦτα ἂν εἴη.
περὶ δὲ τῶν λοιπῶν, ἀφʼ ὧν καὶ τὰς οἰκήσεις τινὲς οἴονται κατειλῆφθαι, προσθήσομεν ἐκεῖνα κοινότερον,
ἵνα μὴ καθʼ ἕκαστον ταυτολογῶμεν, ὅτι τε τῶν ἐφεξῆς ἑκάστου κατὰ κορυφὴν γίνονται τῶν ἀστέρων, ὅσοι τὴν ἴσην περιφέρειαν ἀφεστήκασιν τοῦ ἰσημερινοῦ 58 59 ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ κύκλου, ἣν καὶ αὐτὸς ὁ ὑποκείμενος παράλληλος ἀφέστηκε, καὶ ὅτι φανερὸς μὲν ἀεὶ κύκλος γίνεται ὁ πόλῳ μὲν τῷ βορείῳ πόλῳ τοῦ ἰσημερινοῦ, διαστήματι δὲ τῷ τοῦ πόλου ἐξάρματι
γραφόμενος, καὶ οἱ ἐμπεριλαμβανόμενοι ὑπὸ τούτου ἀστέρες ἀεὶ φανεροί, ἀεὶ δʼ ἀφανὴς κύκλος ὁ πόλῳ μὲν τῷ νοτίῳ πόλῳ, διαστήματι δὲ τῷ αὐτῷ γραφόμενος, καὶ οἱ ἐντὸς τούτου ἀστέρες ἀεὶ ἀφανεῖς.
ἵνα μὴ καθʼ ἕκαστον ταυτολογῶμεν, ὅτι τε τῶν ἐφεξῆς ἑκάστου κατὰ κορυφὴν γίνονται τῶν ἀστέρων, ὅσοι τὴν ἴσην περιφέρειαν ἀφεστήκασιν τοῦ ἰσημερινοῦ 58 59 ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ κύκλου, ἣν καὶ αὐτὸς ὁ ὑποκείμενος παράλληλος ἀφέστηκε, καὶ ὅτι φανερὸς μὲν ἀεὶ κύκλος γίνεται ὁ πόλῳ μὲν τῷ βορείῳ πόλῳ τοῦ ἰσημερινοῦ, διαστήματι δὲ τῷ τοῦ πόλου ἐξάρματι
γραφόμενος, καὶ οἱ ἐμπεριλαμβανόμενοι ὑπὸ τούτου ἀστέρες ἀεὶ φανεροί, ἀεὶ δʼ ἀφανὴς κύκλος ὁ πόλῳ μὲν τῷ νοτίῳ πόλῳ, διαστήματι δὲ τῷ αὐτῷ γραφόμενος, καὶ οἱ ἐντὸς τούτου ἀστέρες ἀεὶ ἀφανεῖς.
β΄. δεύτερος γίνεται παράλληλος, καθʼ ὃν ἡ μεγίστη
ἡμέρα ἐστὶν ὡρῶν ἰσημερινῶν ιβ δ΄. οὗτος δὲ ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας δ δ΄. καὶ γράφεται διὰ Ταπροβάνης τῆς νήσου. ἔστι δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀμφισκίων τοῦ ἡλίου πάλιν δὶς τοῖς ὑπʼ αὐτὸν γινομένου κατὰ κορυφὴν καὶ τοὺς γνώμονας ἐν ταῖς μεσουρανήσεσι
ποιοῦντος ἀσκίους, ὅταν ἀπέχῃ τῆς θερινῆς τροπῆς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μοίρας οθU+2220΄, ὥστε τὰς μὲν ρνθ ταύτας αὐτοῦ διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ἀποκλίνειν εἰς τὰ νότια, τὰς δὲ λοιπὰς σα, εἰς τὰ βόρεια. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ,
τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ σκιὰ δ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ θερινὴ κα γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ λβ.
ἡμέρα ἐστὶν ὡρῶν ἰσημερινῶν ιβ δ΄. οὗτος δὲ ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας δ δ΄. καὶ γράφεται διὰ Ταπροβάνης τῆς νήσου. ἔστι δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀμφισκίων τοῦ ἡλίου πάλιν δὶς τοῖς ὑπʼ αὐτὸν γινομένου κατὰ κορυφὴν καὶ τοὺς γνώμονας ἐν ταῖς μεσουρανήσεσι
ποιοῦντος ἀσκίους, ὅταν ἀπέχῃ τῆς θερινῆς τροπῆς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μοίρας οθU+2220΄, ὥστε τὰς μὲν ρνθ ταύτας αὐτοῦ διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ἀποκλίνειν εἰς τὰ νότια, τὰς δὲ λοιπὰς σα, εἰς τὰ βόρεια. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ,
τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ σκιὰ δ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ θερινὴ κα γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ λβ.
γ΄. τρίτος δέ ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιβU+2220΄. οὗτος δὲ ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας η κε καὶ γράφεται διὰ τοῦ Αὐαλίτου κόλπου. ἔστιν δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀμφισκίων τοῦ ἡλίου δὶς τοῖς ὑπ᾿ αὐτὸν γινομένου κατὰ
κορυφὴν καὶ τοὺς γνώμονας ἐν ταῖς μεσουρανήσεσιν ἀσκίους ποιοῦντος, ὅταν τῆς θερινῆς τροπῆς ἀπέχῃ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μοίρας ξθ, ὥστε τὰς μὲν ρλη ταύτας αὐτοῦ διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ἀποκλίνειν πρὸς μεσημβρίαν, τὰς δὲ λοιπὰς σκβ
πρὸς ἄρκτους. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ σκιὰ ηU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ θερινὴ ιςU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ λζU+2220΄ γ΄ ιε΄.
κορυφὴν καὶ τοὺς γνώμονας ἐν ταῖς μεσουρανήσεσιν ἀσκίους ποιοῦντος, ὅταν τῆς θερινῆς τροπῆς ἀπέχῃ ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μοίρας ξθ, ὥστε τὰς μὲν ρλη ταύτας αὐτοῦ διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ἀποκλίνειν πρὸς μεσημβρίαν, τὰς δὲ λοιπὰς σκβ
πρὸς ἄρκτους. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ σκιὰ ηU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ θερινὴ ιςU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ λζU+2220΄ γ΄ ιε΄.
δ΄. τέταρτος δέ ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιβU+2220΄ δ΄.
οὗτος δʼ ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ιβU+2220΄ καὶ γράφεται διὰ τοῦ Ἀδουλιτικοῦ κόλπου. ἔστι δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀμφισκίων τοῦ ἡλίου πάλιν δὶς τοῖς ὑπὸ αὐτὸν γινομένου κατὰ κορυφὴν καὶ τοὺς γνώμονας ἐν ταῖς μεσουρανήσεσιν ἀσκίους ποιοῦντος, ὅταν ἀπέχῃ
τῆς θερινῆς τροπῆς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μοίρας νζ 62 63 Γ??, ὥστε τὰς μὲν ρῑε γ΄ ταύτας αὐτοῦ διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ἀποκλίνειν πρὸς μεσημβρίαν, τὰς δὲ λοιπὰς σμδ Γ?? πρὸς τὰς ἄρκτους. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ
σκιὰ ῑγ γ΄, ἡ δὲ θερινὴ ιβ, ἡ δὲ χειμερινὴ μδ ϛ΄.
οὗτος δʼ ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ιβU+2220΄ καὶ γράφεται διὰ τοῦ Ἀδουλιτικοῦ κόλπου. ἔστι δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀμφισκίων τοῦ ἡλίου πάλιν δὶς τοῖς ὑπὸ αὐτὸν γινομένου κατὰ κορυφὴν καὶ τοὺς γνώμονας ἐν ταῖς μεσουρανήσεσιν ἀσκίους ποιοῦντος, ὅταν ἀπέχῃ
τῆς θερινῆς τροπῆς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μοίρας νζ 62 63 Γ??, ὥστε τὰς μὲν ρῑε γ΄ ταύτας αὐτοῦ διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ἀποκλίνειν πρὸς μεσημβρίαν, τὰς δὲ λοιπὰς σμδ Γ?? πρὸς τὰς ἄρκτους. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ
σκιὰ ῑγ γ΄, ἡ δὲ θερινὴ ιβ, ἡ δὲ χειμερινὴ μδ ϛ΄.
ε΄. πέμπτος ἐστὶν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑγ. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ις κζ καὶ γράφεται διὰ Μερόης τῆς νήσου. ἔστι δὲ καὶ αὐτὸς τῶν ἀμφισκίων
τοῦ ἡλίου δὶς τοῖς ὑπʼ αὐτὸν γινομένου κατὰ κορυφὴν καὶ τοὺς γνώμονας ἐν ταῖς μεσουρανήσεσιν ἀσκίους ποιοῦντος, ὅταν ἀπέχῃ τῆς θερινῆς τροπῆς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μοίρας με, ὥστε τὰς μὲν ταύτας αὐτοῦ διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ἀποκλίνειν πρὸς
μεσημβρίαν, τὰς δὲ λοιπὰς σο πρὸς τὰς ἄρκτους. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ σκιὰ ιζU+2220΄ δ΄, ἡ δὲ θερινὴ ζU+2220΄ δ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ να.
τοῦ ἡλίου δὶς τοῖς ὑπʼ αὐτὸν γινομένου κατὰ κορυφὴν καὶ τοὺς γνώμονας ἐν ταῖς μεσουρανήσεσιν ἀσκίους ποιοῦντος, ὅταν ἀπέχῃ τῆς θερινῆς τροπῆς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μοίρας με, ὥστε τὰς μὲν ταύτας αὐτοῦ διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ἀποκλίνειν πρὸς
μεσημβρίαν, τὰς δὲ λοιπὰς σο πρὸς τὰς ἄρκτους. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ σκιὰ ιζU+2220΄ δ΄, ἡ δὲ θερινὴ ζU+2220΄ δ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ να.
ϛ΄. ἕκτος ἐστὶν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο
ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιγ δ΄. ἀπέχει δ᾿ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας κ ιδ καὶ γράφεται διὰ 64 65 66 67 68 69 70 ἡλίου τοῖς κατʼ αὐτὸν δὶς γινομένου κατὰ κορυφὴν καὶ τούς γνώμονας ἐν ταῖς μεσημβρίαις ἀσκίους ποιοῦντος, ὅταν ἀπέχῃ τῆς θερινῆς τροπῆς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μοίρας λα, ὥστε τὰς μὲν ξβ ταύτας αὐτοῦ διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ἀποκλίνειν
πρὸς μεσημβρίαν, τὰς δὲ λοιπὰς σ??η πρὸς τὰς ἄρκτους. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ σκιὰ κβ ϛ΄, ἡ δὲ θερινὴ γU+2220΄ δ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ νη ϛ΄.
ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιγ δ΄. ἀπέχει δ᾿ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας κ ιδ καὶ γράφεται διὰ 64 65 66 67 68 69 70 ἡλίου τοῖς κατʼ αὐτὸν δὶς γινομένου κατὰ κορυφὴν καὶ τούς γνώμονας ἐν ταῖς μεσημβρίαις ἀσκίους ποιοῦντος, ὅταν ἀπέχῃ τῆς θερινῆς τροπῆς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μοίρας λα, ὥστε τὰς μὲν ξβ ταύτας αὐτοῦ διαπορευομένου τὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ἀποκλίνειν
πρὸς μεσημβρίαν, τὰς δὲ λοιπὰς σ??η πρὸς τὰς ἄρκτους. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ σκιὰ κβ ϛ΄, ἡ δὲ θερινὴ γU+2220΄ δ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ νη ϛ΄.
ζ΄. ἕβδομός ἐστι παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο
ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑγU+2220΄. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας κγ νᾱ καὶ γράφεται διὰ Σοήνης. πρῶτος δέ ἐστιν οὗτος παράλληλος τῶν καλουμένων ἑτεροσκίων· οὐδέποτε γὰρ τοῖς ὑπὸ αὐτὸν οἰκοῦσιν ἐν ταῖς μεσημβρίαις αἱ τῶν γνωμόνων σκιαὶ
πρὸς μεσημβρίαν ἀποκλίνουσιν, ἀλλʼ ἐν μὲν αὐτῇ μόνῃ τῇ θερινῇ τροπῇ κατὰ κορυφὴν αὐτοῖς ὁ ἥλιος γίνεται, καὶ οἱ γνώμονες ἄσκιοι θεωροῦνται· τοσοῦτον γὰρ ἀπέχουσιν τοῦ ἰσημερινοῦ, ὅσον καὶ τὸ θερινὸν τροπικὸν σημεῖον· τὸν δὲ ἄλλον πάντα χρόνον αἰ τῶν
γνωμόνων σκιαὶ πρὸς τὰς ἄρκτους ἀποκλίνουσιν. καὶ ἐνταῦθά ἐστιν, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ σκιὰ κςU+2220΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ξεU+2220΄, γ΄, ἡ δὲ θερινὴ 71 72 73 74 ἄσκιός ἐστι. καὶ πάντες δὲ οἱ τούτου βορειότεροι παράλληλοι μέχρι τοῦ τὴν ἡμετέραν οἰκουμένην ἀφορίζοντος ἑτερόσκιοι τυγχάνουσιν ὄντες· οὐδέποτε γὰρ κατʼ αὐτοὺς οἱ γνώμονες ἐν ταῖς μεσημβρίαις οὔτε
ἄσκιοι γίνονται οὔτε τὰς σκιὰς ποιοῦσιν πρὸς μεσημβρίαν, ἀλλὰ πάντοτε πρὸς ἄρκτους, διὰ τὸ μηδὲ τὸν ἥλιόν ποτε κατὰ κορυφὴν αὐτοῖς γίγνεσθαι.
ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑγU+2220΄. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας κγ νᾱ καὶ γράφεται διὰ Σοήνης. πρῶτος δέ ἐστιν οὗτος παράλληλος τῶν καλουμένων ἑτεροσκίων· οὐδέποτε γὰρ τοῖς ὑπὸ αὐτὸν οἰκοῦσιν ἐν ταῖς μεσημβρίαις αἱ τῶν γνωμόνων σκιαὶ
πρὸς μεσημβρίαν ἀποκλίνουσιν, ἀλλʼ ἐν μὲν αὐτῇ μόνῃ τῇ θερινῇ τροπῇ κατὰ κορυφὴν αὐτοῖς ὁ ἥλιος γίνεται, καὶ οἱ γνώμονες ἄσκιοι θεωροῦνται· τοσοῦτον γὰρ ἀπέχουσιν τοῦ ἰσημερινοῦ, ὅσον καὶ τὸ θερινὸν τροπικὸν σημεῖον· τὸν δὲ ἄλλον πάντα χρόνον αἰ τῶν
γνωμόνων σκιαὶ πρὸς τὰς ἄρκτους ἀποκλίνουσιν. καὶ ἐνταῦθά ἐστιν, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν ἰσημερινὴ σκιὰ κςU+2220΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ξεU+2220΄, γ΄, ἡ δὲ θερινὴ 71 72 73 74 ἄσκιός ἐστι. καὶ πάντες δὲ οἱ τούτου βορειότεροι παράλληλοι μέχρι τοῦ τὴν ἡμετέραν οἰκουμένην ἀφορίζοντος ἑτερόσκιοι τυγχάνουσιν ὄντες· οὐδέποτε γὰρ κατʼ αὐτοὺς οἱ γνώμονες ἐν ταῖς μεσημβρίαις οὔτε
ἄσκιοι γίνονται οὔτε τὰς σκιὰς ποιοῦσιν πρὸς μεσημβρίαν, ἀλλὰ πάντοτε πρὸς ἄρκτους, διὰ τὸ μηδὲ τὸν ἥλιόν ποτε κατὰ κορυφὴν αὐτοῖς γίγνεσθαι.
η΄. ὄγδοός ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιγU+2220΄ δ΄. ἀπέχει δʼ
οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας κζ ιβ καὶ γράφεται διὰ Πτολεμαΐδος τῆς ἐν Θηβαΐδι, καλουμένης δὲ Ἑρμείου. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ γU+2220΄ ἡ δὲ ἰσημερινὴ λςU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ οδ ϛ΄.
οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας κζ ιβ καὶ γράφεται διὰ Πτολεμαΐδος τῆς ἐν Θηβαΐδι, καλουμένης δὲ Ἑρμείου. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ γU+2220΄ ἡ δὲ ἰσημερινὴ λςU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ οδ ϛ΄.
θ΄. ἔνατός ἐστι παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιδ. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας λ κβ καὶ γράφεται διὰ τῆς κάτω χώρας τῆς Αἰγύπτου. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ ϛU+2220΄ γ΄,
ἡ δὲ ἰσημερινὴ λε ιβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ κγ ιβ΄.
ια΄. ἑνδέκατός ἐστι παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο
ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιδ λU+2220΄. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας λς καὶ γράφεται διὰ Ῥύδου. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ ιβ λU+2220΄ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ μγ λU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ργ γ΄.
ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιδ λU+2220΄. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας λς καὶ γράφεται διὰ Ῥύδου. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ ιβ λU+2220΄ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ μγ λU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ργ γ΄.
ιβ΄. δωδέκατός ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν οδ λU+2220΄ δ΄. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας λη λε καὶ γράφεται διὰ Σμύρνης. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ ῑε Γ??, ἡ δὲ ἰσημερινὴ
μζ λU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ριδ λU+2220΄ γ΄ ιβ΄.
μζ λU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ριδ λU+2220΄ γ΄ ιβ΄.
ιγ΄. τρεισκαιδέκατός ἐστι παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑε ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας μ νς καὶ γράφεται διʼ Ἑλλησπόντου. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων
ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ ιη λU+2220΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ νβ ϛ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ρκζ λU+2220΄ γ΄.
ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ ιη λU+2220΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ νβ ϛ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ρκζ λU+2220΄ γ΄.
ιδ΄. τεσσαρεσκαιδέκατός ἐστι παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑε δ΄. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας μγ δ καὶ γράφεται διὰ Μασσαλίας. καί ἐστιν ἐνταῦθα, οἵων ὁ
γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ κ U+2220΄ γ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ νεU+2220΄ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ρμδ.
γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ κ U+2220΄ γ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ νεU+2220΄ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ρμδ.
ιε΄. πεντεκαιδέκατός ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑεU+2220΄. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας με ᾱ καὶ γράφεται
διὰ μέσου Πόντου. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ κγ δ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ τῶν αὐτῶν ξ, ἡ δὲ χειμερινὴ ρνε ιβ΄.
διὰ μέσου Πόντου. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ κγ δ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ τῶν αὐτῶν ξ, ἡ δὲ χειμερινὴ ρνε ιβ΄.
ις΄. ἑκκαιδέκατός ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑε U+2220΄ δʼ.
ἀπέχει δὲ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας μς νᾱ καὶ γράφεται διὰ τῶν πηγῶν τοῦ Ἴστρου ποταμοῦ. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ κε U+2220΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ ξγU+2220΄ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ροα ς΄.
ἀπέχει δὲ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας μς νᾱ καὶ γράφεται διὰ τῶν πηγῶν τοῦ Ἴστρου ποταμοῦ. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ κε U+2220΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ ξγU+2220΄ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ροα ς΄.
ιζ΄. ἑπτακαιδέκατός ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑς. ἀπέχει δὲ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας μη λβ καὶ γράφεται
83
84
85
διὰ τῶν ἐκβολῶν Βορυσθένους. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ κζ U+2220΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ ξζ U+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ ρπηU+2220΄ ιβ΄.
ιη΄. ὀκτωκαιδέκατός ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ις δ΄.
ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ν δ καὶ γράφεται διὰ μέσης τῆς Μαιώτιδος λίμνης. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ κθU+2220΄ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ οᾱ Γ??, ἡ δὲ χειμερινὴ ση γ΄.
ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ν δ καὶ γράφεται διὰ μέσης τῆς Μαιώτιδος λίμνης. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ κθU+2220΄ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ οᾱ Γ??, ἡ δὲ χειμερινὴ ση γ΄.
ιθ΄. ἐννεακαιδέκατός ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑςU+2220΄. ἀπέχει δὲ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας νᾱU+2220΄ ς΄ καὶ γράφεται διὰ τῶν νοτιωτάτων τῆς Βρεττανίας. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ
σκιὰ λᾱ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ οε γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ σκθ γ΄.
σκιὰ λᾱ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ οε γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ σκθ γ΄.
κ΄. εἰκοστός ἐστι παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑςU+2220΄ δ΄. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας νβ ν καὶ γράφεται διὰ
τῶν τοῦ Ῥήνου ἐκβολῶν. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ λγ γ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ οθ ῑβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ σνγ ϛ΄.
τῶν τοῦ Ῥήνου ἐκβολῶν. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ λγ γ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ οθ ῑβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ σνγ ϛ΄.
κα΄. εἰκοστὸς πρῶτός ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν ἄν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιζ. ἀπέχει δὲ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας νδ λ καί γράφεται διὰ τῶν τοῦ Τανάιδος ἐκβολῶν. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα,
οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ λδU+2220΄ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ πβU+2220΄ ιβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ σοηU+2220΄ δ΄.
οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ λδU+2220΄ γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ πβU+2220΄ ιβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ σοηU+2220΄ δ΄.
κβ΄. εἰκοστὸς δεύτερός ἐστι παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιζ δ΄.
ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας νε καὶ γράφεται διὰ Βριγαντίου τῆς μεγάλης Βρεττανίας. ἔστι δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ λς δ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ πε Γ??, ἡ δὲ χειμερινὴ τδU+2220΄.
ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας νε καὶ γράφεται διὰ Βριγαντίου τῆς μεγάλης Βρεττανίας. ἔστι δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ λς δ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ πε Γ??, ἡ δὲ χειμερινὴ τδU+2220΄.
κγ΄. εἰκοστὸς τρίτος ἐστὶν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν
γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑζU+2220΄. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας νς καὶ γράφεται διὰ μέσης τῆς μεγάλης Βρεττανίας. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ λζ Γ??, ἡ δὲ ἰσημερινὴ πηU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ τλε δ΄.
γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ῑζU+2220΄. ἀπέχει δʼ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας νς καὶ γράφεται διὰ μέσης τῆς μεγάλης Βρεττανίας. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ λζ Γ??, ἡ δὲ ἰσημερινὴ πηU+2220΄ γ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ τλε δ΄.
κδ΄. εἰκοστὸς τέταρτός ἐστιν παράλληλος, καθʼ ὃν
90
91
92
93
94
ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιζU+2220΄ δ΄. ἀπέχει δὲ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας νζ καὶ γράφεται διὰ Κατουρακτονίου τῆς Βρεττανίας. ἔστι δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ λθ γ΄, ἡ δὲ ἰσημερινὴ ??β γ΄ ιβ΄, ἡ δὲ χειμερινὴ τοβ ιβ΄.
κε΄. εἰκοστὸς πέμπτος ἐστὶν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιη. ἀπέχει δὲ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας νη καὶ γράφεται διὰ τῶν νοτίων τῆς μικρᾶς Βρεττανίας. ἔστιν δὲ ἐνταῦθα, οἵων ὁ γνώμων ξ, τοιούτων ἡ μὲν θερινὴ σκιὰ μ Γ??,
ἡ δὲ ἰσημερινὴ ??ς, ἡ δὲ χειμερινὴ υιθ ιβ΄.
ἡ δὲ ἰσημερινὴ ??ς, ἡ δὲ χειμερινὴ υιθ ιβ΄.
κς΄. εἰκοστὸς ἕκτος ἐστὶν παράλληλος, καθʼ ὃν ἂν γένοιτο ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἰσημερινῶν ιηU+2220΄. ἀπέχει δὲ οὗτος τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας νθU+2220΄ καὶ γράφεται διὰ τῶν μέσων τῆς μικρᾶς Βρεττανίας.
οὐκ ἐχρησάμεθα δὲ ἐνταῦθα τῇ τοῦ τετάρτου τῶν ὡρῶν παραυξήσει διά τε τὸ συνεχεῖς ἤδη γίγνεσθαι τοὺς παραλλήλους καὶ τὴν τῶν ἐξαρμάτων διαφορὰν μηκέτι μηδεμιᾶς ὅλης μοίρας συνάγεσθαι καὶ διὰ τὸ μὴ ὁμοίως ἡμῖν ἐπὶ τῶν ἔτι βορειοτέρων προσήκειν
ἐπεξεργάζεσθαι. διὸ καὶ τοὺς τῶν σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας λόγους ὡς ἐπὶ ἀφωρισμένων τόπων περισσὸν ἡγησάμεθα παρατιθέναι.
ἐπεξεργάζεσθαι. διὸ καὶ τοὺς τῶν σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας λόγους ὡς ἐπὶ ἀφωρισμένων τόπων περισσὸν ἡγησάμεθα παρατιθέναι.
κζ΄. καὶ ὅπου μὲν τοίνυν ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ιθ, ἐκεῖνος ὁ παράλληλος ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ξα καὶ γράφεται διὰ τῶν βορείων τῆς μικρᾶς Βρεττανίας.
κη΄. ὅπου δὲ ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ιθU+2220΄, ἔκεῖνος ὁ παράλληλος ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ξβ καὶ γράφεται διὰ τῶν καλουμένων Ἐβούδων νήσων.
κθ΄. ὅπου δὲ ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν
κ, ἐκεῖνος ὁ παράλληλος ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ξγ καὶ γράφεται διὰ Θούλης τῆς νήσου.
κ, ἐκεῖνος ὁ παράλληλος ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ξγ καὶ γράφεται διὰ Θούλης τῆς νήσου.
λ΄. ὅπου δὲ ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν κᾱ, ἐκεῖνος ὁ παράλληλος ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ξδU+2220΄ καὶ γράφεται διὰ Σκυθικῶν ἐθνῶν ἀγνώστων.
λα΄. ὅπου δὲ ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν κβ, ἐκεῖνος ὁ παράλληλος ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ξεU+2220΄.
λβ΄. ὅπου δὲ ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν κγ, ἐκεῖνος ὁ παράλληλος ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ
μοίρας ξς.
μοίρας ξς.
λγ΄. ὅπου δὲ ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡμῶν ἐστιν ἰσημερινῶν κδ, ἐκεῖνος ὁ παράλληλος ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας ξς η μ. πρῶτος δέ ἐστιν οὗτος τῶν περισκίων· κατὰ γὰρ μόνην τὴν θερινὴν τροπὴν μὴ δύνοντος
ἐκεῖ τοῦ ἡλίου αἰ σκιαὶ τῶν γνωμόνων ἐπὶ πάντα τὰ 99 τοῦ ὁρίζοντος μέρη τὰς προσνεύσεις ποιοῦνται. καί ἐστιν ἐνταῦθα ὁ μὲν θερινὸς τροπικὸς παράλληλος ἀεὶ φανερός, ὁ δὲ χειμερινὸς τροπικὸς ἀεὶ ἀφανής, διὰ τὸ ἀμφοτέρους ἐναλλὰξ ἐφάπτεσθαι τοῦ ὁρίζοντος. γίνεται δὲ καὶ ὁ λοξὸς καὶ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος
ὁ αὐτὸς τῷ ὁρίζοντι, ὅταν αὐτοῦ τὸ ἐαρινὸν ἰσημερινὸν σημεῖον ἀνατέλλῃ.
ἐκεῖ τοῦ ἡλίου αἰ σκιαὶ τῶν γνωμόνων ἐπὶ πάντα τὰ 99 τοῦ ὁρίζοντος μέρη τὰς προσνεύσεις ποιοῦνται. καί ἐστιν ἐνταῦθα ὁ μὲν θερινὸς τροπικὸς παράλληλος ἀεὶ φανερός, ὁ δὲ χειμερινὸς τροπικὸς ἀεὶ ἀφανής, διὰ τὸ ἀμφοτέρους ἐναλλὰξ ἐφάπτεσθαι τοῦ ὁρίζοντος. γίνεται δὲ καὶ ὁ λοξὸς καὶ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος
ὁ αὐτὸς τῷ ὁρίζοντι, ὅταν αὐτοῦ τὸ ἐαρινὸν ἰσημερινὸν σημεῖον ἀνατέλλῃ.
εἰ δέ τις ἄλλως θεωρίας ἕνεκεν καὶ περὶ τῶν ἔτι βορειοτέρων ἐγκλίσεων ἐπιζητοίη τινὰ τῶν ὁλοσχερεσλδ΄ τέρων συμπτωμάτων, εὕροι ἄν, ὅπου τὸ ἔξαρμα τοῦ
βορείου πόλου μοιρῶν ἐστιν ξζ ἔγγιστα, ἐκεῖ μὴ δυνούσας ὅλως τὰς ἐφʼ ἑκάτερα τῆς θερινῆς τροπῆς τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου μοίρας ῑε· ὥστε τὴν μεγίστην ἡμέραν καὶ τὴν τῶν σκιῶν ἐπὶ πάντα τὰ μέρη τοῦ ὁρίζοντος περιαγωγὴν σχεδὸν μηνιαίαν
γίνεσθαι. ἔσται γὰρ καὶ ταῦτα εὐκατανόητα διὰ τοῦ ἐκτεθειμένου κανονίου τῆς λοξώσεως· ὅσας γὰρ ἂν εὕρωμεν τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας τὸν παράλληλον ἀπέχοντα τὸν ἀπολαμβάνοντα λόγου ἕνεκεν ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ τροπικοῦ σημείου μοίρας ῑε, γινόμενον δὲ τότε ἤτοι
ἀεὶ φανερὸν ἢ ἀεὶ ἀφανῆ, μετὰ τοῦ ἀπολαμβανομένου τμήματος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου, ταῖς τοσαύταις μοίραις δηλονότι λείψει τῶν τοῦ τεταρτημορίου τμημάτων ?? τὸ ἔξαρμα τοῦ βορείου πόλου.
βορείου πόλου μοιρῶν ἐστιν ξζ ἔγγιστα, ἐκεῖ μὴ δυνούσας ὅλως τὰς ἐφʼ ἑκάτερα τῆς θερινῆς τροπῆς τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου μοίρας ῑε· ὥστε τὴν μεγίστην ἡμέραν καὶ τὴν τῶν σκιῶν ἐπὶ πάντα τὰ μέρη τοῦ ὁρίζοντος περιαγωγὴν σχεδὸν μηνιαίαν
γίνεσθαι. ἔσται γὰρ καὶ ταῦτα εὐκατανόητα διὰ τοῦ ἐκτεθειμένου κανονίου τῆς λοξώσεως· ὅσας γὰρ ἂν εὕρωμεν τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας τὸν παράλληλον ἀπέχοντα τὸν ἀπολαμβάνοντα λόγου ἕνεκεν ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ τροπικοῦ σημείου μοίρας ῑε, γινόμενον δὲ τότε ἤτοι
ἀεὶ φανερὸν ἢ ἀεὶ ἀφανῆ, μετὰ τοῦ ἀπολαμβανομένου τμήματος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου, ταῖς τοσαύταις μοίραις δηλονότι λείψει τῶν τοῦ τεταρτημορίου τμημάτων ?? τὸ ἔξαρμα τοῦ βορείου πόλου.
λε΄. καὶ ὅπου μὲν τοίνυν τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου μοιρῶν ἐστιν ξθU+2220΄, ἐκεῖ ἄν τις εὕροι μὴ δυνούσας ὅλως τὰς ἐφʼ ἑκάτερα τῆς θερινῆς τροπῆς μοίρας λ· ὥστε σχεδὸν ἐπὶ μῆνας ἔγγιστα δύο τήν τε μεγίστην
ἡμέραν καὶ τοὺς γνώμονας περισκίους γίνεσθαι.
ἡμέραν καὶ τοὺς γνώμονας περισκίους γίνεσθαι.
λς΄. ὅπου δὲ τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου μοιρῶν ἐστιν ογ γ΄, ἐκεῖ ἄν τις εὕροι μὴ δυνούσας τὰς ἐφʼ ἑκάτερα τῆς θερινῆς τροπῆς μοίρας με· ὥστε τήν τε μεγίστην ἡμέραν καὶ τοὺς γνώμονας περισκίους ἐπὶ τρίμηνον
ἔγγιστα παρατείνειν.
ἔγγιστα παρατείνειν.
λζ΄. ὅπου δὲ τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου μοιρῶν ἐστιν οη γ΄, ἐκεῖ ἄν τις εὕροι μὴ δυνούσας τὰς ἐφʼ ἑκάτερα τῆς αὐτῆς τροπῆς μοίρας ξ· ὥστε τετραμηνιαίαν σχεδὸν τήν τε μεγίστην ἡμέραν καὶ τὴν τῶν σκιῶν περιαγωγὴν
ἀποτελεῖσθαι.
ἀποτελεῖσθαι.
λη΄. ὅπου δὲ τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου μοιρῶν ἐστιν πδ, ἐκεῖ ἄν τις εὕροι μὴ δυνούσας τὰς ἐφʼ ἐκάτερα τῆς θερινῆς τροπῆς μοίρας οε· ὥστε πενταμηνιαίαν πάλιν σχεδὸν τὴν μεγίστην ἡμέραν γίνεσθαι καὶ τοὺς
γνώμονας τὸν ἴσον χρόνον περισκίους.
γνώμονας τὸν ἴσον χρόνον περισκίους.
λθ΄. ὅπου δὲ τὰς ὅλου τοῦ τεταρτημορίου μοίρας ὁ βόρειος πόλος ἀπὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐξῆρται, ἐκεῖ τὸ μὲν βορειότερον τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικύκλιον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ὅλον οὐδέποτε ὑπὸ γῆν γίνεται,
τὸ δὲ νοτιώτερον ὅλον οὐδέποτε ὑπὲρ γῆν· ὥστε μίαν 104 105 μὲν ἡμέραν ἑκάστου ἔτους γίγνεσθαι, μίαν δὲ νύκτα, ἑκατέραν ἔγγιστα ἑξαμηνιαίαν, τοὺς δὲ γνώμονας πάντοτε περισκίους τυγχάνειν. ἴδια δέ ἐστιν καὶ τῆς τοιαύτης ἐγκλίσεως τό τε τὸν βόρειον πόλον κατὰ κορυφὴν γίγνεσθαι καὶ τὸν ἰσημερινὸν τήν τε τοῦ
ἀεὶ φανεροῦ καὶ τὴν τοῦ ἀεὶ ἀφανοῦς καὶ ἔτι τὴν τοῦ ὁρίζοντος θέσιν ἀπολαμβάνειν ὑπὲρ γῆς μὲν ποιοῦντα πάντοτε τὸ βορειότερον ἑαυτοῦ πᾶν ἡμισφαίριον, ὑπὸ γῆν δὲ τὸ νοτιώτερον.
τὸ δὲ νοτιώτερον ὅλον οὐδέποτε ὑπὲρ γῆν· ὥστε μίαν 104 105 μὲν ἡμέραν ἑκάστου ἔτους γίγνεσθαι, μίαν δὲ νύκτα, ἑκατέραν ἔγγιστα ἑξαμηνιαίαν, τοὺς δὲ γνώμονας πάντοτε περισκίους τυγχάνειν. ἴδια δέ ἐστιν καὶ τῆς τοιαύτης ἐγκλίσεως τό τε τὸν βόρειον πόλον κατὰ κορυφὴν γίγνεσθαι καὶ τὸν ἰσημερινὸν τήν τε τοῦ
ἀεὶ φανεροῦ καὶ τὴν τοῦ ἀεὶ ἀφανοῦς καὶ ἔτι τὴν τοῦ ὁρίζοντος θέσιν ἀπολαμβάνειν ὑπὲρ γῆς μὲν ποιοῦντα πάντοτε τὸ βορειότερον ἑαυτοῦ πᾶν ἡμισφαίριον, ὑπὸ γῆν δὲ τὸ νοτιώτερον.
ζ΄. Περὶ τῶν ἐπὶ τῆς ἐγκεκλιμένης σφαίρας τοῦ
διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ἰσημερνοῦ συναναφορῶν.
Ἐκτεθειμένων δὴ τῶν καθόλου περὶ τὰς ἐγκλίσεις θεωρουμένων ἑξῆς ἂν εἴη δεῖξαι, πῶς ἂν λαμβάνοιντο καθʼ ἑκάστην ἔγκλισιν καὶ οἱ συναναφερόμενοι τοῦ
ἰσημερινοῦ χρόνοι ταῖς τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιφερείαις, ἀφʼ ὧν καὶ τὰ ἄλλα πάντα τῶν κατὰ μέρος ἀκολούθως ἡμῖν μεθοδευθήσεται. καταχρησόμεθα μέντοι ταῖς τῶν ζῳδίων ὀνομασίαις καὶ ἐπʼ αὐτῶν τῶν τοῦ λοξοῦ κύκλου δωδεκατημορίων καὶ
ὡς τῶν ἀρχῶν αὐτῶν ἀπὸ τῶν τροπικῶν καὶ ἰσημερινῶν σημείων λαμβανομένων, τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ἐαρινῆς 106 ἰσημερίας ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα τῆς τῶν ὅλων φορᾶς πρῶτον δωδεκατημόριον Κριὸν καλοῦντες, τὸ δὲ δεύτερον Ταῦρον, καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ὡσαύτως κατὰ τὴν παραδεδομένην ἡμῖν τάξιν τῶν ιβ ζῳδίων.
ἰσημερινοῦ χρόνοι ταῖς τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιφερείαις, ἀφʼ ὧν καὶ τὰ ἄλλα πάντα τῶν κατὰ μέρος ἀκολούθως ἡμῖν μεθοδευθήσεται. καταχρησόμεθα μέντοι ταῖς τῶν ζῳδίων ὀνομασίαις καὶ ἐπʼ αὐτῶν τῶν τοῦ λοξοῦ κύκλου δωδεκατημορίων καὶ
ὡς τῶν ἀρχῶν αὐτῶν ἀπὸ τῶν τροπικῶν καὶ ἰσημερινῶν σημείων λαμβανομένων, τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ἐαρινῆς 106 ἰσημερίας ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα τῆς τῶν ὅλων φορᾶς πρῶτον δωδεκατημόριον Κριὸν καλοῦντες, τὸ δὲ δεύτερον Ταῦρον, καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ὡσαύτως κατὰ τὴν παραδεδομένην ἡμῖν τάξιν τῶν ιβ ζῳδίων.
δείξομεν δὲ πρῶτον, ὅτι αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου περιφέρειαι τοῦ διὰ μιέσων τῶν ζῳδίων κύκλου ταῖς ἴσαις ἀεὶ τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου περιφερείαις συναναφέρονται.
ἔστω γὰρ μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, ὁρίζοντος
δὲ ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, τοῦ δὲ ἰσημερινοῦ τὸ ΑΕΓ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου δύο τμήματα τό τε ΖΗ καὶ τὸ ΘΚ, ὥστε ἑκάτερον μὲν τῶν Ζ καὶ Θ σημείων τὸ κατὰ
τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν ὑποκεῖσθαι, ἴσας δὲ ἐφʼ ἑκάτερα αὐτοῦ περιφερείας ἀποληφθείσας τὰς ΖΗ καὶ ΘΚ διὰ τῶν Κ καὶ Η σημείων ἀναφέρεσθαι.
λέγω, ὅτι καὶ αἰ ἑκατέρᾳ αὐτῶν συναναφερόμεναι τοῦ ἰσημερινοῦ περιφέρειαι, τουτέστιν αἰ ΖΕ καὶ ΘΕ, ἴσαι εἰσίν.
δὲ ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, τοῦ δὲ ἰσημερινοῦ τὸ ΑΕΓ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου δύο τμήματα τό τε ΖΗ καὶ τὸ ΘΚ, ὥστε ἑκάτερον μὲν τῶν Ζ καὶ Θ σημείων τὸ κατὰ
τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν ὑποκεῖσθαι, ἴσας δὲ ἐφʼ ἑκάτερα αὐτοῦ περιφερείας ἀποληφθείσας τὰς ΖΗ καὶ ΘΚ διὰ τῶν Κ καὶ Η σημείων ἀναφέρεσθαι.
λέγω, ὅτι καὶ αἰ ἑκατέρᾳ αὐτῶν συναναφερόμεναι τοῦ ἰσημερινοῦ περιφέρειαι, τουτέστιν αἰ ΖΕ καὶ ΘΕ, ἴσαι εἰσίν.
ἔστω γὰρ ἀντὶ τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ πόλων τὰ Λ
107
108
109
καὶ Μ σημεῖα, καὶ γεγράφθωσαν διʼ αὐτῶν μεγίστων κύκλων τμιήματα τό τε ΛΕΜ καὶ ΔΘ καὶ ἔτι τό τε ΛΚ καὶ ΖΜ καὶ ΜΗ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΘΚ, καὶ οἱ διὰ τῶν Κ καὶ Η γραφόμενοι παράλληλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ ἰσημερινοῦ,
ὥστε καὶ τὴν μὲν ΛΚ τῇ ΜΗ γίνεσθαι ἴσην, τὴν δὲ ΕΚ τῇ ΕΗ, ἰσόπλευρα ἄρα γίνεται τὸ μὲν ΛΚΘ τῷ ΜΗΖ, τὸ δὲ ΛΕΚ τῷ ΜΕΗ. καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΚΛΕ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΗΜΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΛΘ ὅλη τῇ ὑπὸ ΗΜΖ ὅλῃ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ
ΕΛΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΜΖ ἴση ἔσται. καὶ βάσις ἄρα ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ὥστε καὶ τὴν μὲν ΛΚ τῇ ΜΗ γίνεσθαι ἴσην, τὴν δὲ ΕΚ τῇ ΕΗ, ἰσόπλευρα ἄρα γίνεται τὸ μὲν ΛΚΘ τῷ ΜΗΖ, τὸ δὲ ΛΕΚ τῷ ΜΕΗ. καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΚΛΕ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΗΜΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΛΘ ὅλη τῇ ὑπὸ ΗΜΖ ὅλῃ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ
ΕΛΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΜΖ ἴση ἔσται. καὶ βάσις ἄρα ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
πάλιν δὲ δείξομεν, ὅτι αἱ συναναφερόμεναι τοῦ ἰσημερινοῦ περιφέρειαι ταῖς ἴσαις καὶ ἴσον ἀπεχούσαις τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίωον
κύκλου συναμφότεραι συναμιφοτέραις αὐτῶν ταῖς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἀναφοραῖς ἴσαι εἰσίν.
κύκλου συναμφότεραι συναμιφοτέραις αὐτῶν ταῖς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἀναφοραῖς ἴσαι εἰσίν.
ἐκκείσθω γὰρ ὁ ΑΒΓΔ μεσημβρινὸς καὶ τῶν ἡμικυκλίων τό τε ΒΕΔ τοῦ ὁρίζοντος καὶ τὸ ΑΕΓ τοῦ ἰσημερινοῦ, καὶ γεγράφθωσαν δύο ἴσαι τε καὶ ἴσον
ἀπέχουσαι τοῦ χειμερινοῦ σημείου τοῦ λοξοῦ κύκλου 110 111 112 113 περιφέρειαι ἥ τε ΖΗ τοῦ Ζ ὑποκειμένου μετοπωρινοῦ σημείου καὶ ἡ ΘΗ τοῦ Θ ὑποκειμένου ἐαρινοῦ σημείου, ὥστε καὶ τὸ μὲν Η σημεῖον κοινὸν τῆς ἀνατολῆς αὐτῶν εἶναι καὶ τοῦ ὁρίζοντος διὰ τὸ ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ παραλλήλου
κύκλου τῷ ἰσημερινῷ περιλαμβάνεσθαι τὰς ΖΗ καὶ ΘΗ περιφερείας, συναναφέρεσθαι δὲ δηλονότι τὴν μὲν ΘΕ τῇ ΘΗ, τήν δὲ ΕΖ τῇ ΖΗ.
φανερὸν οὖν γίνεται αὐτόθεν, ὅτι καὶ ὅλη ἡ ΘΕΖ ἴση ἐστὶν ταῖς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας τῶν ΖΗ καὶ ΘΗ ἀναφοραῖς. ἐὰν γὰρ ὑποθέμενοι τὸν νότιον τοῦ ἰσημερινοῦ πόλον τὸ Κ σημεῖον γράψωμεν
διʼ αὐτοῦ καὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τεταρτημόριον τὸ ΚΗΛ ἰσοδυναμοῦν τῷ ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντι, γίνεται πάλιν ἡ μὲν ΘΛ ἡ συναναφερομένη τῇ ΘΗ ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας, ἡ δὲ ΛΖ ἡ συναναφερομένη τῇ ΖΗ ὁμοίως· ὥστε καὶ συναμφοτέρας
τὰς ΘΛΖ συναμφοτέραις ταῖς ΘΕΖ ἴσας τε εἶναι καὶ ὑπὸ μιᾶς καὶ τῆς αὐτῆς περιέχεσθαι τῆς ΘΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ἀπέχουσαι τοῦ χειμερινοῦ σημείου τοῦ λοξοῦ κύκλου 110 111 112 113 περιφέρειαι ἥ τε ΖΗ τοῦ Ζ ὑποκειμένου μετοπωρινοῦ σημείου καὶ ἡ ΘΗ τοῦ Θ ὑποκειμένου ἐαρινοῦ σημείου, ὥστε καὶ τὸ μὲν Η σημεῖον κοινὸν τῆς ἀνατολῆς αὐτῶν εἶναι καὶ τοῦ ὁρίζοντος διὰ τὸ ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ παραλλήλου
κύκλου τῷ ἰσημερινῷ περιλαμβάνεσθαι τὰς ΖΗ καὶ ΘΗ περιφερείας, συναναφέρεσθαι δὲ δηλονότι τὴν μὲν ΘΕ τῇ ΘΗ, τήν δὲ ΕΖ τῇ ΖΗ.
φανερὸν οὖν γίνεται αὐτόθεν, ὅτι καὶ ὅλη ἡ ΘΕΖ ἴση ἐστὶν ταῖς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας τῶν ΖΗ καὶ ΘΗ ἀναφοραῖς. ἐὰν γὰρ ὑποθέμενοι τὸν νότιον τοῦ ἰσημερινοῦ πόλον τὸ Κ σημεῖον γράψωμεν
διʼ αὐτοῦ καὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τεταρτημόριον τὸ ΚΗΛ ἰσοδυναμοῦν τῷ ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντι, γίνεται πάλιν ἡ μὲν ΘΛ ἡ συναναφερομένη τῇ ΘΗ ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας, ἡ δὲ ΛΖ ἡ συναναφερομένη τῇ ΖΗ ὁμοίως· ὥστε καὶ συναμφοτέρας
τὰς ΘΛΖ συναμφοτέραις ταῖς ΘΕΖ ἴσας τε εἶναι καὶ ὑπὸ μιᾶς καὶ τῆς αὐτῆς περιέχεσθαι τῆς ΘΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
τούτων οὖν οὕτως ἐχόντων ὑποκείσθω πάλιν ὁ διὰ Ῥόδου παράλληλος, ὅπου ἡ μὲν μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ιδU+2220΄, ὁ δὲ βόρειος πόλος ἐξῆρται τοῦ
ὁρίζοντος μοίρας λς, καὶ ἔστω μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ ὁρίζοντος μὲν ὁμοίως ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, ἰσημερινοῦ δὲ τὸ ΑΕΓ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΖΗΘ οὕτως ἔχον, ὥστε τὸ ὑποκεῖσθαι
τὸ ἐαρινὸν σημεῖον. καὶ ληφθέντος τοῦ βορείου πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸ Κ σημεῖον γεγράφθω διʼ αὐτοῦ καὶ τῆς κατὰ τὸ Λ τομῆς τοῦ τε
διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ὁρίζοντος μεγίστου κύκλου τεταρτημόριον τὸ ΚΛΜ. προκείσθω δὲ τῆς ΗΛ περιφερείας δοθείσης τὴν συναναφερομένην αὐτῇ τοῦ ἰσημερινοῦ, τουτέστιν τὴν ΕΗ, εὑρεῖν· καὶ περιεχέτω πρῶτον ἡ ΗΛ τὸ τοῦ Κριοῦ δωδεκατημόριον.
ὁρίζοντος μοίρας λς, καὶ ἔστω μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ ὁρίζοντος μὲν ὁμοίως ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, ἰσημερινοῦ δὲ τὸ ΑΕΓ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΖΗΘ οὕτως ἔχον, ὥστε τὸ ὑποκεῖσθαι
τὸ ἐαρινὸν σημεῖον. καὶ ληφθέντος τοῦ βορείου πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸ Κ σημεῖον γεγράφθω διʼ αὐτοῦ καὶ τῆς κατὰ τὸ Λ τομῆς τοῦ τε
διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ὁρίζοντος μεγίστου κύκλου τεταρτημόριον τὸ ΚΛΜ. προκείσθω δὲ τῆς ΗΛ περιφερείας δοθείσης τὴν συναναφερομένην αὐτῇ τοῦ ἰσημερινοῦ, τουτέστιν τὴν ΕΗ, εὑρεῖν· καὶ περιεχέτω πρῶτον ἡ ΗΛ τὸ τοῦ Κριοῦ δωδεκατημόριον.
ἐπεὶ τοίνυν πάλιν ἐν καταγραφῇ μεγίστων κύκλων εἰς δύο τὰς ΕΓ καὶ ΓΚ γεγραμμέναι εἰσὶν ἥ τε ΕΔ καὶ ἡ ΚΜ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Λ, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΚΔ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΔΓ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν
118 119 120 τῆς ΚΛ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΛΜ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΓ p. 74, 9. ἀλλ᾿ ἡ μὲν τῆς ΚΔ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν οβ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ὁ λβ δ,
ἡ δὲ τῆς ΓΔ μοιρῶν ῥῆ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ??ζ δ νς, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΚΛ μοιρῶν ρνς μᾱ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ λᾱ ῑε, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΛΜ μοιρῶν κγ ιθ νθ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κδ ῖὲ νζ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν
λῆ δ πρὸς τὰ ??ζ δ νς λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριζ λα ῑε πρὸς τὰ κδ ῑε νζ, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΓ λόγος ὁ τῶν ῑη o ε πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΓ τμημάτων ρκ· ἡ ἄρα ὑπὸ
τὴν διπτλῆν τῆς ΜΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν ῑη o ε. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΜΕ περιφερείας μοιρῶν ἔσται ιζ ῑς ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ ΜΕ τῶν αὐτῶν ῑη λη. ἀλλʼ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΗΜ περιφέρεια τῇ ΗΛ ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας συναναφέρεται, τῶν προαποδεδειγμένων p. 84, 11
ἐστὶ μοιρῶν κζ ν· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΗ μοιρῶν ἐστιν ιθ ιβ.
118 119 120 τῆς ΚΛ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΛΜ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΓ p. 74, 9. ἀλλ᾿ ἡ μὲν τῆς ΚΔ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν οβ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ὁ λβ δ,
ἡ δὲ τῆς ΓΔ μοιρῶν ῥῆ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ??ζ δ νς, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΚΛ μοιρῶν ρνς μᾱ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ λᾱ ῑε, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΛΜ μοιρῶν κγ ιθ νθ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κδ ῖὲ νζ· ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν
λῆ δ πρὸς τὰ ??ζ δ νς λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριζ λα ῑε πρὸς τὰ κδ ῑε νζ, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΓ λόγος ὁ τῶν ῑη o ε πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΓ τμημάτων ρκ· ἡ ἄρα ὑπὸ
τὴν διπτλῆν τῆς ΜΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν ῑη o ε. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΜΕ περιφερείας μοιρῶν ἔσται ιζ ῑς ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ ΜΕ τῶν αὐτῶν ῑη λη. ἀλλʼ ἐπεὶ ὅλη ἡ ΗΜ περιφέρεια τῇ ΗΛ ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας συναναφέρεται, τῶν προαποδεδειγμένων p. 84, 11
ἐστὶ μοιρῶν κζ ν· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΕΗ μοιρῶν ἐστιν ιθ ιβ.
καὶ συναποδέδεικται, ὅτι καὶ τὸ μὲν τῶν Ἰχθύων δωδεκατημόριον τοῖς αὐτοῖς χρόνοις συναναφέρεται ιθ ιβ, ἑκάτερον δὲ τό τε τῆς Παρθένου καὶ τῶν Χηλῶν τοῖς λείπουσιν εἰς τὴν διπλῆν τῆς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἀναφορὰν χρόνοις λς κη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
πάλιν ἡ ΗΛ περιφέρεια περιεχέτω τῶν δύο δωδεκατημορίων τοῦ τε Κριοῦ καὶ τοῦ Ταύρου μοίρας ξ· διὰ δὴ τὰ ὑποκείμενα τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΚΛ μοιρῶν γίνεται ρλη νθ μβ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριβ κγ νς, ἡ δὲ διπλῆ
τῆς ΛΜ μοιρῶν μᾱ θ ῑη καὶ ἡ ὑπ᾿ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μβ ᾱ μη. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν ο λβ δ πρὸς τὰ ??ζ δ νς λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριβ κγ νς πρὸς τὰ μβ ᾱ μη, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν
τῆς ΕΓ λόγος ὁ τῶν λβ λς δ πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΓ τμημάτων ρκ· ἄρα ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν λβ λς δ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΜΕ περιφερείας μοιρῶν ἐστιν λα λβ ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ ΜΕ τῶν αὐτῶν ῑε μς.
ἀλλὰ ἡ ΜΕ ὅλη κατὰ τὰ αὐτὰ προαπεδείχθη p. 84, 13 μοιρῶν νζ μδ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΕ μοιρῶν ἐστιν μᾱ νη. ὁ ἄρα Κριὸς καὶ ὁ Ταῦρος ἀναφέρονται συναμφότεροι ἐν χρόνοις μᾱ νη, ὧν ὁ Κριὸς ἐδείχθη συναναφερόμενος 126 χρόνοις ῑθ ῑβ· καὶ μόνον ἄρα τὸ τοῦ Ταύρου δωδεκατημόριον συναναφέρεται χρόνοις κβ μς.
τῆς ΛΜ μοιρῶν μᾱ θ ῑη καὶ ἡ ὑπ᾿ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μβ ᾱ μη. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν ο λβ δ πρὸς τὰ ??ζ δ νς λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριβ κγ νς πρὸς τὰ μβ ᾱ μη, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν
τῆς ΕΓ λόγος ὁ τῶν λβ λς δ πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΓ τμημάτων ρκ· ἄρα ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν λβ λς δ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΜΕ περιφερείας μοιρῶν ἐστιν λα λβ ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ ΜΕ τῶν αὐτῶν ῑε μς.
ἀλλὰ ἡ ΜΕ ὅλη κατὰ τὰ αὐτὰ προαπεδείχθη p. 84, 13 μοιρῶν νζ μδ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΕ μοιρῶν ἐστιν μᾱ νη. ὁ ἄρα Κριὸς καὶ ὁ Ταῦρος ἀναφέρονται συναμφότεροι ἐν χρόνοις μᾱ νη, ὧν ὁ Κριὸς ἐδείχθη συναναφερόμενος 126 χρόνοις ῑθ ῑβ· καὶ μόνον ἄρα τὸ τοῦ Ταύρου δωδεκατημόριον συναναφέρεται χρόνοις κβ μς.
διὰ τὰ αὐτὰ δὲ πάλιν καὶ τὸ μὲν τοῦ Ὑδρηχόου δωδεκατημόριον συνανενεχθήσεται τοῖς ἴσοις χρόνοις
κβ μς, ἑκάτερον δὲ τό τε τοῦ Λέοντος καὶ τὸ τοῦ Σκορπίου τοῖς λείπουσιν εἰς τὴν διπλῆν τῆς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἀναφορὰν χρόνοις λζ β.
κβ μς, ἑκάτερον δὲ τό τε τοῦ Λέοντος καὶ τὸ τοῦ Σκορπίου τοῖς λείπουσιν εἰς τὴν διπλῆν τῆς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἀναφορὰν χρόνοις λζ β.
ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ μὲν μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ιδU+2220΄ ἡ δὲ ἐλαχίστη θ U+2220΄, δῆλον, ὅτι καὶ τὸ
μὲν ἀπὸ Καρκίνου μέχρι τοῦ Τοξότου ἡμικύκλιον συνανενεχθήσεται τοῦ ἰσημερινοῦ χρόνοις σιζ λ, τὸ δὲ ἀπὸ Αἰγόκερω μέχρι Διδύμων χρόνοις ρμβ λ. ὥστε καὶ ἑκάτερον μὲν τῶν ἑκατέρωθεν τοῦ ἐαρινοῦ σημείου τεταρτημορίων συνανενεχθήσεται χρόνοις οᾱ ῑε, ἑκάτερον
δὲ τῶν ἑκατέρωθεν τοῦ μετοπωρινοῦ σημείου χρόνοις ρη με. καὶ λοιπὸν μὲν ἄρα τό τε τῶν Διδύμων καὶ τὸ τοῦ Αἰγόκερω δωδεκατημόριον ἑκάτερον συνανενεχθήσεται χρόνοις κθ ιζ τοῖς λείπουσιν εἰς τοὺς τοῦ τεταρτημορίου χρόνους οᾱ ῑε, λοιπὸν δὲ τό τε τοῦ
Καρκίνου καὶ τὸ τοῦ Τοξότου ἑκάτερον χρόνοις λε ῑε τοῖς λείπουσι πάλιν εἰς τοὺς καὶ τούτου τοῦ τεταρτημορίου χρόνους ρη με.
μὲν ἀπὸ Καρκίνου μέχρι τοῦ Τοξότου ἡμικύκλιον συνανενεχθήσεται τοῦ ἰσημερινοῦ χρόνοις σιζ λ, τὸ δὲ ἀπὸ Αἰγόκερω μέχρι Διδύμων χρόνοις ρμβ λ. ὥστε καὶ ἑκάτερον μὲν τῶν ἑκατέρωθεν τοῦ ἐαρινοῦ σημείου τεταρτημορίων συνανενεχθήσεται χρόνοις οᾱ ῑε, ἑκάτερον
δὲ τῶν ἑκατέρωθεν τοῦ μετοπωρινοῦ σημείου χρόνοις ρη με. καὶ λοιπὸν μὲν ἄρα τό τε τῶν Διδύμων καὶ τὸ τοῦ Αἰγόκερω δωδεκατημόριον ἑκάτερον συνανενεχθήσεται χρόνοις κθ ιζ τοῖς λείπουσιν εἰς τοὺς τοῦ τεταρτημορίου χρόνους οᾱ ῑε, λοιπὸν δὲ τό τε τοῦ
Καρκίνου καὶ τὸ τοῦ Τοξότου ἑκάτερον χρόνοις λε ῑε τοῖς λείπουσι πάλιν εἰς τοὺς καὶ τούτου τοῦ τεταρτημορίου χρόνους ρη με.
ἔτι δʼ ἂν εὐχρηστότερον καὶ μεθοδικώτερον αὐτὰς ἐπιλογιζοίμεθα καὶ οὕτως.
ἔστω γὰρ πρῶτον μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ
καὶ ὁρίζοντος μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, ἰσημερινοῦ δὲ τὸ ΑΕΓ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΖΕΗ τῆς Ε τομῆς κατὰ τὸ ἐαρινὸν σημεῖον ὑποκειμένης. καὶ ἀποληφθείσης ἐπʼ αὐτοῦ τῆς
ΕΘ περιφερείας τυχούσης γεγράφθω τμῆμα τοῦ διὰ τοῦ Θ παραλλήλου τῷ ἰσημερινῷ κύκλῳ τὸ ΘΚ, καὶ ληφθέντος τοῦ Λ πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ
γεγράφθω δι᾿ αὐτοῦ τεταρτημόρια μεγίστων κύκλων τὸ ΛΘΜ καὶ τὸ ΛΚΝ καὶ ἔτι τὸ ΛΕ. φανερὸν τοίνυν αὐτόθεν ἐστίν, ὅτι τὸ ΕΘ τμῆμα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἐπὶ μὲν ὀρθῆς τῆς σφαίρας τῇ ΕΜ περιφερείᾳ τοῦ ἰσημερινοῦ συναναφέρεται,
ἐπὶ δὲ τῆς ἐγκεκλιμένης τῇ ἴσῃ τῇ ΝΜ, ἐπειδήπερ ἡ μὲν ΚΘ τοῦ παραλλήλου περιφέρεια, συναναφέρεται τὸ ΕΘ τμῆμα, ὁμοία ἐστὶ τῇ ΝΜ τοῦ ἰσημερινοῦ, αἱ δʼ ὅμοιαι περιφέρειαι τῶν παραλλήλων ἐν ἴσοις πανταχῆ χρόνοις ἀναφέρονται. καὶ τῇ ΕΝ
131 132 ἄρα περιφερείᾳ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ἐπὶ τῆς ἐγκεκλιμένης σφαίρας τοῦ ΕΘ τμήματος ἀναφορὰ τῆς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας, δέδεικταί τε, ὅτι καὶ καθόλου, ἐὰν γραφῶσί τινες οὕτως περιφέρειαι μεγίστων κύκλων ὡς ἡ ΛΚΝ,
τὸ ΕΝ τμῆμα περιέξει τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἐπί τε τῆς ὀρθῆς καὶ τῆς ἐγκεκλιμένης σφαίρας ἀναφορῶν τῶν ἀπολαμβανομένων τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιφερειῶν ὑπό τε τοῦ Ε καὶ τοῦ γραφομένου διὰ τοῦ Κ παραλλήλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
τούτου προθεωρηθέντος ἐκκείσθω ἡ καταγραφὴ μόνων τοῦ τε μεσημβρινοῦ καὶ τῶν τοῦ ὁρίζοντος καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικυκλίων, καὶ διὰ τοῦ Ζ νοτίου πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ γεγράφθω δύο τεταρτημόρια
μεγίστων κύκλων τό τε ΖΗΘ καὶ τὸ ΖΚΛ, ὑποκείσθω δὲ τὸ μὲν Η σημεῖον τὸ κοινὸν τοῦ διὰ τοῦ χειμερινοῦ τροπικοῦ σημείου
γραφομένου παραλλήλου καὶ τοῦ ὁρίζοντος, τὸ δὲ Κ τὸ κοινὸν τοῦ γραφομένου διὰ τῆς ἀρχῆς λόγου ἕνεκεν 133 134 135 136 τῶν Ἰχθύων ἢ καὶ ἄλλου τινὸς τῶν τοῦ τεταρτημορίου τμημάτων δεδομένου. εἰς δύο δὴ πάλιν μεγίστων κύκλων περιφερείας τὰς ΖΘ καὶ ΕΘ γεγραμμέναι εἰσὶν ἥ τε ΖΚΛ καὶ ἡ ΕΚΗ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Κ, καί ἐστιν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν
διπλῆν τῆς ΖΗ λόγος ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΚΛ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΚΖ p. 74, 9. ἀλλ᾿ ἐν πάσαις ταῖς ἐγκλίσεσιν ἥ τε διπλῆ τῆς ΘΗ περιφερείας ἡ αὐτὴ
δέδοται· ἔστιν γὰρ ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν· καὶ διὰ τοῦτο καὶ λοιπὴ ἡ διπλῆ τῆς ΗΖ. καὶ ὁμοίως ἐπὶ τῶν αὐτῶν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τμημάτων ἥ τε τῆς ΛΚ περιφερείας διπλῆ κατὰ πάσας τὰς ἐγκλίσεις ἐστὶν ἡ αὐτὴ καὶ δίδοται διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου,
καὶ λοιπὴ διὰ τοῦτο πάλιν ἡ διπλῆ τῆς ΚΖ· ὥστε καὶ τὸν τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ καταλείπεσθαι λόγον τὸν αὐτὸν ἐν πάσαις ταῖς ἐγκλίσεσιν ἐπὶ τῶν αὐτῶν τοῦ τεταρτημορίου τμημάτων.
καὶ ὁρίζοντος μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, ἰσημερινοῦ δὲ τὸ ΑΕΓ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΖΕΗ τῆς Ε τομῆς κατὰ τὸ ἐαρινὸν σημεῖον ὑποκειμένης. καὶ ἀποληφθείσης ἐπʼ αὐτοῦ τῆς
ΕΘ περιφερείας τυχούσης γεγράφθω τμῆμα τοῦ διὰ τοῦ Θ παραλλήλου τῷ ἰσημερινῷ κύκλῳ τὸ ΘΚ, καὶ ληφθέντος τοῦ Λ πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ
γεγράφθω δι᾿ αὐτοῦ τεταρτημόρια μεγίστων κύκλων τὸ ΛΘΜ καὶ τὸ ΛΚΝ καὶ ἔτι τὸ ΛΕ. φανερὸν τοίνυν αὐτόθεν ἐστίν, ὅτι τὸ ΕΘ τμῆμα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἐπὶ μὲν ὀρθῆς τῆς σφαίρας τῇ ΕΜ περιφερείᾳ τοῦ ἰσημερινοῦ συναναφέρεται,
ἐπὶ δὲ τῆς ἐγκεκλιμένης τῇ ἴσῃ τῇ ΝΜ, ἐπειδήπερ ἡ μὲν ΚΘ τοῦ παραλλήλου περιφέρεια, συναναφέρεται τὸ ΕΘ τμῆμα, ὁμοία ἐστὶ τῇ ΝΜ τοῦ ἰσημερινοῦ, αἱ δʼ ὅμοιαι περιφέρειαι τῶν παραλλήλων ἐν ἴσοις πανταχῆ χρόνοις ἀναφέρονται. καὶ τῇ ΕΝ
131 132 ἄρα περιφερείᾳ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ἐπὶ τῆς ἐγκεκλιμένης σφαίρας τοῦ ΕΘ τμήματος ἀναφορὰ τῆς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας, δέδεικταί τε, ὅτι καὶ καθόλου, ἐὰν γραφῶσί τινες οὕτως περιφέρειαι μεγίστων κύκλων ὡς ἡ ΛΚΝ,
τὸ ΕΝ τμῆμα περιέξει τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἐπί τε τῆς ὀρθῆς καὶ τῆς ἐγκεκλιμένης σφαίρας ἀναφορῶν τῶν ἀπολαμβανομένων τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιφερειῶν ὑπό τε τοῦ Ε καὶ τοῦ γραφομένου διὰ τοῦ Κ παραλλήλου· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
τούτου προθεωρηθέντος ἐκκείσθω ἡ καταγραφὴ μόνων τοῦ τε μεσημβρινοῦ καὶ τῶν τοῦ ὁρίζοντος καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικυκλίων, καὶ διὰ τοῦ Ζ νοτίου πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ γεγράφθω δύο τεταρτημόρια
μεγίστων κύκλων τό τε ΖΗΘ καὶ τὸ ΖΚΛ, ὑποκείσθω δὲ τὸ μὲν Η σημεῖον τὸ κοινὸν τοῦ διὰ τοῦ χειμερινοῦ τροπικοῦ σημείου
γραφομένου παραλλήλου καὶ τοῦ ὁρίζοντος, τὸ δὲ Κ τὸ κοινὸν τοῦ γραφομένου διὰ τῆς ἀρχῆς λόγου ἕνεκεν 133 134 135 136 τῶν Ἰχθύων ἢ καὶ ἄλλου τινὸς τῶν τοῦ τεταρτημορίου τμημάτων δεδομένου. εἰς δύο δὴ πάλιν μεγίστων κύκλων περιφερείας τὰς ΖΘ καὶ ΕΘ γεγραμμέναι εἰσὶν ἥ τε ΖΚΛ καὶ ἡ ΕΚΗ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Κ, καί ἐστιν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν
διπλῆν τῆς ΖΗ λόγος ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΚΛ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΚΖ p. 74, 9. ἀλλ᾿ ἐν πάσαις ταῖς ἐγκλίσεσιν ἥ τε διπλῆ τῆς ΘΗ περιφερείας ἡ αὐτὴ
δέδοται· ἔστιν γὰρ ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν· καὶ διὰ τοῦτο καὶ λοιπὴ ἡ διπλῆ τῆς ΗΖ. καὶ ὁμοίως ἐπὶ τῶν αὐτῶν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τμημάτων ἥ τε τῆς ΛΚ περιφερείας διπλῆ κατὰ πάσας τὰς ἐγκλίσεις ἐστὶν ἡ αὐτὴ καὶ δίδοται διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου,
καὶ λοιπὴ διὰ τοῦτο πάλιν ἡ διπλῆ τῆς ΚΖ· ὥστε καὶ τὸν τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ καταλείπεσθαι λόγον τὸν αὐτὸν ἐν πάσαις ταῖς ἐγκλίσεσιν ἐπὶ τῶν αὐτῶν τοῦ τεταρτημορίου τμημάτων.
ἐὰν δὴ τούτων οὕτως ἐχόντων τὴν τῆς ΚΛ περιφερείας διαφορὰν διὰ δέκα τμημάτων τοῦ ἀπὸ τῆς ἐαρινῆς ἰσημερίας ὡς πρὸς τὸ χειμερινὸν τροπικὸν σημεῖον τεταρτημορίου παραυξήσωμεν τῆς μέχρι τῶν τηλικούτων περιφερειῶν διαιρέσεως αὐτάρκους κατὰ
τὴν χρῆσιν ἐσομένης, τὴν μὲν τῆς ΘΗ περιφερείας 137 138 139 140 διπλῆν ἕξομεν πάντοτε μοιρῶν μζ μβ μ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μη λα νε, τὴν δὲ τῆς ΗΖ διπλῆν μοιρῶν ρλβ ιζ κ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ρθ μδ νγ. ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ μὲν τῆς
δεκαμοιρίαν ἀπεχούσης τοῦ ἐαρινοῦ σημείου ὡς πρὸς τὸ χειμερινὸν τροπικὸν περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΚΛ διπλῆν μοιρῶν η γ ῑς καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων η κε λθ, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ροᾱ νς μδ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων
ριθ μβ ῑδ. ἐπὶ δὲ τῆς κ μοίρας ὡσαύτως ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΚΛ διπλῆν μοιρῶν ῑε νδ ϛ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ῑς λε νς, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρξδ ε νδ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριη ν μζ. ἐπὶ δὲ τῆς λ
μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΛΚ διπλῆν μοιρῶν κγ ιθ νη καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων κδ ῑε νς, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρνς μ β καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριζ λᾱ ῑε. ἐπὶ δὲ τῆς μ μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς
ΛΚ διπλῆν μοιρῶν λ η η καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν 141 142 143 τμημάτων λᾱ ῑᾱ μγ, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρμθ νᾱ νβ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ρῑε νβ ῑθ. ἐπὶ δὲ τῆς ν μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΛΚ διπλῆν μοιρῶν λς ε μς καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων λζ ῑ λθ, τὴν δὲ τῆς ΚΖ
διπλῆν μοιρῶν ρμγ νδ ιδ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριδ ε μδ. ἐπὶ δὲ τῆς ξ μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΛΚ διπλῆν μοιρῶν μᾱ o ῑη καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μβ ᾱ μη, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρλη νθ μβ καὶ τὴν ὑπὸ
αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριβ κγ νζ. ἐπὶ δὲ τῆς ο μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΛΚ διπλῆν μοιρῶν μδ μ κβ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων με λς ῑη, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρλε ιθ λη καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ρῑ νθ μζ.
ἐπὶ δὲ τῆς π μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΛΚ διπλῆν μοιρῶν μς νς λβ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μζ μζ μ, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρλγ γ κη καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ρῑ δ ῑς.
τὴν χρῆσιν ἐσομένης, τὴν μὲν τῆς ΘΗ περιφερείας 137 138 139 140 διπλῆν ἕξομεν πάντοτε μοιρῶν μζ μβ μ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μη λα νε, τὴν δὲ τῆς ΗΖ διπλῆν μοιρῶν ρλβ ιζ κ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ρθ μδ νγ. ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ μὲν τῆς
δεκαμοιρίαν ἀπεχούσης τοῦ ἐαρινοῦ σημείου ὡς πρὸς τὸ χειμερινὸν τροπικὸν περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΚΛ διπλῆν μοιρῶν η γ ῑς καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων η κε λθ, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ροᾱ νς μδ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων
ριθ μβ ῑδ. ἐπὶ δὲ τῆς κ μοίρας ὡσαύτως ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΚΛ διπλῆν μοιρῶν ῑε νδ ϛ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ῑς λε νς, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρξδ ε νδ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριη ν μζ. ἐπὶ δὲ τῆς λ
μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΛΚ διπλῆν μοιρῶν κγ ιθ νη καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων κδ ῑε νς, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρνς μ β καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριζ λᾱ ῑε. ἐπὶ δὲ τῆς μ μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς
ΛΚ διπλῆν μοιρῶν λ η η καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν 141 142 143 τμημάτων λᾱ ῑᾱ μγ, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρμθ νᾱ νβ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ρῑε νβ ῑθ. ἐπὶ δὲ τῆς ν μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΛΚ διπλῆν μοιρῶν λς ε μς καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων λζ ῑ λθ, τὴν δὲ τῆς ΚΖ
διπλῆν μοιρῶν ρμγ νδ ιδ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριδ ε μδ. ἐπὶ δὲ τῆς ξ μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΛΚ διπλῆν μοιρῶν μᾱ o ῑη καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μβ ᾱ μη, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρλη νθ μβ καὶ τὴν ὑπὸ
αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριβ κγ νζ. ἐπὶ δὲ τῆς ο μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΛΚ διπλῆν μοιρῶν μδ μ κβ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων με λς ῑη, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρλε ιθ λη καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ρῑ νθ μζ.
ἐπὶ δὲ τῆς π μοίρας ἀπεχούσης περιφερείας τὴν μὲν τῆς ΛΚ διπλῆν μοιρῶν μς νς λβ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μζ μζ μ, τὴν δὲ τῆς ΚΖ διπλῆν μοιρῶν ρλγ γ κη καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ρῑ δ ῑς.
καὶ διὰ τὰ προκείμενα, ἐὰν ἀπὸ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΖ λόγου, τουτέστιν τοῦ τῶν μη λᾱ νε πρὸς τὰ ρθ μδ νγ, ἀφέλωμεν ἕκαστον τῶν κατὰ δεκαμοιρίαν ἐκκειμένων
144
145
146
147
τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΛΚ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΚΖ λόγων, καταλειφθήσεται ἡμῖν καὶ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ λόγος κατὰ πάσας τὰς ἐγκλίσεις ὁ αὐτὸς τῷ τῶν ξ ἐπὶ
μὲν τῆς δέκα μοίρας, ὡς ἔφαμεν, ἀπεχούσης περιφερείας πρὸς τὰ θ λγ, ἐπὶ δὲ τῆς κ πρὸς τὰ ῑη νζ, ἐπὶ δὲ τῆς λ πρὸς τὰ κη ᾱ, ἐπὶ δὲ τῆς λ πρὸς τὰ λς λγ, ἐνὶ δὲ τῆς πρὸς τὰ μδ ῑβ, ἐπὶ δὲ τῆς ξ πρὸς τὰ ν μδ, ἐπὶ δὲ τῆς ο πρὸς τὰ νε μὲ, ἐπὶ δὲ τῆς π πρὸς τὰ
νη νε.
μὲν τῆς δέκα μοίρας, ὡς ἔφαμεν, ἀπεχούσης περιφερείας πρὸς τὰ θ λγ, ἐπὶ δὲ τῆς κ πρὸς τὰ ῑη νζ, ἐπὶ δὲ τῆς λ πρὸς τὰ κη ᾱ, ἐπὶ δὲ τῆς λ πρὸς τὰ λς λγ, ἐνὶ δὲ τῆς πρὸς τὰ μδ ῑβ, ἐπὶ δὲ τῆς ξ πρὸς τὰ ν μδ, ἐπὶ δὲ τῆς ο πρὸς τὰ νε μὲ, ἐπὶ δὲ τῆς π πρὸς τὰ
νη νε.
φανερὸν δὲ αὐτόθεν, ὅτι καὶ καθʼ ἑκάστην τῶν ἐγκλίσεων δεδομένην ἔχοντες τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ περιφερείας, ἐπειδήπερ τοσούτων ἐστὶν μοιρῶν, ὅσοις ὑπερέχει χρόνοις τὴν ἐλαχίστην ἡμέραν ἡ ἰσημερινή, καὶ
τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τόν τε λόγον ταύτης τὸν πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ, ἕξομεν καὶ αὐτὴν δεδομένην καὶ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ, περιφερείας, ἧς τὴν ἡμίσειαν, τουτέστιν αὐτὴν τὴν ΕΛ, περιέχουσαν τὴν προειρημένην p. 126, 5 ὑπεροχὴν ἀφελόντες ἀπὸ τῶν
ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας τῆς ἐκκειμένης τοῦ διὰ μέσων περιφερείας ἀναφορῶν τὴν κατὰ τὸ ὑποκείμενον κλίμα τῆς αὐτῆς περιφερείας ἀναφορὰν εὑρήσομεν.
τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τόν τε λόγον ταύτης τὸν πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ, ἕξομεν καὶ αὐτὴν δεδομένην καὶ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ, περιφερείας, ἧς τὴν ἡμίσειαν, τουτέστιν αὐτὴν τὴν ΕΛ, περιέχουσαν τὴν προειρημένην p. 126, 5 ὑπεροχὴν ἀφελόντες ἀπὸ τῶν
ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας τῆς ἐκκειμένης τοῦ διὰ μέσων περιφερείας ἀναφορῶν τὴν κατὰ τὸ ὑποκείμενον κλίμα τῆς αὐτῆς περιφερείας ἀναφορὰν εὑρήσομεν.
ἐκκείσθω γὰρ ὑποδείγματος ἕνεκεν πάλιν ἡ κλίσις τοῦ διὰ Ῥύδου παραλλήλου, καθʼ ὃν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΕΘ περιφερείας μοιρῶν ἐστιν λζ λ, ἡ δ᾿ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων λη λδ ἔγγιστα ἐπεὶ οὖν ὁ αὐτὸς λόγος ἐστὶν τῶν ξ πρὸς τὰ λη λδ καὶ τῶν μὲν θ λγ
πρὸς τὰ ς η, τῶν δὲ ῑη νζ πρὸς τὰ ῑβ ῑᾱ, τῶν δὲ κ ᾱ πρὸε τὰ ῑη o, τῶν δὲ λϛ λγ πρὸς τὰ κγ κθ, τῶν δὲ μδ ῑβ πρὸς τὰ κ κε, τῶν δὲ ν μδ πρὸς τὰ λβ λζ, τῶν δὲ νε με πρὸς τὰ λε νβ, τῶν δὲ νη νε πρὸς τὰ λζ νβ, γίνεται καὶ ἡ μὲν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ περιφερείας
καθʼ ἑκάστην τῶν δέκα μοιρῶν ὑπεροχῶν τῶν ἐκκειμένων οἰκείως τμημάτων, ἡ δὲ ἡμίσεια τῆς ὑπʼ αὐτὴν περιφερείας, τουτέστιν αὐτὴ ἡ ΚΛ, μοιρῶν ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης δεκαμοιρίας β νς, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ε ν, ἐπὶ δὲ τῆς τρίτης η λη, ἐπὶ δὲ τῆς τετάρτης ῑᾱ ιζ,
ἐπὶ δὲ τῆς πέμπτης ῑγ μβ, ἐπὶ δὲ τῆς ἕκτης ῑε μς, ἐπὶ δὲ τῆς ἐβδόμης ιζ κδ, ἐπὶ δὲ τῆς ὀγδόης ῑη κδ, καὶ ἐπὶ τῆς ἐνάτης δὲ δηλονότι αὐτῶν τῶν ῑη μὲ. ὥστε ἐπειδὴ p. 84, 15 καὶ ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἡ μὲν μέχρι τῆς πρώτης δεκαμοιρίας περιφέρεια συναναφέρεται
χρόνοις θ ῑ, ἡ δὲ μέχρι τῆς δευτέρας ῑη κε, ἡ δὲ μέχρι τῆς τρίτης κζ ν, ἡ δὲ μέχρι τῆς τετάρτης 150 151 152 153 λζ λ, ἡ δὲ μέχρι τῆς πέμπτης μζ κη, ἡ δὲ μέχρι τῆς ἕκτης νζ μδ, ἡ δὲ μέχρι τῆς ἑβδόμης ξη ῑη, ἡ δὲ μέχρι τῆς ὀγδόης οθ ε, ἡ δὲ μέχρι τῆς ἐνάτης τοῖς ὅλου τοῦ τεταρτημορίου χρόνοις ??, φανερόν,
ὅτι, κἂν ἀφέλωμεν ἀφʼ ἑκάστης τῶν ἐκκειμένων ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἀναφορῶν τὴν οἰκείαν πηλικότητα τῆς κατὰ τὴν ΕΛ περιφέρειαν ὑπεροχῆς, ἕξομεν καὶ τὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ κλίματι τῶν αὐτῶν ἀναφοράς. καὶ συνανενεχθήσεται ἡ μὲν μέχρι τῆς πρώτης
δεκαμοιρίας περιφέρεια τοῖς λοιποῖς χρόνοις ϛ ιδ, ἡ δὲ μέχρι τῆς δευτέρας ιβ λε, ἡ δὲ μέχρι τῆς τρίτης ιθ ιβ, ἡ δὲ μέχρι τῆς τετάρτης κς ῑγ, ἡ δὲ μέχρι τῆς πέμπτης λγ μς, ἡ δὲ μέχρι τῆς ἕκτης μᾱ νη, ἡ δὲ μέχρι τῆς ἐβδόμης ν νδ, ἡ δὲ μέχρι τῆς ὀγδόης ξ μᾱ,
ἡ δὲ μέχρι τῆς ἐνάτης, τουτέστιν ἡ ὅλου τοῦ τεταρτημορίου, τοῖς ἐκ τῆς ἡμισείας τοῦ μεγέθους τῆς ἡμέρας συναγομένοις χρόνοις οᾱ ῑε. καὶ αὐτῶν ἄρα τῶν δεκαμοιριῶν ἡ μὲν πρώτη συνανενεχθήσεται χρόνοις ϛ ῑδ, ἡ δὲ δευτέρα ς κᾱ, ἡ δὲ τρίτη ς λζ, ἡ δὲ τετάρτη ζ ᾱ,
ἡ δὲ πέμπτη ζ λγ, ἡ δὲ ἕκτη ιβ, ἡ δὲ ἐβδόμη η νς, ἡ δὲ ὀγδόη θ μζ, ἡ δὲ ἐνάτη ῑ λδ.
πρὸς τὰ ς η, τῶν δὲ ῑη νζ πρὸς τὰ ῑβ ῑᾱ, τῶν δὲ κ ᾱ πρὸε τὰ ῑη o, τῶν δὲ λϛ λγ πρὸς τὰ κγ κθ, τῶν δὲ μδ ῑβ πρὸς τὰ κ κε, τῶν δὲ ν μδ πρὸς τὰ λβ λζ, τῶν δὲ νε με πρὸς τὰ λε νβ, τῶν δὲ νη νε πρὸς τὰ λζ νβ, γίνεται καὶ ἡ μὲν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΛ περιφερείας
καθʼ ἑκάστην τῶν δέκα μοιρῶν ὑπεροχῶν τῶν ἐκκειμένων οἰκείως τμημάτων, ἡ δὲ ἡμίσεια τῆς ὑπʼ αὐτὴν περιφερείας, τουτέστιν αὐτὴ ἡ ΚΛ, μοιρῶν ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης δεκαμοιρίας β νς, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ε ν, ἐπὶ δὲ τῆς τρίτης η λη, ἐπὶ δὲ τῆς τετάρτης ῑᾱ ιζ,
ἐπὶ δὲ τῆς πέμπτης ῑγ μβ, ἐπὶ δὲ τῆς ἕκτης ῑε μς, ἐπὶ δὲ τῆς ἐβδόμης ιζ κδ, ἐπὶ δὲ τῆς ὀγδόης ῑη κδ, καὶ ἐπὶ τῆς ἐνάτης δὲ δηλονότι αὐτῶν τῶν ῑη μὲ. ὥστε ἐπειδὴ p. 84, 15 καὶ ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἡ μὲν μέχρι τῆς πρώτης δεκαμοιρίας περιφέρεια συναναφέρεται
χρόνοις θ ῑ, ἡ δὲ μέχρι τῆς δευτέρας ῑη κε, ἡ δὲ μέχρι τῆς τρίτης κζ ν, ἡ δὲ μέχρι τῆς τετάρτης 150 151 152 153 λζ λ, ἡ δὲ μέχρι τῆς πέμπτης μζ κη, ἡ δὲ μέχρι τῆς ἕκτης νζ μδ, ἡ δὲ μέχρι τῆς ἑβδόμης ξη ῑη, ἡ δὲ μέχρι τῆς ὀγδόης οθ ε, ἡ δὲ μέχρι τῆς ἐνάτης τοῖς ὅλου τοῦ τεταρτημορίου χρόνοις ??, φανερόν,
ὅτι, κἂν ἀφέλωμεν ἀφʼ ἑκάστης τῶν ἐκκειμένων ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἀναφορῶν τὴν οἰκείαν πηλικότητα τῆς κατὰ τὴν ΕΛ περιφέρειαν ὑπεροχῆς, ἕξομεν καὶ τὰς ἐν τῷ ὑποκειμένῳ κλίματι τῶν αὐτῶν ἀναφοράς. καὶ συνανενεχθήσεται ἡ μὲν μέχρι τῆς πρώτης
δεκαμοιρίας περιφέρεια τοῖς λοιποῖς χρόνοις ϛ ιδ, ἡ δὲ μέχρι τῆς δευτέρας ιβ λε, ἡ δὲ μέχρι τῆς τρίτης ιθ ιβ, ἡ δὲ μέχρι τῆς τετάρτης κς ῑγ, ἡ δὲ μέχρι τῆς πέμπτης λγ μς, ἡ δὲ μέχρι τῆς ἕκτης μᾱ νη, ἡ δὲ μέχρι τῆς ἐβδόμης ν νδ, ἡ δὲ μέχρι τῆς ὀγδόης ξ μᾱ,
ἡ δὲ μέχρι τῆς ἐνάτης, τουτέστιν ἡ ὅλου τοῦ τεταρτημορίου, τοῖς ἐκ τῆς ἡμισείας τοῦ μεγέθους τῆς ἡμέρας συναγομένοις χρόνοις οᾱ ῑε. καὶ αὐτῶν ἄρα τῶν δεκαμοιριῶν ἡ μὲν πρώτη συνανενεχθήσεται χρόνοις ϛ ῑδ, ἡ δὲ δευτέρα ς κᾱ, ἡ δὲ τρίτη ς λζ, ἡ δὲ τετάρτη ζ ᾱ,
ἡ δὲ πέμπτη ζ λγ, ἡ δὲ ἕκτη ιβ, ἡ δὲ ἐβδόμη η νς, ἡ δὲ ὀγδόη θ μζ, ἡ δὲ ἐνάτη ῑ λδ.
ὧν ἀποδεδειγμένων αὐτόθεν ἔσονται πάλιν διὰ τὰ προτεθεωρημένα συναποδεδειγμέναι καὶ αἱ τῶν λοιπῶν τεταρτημορίων κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἀναφοραί. τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον ἐπιλογισάμενοι καὶ τὰς τῶν ἄλλων παραλλήλων ἐφʼ ἑκάστην δεκαμοιρίαν ἀναφοράς, ἐφʼ
ὅσους γε τὴν παρʼ ἕκαστα χρῆσιν ἐνδέχεται φθάνειν, ἐκθησόμεθα ταύτας κανονικῶς πρὸς τὴν ἐπὶ τὰ λοιπὰ μέθοδον ἀρχόμενοι μὲν ἀπὸ τοῦ ὑπʼ αὐτὸν τὸν ἰσημερινόν, φθάνοντες δὲ μέχρι τοῦ ποιοῦντος ὡρῶν ιζ τὴν μεγίστην ἡμέραν, καὶ τὴν παραύξησιν αὐτῶν
ἡμιωρίῳ ποιούμενοι διὰ τὸ μὴ ἀξιόλογον γίνεσθαι τὴν τῶν μεταξὺ τοῦ ἡμιωρίου παρὰ τὰ ὁμαλὰ διαφοράν. προτάξαντες οὖν τὰς τοῦ κύκλου λς δεκαμοιρίας παραθήσομεν ἑκάστῃ κατὰ τὸ ἐξῆς τούς τε τῆς οἰκείας ἀναφορᾶς τοῦ κλίματος χρόνους καὶ τὴν ἐπισυναγωγὴν
αὐτῶν τὸν τρόπον τοῦτον.
ὅσους γε τὴν παρʼ ἕκαστα χρῆσιν ἐνδέχεται φθάνειν, ἐκθησόμεθα ταύτας κανονικῶς πρὸς τὴν ἐπὶ τὰ λοιπὰ μέθοδον ἀρχόμενοι μὲν ἀπὸ τοῦ ὑπʼ αὐτὸν τὸν ἰσημερινόν, φθάνοντες δὲ μέχρι τοῦ ποιοῦντος ὡρῶν ιζ τὴν μεγίστην ἡμέραν, καὶ τὴν παραύξησιν αὐτῶν
ἡμιωρίῳ ποιούμενοι διὰ τὸ μὴ ἀξιόλογον γίνεσθαι τὴν τῶν μεταξὺ τοῦ ἡμιωρίου παρὰ τὰ ὁμαλὰ διαφοράν. προτάξαντες οὖν τὰς τοῦ κύκλου λς δεκαμοιρίας παραθήσομεν ἑκάστῃ κατὰ τὸ ἐξῆς τούς τε τῆς οἰκείας ἀναφορᾶς τοῦ κλίματος χρόνους καὶ τὴν ἐπισυναγωγὴν
αὐτῶν τὸν τρόπον τοῦτον.
θ΄. Περὶ τῶν κατὰ μέρος ταῖς ἀναφοραῖς παρακολουθούντων.
Ὅτι δὲ τῶν ἀναφορικῶν χρόνων τὸν προκείμενον τρόπον ἡμῖν ἐκτεθειμένων εὔληπτα τὰ λοιπὰ πάντα
γενήσεται τῶν εἰς τοῦτο τὸ μέρος συντεινόντων, καὶ οὔτε γραμμικῶν δείξεων πρὸς ἕκαστα αὐτῶν δεησόμεθα οὔτε κανονογραφίας περισσῆς, διʼ αὐτῶν τῶν ὑποταχθησομένων ἐφόδων φανερὸν ἔσται.
γενήσεται τῶν εἰς τοῦτο τὸ μέρος συντεινόντων, καὶ οὔτε γραμμικῶν δείξεων πρὸς ἕκαστα αὐτῶν δεησόμεθα οὔτε κανονογραφίας περισσῆς, διʼ αὐτῶν τῶν ὑποταχθησομένων ἐφόδων φανερὸν ἔσται.
πρῶτον μὲν γὰρ τῆς δοθείσης ἡμέρας ἢ νυκτὸς
λαμβάνεται τὸ μέγεθος ἀριθμηθέντων τῶν χρόνων τοῦ οἰκείου κλίματος, ἐπὶ μὲν τῆς ἡμέρας τῶν ἀπὸ τῆς ἡλιακῆς μοίρας μέχρι τῆς διαμετρούσης ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν δωδεκατημορίων, ἐπὶ δὲ τῆς νυκτὸς τῶν ἀπὸ τῆς διαμετρούσης τὸν ἥλιον ἐπʼ αὐτὴν τὴν ἡλιακὴν
μοῖραν· τῶν γὰρ συναχθέντων χρόνων τὸ μὲν πεντεκαιδέκατον λαβόντες ἕξομεν, ὅσων ἐστὶν ὡρῶν ἰσημερινῶν τὸ ὑποκείμενον διάστημα, τὸ δὲ δωδέκατον λαβόντες ἕξομεν, ὅσων χρόνων ἐστὶν ἡ καιρικὴ ὥρα τοῦ αὐτοῦ διαστήματος.
λαμβάνεται τὸ μέγεθος ἀριθμηθέντων τῶν χρόνων τοῦ οἰκείου κλίματος, ἐπὶ μὲν τῆς ἡμέρας τῶν ἀπὸ τῆς ἡλιακῆς μοίρας μέχρι τῆς διαμετρούσης ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν δωδεκατημορίων, ἐπὶ δὲ τῆς νυκτὸς τῶν ἀπὸ τῆς διαμετρούσης τὸν ἥλιον ἐπʼ αὐτὴν τὴν ἡλιακὴν
μοῖραν· τῶν γὰρ συναχθέντων χρόνων τὸ μὲν πεντεκαιδέκατον λαβόντες ἕξομεν, ὅσων ἐστὶν ὡρῶν ἰσημερινῶν τὸ ὑποκείμενον διάστημα, τὸ δὲ δωδέκατον λαβόντες ἕξομεν, ὅσων χρόνων ἐστὶν ἡ καιρικὴ ὥρα τοῦ αὐτοῦ διαστήματος.
εὑρίσκεται δὲ καὶ προχειρότερον τὸ ὡριαῖον μέγεθος λαμβανομένης ἐκ τοῦ προκειμένου τῶν ἀναφορῶν κανονίου τῆς ὑπεροχῆς τῶν παρακειμένων ἐπισυναγωγῶν, ἡμέρας μὲν τῇ ἡλιακῇ μοίρᾳ, νυκτὸς δὲ τῇ διαμετρούσῃ ἔν τε τῷ ὑπὸ τὸν ἰσημερινὸν παραλλήλῳ καὶ ἐν τῷ
165
166
τοῦ ὑποκειμένου κλίματος· τῆς γὰρ εὑρισκομένης ὑπεροχῆς τὸ ς΄ λαμβάνοντες καὶ ἐπὶ μὲν τοῦ βορείου ἡμικυκλίου τῆς εἰσενηνεγμένης μοίρας οὔσης προστιθέντες αὐτὸ τοῖς τῆς ἰσημερινῆς μιᾶς ὥρας ῑε χρόνοις, ἐπὶ δὲ τοῦ νοτίου ἀφαιροῦντες ἀπὸ τῶν αὐτῶν ῑε χρόνων
ποιήσομεν τὸ πλῆθος τῶν χρόνων τῆς ὑποκειμένης καιρικῆς ὥρας.
ποιήσομεν τὸ πλῆθος τῶν χρόνων τῆς ὑποκειμένης καιρικῆς ὥρας.
ἐφεξῆς δὲ τὰς μὲν δεδομένας καιρικὰς ὥρας ἀναλύσομεν εἰς ἰσημερινὰς πολλαπλασιάσαντες τὰς μὲν ἡμερινὰς ἐπὶ τοὺς τῆς ἡμέρας ἐκείνης τοῦ οἰκείου κλίματος
ὡριαίους χρόνους, τὰς δὲ νυκτερινὰς ἐπὶ τοὺς τῆς νυκτός· τῶν γὰρ συναχθέντων τὸ ιε΄ λαβόντες ἕξομεν πλῆθος ὡρῶν ἰσημερινῶν. ἀνάπαλιν δὲ τὰς διδομένας ἰσημερινὰς ὥρας ἀναλύσομεν εἰς καιρικὰς πολλαπλασιάσαντες αὐτὰς ἐπὶ τὸν ῑε καὶ μερίζοντες εἰς τοὺς ὑποκειμένους
τοῦ οἰκείου διαστήματος ὡριαίους χρόνους. πάλιν δοθέντος ἡμῖν χρόνου καὶ ὥρας ὁποιασδήποτε καιρικῆς πρῶτον μὲν τὴν ἀνατέλλουσαν τότε μοῖραν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου ληψόμεθα πολλαπλασιάσαντες τὸ πλῆθος τῶν ὡρῶν ἡμέρας μὲν τῶν
ἀπὸ ἀνατολῆς ἡλίου, νυκτὸς δὲ τῶν ἀπὸ δύσεως ἐπὶ τοὺς οἰκείους ὡριαίους χρόνους· τὸν γὰρ συναχθέντα 167 168 169 ἀριθμὸν διεκβαλοῦμεν ἡμέρας μὲν ἀπὸ τῆς ἡλιακῆς μοίρας, νυκτὸς δὲ ἀπὸ τῆς διαμετρούσης ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων κατὰ τὰς τοῦ ὑποκειμένου κλίματος ἀναφοράς, καὶ εἰς ἣν δʼ ἂν καταντήσῃ μοῖραν
ὁ ἀριθμός, ἐκείνην φήσομεν τότε τὴν μοῖραν ἀνατέλλειν.
ὡριαίους χρόνους, τὰς δὲ νυκτερινὰς ἐπὶ τοὺς τῆς νυκτός· τῶν γὰρ συναχθέντων τὸ ιε΄ λαβόντες ἕξομεν πλῆθος ὡρῶν ἰσημερινῶν. ἀνάπαλιν δὲ τὰς διδομένας ἰσημερινὰς ὥρας ἀναλύσομεν εἰς καιρικὰς πολλαπλασιάσαντες αὐτὰς ἐπὶ τὸν ῑε καὶ μερίζοντες εἰς τοὺς ὑποκειμένους
τοῦ οἰκείου διαστήματος ὡριαίους χρόνους. πάλιν δοθέντος ἡμῖν χρόνου καὶ ὥρας ὁποιασδήποτε καιρικῆς πρῶτον μὲν τὴν ἀνατέλλουσαν τότε μοῖραν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου ληψόμεθα πολλαπλασιάσαντες τὸ πλῆθος τῶν ὡρῶν ἡμέρας μὲν τῶν
ἀπὸ ἀνατολῆς ἡλίου, νυκτὸς δὲ τῶν ἀπὸ δύσεως ἐπὶ τοὺς οἰκείους ὡριαίους χρόνους· τὸν γὰρ συναχθέντα 167 168 169 ἀριθμὸν διεκβαλοῦμεν ἡμέρας μὲν ἀπὸ τῆς ἡλιακῆς μοίρας, νυκτὸς δὲ ἀπὸ τῆς διαμετρούσης ὡς εἰς τὰ ἑπόμενα τῶν ζῳδίων κατὰ τὰς τοῦ ὑποκειμένου κλίματος ἀναφοράς, καὶ εἰς ἣν δʼ ἂν καταντήσῃ μοῖραν
ὁ ἀριθμός, ἐκείνην φήσομεν τότε τὴν μοῖραν ἀνατέλλειν.
ἐὰν δὲ τὴν μεσουρανοῦσαν ὑπὲρ γῆς θέλωμεν λαβεῖν, τὰς καιρικὰς ὥρας πάντοτε τὰς ἀπὸ τῆς μεσημβρίας τῆς παρελθούσης μέχρι τῆς δοθείσης πολλαπλασιάσαντες ἐπὶ τοὺς οἰκείους ὡριαίους χρόνους τὸν γενόμενον
ἀριθμὸν ἐκβαλοῦμεν ἀπὸ τῆς ἡλιακῆς μοίρας εἰς τὰ ἑπόμενα κατὰ τὰς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἀναφοράς, καὶ εἰς ἣν ἂν ἐκπέσῃ μοῖραν ὁ ἀριθμός, ἐκείνη ἡ μοῖρα τότε ὑπὲρ γῆς μεσουρανήσει.
ἀριθμὸν ἐκβαλοῦμεν ἀπὸ τῆς ἡλιακῆς μοίρας εἰς τὰ ἑπόμενα κατὰ τὰς ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἀναφοράς, καὶ εἰς ἣν ἂν ἐκπέσῃ μοῖραν ὁ ἀριθμός, ἐκείνη ἡ μοῖρα τότε ὑπὲρ γῆς μεσουρανήσει.
ὁμοίως δὲ ἀπὸ μὲν τῆς ἀνατελλούσης μοίρας τὴν
μεσουρανοῦσαν ὑπὲρ γῆς ληψόμεθα σκεψάμενοι τὸν τῇ ἀνατελλούσῃ παρακείμενον τῆς ἐπισυναγωγῆς ἀριθμὸν ἐν τῷ τοῦ οἰκείου κλίματος κανονίῳ· ἀφελόντες γὰρ ἀπʼ αὐτοῦ πάντοτε τοὺς τοῦ τεταρτημορίου χρόνους τὴν παρακειμένην τῷ ἀριθμῷ μοῖραν ἐκ τῆς ἐπισυναγωγῆς
τοῦ ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας σελιδίου τότε ὑπὲρ γῆς μεσουρανοῦσαν εὑρήσομεν. ἀνάπαλιν δὲ ἀπὸ τῆς ὑπὲρ γῆν μεσουρανούσης τὴν ἀνατέλλουσαν πάλιν ληψόμεθα σκεψάμενοι τὸν τῇ μεσουρανούσῃ μοίρᾳ παρακείμενον τῆς ἐπισυναγωγῆς ἀριθμὸν ἐν τῷ τῆς ὀρθῆς
σφαίρας σελιδίῳ· προσθέντες γὰρ αὐτῷ πάντοτε πάλιν 170 171 172 173 τοὺς αὐτοὺς ?? χρόνους ἐπισκεψόμεθα ἐκ τῆς ἐπισυναγωγῆς τοῦ ὑποκειμένου κλίματος, ποία μοῖρα παράκειται τῷ ἀριθμῷ, κἀκείνην τότε ἀνατέλλουσαν εὑρήσομεν.
μεσουρανοῦσαν ὑπὲρ γῆς ληψόμεθα σκεψάμενοι τὸν τῇ ἀνατελλούσῃ παρακείμενον τῆς ἐπισυναγωγῆς ἀριθμὸν ἐν τῷ τοῦ οἰκείου κλίματος κανονίῳ· ἀφελόντες γὰρ ἀπʼ αὐτοῦ πάντοτε τοὺς τοῦ τεταρτημορίου χρόνους τὴν παρακειμένην τῷ ἀριθμῷ μοῖραν ἐκ τῆς ἐπισυναγωγῆς
τοῦ ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας σελιδίου τότε ὑπὲρ γῆς μεσουρανοῦσαν εὑρήσομεν. ἀνάπαλιν δὲ ἀπὸ τῆς ὑπὲρ γῆν μεσουρανούσης τὴν ἀνατέλλουσαν πάλιν ληψόμεθα σκεψάμενοι τὸν τῇ μεσουρανούσῃ μοίρᾳ παρακείμενον τῆς ἐπισυναγωγῆς ἀριθμὸν ἐν τῷ τῆς ὀρθῆς
σφαίρας σελιδίῳ· προσθέντες γὰρ αὐτῷ πάντοτε πάλιν 170 171 172 173 τοὺς αὐτοὺς ?? χρόνους ἐπισκεψόμεθα ἐκ τῆς ἐπισυναγωγῆς τοῦ ὑποκειμένου κλίματος, ποία μοῖρα παράκειται τῷ ἀριθμῷ, κἀκείνην τότε ἀνατέλλουσαν εὑρήσομεν.
φανερὸν δὲ καί, ὅτι τοῖς μὲν ὑπὸ τὸν αὐτὸν μεσημβρινὸν
οἰκοῦσιν ὁ ἥλιος τὰς ἴσας ἰσημερινὰς ὥρας ἀπέχει τῆς μεσημβρίας ἢ τοῦ μεσονυκτίου, τοῖς δὲ μὴ ὑπὸ τὸν αὐτὸν μεσημβρινὸν τοσούτοις ἰσημερινοῖς χρόνοις διοίσει, ὅσαις ἄν μοίραις ὁ μεσημβρινὸς τοῦ μεσημβρινοῦ παρʼ ἑκατέροις διαφέρῃ.
οἰκοῦσιν ὁ ἥλιος τὰς ἴσας ἰσημερινὰς ὥρας ἀπέχει τῆς μεσημβρίας ἢ τοῦ μεσονυκτίου, τοῖς δὲ μὴ ὑπὸ τὸν αὐτὸν μεσημβρινὸν τοσούτοις ἰσημερινοῖς χρόνοις διοίσει, ὅσαις ἄν μοίραις ὁ μεσημβρινὸς τοῦ μεσημβρινοῦ παρʼ ἑκατέροις διαφέρῃ.
ι΄. Περὶ τῶν ὑπὸ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γινομένων γωνιῶν.
Λοιποῦ δὲ ὄντος εἰς τὴν ὑποκειμένην θεωρίαν τοῦ τὸν περὶ τῶν γωνιῶν ποιήσασθαι λόγον, λέγω δὲ τῶν
πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον γινομένων, προληπτέον, ὅτι ὀρθὴν γωνίαν ὑπὸ μεγίστων κύκλων λέγομεν περιέχεσθαι, ὅταν πόλῳ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν κύκλων καὶ διαστήματι τυχόντι γραφέντος κύκλου ἡ ἀπολαμβανομένη αὐτοῦ περιφέρεια ὑπὸ τῶν τὴν γωνίαν
περιεχόντων τμημάτων τεταρτημόριον τοῦ γραφέντος 174 κύκλου ποιῇ, καθόλου τε, ὅτι, ὄν ἂν ἔχῃ λόγον ἡ ἀπολαμβανομένη περιφέρεια πρὸς τὸν γραφέντα κύκλον, καθʼ ὃν εἰρήκαμεν τρόπον, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῆς κλίσεως τῶν ἐπιπέδων
πρὸς τὰς τέσσαρας ὀρθάς. ὥστε, ἐπειδὴ τὴν περίμετρον ὑποτιθέμεθα τμημάτων τξ, ὅσων ἂν εὑρίσκηται τμημάτων ἡ ἀπολαμβανομένη περιφέρεια, τοσούτων ἔσται καὶ ἡ ὑποτείνουσα αὐτὴν γωνία, οἵων ἡ μία ὀρθὴ ??.
πρὸς τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον γινομένων, προληπτέον, ὅτι ὀρθὴν γωνίαν ὑπὸ μεγίστων κύκλων λέγομεν περιέχεσθαι, ὅταν πόλῳ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν κύκλων καὶ διαστήματι τυχόντι γραφέντος κύκλου ἡ ἀπολαμβανομένη αὐτοῦ περιφέρεια ὑπὸ τῶν τὴν γωνίαν
περιεχόντων τμημάτων τεταρτημόριον τοῦ γραφέντος 174 κύκλου ποιῇ, καθόλου τε, ὅτι, ὄν ἂν ἔχῃ λόγον ἡ ἀπολαμβανομένη περιφέρεια πρὸς τὸν γραφέντα κύκλον, καθʼ ὃν εἰρήκαμεν τρόπον, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῆς κλίσεως τῶν ἐπιπέδων
πρὸς τὰς τέσσαρας ὀρθάς. ὥστε, ἐπειδὴ τὴν περίμετρον ὑποτιθέμεθα τμημάτων τξ, ὅσων ἂν εὑρίσκηται τμημάτων ἡ ἀπολαμβανομένη περιφέρεια, τοσούτων ἔσται καὶ ἡ ὑποτείνουσα αὐτὴν γωνία, οἵων ἡ μία ὀρθὴ ??.
τῶν δὴ πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον γινομένων γωνιῶν
αἰ μάλιστα χρήσιμοι πρὸς τὴν ὑποκειμένην θεωρίαν ἐκεῖναί εἰσιν αἵ τε ὑπὸ τῆς τομῆς αὐτοῦ καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ περιεχόμεναι καὶ αἱ ὑπὸ τῆς τομῆς αὐτοῦ καὶ τοῦ ὁρίζοντος καθʼ ἑκάστην θέσιν καὶ ὁμοίως αἱ ὑπὸ τῆς τομῆς αὐτοῦ καὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ
ὁρίζοντος γραφομένου μεγίστου κύκλου συναποδεικνυμένων ταῖς τοιαύταις γωνίαις καὶ τῶν ἀπολαμβανομένων τούτου τοῦ κύκλου περιφερειῶν ὑπό τε τῆς τομῆς καὶ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος, τουτέστιν τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου. ἕκαστα γὰρ τῶν ἐκκειμένων
ἀποδειχθέντα πρός τε τὴν θεωρίαν αὐτὴν ἱκανωτάτην ἔχει χώραν καὶ πρὸς τὰ περὶ τὰς παραλλάξεις τῆς σελήνης ἐπιζητούμενα μάλιστα συμβάλλεται τὸ πλεῖστον μηδαμῶς τῆς τοιαύτης καταλήψεως προχωρεῖν δυναμένης ἄνευ τῆς ἐκείνων προδιαλήψεως.
αἰ μάλιστα χρήσιμοι πρὸς τὴν ὑποκειμένην θεωρίαν ἐκεῖναί εἰσιν αἵ τε ὑπὸ τῆς τομῆς αὐτοῦ καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ περιεχόμεναι καὶ αἱ ὑπὸ τῆς τομῆς αὐτοῦ καὶ τοῦ ὁρίζοντος καθʼ ἑκάστην θέσιν καὶ ὁμοίως αἱ ὑπὸ τῆς τομῆς αὐτοῦ καὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ
ὁρίζοντος γραφομένου μεγίστου κύκλου συναποδεικνυμένων ταῖς τοιαύταις γωνίαις καὶ τῶν ἀπολαμβανομένων τούτου τοῦ κύκλου περιφερειῶν ὑπό τε τῆς τομῆς καὶ τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος, τουτέστιν τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου. ἕκαστα γὰρ τῶν ἐκκειμένων
ἀποδειχθέντα πρός τε τὴν θεωρίαν αὐτὴν ἱκανωτάτην ἔχει χώραν καὶ πρὸς τὰ περὶ τὰς παραλλάξεις τῆς σελήνης ἐπιζητούμενα μάλιστα συμβάλλεται τὸ πλεῖστον μηδαμῶς τῆς τοιαύτης καταλήψεως προχωρεῖν δυναμένης ἄνευ τῆς ἐκείνων προδιαλήψεως.
ἐπεὶ δὲ καὶ τεσσάρων οὐσῶν γωνιῶν τῶν περιἐχομένων
175
176
ὑπὸ τῆς τῶν δύο κύκλων τομῆς, τουτέστιν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων καὶ ἑνὸς τῶν συμπλεκομένων αὐτῷ, περὶ μιᾶς τῆς κατὰ τὴν θέσιν ὁμοίας τὸν λόγον ποιεῖσθαι μέλλομεν, προδιοριστέον, ὅτι καθόλου τῶν δύο γωνιῶν τῶν περὶ τὴν ἑπομένην τῇ κοινῇ τομιῇ
τῶν κύκλων περιφέρειαν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὴν ἀπʼ ἄρκτων ὑπακουστέον, ὥστε τὰ συμβαίνοντα καὶ τὰς πηλικότητας τὰς ἀποδειχθησομένας εἶναι τῶν οὕτως ἐχουσῶν γωνιῶν. ἁπλουστέρας δὲ τῆς δείξεως οὔσης τῶν πρὸς τὸν μεσημβρινὸν κύκλον θεωρουμένων
τοῦ λοξοῦ γωνιῶν ἀπὸ τούτων ἀρξόμεθα καὶ δείξομεν πρῶτον, ὅτι τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου σημεῖα τὰς ἐκκειμένας γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ.
τῶν κύκλων περιφέρειαν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὴν ἀπʼ ἄρκτων ὑπακουστέον, ὥστε τὰ συμβαίνοντα καὶ τὰς πηλικότητας τὰς ἀποδειχθησομένας εἶναι τῶν οὕτως ἐχουσῶν γωνιῶν. ἁπλουστέρας δὲ τῆς δείξεως οὔσης τῶν πρὸς τὸν μεσημβρινὸν κύκλον θεωρουμένων
τοῦ λοξοῦ γωνιῶν ἀπὸ τούτων ἀρξόμεθα καὶ δείξομεν πρῶτον, ὅτι τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου σημεῖα τὰς ἐκκειμένας γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ.
ἔστω γὰρ ἰσημερινοῦ μὲν
περιφέρεια ἡ ΑΒΓ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἡ ΔΒΕ, πόλος δὲ τοῦ ἰσημερινοῦ τὸ σημεῖον, καὶ ἀποληφθεισῶν ἴσων περιφερειῶν
τῆς τε ΒΗ καὶ ΒΘ ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Β ἰσημερινοῦ σημείου γεγράφθωσαν διὰ τοῦ Ζ πόλου καὶ τῶν Η, Θ σημείων μεσημβρινῶν κύκλων περιφέρειαι 177 178 179 180 ἥ τε ΖΚΗ καὶ ἡ ΖΘΛ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΗΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΘΕ. καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν· ἰσογώνιον γὰρ γίνεται τὸ ΒΗΚ τρίπλευρον τῷ ΒΘΛ, ἐπειδήπερ καὶ τὰς τρεῖς πλευρὰς ταῖς τρισὶν
πλευραῖς ἴσας ἔχει ἑκάστην ἑκάστῃ, τὴν μὲν ΗΒ τῇ ΒΘ, τήν δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ Ι, 15, τὴν δὲ ΒΚ τῇ ΒΛ p. 118, 5· δέδεικται γὰρ πάντα ταῦτα ἐν τοῖς ἔμπροσθεν· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΗΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΘΛ, τουτἐστιν τῇ ὑπὸ ΖΘΕ, ἐστιν ἴση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
περιφέρεια ἡ ΑΒΓ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἡ ΔΒΕ, πόλος δὲ τοῦ ἰσημερινοῦ τὸ σημεῖον, καὶ ἀποληφθεισῶν ἴσων περιφερειῶν
τῆς τε ΒΗ καὶ ΒΘ ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ Β ἰσημερινοῦ σημείου γεγράφθωσαν διὰ τοῦ Ζ πόλου καὶ τῶν Η, Θ σημείων μεσημβρινῶν κύκλων περιφέρειαι 177 178 179 180 ἥ τε ΖΚΗ καὶ ἡ ΖΘΛ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΗΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΘΕ. καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν· ἰσογώνιον γὰρ γίνεται τὸ ΒΗΚ τρίπλευρον τῷ ΒΘΛ, ἐπειδήπερ καὶ τὰς τρεῖς πλευρὰς ταῖς τρισὶν
πλευραῖς ἴσας ἔχει ἑκάστην ἑκάστῃ, τὴν μὲν ΗΒ τῇ ΒΘ, τήν δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ Ι, 15, τὴν δὲ ΒΚ τῇ ΒΛ p. 118, 5· δέδεικται γὰρ πάντα ταῦτα ἐν τοῖς ἔμπροσθεν· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΗΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΘΛ, τουτἐστιν τῇ ὑπὸ ΖΘΕ, ἐστιν ἴση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
πάλιν δεικτέον, ὅτι τῶν τὸ ἴσον ἀπεχόντων σημείων τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ
σημείου αἱ πρὸς τὸν μεσημβρινὸν γινόμεναι γωνίαι συναμφότεραι δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσαι εἰσίν.
ἴσαι εἰσίν.
ἔστω γὰρ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ τοῦ Β ὑποκειμένου τροπικοῦ σημείου,
καὶ ἀποληφθεισῶν ἐφʼ ἑκάτερα αὐτοῦ περιφερειῶν ἴσων τῆς τε ΒΔ καὶ τῆς ΒΕ γεγράφθωσαν διὰ τῶν Δ καὶ Ε σημείων καὶ τοῦ Ζ πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ μεσημβρινῶν κύκλων περιφέρειαι ἥ τε ΖΔ καὶ ἡ ΖΕ. 181 182 183 184 λέγω, ὅτι ἥ τε ὑπὸ ΖΔΒ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ συναμφότεραι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο δῆλον αὐτόθεν. ἐπεὶ γὰρ τὰ Δ καὶ Ε σημεῖα ἴσον ἀπέχει τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ περιφέρεια τῇ ΖΕ· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΒ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΖΕΒ καὶ ΖΕΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ ἄρα μετὰ τῆς ὑπὸ ΖΕΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
καὶ ἀποληφθεισῶν ἐφʼ ἑκάτερα αὐτοῦ περιφερειῶν ἴσων τῆς τε ΒΔ καὶ τῆς ΒΕ γεγράφθωσαν διὰ τῶν Δ καὶ Ε σημείων καὶ τοῦ Ζ πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ μεσημβρινῶν κύκλων περιφέρειαι ἥ τε ΖΔ καὶ ἡ ΖΕ. 181 182 183 184 λέγω, ὅτι ἥ τε ὑπὸ ΖΔΒ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ συναμφότεραι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο δῆλον αὐτόθεν. ἐπεὶ γὰρ τὰ Δ καὶ Ε σημεῖα ἴσον ἀπέχει τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ περιφέρεια τῇ ΖΕ· καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΔΒ
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΒ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΖΕΒ καὶ ΖΕΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΔΒ ἄρα μετὰ τῆς ὑπὸ ΖΕΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
τούτων προτεθεωρημένων ἔστω μεσημβρινὸς μὲν
κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ τοῦ Α σημείου ὑποκειμένου τοῦ χειμερινοῦ τροπικοῦ, καὶ πόλῳ τῷ Α, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου
πλευρᾷ γεγράφθω τὸ ΒΕΔ ἡμικύκλιον. ἐπεὶ τοίνυν ὁ ΑΒΓΔ μεσημβρινὸς διά τε τῶν τοῦ ΑΕΓ πόλων καὶ διὰ τῶν τοῦ ΒΚΔ γέγραπται,
τεταρτημορίου ἐστὶν ἡ ΕΔ περιφέρεια Theodos. Ι, 9· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνία. ὀρθὴ δὲ διὰ τὰ προδεδειγμένα p. 147, 11 καὶ ἡ ὑπὸ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ σημείου γινομένη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ τοῦ Α σημείου ὑποκειμένου τοῦ χειμερινοῦ τροπικοῦ, καὶ πόλῳ τῷ Α, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου
πλευρᾷ γεγράφθω τὸ ΒΕΔ ἡμικύκλιον. ἐπεὶ τοίνυν ὁ ΑΒΓΔ μεσημβρινὸς διά τε τῶν τοῦ ΑΕΓ πόλων καὶ διὰ τῶν τοῦ ΒΚΔ γέγραπται,
τεταρτημορίου ἐστὶν ἡ ΕΔ περιφέρεια Theodos. Ι, 9· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΕ γωνία. ὀρθὴ δὲ διὰ τὰ προδεδειγμένα p. 147, 11 καὶ ἡ ὑπὸ τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ σημείου γινομένη· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
πάλιν ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, ἰσημερινοῦ δὲ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ, καὶ γεγράφθω τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΑΖΓ ἡμικύκλιον οὕτως, ὥστε τὸ Α σημεῖον εἶναι τὸ μετοπωρινὸν ἰσημερινόν,
πόλῳ τε τῷ Α καὶ διαστήματι τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ γεγράφθω τὸ ΒΖΕΔ ἡμικύκλιον. διὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ὁ ΑΒΓΔ διά τε τῶν τοῦ ΑΕΓ καὶ διὰ,,
τῶν τοῦ ΒΕΔ πόλων γέγραπται, τεταρτημορίου ἐστὶν ἤ τε ΑΖ καὶ ἡ ΕΔ ὥστε καὶ τὸ μὲν Ζ σημεῖον ἔσται τὸ χειμερινὸν τροπικόν, ἡ δὲ ΖΕ περιφέρεια τῶν ἀποδεδειγμένων p. 81, 50 μοιρῶν κγ ωα ἔγγιστα. καὶ
ὅλη μὲν ἄρα ἡ ΖΕΔ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ριγ να. ἡ δὲ ὑπὸ ΔΑΖ γωνία τοιούτων ριγ να. οἵων ἐστὶν ἡ μία ὀρθὴ ??. διὰ δὲ τὰ προδεδειγμένα p. 148, 10 πάλιν καὶ ἡ ὑπὸ τοῦ ἐαρινοῦ ἰσημερινοῦ σημείου γινομένη γωνία τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἔσται
μοιρῶν ξς θ.
πόλῳ τε τῷ Α καὶ διαστήματι τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ γεγράφθω τὸ ΒΖΕΔ ἡμικύκλιον. διὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ὁ ΑΒΓΔ διά τε τῶν τοῦ ΑΕΓ καὶ διὰ,,
τῶν τοῦ ΒΕΔ πόλων γέγραπται, τεταρτημορίου ἐστὶν ἤ τε ΑΖ καὶ ἡ ΕΔ ὥστε καὶ τὸ μὲν Ζ σημεῖον ἔσται τὸ χειμερινὸν τροπικόν, ἡ δὲ ΖΕ περιφέρεια τῶν ἀποδεδειγμένων p. 81, 50 μοιρῶν κγ ωα ἔγγιστα. καὶ
ὅλη μὲν ἄρα ἡ ΖΕΔ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ριγ να. ἡ δὲ ὑπὸ ΔΑΖ γωνία τοιούτων ριγ να. οἵων ἐστὶν ἡ μία ὀρθὴ ??. διὰ δὲ τὰ προδεδειγμένα p. 148, 10 πάλιν καὶ ἡ ὑπὸ τοῦ ἐαρινοῦ ἰσημερινοῦ σημείου γινομένη γωνία τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἔσται
μοιρῶν ξς θ.
πάλιν ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ ἰσημερινοῦ μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΒΖ Δ, ὥστε τὸ μὲν Ζ σημεῖον ὑποκεῖσθαι τὸ μετοπωρινόν, τὴν δὲ Β Ζ περιφέρειαν πρῶτον
190
ἑνὸς δωδεκατημορίου τοῦ τῆς Παρθένου καὶ τὸ Β σημεῖον ἀρχὴν δηλονότι τῆς Παρθένου· πόλῳ δὲ πάλιν
τῷ Β, διαστήματι δὲ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ γεγράφθω τὸ ΗΘΕΚ ἡμικύκλιον, καὶ
προκείσθω τὴν ὑπὸ ΚΒΘ γωνίαν εὑρεῖν.
προκείσθω τὴν ὑπὸ ΚΒΘ γωνίαν εὑρεῖν.
ἐπεὶ τοίνυν ὁ ΑΒΓΔ μεσημβρινὸς διά τε τῶν τοῦ ΑΕΓ καὶ διὰ τῶν τοῦ ΗΕΚ
πόλων γέγραπται, τεταρτημορίου μὲν ἑκάστη γίνεται τῶν ΒΗ καὶ ΒΘ καὶ ΕΗ περιφερειῶν. διὰ δὲ τὴν καταγραφὴν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΗ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΖ
πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ p. 74, 9. ἀλλʼ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΒΑ διὰ τὰ προδεδειγμένα μοιρῶν ἐστιν κγ δ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κδ ιϛ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς Α μοιρῶν ρνς μ
καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ λα, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΒ μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν 191 192 193 εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΖΘ μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ργ νε κγ ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν κδ ῑς πρὸς τὰ ρῑζ λᾱ λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ργ νε κγ, καταλειφθήσεται ὁ
τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς E λόγος ὁ τῶν μβ νη ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΘΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν μβ νη. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΘΕ μοιρῶν ἐστιν μβ ἔγγιστα,
αὐτὴ δὲ ἡ ΘΕ τῶν αὐτῶν κᾱ καὶ ὅλη μὲν ἄρα ἡ ΘΕΚ αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΚΒΘ γωνία μοιρῶν ἐστιν ῥία, διὰ δὲ τὰ προαποδεδειγμένα p. 147, 11 καὶ ἡ μὲν ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Σκορπίου γινομένη γωνία τῶν ἴσων ἔσται μοιρῶν ρια, ἑκατέρα p. 148, 10 δὲ ἥ τε
ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Ταύρου καὶ τῆς ἀρχῆς τῶν Ἰχθύων τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς μοιρῶν ξθ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
πόλων γέγραπται, τεταρτημορίου μὲν ἑκάστη γίνεται τῶν ΒΗ καὶ ΒΘ καὶ ΕΗ περιφερειῶν. διὰ δὲ τὴν καταγραφὴν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΗ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΖ
πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ p. 74, 9. ἀλλʼ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΒΑ διὰ τὰ προδεδειγμένα μοιρῶν ἐστιν κγ δ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κδ ιϛ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς Α μοιρῶν ρνς μ
καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ λα, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΖΒ μοιρῶν ξ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν 191 192 193 εὐθεῖα τμημάτων ξ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΖΘ μοιρῶν ρκ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ργ νε κγ ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν κδ ῑς πρὸς τὰ ρῑζ λᾱ λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ξ πρὸς τὰ ργ νε κγ, καταλειφθήσεται ὁ
τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς E λόγος ὁ τῶν μβ νη ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΘΕ τῶν αὐτῶν ἐστιν μβ νη. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΘΕ μοιρῶν ἐστιν μβ ἔγγιστα,
αὐτὴ δὲ ἡ ΘΕ τῶν αὐτῶν κᾱ καὶ ὅλη μὲν ἄρα ἡ ΘΕΚ αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΚΒΘ γωνία μοιρῶν ἐστιν ῥία, διὰ δὲ τὰ προαποδεδειγμένα p. 147, 11 καὶ ἡ μὲν ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Σκορπίου γινομένη γωνία τῶν ἴσων ἔσται μοιρῶν ρια, ἑκατέρα p. 148, 10 δὲ ἥ τε
ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Ταύρου καὶ τῆς ἀρχῆς τῶν Ἰχθύων τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς μοιρῶν ξθ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ ΖΒ περιφέρεια ὑποκείσθω δύο δωδεκατημορίων, ὥστε τὸ Β σημεῖον
εἶναι τὴν ἀρχὴν τοῦ Λέοντος καὶ τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὴν μὲν διπλῆν τῆς ΒΑ μοιρῶν εἶναι μᾱ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μβ β, τὴν δὲ διπλῆν τῆς ΑΗ μοιρῶν ρλθ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριβ κδ, καὶ πάλιν τὴν μὲν διπλῆν τῆς ΖΒ 194 195 196 μοιρῶν ρκ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ργ νε κγ, τὴν δὲ διπλῆν τῆς ΖΘ μοιρῶν ξ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ὅ. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν μρ β πρὸς τὰ ρῑβ κδ λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ξ, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ
τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ λόγος ὁ τῶν κε νγ πρὸς τὰ ρκ· ἡ ἄρα ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ γίνεται τῶν αὐτῶν κε ἄγ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΘΕ μοιρῶν ἔσται κε ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ ΘE τῶν αὐτῶν ιβU+2220΄. ὅλη μὲν ἄρα ἡ ΘΕΚ αὐτή τε
καὶ ἡ ὑπὸ ΚΒΘ γωνία μοιρῶν ἐστιν ρβU+2220΄, διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Τοξότου περιεχομένη γωνία τῶν ἴσων ρβU+2220΄, ἑκατέρα δὲ ἥ τε ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τῶν Διδύμων καὶ τῆς ἀρχῆς τοῦ Ὑδροχόου τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς μοιρῶν οζU+2220΄. καὶ δέδεικται
ἡμῖν τὰ προκείμενα τῆς μὲν αὐτῆς ἐσομένης ἀγωγῆς καὶ ἐπὶ τῶν ἔτι μικρομερεστέρων τοῦ λοξοῦ κύκλου τμημάτων, ἀπαρκούσης δʼ ὡς πρὸς αὐτὴν τὴν τῆς πραγματείας χρῆσιν καὶ τῆς καθʼ ἕκαστον τῶν δωδεκατημορίων ἐκθέσεως.
εἶναι τὴν ἀρχὴν τοῦ Λέοντος καὶ τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὴν μὲν διπλῆν τῆς ΒΑ μοιρῶν εἶναι μᾱ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μβ β, τὴν δὲ διπλῆν τῆς ΑΗ μοιρῶν ρλθ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριβ κδ, καὶ πάλιν τὴν μὲν διπλῆν τῆς ΖΒ 194 195 196 μοιρῶν ρκ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ργ νε κγ, τὴν δὲ διπλῆν τῆς ΖΘ μοιρῶν ξ καὶ τὴν ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ὅ. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν μρ β πρὸς τὰ ρῑβ κδ λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ξ, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ
τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ λόγος ὁ τῶν κε νγ πρὸς τὰ ρκ· ἡ ἄρα ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΕ γίνεται τῶν αὐτῶν κε ἄγ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΘΕ μοιρῶν ἔσται κε ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ ΘE τῶν αὐτῶν ιβU+2220΄. ὅλη μὲν ἄρα ἡ ΘΕΚ αὐτή τε
καὶ ἡ ὑπὸ ΚΒΘ γωνία μοιρῶν ἐστιν ρβU+2220΄, διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Τοξότου περιεχομένη γωνία τῶν ἴσων ρβU+2220΄, ἑκατέρα δὲ ἥ τε ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τῶν Διδύμων καὶ τῆς ἀρχῆς τοῦ Ὑδροχόου τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς μοιρῶν οζU+2220΄. καὶ δέδεικται
ἡμῖν τὰ προκείμενα τῆς μὲν αὐτῆς ἐσομένης ἀγωγῆς καὶ ἐπὶ τῶν ἔτι μικρομερεστέρων τοῦ λοξοῦ κύκλου τμημάτων, ἀπαρκούσης δʼ ὡς πρὸς αὐτὴν τὴν τῆς πραγματείας χρῆσιν καὶ τῆς καθʼ ἕκαστον τῶν δωδεκατημορίων ἐκθέσεως.
197 198
ιαʹ. Περὶ τῶν ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ τοῦ ὁρίζοντος γινομένων γωνιῶν.
Ἐφεξῆς δὲ δείξομεν, πῶς ἂν λαμβάνοιμεν ἐπὶ τοῦ διδομένου κλίματος καὶ τὰς πρὸς τὸν ὁρίζοντα τοῦ διὰ
μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου γινομένας γωνίας ἁπλουστέραν καὶ αὐτὰς ἐχούσας τὴν μέθοδον τῶν λοιπῶν. ὅτι μὲν οὖν αἱ πρὸς τὸν μεσημβρινὸν γινόμεναι αἰ αὐταί εἰσιν ταῖς πρὸς τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα, φανερόν· ἕνεκεν δὲ τοῦ καὶ τὰς ἐπὶ τῆς ἐγκεκλιμένης
σφαίρας λαμβάνεσθαι δεικτέον πάλιν πρῶτον, ὅτι τὰ ἴσον ἀπέχοντα σημεῖα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου τὰς γινομένας πρὸς τὸν αὐτὸν ὁρίζοντα γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ.
μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου γινομένας γωνίας ἁπλουστέραν καὶ αὐτὰς ἐχούσας τὴν μέθοδον τῶν λοιπῶν. ὅτι μὲν οὖν αἱ πρὸς τὸν μεσημβρινὸν γινόμεναι αἰ αὐταί εἰσιν ταῖς πρὸς τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα, φανερόν· ἕνεκεν δὲ τοῦ καὶ τὰς ἐπὶ τῆς ἐγκεκλιμένης
σφαίρας λαμβάνεσθαι δεικτέον πάλιν πρῶτον, ὅτι τὰ ἴσον ἀπέχοντα σημεῖα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τοῦ αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου τὰς γινομένας πρὸς τὸν αὐτὸν ὁρίζοντα γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ.
ἔστω γὰρ μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ ἰσημερινοῦ μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ, ὁρίζοντος δὲ τὸ ΒΕΔ, καὶ γεγράφθω τοῦ λοξοῦ κύκλου δύο
τμήματα τό τε ΖΗΘ καὶ τὸ ΚΛΜ οὕτως ἔχοντα, ὥστε ἑκάτερον μὲν τῶν Ζ καὶ Κ σημείων ὑποκεῖσθαι τὸ μετοπωρινὸν ἰσημερινόν, τὴν δὲ ΖΗ περιφέρειαν τῇ ΚΛ 199 200 ἴσην. λέγω, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΘ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΛΚ. καί ἐστιν αὐτόθεν δῆλον· ἰσογώνιον γὰρ πάλιν γίνεται τὸ EΖΗ τρίπλευρον τῷ ΕΚΛ, ἐπεὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὰς τρεῖς πλευρὰς ταῖς τρισὶ πλευραῖς ἴσας ἔχει ἑκάστην ἑκάστῃ, τὴν μὲν ΖΗ τῇ
ΚΛ, τὴν δὲ ΗE τῆς τομῆς τοῦ ὁρίζοντος τῇ ΚΛ, τὴν δὲ ΕΖ τῆς ἀναφορᾶς τῇ ΕΚ p. 118, 5. ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΕΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΛΚ, λοιπὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΛΚ ἴση ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
τμήματα τό τε ΖΗΘ καὶ τὸ ΚΛΜ οὕτως ἔχοντα, ὥστε ἑκάτερον μὲν τῶν Ζ καὶ Κ σημείων ὑποκεῖσθαι τὸ μετοπωρινὸν ἰσημερινόν, τὴν δὲ ΖΗ περιφέρειαν τῇ ΚΛ 199 200 ἴσην. λέγω, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΕΗΘ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΛΚ. καί ἐστιν αὐτόθεν δῆλον· ἰσογώνιον γὰρ πάλιν γίνεται τὸ EΖΗ τρίπλευρον τῷ ΕΚΛ, ἐπεὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὰς τρεῖς πλευρὰς ταῖς τρισὶ πλευραῖς ἴσας ἔχει ἑκάστην ἑκάστῃ, τὴν μὲν ΖΗ τῇ
ΚΛ, τὴν δὲ ΗE τῆς τομῆς τοῦ ὁρίζοντος τῇ ΚΛ, τὴν δὲ ΕΖ τῆς ἀναφορᾶς τῇ ΕΚ p. 118, 5. ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΕΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΛΚ, λοιπὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΛΚ ἴση ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
λέγω δέ, ὅτι καὶ τῶν διαμετρούντων σημείων ἡτοῦ ἑτέρου ἀνατολικὴ μετὰ τῆς τοῦ ἑτέρου δυτικῆς δυσὶν ὀρθαῖς ἴση ἐστίν. ἐὰν γὰρ
γράψωμεν ὁρίζοντα μὲν κύκλον τὸν ΑΒΓΛ, τὸν δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸν ΑΕΓΖ τέμνοντας ἀλλήλους κατὰ τὰ Α καὶ Ι σημεῖα, συναμφότεραι μὲν ἢ τε ὑπὸ ΖΒΓΔ, καὶ ἡ ὑπὸ
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι γίνονται. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΖΑΔ 201 202 203 τῇ ὑπὸ ΖΓΔ ὥστε καὶ συναμφοτέρας τήν τε ὑπὸ ΖΓΔ καὶ τὴν ὑπὸ ΔΑΕ δύο ὀρθὰς ποιεῖν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
γράψωμεν ὁρίζοντα μὲν κύκλον τὸν ΑΒΓΛ, τὸν δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸν ΑΕΓΖ τέμνοντας ἀλλήλους κατὰ τὰ Α καὶ Ι σημεῖα, συναμφότεραι μὲν ἢ τε ὑπὸ ΖΒΓΔ, καὶ ἡ ὑπὸ
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι γίνονται. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΖΑΔ 201 202 203 τῇ ὑπὸ ΖΓΔ ὥστε καὶ συναμφοτέρας τήν τε ὑπὸ ΖΓΔ καὶ τὴν ὑπὸ ΔΑΕ δύο ὀρθὰς ποιεῖν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ἐπισυμβήσεταί τε τούτων οὕτως ἐχόντων, ἐπείπερ ἐδείχθησαν
p. 154, 10 καὶ τῶν ἴσον ἀπεχόντων τοῦ
αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου αἰ πρὸς τὸν αὐτὸν ὁρίζοντα θεωρούμεναι γωνίαι ἴσαι, τὸ καὶ τῶν τὸ ἵσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου τὴν τοῦ ἑτέρου ἀνατολικὴν καὶ τὴν τοῦ ἑτέρου δυτικὴν συναμφοτέρας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι. ὥστε καὶ διὰ τοῦτο, ἐὰν
τὰς ἀπὸ Κριοῦ μέχρι τῶν Χηλῶν γινομένας ἀνατολικὰς γωνίας εὕρωμεν, συναποδεδειγμέναι ἔσονται καὶ αἱ τοῦ ἑτέρου ἡμικυκλίου ἀνατολικαὶ καὶ ἔτι αἱ τῶν δύο ἡμικυκλίων δυτικαί. ὃν δὲ τρόπον δείκνυται, διὰ βραχέων ἐκθησόμεθα χρησάμενοι πάλιν ὑποδείγματος ἕνεκεν
τῷ αὐτῷ παραλλήλῳ, τουτέστιν καθʼ ὃν ὁ βόρειος πόλος ἐξῆρται τοῦ ὁρίζοντος μοίρας λς.
αὐτοῦ ἰσημερινοῦ σημείου αἰ πρὸς τὸν αὐτὸν ὁρίζοντα θεωρούμεναι γωνίαι ἴσαι, τὸ καὶ τῶν τὸ ἵσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου τὴν τοῦ ἑτέρου ἀνατολικὴν καὶ τὴν τοῦ ἑτέρου δυτικὴν συναμφοτέρας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι. ὥστε καὶ διὰ τοῦτο, ἐὰν
τὰς ἀπὸ Κριοῦ μέχρι τῶν Χηλῶν γινομένας ἀνατολικὰς γωνίας εὕρωμεν, συναποδεδειγμέναι ἔσονται καὶ αἱ τοῦ ἑτέρου ἡμικυκλίου ἀνατολικαὶ καὶ ἔτι αἱ τῶν δύο ἡμικυκλίων δυτικαί. ὃν δὲ τρόπον δείκνυται, διὰ βραχέων ἐκθησόμεθα χρησάμενοι πάλιν ὑποδείγματος ἕνεκεν
τῷ αὐτῷ παραλλήλῳ, τουτέστιν καθʼ ὃν ὁ βόρειος πόλος ἐξῆρται τοῦ ὁρίζοντος μοίρας λς.
αἱ μὲν οὖν ὑπὸ τῶν ἰσημερινῶν σημείων τοῦ διὰ μέσων
τῶν ζῳδίων κύκλου πρὸς τὸν ὁρίζοντα γινόμεναι γωνίαι προχείρως δύνανται λαμβάνεσθαι· ἐὰν γὰρ γράψωμεν μεσημβρινὸν μὲν κύκλον τὸν ΑΒΓΔ, τοῦ δὲ ὑποκειμένου
ὁρίζοντος τὸ ἀνατολικὸν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΔ 204 205 206 καὶ τοῦ μὲν ἰσημερινοῦ τεταρτημόριον τὸ ΕΖ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων δύο τό τε ΕΒ καὶ ΕΓ οὕτως ἔχοντα, ὥστε τὸ Ε σημεῖον πρὸς μὲν τὸ ΕΒ τεταρτημόριον νοεῖσθαι μετοπωρινόν, πρὸς δὲ τὸ ΕΓ ἐαρινόν, καὶ τὸ μὲν Β γίνεσθαι χειμερινὸν τροπικόν,
τὸ δὲ Γ θερινόν, συνάγεται, ὅτι τῆς μὲν ΔΖ περιφερείας ὑποκειμένης μοιρῶν νδ, ἑκατέρας δὲ τῶν ΒΖ καὶ ΖΓ τῶν ἴσων κγ να ἔγγιστα, καὶ ἡ μὲν ΓΔ γίνεται μοιρῶν λ θ, ἡ δὲ ΒΔ τῶν αὐτῶν οζ να. ὥστʼ, ἐπεὶ τὸ Ε πόλος ἐστὶν τοῦ ΑΒΓ μεσημβρινοῦ, καὶ τὴν μὲν
ὑπὸ ΔΕΓ γωνίαν τὴν γινομένην ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Κριοῦ τοιούτων εἶναι λ θ, οἵων ἐστὶν ἡ μία ὀρθὴ ?? τὴν δὲ ὑπὸ ΔΕΒ τὴν γινομένην ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τῶν Χηλῶν τῶν αὐτῶν οζ να.
τῶν ζῳδίων κύκλου πρὸς τὸν ὁρίζοντα γινόμεναι γωνίαι προχείρως δύνανται λαμβάνεσθαι· ἐὰν γὰρ γράψωμεν μεσημβρινὸν μὲν κύκλον τὸν ΑΒΓΔ, τοῦ δὲ ὑποκειμένου
ὁρίζοντος τὸ ἀνατολικὸν ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΔ 204 205 206 καὶ τοῦ μὲν ἰσημερινοῦ τεταρτημόριον τὸ ΕΖ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων δύο τό τε ΕΒ καὶ ΕΓ οὕτως ἔχοντα, ὥστε τὸ Ε σημεῖον πρὸς μὲν τὸ ΕΒ τεταρτημόριον νοεῖσθαι μετοπωρινόν, πρὸς δὲ τὸ ΕΓ ἐαρινόν, καὶ τὸ μὲν Β γίνεσθαι χειμερινὸν τροπικόν,
τὸ δὲ Γ θερινόν, συνάγεται, ὅτι τῆς μὲν ΔΖ περιφερείας ὑποκειμένης μοιρῶν νδ, ἑκατέρας δὲ τῶν ΒΖ καὶ ΖΓ τῶν ἴσων κγ να ἔγγιστα, καὶ ἡ μὲν ΓΔ γίνεται μοιρῶν λ θ, ἡ δὲ ΒΔ τῶν αὐτῶν οζ να. ὥστʼ, ἐπεὶ τὸ Ε πόλος ἐστὶν τοῦ ΑΒΓ μεσημβρινοῦ, καὶ τὴν μὲν
ὑπὸ ΔΕΓ γωνίαν τὴν γινομένην ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Κριοῦ τοιούτων εἶναι λ θ, οἵων ἐστὶν ἡ μία ὀρθὴ ?? τὴν δὲ ὑπὸ ΔΕΒ τὴν γινομένην ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τῶν Χηλῶν τῶν αὐτῶν οζ να.
ἵνα δὲ καὶ ἡ τῶν λοιπῶν
ἔφοδος φανερὰ γένηται, προκείσθω ὑποδείγματος ἕνεκεν εὑρεῖν τὴν γινομένην ἀνατολικὴν γωνίαν ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ
Ταύρου καὶ τοῦ ὁρίζοντος, καὶ ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, τοῦ δʼ ὑποκειμένου ὁρίζοντος τὸ ἀνατολικὸν ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, καὶ γεγράφθω τοῦ διὰ 207 208 μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον, ὥστε τὸ Ε σημεῖον τὴν ἀρχὴν εἶναι τοῦ Ταύρου. καὶ ἐπεὶ ἐν τούτῳ τῷ κλίματι τῆς ἀρχῆς τοῦ Ταύρου ἀνατελλούσης μεσουρανοῦσιν ὑπὸ γῆν αἱ τοῦ Καρκίνου μοῖραι ιζ μα·
δεδείχαμεν p. 144, 6 γάρ, πῶς τὰ τοιαῦτα ἐξ εὐχεροῦς λαμβάνεται διὰ τῶν ἐκτεθειμένων ἡμῖν ἀναφορῶν· ἐλάσσων γίνεται ἡ ΕΓ περιφέρεια τεταρτημορίου. γεγράφθω δὴ πόλῳ τῷ Ε καὶ διαστήματι τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΘΗΖ, καὶ
προσαναπεπληρώσθω τό τε ΕΓΗ τεταρτημόριον καὶ τὸ ΕΔΘ. γίνεται δὲ καὶ ἢ τε ΑΓΖ καὶ ἡ ΖΗΘ ἑκατέρα τεταρτημορίου διὰ τὸ τὸν ΒΕΘ ὁρίζοντα διὰ τῶν πόλων εἶναι τοῦ τε ΖΓΔ μεσημβρινοῦ καὶ τοῦ ΖΗΘ μεγίστου κύκλου. πάλιν ἐπεὶ αἱ μὲν τοῦ Καρκίνου
ιζ μᾱ μοῖραι ἀπέχουσιν τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τὰς ἄρκτους ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ μεγίστου κύκλου μοίρας κβ μ· ἐκτέθειται p. 81, 32 γὰρ ἡμῖν καὶ ταῦτα· ὁ δὲ ἰσημερινὸς ἀπέχει τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος ἐπὶ τῆς αὐτῆς περιφερείας τῆς ΖΓΔ μοίρας
λς, συνάγεται καὶ ἡ ΖΓ περιφέρεια μοιρῶν νη μ. τούτων δὴ δοθέντων γίνεται λοιπὸν διὰ τὴν καταγραφὴν p. 76, 3 ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΔΖ λόγος ὁ συνημμένος ἔκ τε 209 210 211 212 τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζῶ. ἀλλὰ διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΓΔ μοιρῶν ἐστιν ξβ μ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξβ κδ, ἡ δὲ διπλῆ
τῆς ΔΖ μοιρῶν ρ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΓΕ μοιρῶν ρνε κβ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ ιδ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΕΗ μοιρῶν ρ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν ξβ κδ πρὸς τὰ
ρκ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριζ ιδ πρὸς τὰ ρκ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ λόγος ὁ τῶν ξγ νβ πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΗΘ τῶν αὐτῶν
ἐστιν ξγ νβ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΗΘ μοιρῶν ἐστιν ξδ κ, ἡ δὲ ΗΘ αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΘ γωνία τῶν αὐτῶν λβ ι ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ἔφοδος φανερὰ γένηται, προκείσθω ὑποδείγματος ἕνεκεν εὑρεῖν τὴν γινομένην ἀνατολικὴν γωνίαν ὑπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ
Ταύρου καὶ τοῦ ὁρίζοντος, καὶ ἔστω μεσημβρινὸς μὲν κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, τοῦ δʼ ὑποκειμένου ὁρίζοντος τὸ ἀνατολικὸν ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, καὶ γεγράφθω τοῦ διὰ 207 208 μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον, ὥστε τὸ Ε σημεῖον τὴν ἀρχὴν εἶναι τοῦ Ταύρου. καὶ ἐπεὶ ἐν τούτῳ τῷ κλίματι τῆς ἀρχῆς τοῦ Ταύρου ἀνατελλούσης μεσουρανοῦσιν ὑπὸ γῆν αἱ τοῦ Καρκίνου μοῖραι ιζ μα·
δεδείχαμεν p. 144, 6 γάρ, πῶς τὰ τοιαῦτα ἐξ εὐχεροῦς λαμβάνεται διὰ τῶν ἐκτεθειμένων ἡμῖν ἀναφορῶν· ἐλάσσων γίνεται ἡ ΕΓ περιφέρεια τεταρτημορίου. γεγράφθω δὴ πόλῳ τῷ Ε καὶ διαστήματι τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΘΗΖ, καὶ
προσαναπεπληρώσθω τό τε ΕΓΗ τεταρτημόριον καὶ τὸ ΕΔΘ. γίνεται δὲ καὶ ἢ τε ΑΓΖ καὶ ἡ ΖΗΘ ἑκατέρα τεταρτημορίου διὰ τὸ τὸν ΒΕΘ ὁρίζοντα διὰ τῶν πόλων εἶναι τοῦ τε ΖΓΔ μεσημβρινοῦ καὶ τοῦ ΖΗΘ μεγίστου κύκλου. πάλιν ἐπεὶ αἱ μὲν τοῦ Καρκίνου
ιζ μᾱ μοῖραι ἀπέχουσιν τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τὰς ἄρκτους ἐπὶ τοῦ διὰ τῶν πόλων αὐτοῦ μεγίστου κύκλου μοίρας κβ μ· ἐκτέθειται p. 81, 32 γὰρ ἡμῖν καὶ ταῦτα· ὁ δὲ ἰσημερινὸς ἀπέχει τοῦ πόλου τοῦ ὁρίζοντος ἐπὶ τῆς αὐτῆς περιφερείας τῆς ΖΓΔ μοίρας
λς, συνάγεται καὶ ἡ ΖΓ περιφέρεια μοιρῶν νη μ. τούτων δὴ δοθέντων γίνεται λοιπὸν διὰ τὴν καταγραφὴν p. 76, 3 ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΔΖ λόγος ὁ συνημμένος ἔκ τε 209 210 211 212 τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζῶ. ἀλλὰ διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΓΔ μοιρῶν ἐστιν ξβ μ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ξβ κδ, ἡ δὲ διπλῆ
τῆς ΔΖ μοιρῶν ρ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, καὶ πάλιν ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΓΕ μοιρῶν ρνε κβ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριζ ιδ, ἡ δὲ διπλῆ τῆς ΕΗ μοιρῶν ρ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ λόγου τῶν ξβ κδ πρὸς τὰ
ρκ ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριζ ιδ πρὸς τὰ ρκ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ λόγος ὁ τῶν ξγ νβ πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΗΘ τῶν αὐτῶν
ἐστιν ξγ νβ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΗΘ μοιρῶν ἐστιν ξδ κ, ἡ δὲ ΗΘ αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΘ γωνία τῶν αὐτῶν λβ ι ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ὁ δʼ αὐτὸς τρόπος, ἵνα μὴ καθʼ ἕκαστον ταυτολογοῦντες μηκύνωμεν τὸν ὑπομνηματισμὸν τῆς συντάξεως,
καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δωδεκατημορίων τε καὶ κλιμάτων ἡμῖν νοηθήσεται.
καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δωδεκατημορίων τε καὶ κλιμάτων ἡμῖν νοηθήσεται.
ιβʹ. Περὶ τῶν πρὸς τὸν αὐτὸν κύκλον τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος γινομένων γωνιῶν καὶ περιφερειῶν.
Λειπομένης δὴ τῆς ἐφόδου, καθʼ ἣν ἄν λαμβάνοιμεν
καὶ τὰς πρὸς τὸν διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος καθʼ ἑκάστην ἔγκλισιν καὶ καθʼ ἑκάστην θέσιν γινομένας τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου γωνίας συναποδεικνυμένης, ὡς ἔφαμεν, ἑκάστοτε καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης περιφερείας τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ δρίζοντος
κύκλου ὑπό τε τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου καὶ τῆς πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον αὐτοῦ τομῆς, ἐκθησόμεθα πάλιν καὶ τὰ εἰς τοῦτο τὸ μέρος προλαμβανόμενα καὶ δείξομεν πρῶτον, ὅτι τῶν ἴσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου
σημείων ἴσους χρόνους ἀπολαμβανόντων ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ, τοῦ μὲν πρὸς ἀνατολάς, τοῦ δʼ ἑτέρου πρὸς δυσμάς, αἵ τε ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπʼ αὐτὰ περιφέρειαι τῶν μεγίστων κύκλων ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν καὶ αἰ πρὸς αὐτὰ γινόμεναι γωνίαι, καθʼ ὃν
διεστειλάμεθα τρόπον, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι.
καὶ τὰς πρὸς τὸν διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος καθʼ ἑκάστην ἔγκλισιν καὶ καθʼ ἑκάστην θέσιν γινομένας τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου γωνίας συναποδεικνυμένης, ὡς ἔφαμεν, ἑκάστοτε καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης περιφερείας τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ δρίζοντος
κύκλου ὑπό τε τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου καὶ τῆς πρὸς τὸν λοξὸν κύκλον αὐτοῦ τομῆς, ἐκθησόμεθα πάλιν καὶ τὰ εἰς τοῦτο τὸ μέρος προλαμβανόμενα καὶ δείξομεν πρῶτον, ὅτι τῶν ἴσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου
σημείων ἴσους χρόνους ἀπολαμβανόντων ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ, τοῦ μὲν πρὸς ἀνατολάς, τοῦ δʼ ἑτέρου πρὸς δυσμάς, αἵ τε ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπʼ αὐτὰ περιφέρειαι τῶν μεγίστων κύκλων ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν καὶ αἰ πρὸς αὐτὰ γινόμεναι γωνίαι, καθʼ ὃν
διεστειλάμεθα τρόπον, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι.
ἔστω γὰρ μεσημβρινοῦ τμῆμα τὸ ΑΒΓ, καὶ ὑποκείσθω ἐπʼ αὐτοῦ τὸ μὲν κατὰ κορυφὴν σημεῖον τὸ Β, ὁ δὲ τοῦ ἰσημερινοῦ πόλος τὸ Γ, καὶ γεγράφθω τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου δύο τμήματα
215
216
τό τε ΑΔΕ καὶ τὸ ΑΖΒ οὕτως ἔχοντα, ὥστε τὰ Δ καὶ Z σημεῖα ἴσον τε ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ καὶ ἴσας ἀπολαμβάνειν περιφερείας τοῦ διʼ αὐτῶν
παραλλήλου ἐφ᾿ ἑκάτερα τοῦ ΑΒΓ μεσημβρινοῦ.
γεγράφθωσαν δὲ καὶ μεγίστων κύκλων περιφέρειαι διὰ τῶν Δ, Ν σημείων, ἀπὸ μὲν τοῦ Γ πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ
ἢ τε ΓΔ καὶ ἡ ΓΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ Β τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΒΖ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΒΔ περιφέρεια τῇ ΒΖ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΔΕ γωνία μετὰ τῆς ὑπὸ Βῶ ΒΖΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴση.
γεγράφθωσαν δὲ καὶ μεγίστων κύκλων περιφέρειαι διὰ τῶν Δ, Ν σημείων, ἀπὸ μὲν τοῦ Γ πόλου τοῦ ἰσημερινοῦ
ἢ τε ΓΔ καὶ ἡ ΓΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ Β τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΒΖ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΒΔ περιφέρεια τῇ ΒΖ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΔΕ γωνία μετὰ τῆς ὑπὸ Βῶ ΒΖΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴση.
ἐπεὶ γὰρ τὰ Δ καὶ Ζ σημεῖα ἴσας τοῦ διʼ αὐτῶν παραλλήλου περιφερείας ἀπέχει τοῦ ΑΒΓ μεσημβρινοῦ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΖ. δύο δὴ τρίπλευρά ἐστιν τό τε ΒΓΔ καὶ τὸ ΒΓΖ τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρφ,
τὴν μὲν ΓΔ τῇ ΓΖ, κοινὴν δὲ τὴν ΒΓ, καὶ γωνίαν γωνίᾳ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων πλευρῶν περιεχομένην τὴν ὑπὸ ΒΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ καὶ βάσιν ἄρα τὴν ΒΔ βάσει τῇ ΒΖ ἴσην ἔξει καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΖΓ τῇ 217 218 219 ὑπὸ ΒΔΓ. ἀλλʼ ἐπεὶ δέδεικται μικρῷ πρόσθεν p. 148, 10, ὅτι τῶν ἴσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου αἱ πρὸς τὸν διὰ τῶν πόλων τοῦ ἰσημερινοῦ γινόμεναι γωνίαι συναμφότεραι δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσαι εἰσίν, συναμφότεραι ἄρα ἢ τε ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΒΖΓ ἔση· καὶ συναμφότεραι ἄρα ἢ τε ὑπὸ ΒΔΕ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
τὴν μὲν ΓΔ τῇ ΓΖ, κοινὴν δὲ τὴν ΒΓ, καὶ γωνίαν γωνίᾳ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων πλευρῶν περιεχομένην τὴν ὑπὸ ΒΓΔ τῇ ὑπὸ ΒΓΖ καὶ βάσιν ἄρα τὴν ΒΔ βάσει τῇ ΒΖ ἴσην ἔξει καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΖΓ τῇ 217 218 219 ὑπὸ ΒΔΓ. ἀλλʼ ἐπεὶ δέδεικται μικρῷ πρόσθεν p. 148, 10, ὅτι τῶν ἴσον ἀπεχόντων τοῦ αὐτοῦ τροπικοῦ σημείου αἱ πρὸς τὸν διὰ τῶν πόλων τοῦ ἰσημερινοῦ γινόμεναι γωνίαι συναμφότεραι δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσαι εἰσίν, συναμφότεραι ἄρα ἢ τε ὑπὸ ΓΔΕ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΓ τῇ ὑπὸ ΒΖΓ ἔση· καὶ συναμφότεραι ἄρα ἢ τε ὑπὸ ΒΔΕ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
πάλιν δὴ δεικτέον, ὅτι τῶν αὐτῶν σημείων τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου ἴσους χρόνους ἀπεχόντων ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ αἵ τε ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἐπʼ αὐτὰ γραφόμεναι μεγίστων κύκλων περιφέρειαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ αἱ πρὸς αὐτὰς γινόμεναι
γωνίαι συναμφότεραι ἥ τε πρὸς ἀνατολὰς καὶ ἡ πρὸς δυσμὰς δυσὶ ταῖς ὑπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ πρὸς τὸ αὐτὸ σημεῖον γινομέναις ἴσαι εἰσίν, ὅταν ἐφʼ ἑκατέρας θέσεως τὰ μεσουρανοῦντα ἀμφότερα ἤτοι βορειότερα ἢ νοτιώτερα τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου τυγχάνῃ.
πρῶτον δʼ ὑποκείσθω ἀμφότερα νοτιώτερα, καὶ ἔστω μεσημβρινοῦ τμῆμα τὸ ΑΒΓΔ, ἐπʼ αὐτοῦ δὲ τὸ μὲν κατὰ κορυφὴν σημεῖον τὸ Γ πόλος δὲ τοῦ ἰσημερινοῦ 220 221 222 τὸ Δ, καὶ γεγράφθω δύο τμήματα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τό τε ΑΕΖ καὶ τὸ Βῶ οὕτως ἔχοντα, ὥστε τὸ Ε σημεῖον καὶ τὸ H τὸ αὐτὸ ὑποκείμενον ἴσην ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ διʼ αὐτοῦ παραλλήλου περιφέρειαν ἀπέχειν
τοῦ ΑΒΓΔ μεσημβρινοῦ. καὶ γεγράφθω πάλιν διʼ αὐτῶν τμήματα μεγίστων
κύκλων ἀπὸ μὲν τοῦ Γ τό τε καὶ τὸ ΓΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ τό τε ΔΕ καὶ τὸ ΔΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς ἔμπροσθεν,
ἐπεὶ τὰ Ε, H σημεῖα τὸν αὐτὸν ποιοῦντα παράλληλον ἴσας αὐτοῦ περιφερείας ἐφʼ ἑκάτερα ποιεῖ τοῦ μεσημβρινοῦ, ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΓΔΕ τρίπλευρον τῷ ΓΔΗ, ὥστε καὶ τὴν ΓΕ τῇ ΓΗ ἴσην γίνεσθαι. λέγω δή, ὅτι καὶ συναμφότεραι ἥ τε ὑπὸ
ΓΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΚΖ, ΔΗΒ ἴσαι εἰσίν.
γωνίαι συναμφότεραι ἥ τε πρὸς ἀνατολὰς καὶ ἡ πρὸς δυσμὰς δυσὶ ταῖς ὑπὸ τοῦ μεσημβρινοῦ πρὸς τὸ αὐτὸ σημεῖον γινομέναις ἴσαι εἰσίν, ὅταν ἐφʼ ἑκατέρας θέσεως τὰ μεσουρανοῦντα ἀμφότερα ἤτοι βορειότερα ἢ νοτιώτερα τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου τυγχάνῃ.
πρῶτον δʼ ὑποκείσθω ἀμφότερα νοτιώτερα, καὶ ἔστω μεσημβρινοῦ τμῆμα τὸ ΑΒΓΔ, ἐπʼ αὐτοῦ δὲ τὸ μὲν κατὰ κορυφὴν σημεῖον τὸ Γ πόλος δὲ τοῦ ἰσημερινοῦ 220 221 222 τὸ Δ, καὶ γεγράφθω δύο τμήματα τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τό τε ΑΕΖ καὶ τὸ Βῶ οὕτως ἔχοντα, ὥστε τὸ Ε σημεῖον καὶ τὸ H τὸ αὐτὸ ὑποκείμενον ἴσην ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ διʼ αὐτοῦ παραλλήλου περιφέρειαν ἀπέχειν
τοῦ ΑΒΓΔ μεσημβρινοῦ. καὶ γεγράφθω πάλιν διʼ αὐτῶν τμήματα μεγίστων
κύκλων ἀπὸ μὲν τοῦ Γ τό τε καὶ τὸ ΓΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ τό τε ΔΕ καὶ τὸ ΔΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς ἔμπροσθεν,
ἐπεὶ τὰ Ε, H σημεῖα τὸν αὐτὸν ποιοῦντα παράλληλον ἴσας αὐτοῦ περιφερείας ἐφʼ ἑκάτερα ποιεῖ τοῦ μεσημβρινοῦ, ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΓΔΕ τρίπλευρον τῷ ΓΔΗ, ὥστε καὶ τὴν ΓΕ τῇ ΓΗ ἴσην γίνεσθαι. λέγω δή, ὅτι καὶ συναμφότεραι ἥ τε ὑπὸ
ΓΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΚΖ, ΔΗΒ ἴσαι εἰσίν.
καταγεγράφθω πάλιν τὰ αὐτὰ τμήματα τῶν ἐκκειμένων κύκλων, ὥστε μέντοι τό τε Α σημεῖον καὶ τὸ βορειότερα γίνεσθαι τοῦ Γ σημείου. λέγω, ὅτι
τὸ αὐτὸ καὶ οὕτως συμβήσεται, τουτέστιν
συναμφότεραι ἥ τε ὑπὸ ΚΕΖ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ ΛΗΒ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ
ἡ αὐτή ἐστιν τῇ ὑπὸ ΔΗΒ, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΚ τῇ ὑπὸ ΔΗΛ, καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΗΒ ἔση ἐστὶν συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΔΕΖ καὶ τῇ ὑπὸ ΔΕΚ ὥστε καὶ συναμφότεραι
ἥ τε ὑπὸ ΛΗΒ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΕΖ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ ἴσαι εἰσίν.
συναμφότεραι ἥ τε ὑπὸ ΚΕΖ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ ΛΗΒ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΕΖ
ἡ αὐτή ἐστιν τῇ ὑπὸ ΔΗΒ, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΔΕΚ τῇ ὑπὸ ΔΗΛ, καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΗΒ ἔση ἐστὶν συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΔΕΖ καὶ τῇ ὑπὸ ΔΕΚ ὥστε καὶ συναμφότεραι
ἥ τε ὑπὸ ΛΗΒ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΕΖ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΔΕΖ ἴσαι εἰσίν.
ἐκκείσθω δὴ πάλιν ἡ ὁμοία καταγραφή, ὥστε μέντοι τὸ μὲν τοῦ ἀνατολικοῦ τμήματος μεσουρανοῦν σημεῖον, τουτέστιν τὸ Α, νοτιώτερον εἶναι τοῦ Γ κατὰ κορυφὴν
225
226
227
228
229
σημείου, τὸ δὲ τοῦ πρὸς δυσμὰς τμήματος μεσουρανοῦν, τουτέστιν τὸ B, βορειότερον τοῦ αὐτοῦ. λέγω, ὅτι
συναμφότεραι ἤ τε ὑπὸ ΓΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΛΗΒ δύο τῶν ὑπὸ ΔΕΖ μείζονές
εἰσιν δυσὶν ὀρθαῖς. ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΗΓ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, συναμφότεραι δὲ ἥ τε ὑπὸ ΔΗΓ καὶ ἡ
ὑπὸ ΔΗΛ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καὶ συναμφότεραι ἄρα ἥ τε ὑπὸ ΔΕΓ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΛ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνία ἡ αὐτὴ τῇ ὑπὸ ΔΗΒ ὥστε καὶ συναμφοτέρας τήν τε ὑπὸ ΓΕΖ
καὶ τὴν ὑπὸ ΔΜΒ συναμιφοτέρων τῶν ὑπὸ ΔΕΖ καὶ ΔΗΒ, τουτέστιν δὶς τῆς ὑπὸ ΔΕΖ, μείζονας εἶναι συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΔEΓ καὶ τῇ ὑπὸ ΔΗΛ, αἵπερ εἰσὶν δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
εἰσιν δυσὶν ὀρθαῖς. ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΗΓ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΔΕΓ, συναμφότεραι δὲ ἥ τε ὑπὸ ΔΗΓ καὶ ἡ
ὑπὸ ΔΗΛ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, καὶ συναμφότεραι ἄρα ἥ τε ὑπὸ ΔΕΓ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΗΛ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΕΖ γωνία ἡ αὐτὴ τῇ ὑπὸ ΔΗΒ ὥστε καὶ συναμφοτέρας τήν τε ὑπὸ ΓΕΖ
καὶ τὴν ὑπὸ ΔΜΒ συναμιφοτέρων τῶν ὑπὸ ΔΕΖ καὶ ΔΗΒ, τουτέστιν δὶς τῆς ὑπὸ ΔΕΖ, μείζονας εἶναι συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΔEΓ καὶ τῇ ὑπὸ ΔΗΛ, αἵπερ εἰσὶν δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ἐκκείσθωο δʼ, ὅπερ ὑπολείπεται, κατὰ τὴν ὁμοίαν
καταγραφὴν τὸ μὲν τοῦ πρὸς ἀνατολὰς τμήματος μεσουρανοῦν σημεῖον τὸ Α βορειότερον γινόμενον τοῦ 230 231 232 233 234 Γ, τὸ δὲ τοῦ πρὸς δυσμὰς τμήματος μεσουρανοῦν τὸ Β νοτιώτερον. λέγω, ὅτι συναμφότεραι ἢ τε ὑπὸ ΚΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΒ δύο τῶν ὑπὸ ΔΚΖ ἐλάττονές εἰσιν δυσὶν ὀρθαῖς. διὰ
τὰ αὐτὰ γὰρ πάλιν συναμφότεραι μὲν ἥτε ὑπὸ ΚΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ συναμφοτέρωντῆς
τε ὑπὸ ΛΕΖ καὶ τῆς ὑπὸ ΔΗΒ, τουτέστιν δύο τῶν ὑπὸ ΔΕΖ, ἐλάττονες γίνονται συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΔΕΚ καὶ τῇ
ὑπὸ ΔHΓ αὗται δὲ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ καὶ συναμφοτέρας μὲν τήν τε ὑπὸ ΔΕΚ καὶ τὴν ὑπὸ ΔEΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι, ἴσην δὲ καὶ τὴν ὑπὸ ΔΚΓ τῇ ὑπὸ ΔΗΓ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
καταγραφὴν τὸ μὲν τοῦ πρὸς ἀνατολὰς τμήματος μεσουρανοῦν σημεῖον τὸ Α βορειότερον γινόμενον τοῦ 230 231 232 233 234 Γ, τὸ δὲ τοῦ πρὸς δυσμὰς τμήματος μεσουρανοῦν τὸ Β νοτιώτερον. λέγω, ὅτι συναμφότεραι ἢ τε ὑπὸ ΚΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΒ δύο τῶν ὑπὸ ΔΚΖ ἐλάττονές εἰσιν δυσὶν ὀρθαῖς. διὰ
τὰ αὐτὰ γὰρ πάλιν συναμφότεραι μὲν ἥτε ὑπὸ ΚΕΖ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΒ συναμφοτέρωντῆς
τε ὑπὸ ΛΕΖ καὶ τῆς ὑπὸ ΔΗΒ, τουτέστιν δύο τῶν ὑπὸ ΔΕΖ, ἐλάττονες γίνονται συναμφοτέραις τῇ τε ὑπὸ ΔΕΚ καὶ τῇ
ὑπὸ ΔHΓ αὗται δὲ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ καὶ συναμφοτέρας μὲν τήν τε ὑπὸ ΔΕΚ καὶ τὴν ὑπὸ ΔEΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι, ἴσην δὲ καὶ τὴν ὑπὸ ΔΚΓ τῇ ὑπὸ ΔΗΓ ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ὅτι δὲ ἐκ προχείρου δύνανται λαμβάνεσθαι τῶν
γινομένων ὑπὸ τοῦ λοξοῦ κύκλου πρὸς τὸν διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου μέγιστον κύκλον γωνιῶν τε καὶ περιφερειῶν, καθʼ ὄν εἰρήκαμεν τρόπον, αἵ τε ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος γινόμεναι, αὐτόθεν ἂν οὕτως γένοιτο δῆλον. ἐὰν γὰρ γράψωμεν
μεσημβρινὸν κύκλον τὸν ΑΒΓΔ καὶ ὁρίζοντος μὲν 235 ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τὸ ΖΕΗ ὁπωσδήποτε ἔχον, ὅταν μὲν διὰ τοῦ μεσουρανοῦντος αὐτοῦ σημείου τοῦ Ζ νοῶμεν τὸν διὰ τοῦ Α κατὰ κορυφὴν σημείου γραφόμενον μέγιστον κύκλον,
ὁ αὐτὸς γενήσεται τῷ ΑΒΓΔ μεσημβρινῷ, καὶ ἔσται ἥ τε ὑπὸ ΔΖΕ γωνία αὐτόθεν ἡμῖν δεδομένη διὰ τὸ καὶ τὸ σημεῖον καὶ τὴν πρὸς τὸν
μεσημβρινὸν αὐτοῦ γινομένην γωνίαν ΙΙ, 10 δεδόσθαι καὶ αὐτὴ ἡ ΑΖ περιφέρεια διὰ τὸ ἔχειν ἡμᾶς, πόσας μοίρας ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ τό τε Ζ σημεῖον ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ ὁ ἰσημερινὸς τοῦ Α κατὰ κορυφὴν
σημείου. ὅταν δὲ διὰ τοῦ ἀνατέλλοντος αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε νοῶμεν τὸν διὰ τοῦ Α γραφόμενον μέγιστον κύκλον ὡς τὸν ΑΕΓ, αὐτόθεν καὶ οὕτως γίνεται δῆλον, ὅτι ἡ μὲν ΑΕ περιφέρεια πάντοτε γενήσεται τεταρτημορίου, διὰ τὸ τὸ Α σημεῖον πόλον εἶναι τοῦ
ΒΕΔ ὁρίζοντος. ὀρθῆς δὲ οὔσης ἀεὶ διὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν τῆς ὑπὸ ΑΕΔ γωνίας καὶ δεδομένης τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου πρὸς τὸν ὁρίζοντα, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ΔΕΗ, δοθήσεται καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΕΗ γωνία· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
γινομένων ὑπὸ τοῦ λοξοῦ κύκλου πρὸς τὸν διὰ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου μέγιστον κύκλον γωνιῶν τε καὶ περιφερειῶν, καθʼ ὄν εἰρήκαμεν τρόπον, αἵ τε ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος γινόμεναι, αὐτόθεν ἂν οὕτως γένοιτο δῆλον. ἐὰν γὰρ γράψωμεν
μεσημβρινὸν κύκλον τὸν ΑΒΓΔ καὶ ὁρίζοντος μὲν 235 ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τὸ ΖΕΗ ὁπωσδήποτε ἔχον, ὅταν μὲν διὰ τοῦ μεσουρανοῦντος αὐτοῦ σημείου τοῦ Ζ νοῶμεν τὸν διὰ τοῦ Α κατὰ κορυφὴν σημείου γραφόμενον μέγιστον κύκλον,
ὁ αὐτὸς γενήσεται τῷ ΑΒΓΔ μεσημβρινῷ, καὶ ἔσται ἥ τε ὑπὸ ΔΖΕ γωνία αὐτόθεν ἡμῖν δεδομένη διὰ τὸ καὶ τὸ σημεῖον καὶ τὴν πρὸς τὸν
μεσημβρινὸν αὐτοῦ γινομένην γωνίαν ΙΙ, 10 δεδόσθαι καὶ αὐτὴ ἡ ΑΖ περιφέρεια διὰ τὸ ἔχειν ἡμᾶς, πόσας μοίρας ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ τό τε Ζ σημεῖον ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ ὁ ἰσημερινὸς τοῦ Α κατὰ κορυφὴν
σημείου. ὅταν δὲ διὰ τοῦ ἀνατέλλοντος αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε νοῶμεν τὸν διὰ τοῦ Α γραφόμενον μέγιστον κύκλον ὡς τὸν ΑΕΓ, αὐτόθεν καὶ οὕτως γίνεται δῆλον, ὅτι ἡ μὲν ΑΕ περιφέρεια πάντοτε γενήσεται τεταρτημορίου, διὰ τὸ τὸ Α σημεῖον πόλον εἶναι τοῦ
ΒΕΔ ὁρίζοντος. ὀρθῆς δὲ οὔσης ἀεὶ διὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν τῆς ὑπὸ ΑΕΔ γωνίας καὶ δεδομένης τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου πρὸς τὸν ὁρίζοντα, τουτέστιν τῆς ὑπὸ ΔΕΗ, δοθήσεται καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΑΕΗ γωνία· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
236
ὥστε φανερόν, ὅτι τούτων οὕτως ἐχόντων, ἐὰν ἐφʼ ἑκάστης ἐγκλίσεως τὰς πρὸ τοῦ μεσημβρινοῦ μόνας γωνίας τε καὶ περιφερείας καὶ μόνων τῶν ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τοῦ Καρκίνου μέχρι τῆς ἀρχῆς τοῦ Αἰγόκερω
δωδεκατημορίων ἐπιλογισώμεθα, συναποδεδειγμένας ἕξομεν p. 162, 10; 160, 13 καὶ τάς τε μετὰ τὸν μεσημβρινὸν αὐτῶν γωνίας τε καὶ περιφερείας καὶ ἔτι τῶν λοιπῶν τάς τε πρὸ τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ τὰς μετὰ τὸν μεσημβρινόν. ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ τούτων ἡ καθʼ ἑκάστην
θέσιν ἔφοδος φανερὰ γένηται, παραδείγματος πάλιν ἕνεκεν ἐκθησόμεθα τὴν ἐσομένην καθόλου δεῖξιν δι᾿ ἑνὸς θεωρήματος ὑποθέμενοι κατὰ τὴν αὐτὴν ἔγκλισιν τουτέστιν καθʼ ἣν ὁ βόρειος πόλος τοῦ ὁρίζοντος ἐξῆρται μοίρας λϚ, τὴν ἀρχὴν τοῦ Καρκίνου λόγου
χάριν μίαν ὥραν ἰσημερινὴν ἀπέχειν πρὸς ἀνατολὰς τοῦ μεσημβρινοῦ, καθʼ ἣν θέσιν ἐν τῷ προκειμένῳ παραλλήλῳ μεσουρανοῦσιν μὲν αἱ τῶν Διδύμων μοῖραι ῑϚ ῑβ, ἀνατέλλουσιν δὲ αἱ τῆς Παρθένου μοῖραι ῑζ λζ.
δωδεκατημορίων ἐπιλογισώμεθα, συναποδεδειγμένας ἕξομεν p. 162, 10; 160, 13 καὶ τάς τε μετὰ τὸν μεσημβρινὸν αὐτῶν γωνίας τε καὶ περιφερείας καὶ ἔτι τῶν λοιπῶν τάς τε πρὸ τοῦ μεσημβρινοῦ καὶ τὰς μετὰ τὸν μεσημβρινόν. ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ τούτων ἡ καθʼ ἑκάστην
θέσιν ἔφοδος φανερὰ γένηται, παραδείγματος πάλιν ἕνεκεν ἐκθησόμεθα τὴν ἐσομένην καθόλου δεῖξιν δι᾿ ἑνὸς θεωρήματος ὑποθέμενοι κατὰ τὴν αὐτὴν ἔγκλισιν τουτέστιν καθʼ ἣν ὁ βόρειος πόλος τοῦ ὁρίζοντος ἐξῆρται μοίρας λϚ, τὴν ἀρχὴν τοῦ Καρκίνου λόγου
χάριν μίαν ὥραν ἰσημερινὴν ἀπέχειν πρὸς ἀνατολὰς τοῦ μεσημβρινοῦ, καθʼ ἣν θέσιν ἐν τῷ προκειμένῳ παραλλήλῳ μεσουρανοῦσιν μὲν αἱ τῶν Διδύμων μοῖραι ῑϚ ῑβ, ἀνατέλλουσιν δὲ αἱ τῆς Παρθένου μοῖραι ῑζ λζ.
ἔστω δὴ μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ ὁρίζοντος
μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΖΗΘ οὕτως ἔχον, ὥστε τὸ μὲν Η 237 238 239 σημεῖον τὴν ἀρχὴν εἶναι τοῦ Καρκίνου, τὸ δὲ Ζ ἐπέχειν Διδύμων μοίρας ῑϚ ῑβ, τὸ δὲ Θ Παρθένου μοίρας ῑζ λζ, καὶ γεγράφθω διά τε τοῦ Α κατὰ κορυφὴν σημείου καὶ διὰ τοῦ Η τῆς ἀρχῆς τοῦ Καρκίνου μεγίστου
κύκλου τμῆμα τὸ ΑΗΕΓ, προκείσθω δὲ πρῶτον τὴν ΑΗ περιφέρειαν εὑρεῖν. φανερὸν δή, ὅτι ἡ μὲν ΖΘ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ??ᾱ κε, ἡ δὲ ΗΘ
μοιρῶν οζ λζ. ὁμοίως δέ, ἐπειδήπερ αἱ μὲν τῶν Διδύμων μοῖραι ῑϚ ῑβ ἀπολαμβάνουσι τοῦ μεσημβρινοῦ ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς ἄρκτους μοίρας κγ ζ, ὁ δὲ ἰσημερινὸς τοῦ Α κατὰ κορυφὴν σημείου μοίρας λϚ, ἔσται καὶ ἡ
μὲν ΑΖ περιφέρεια μοιρῶν ῑβ νγ, ἡ δὲ ΖΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ τεταρτημόριον μοιρῶν οζ ζ. τούτων δοθέντων γίνεται πάλιν διὰ τὴν καταγραφὴν p. 76, 3 ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΒ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ λόγος ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς
ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ. ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς ΖΒ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρνδ ῑδ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑς νθ, ἡ δὲ τῆς ΒΑ μοιρῶν ρπ καὶ ἡ ὑπὸ
240 241 242 αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς ΖΘ διπλῆ μοιρῶν ρπβ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑθ νη, ἡ δὲ τῆς μοιρῶν ρνε ῑδ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑζ ῑβ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρις
νθ πρὸς τὰ ρκ λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρῑθ ῆ πρὸς τὰ ρῑζ ῑβ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ λόγος ὁ τῶν ρῑδ ῑϚ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν
ἄρα τῆς ΕΗ τῶν αὐτῶν ἐστιν ρῑδ ῑϚ· ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΕΗ περιφερείας μοιρῶν ἐστιν ρμδ δϚ ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ ΗΕ τῶν αὐτῶν οβ ῑγ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ τῶν λειπουσῶν ἐστιν εἰς τὸ τεταρτημόριον μοιρῶν ῑζ μζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΒΕΔ, τοῦ δὲ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΖΗΘ οὕτως ἔχον, ὥστε τὸ μὲν Η 237 238 239 σημεῖον τὴν ἀρχὴν εἶναι τοῦ Καρκίνου, τὸ δὲ Ζ ἐπέχειν Διδύμων μοίρας ῑϚ ῑβ, τὸ δὲ Θ Παρθένου μοίρας ῑζ λζ, καὶ γεγράφθω διά τε τοῦ Α κατὰ κορυφὴν σημείου καὶ διὰ τοῦ Η τῆς ἀρχῆς τοῦ Καρκίνου μεγίστου
κύκλου τμῆμα τὸ ΑΗΕΓ, προκείσθω δὲ πρῶτον τὴν ΑΗ περιφέρειαν εὑρεῖν. φανερὸν δή, ὅτι ἡ μὲν ΖΘ περιφέρεια μοιρῶν ἐστιν ??ᾱ κε, ἡ δὲ ΗΘ
μοιρῶν οζ λζ. ὁμοίως δέ, ἐπειδήπερ αἱ μὲν τῶν Διδύμων μοῖραι ῑϚ ῑβ ἀπολαμβάνουσι τοῦ μεσημβρινοῦ ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς ἄρκτους μοίρας κγ ζ, ὁ δὲ ἰσημερινὸς τοῦ Α κατὰ κορυφὴν σημείου μοίρας λϚ, ἔσται καὶ ἡ
μὲν ΑΖ περιφέρεια μοιρῶν ῑβ νγ, ἡ δὲ ΖΒ τῶν λοιπῶν εἰς τὸ τεταρτημόριον μοιρῶν οζ ζ. τούτων δοθέντων γίνεται πάλιν διὰ τὴν καταγραφὴν p. 76, 3 ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΒ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ λόγος ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς
ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ. ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς ΖΒ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρνδ ῑδ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑς νθ, ἡ δὲ τῆς ΒΑ μοιρῶν ρπ καὶ ἡ ὑπὸ
240 241 242 αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς ΖΘ διπλῆ μοιρῶν ρπβ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑθ νη, ἡ δὲ τῆς μοιρῶν ρνε ῑδ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑζ ῑβ. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρις
νθ πρὸς τὰ ρκ λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρῑθ ῆ πρὸς τὰ ρῑζ ῑβ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ λόγος ὁ τῶν ρῑδ ῑϚ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν
ἄρα τῆς ΕΗ τῶν αὐτῶν ἐστιν ρῑδ ῑϚ· ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΕΗ περιφερείας μοιρῶν ἐστιν ρμδ δϚ ἔγγιστα, αὐτὴ δὲ ἡ ΗΕ τῶν αὐτῶν οβ ῑγ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΗ τῶν λειπουσῶν ἐστιν εἰς τὸ τεταρτημόριον μοιρῶν ῑζ μζ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ἐφεξῆς δὲ καὶ τὴνὑπὸ ΑΗΘ γωνίαν εὑρήσομεν οὕτως· ἐκκείσθω γὰρ ἡ αὐτὴ καταγραφή, καὶ πόλῳ τῷ καὶ διαστήματι τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ γεγράφθω
μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΚΛΜ, ὥστε, ἐπεὶ ὁ ΑΗΕ κύκλος διά τε τῶν τοῦ ΕΘΜ καὶ διὰ τῶν τοῦ ΚΛΜ πόλων γέγραπται, ἑκατέραν τῶν ΕΜ καὶ ΚΜ τεταρτημορίου γίνεσθαι. πάλιν οὖν διὰ 243 244 245 246 τὴν καταγραφὴν ἔσται p. 74, 9 ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΚ λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΛ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΛΜ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς
ΚΜ. ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς ΗΕ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρμδ δς καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑδ ῑς, ἡ δὲ τῆς ΕΚ μοιρῶν λε λδ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων λς λη, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς ΘΗ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρνε ῑδ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑζ ῑβ, ἡ
δὲ τῆς ΘΛ μοιρῶν κδ μς καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κε μδ· ὥστε, ἐὰν ἀπὸ τοῦ λόγου τοῦ τῶν ρῑδ ῑϚ πρὸς τὰ λϚ λη ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρῑζ ιβ πρὸς τὰ κε μδ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Λ Μ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΚ λόγος ὁ
τῶν πβ ῑᾱ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΚ τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΛΜ τῶν αὐτῶν ἐστιν πβ ῑᾱ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΛΜ περιφερείας μοιρῶν ἐστιν πς κη, αὐτὴ δὲ ἡ ΛΜ τῶν αὐτῶν μγ ῑδ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ
ΛΚ περιφέρεια αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΛΗΚ γωνία τμημάτων ἐστὶν μς μϚ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ γωνία τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἔσται μοιρῶν ρλγ ιδ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
μεγίστου κύκλου τμῆμα τὸ ΚΛΜ, ὥστε, ἐπεὶ ὁ ΑΗΕ κύκλος διά τε τῶν τοῦ ΕΘΜ καὶ διὰ τῶν τοῦ ΚΛΜ πόλων γέγραπται, ἑκατέραν τῶν ΕΜ καὶ ΚΜ τεταρτημορίου γίνεσθαι. πάλιν οὖν διὰ 243 244 245 246 τὴν καταγραφὴν ἔσται p. 74, 9 ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΚ λόγος συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΛ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΛΜ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς
ΚΜ. ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς ΗΕ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρμδ δς καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑδ ῑς, ἡ δὲ τῆς ΕΚ μοιρῶν λε λδ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων λς λη, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς ΘΗ διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρνε ῑδ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρῑζ ῑβ, ἡ
δὲ τῆς ΘΛ μοιρῶν κδ μς καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων κε μδ· ὥστε, ἐὰν ἀπὸ τοῦ λόγου τοῦ τῶν ρῑδ ῑϚ πρὸς τὰ λϚ λη ἀφέλωμεν τὸν τῶν ρῑζ ιβ πρὸς τὰ κε μδ, καταλειφθήσεται ἡμῖν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Λ Μ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΚ λόγος ὁ
τῶν πβ ῑᾱ ἔγγιστα πρὸς τὰ ρκ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΜΚ τμημάτων ρκ· καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν ἄρα τῆς ΛΜ τῶν αὐτῶν ἐστιν πβ ῑᾱ. ὥστε καὶ ἡ μὲν διπλῆ τῆς ΛΜ περιφερείας μοιρῶν ἐστιν πς κη, αὐτὴ δὲ ἡ ΛΜ τῶν αὐτῶν μγ ῑδ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ
ΛΚ περιφέρεια αὐτή τε καὶ ἡ ὑπὸ ΛΗΚ γωνία τμημάτων ἐστὶν μς μϚ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ γωνία τῶν λοιπῶν εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἔσται μοιρῶν ρλγ ιδ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
ὁ μὲν οὖν τρόπος τῆς τῶν προκειμένων εὑρέσεως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁ αὐτὸς συνάγεται, ἡμεῖς δέ, ἵνα καὶ τὰς ἄλλας γωνίας τε καὶ περιφερείας, ὅσων γε εἰκὸς χρείαν ἐν ταῖς κατὰ μέρος ἐπισκέψεσιν ἔσεσθαι,
προχείρως ἔχωμεν ἐκτεθειμένας, ἐπελογισάμεθα καὶ ταύτας γραμμικῶς ἀρξάμενοι μὲν ἀπὸ τοῦ διὰ Μερόης παραλλήλου, καθʼ ὃν ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ῑγ, φθάσαντες δὲ μέχρι τοῦ γραφομένου ὑπὲρ τὸν Πόντον διὰ τῶν ἐκβολῶν Βορυσθένους, ὅπου
ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ῑς. ἐχρησάμεθα δὲ τῇ καθʼ ἕκαστον παραυξήσει ἐπὶ μὲν τῶν κλιμάτων τῇ καθʼ ἡμιώριον πάλιν, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν ἀναφορῶν, ἐπὶ δὲ τῶν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων τῇ διʼ ἑνὸς δωδεκατημορίου, ἐπὶ δὲ
τῶν πρὸς ἀνατολὰς ἢ καὶ πρὸς δυσμὰς τοῦ μεσημβρινοῦ θέσεων τῇ διὰ μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς. ποιησόμεθα δὲ καὶ τὴν τούτων ἔκθεσιν κανονικῶς καθʼ ἕκαστον κλῑμα τε καὶ δωδεκατημόριον παρατιθέντες ἐν μὲν τοῖς πρώτοις μέρεσιν τὴν ποσότητα τῶν τῆς ἐφ᾿
ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ διαστάσεως μετὰ τὴν κατʼ αὐτὸν θέσιν ἰσημερινῶν ὡρῶν, ἐν δὲ τοῖς δευτέροις τὰς πηλικότητας τῶν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου μέχρι τῆς ἀρχῆς τοῦ ἐκκειμένου δωδεκατημορίου γινομένων, ὡς ἔφαμεν, περιφερειῶν, ἐν δὲ τοῖς τρίτοις καὶ
τετάρτοις τὰς πηλικότητας τῶν ὑπὸ τῆς προκειμένης 252 253 τομῆς κατὰ τὸν διωρισμένον ἡμῖν τρόπον περιεχομένων γωνιῶν, ἐν μὲν τοῖς τρίτοις τὰς τῶν πρὸς ἀνατολὰς τοῦ μεσημβρινοῦ θέσεων, ἐν δὲ τοῖς τετάρτοις τὰς τῶν πρὸς δυσμάς. ὡς καὶ ἐν ἀρχῇ μέντοι διεστειλάμεθα, μεμνῆσθαι δεῖ, ὅτι τῶν δύο τῶν ὑπὸ τοῦ ἑπομένου
τμήματος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιεχομένων γωνιῶν τὴν ἀπʼ ἄρκτων τοῦ αὐτοῦ τμήματος ἀεὶ παρειλήφαμεν τοσούτων ἐφʼ ἑκάστης αὐτῶν τὴν πηλικότητα παρατιθέντες, οἵων ἐστὶν ἡ μία ὀρθὴ ??. καί ἐστιν ἡ τῶν κανονίων ἔκθεσις τοιαύτη.
προχείρως ἔχωμεν ἐκτεθειμένας, ἐπελογισάμεθα καὶ ταύτας γραμμικῶς ἀρξάμενοι μὲν ἀπὸ τοῦ διὰ Μερόης παραλλήλου, καθʼ ὃν ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ῑγ, φθάσαντες δὲ μέχρι τοῦ γραφομένου ὑπὲρ τὸν Πόντον διὰ τῶν ἐκβολῶν Βορυσθένους, ὅπου
ἡ μεγίστη ἡμέρα ὡρῶν ἐστιν ἰσημερινῶν ῑς. ἐχρησάμεθα δὲ τῇ καθʼ ἕκαστον παραυξήσει ἐπὶ μὲν τῶν κλιμάτων τῇ καθʼ ἡμιώριον πάλιν, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν ἀναφορῶν, ἐπὶ δὲ τῶν τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων τῇ διʼ ἑνὸς δωδεκατημορίου, ἐπὶ δὲ
τῶν πρὸς ἀνατολὰς ἢ καὶ πρὸς δυσμὰς τοῦ μεσημβρινοῦ θέσεων τῇ διὰ μιᾶς ὥρας ἰσημερινῆς. ποιησόμεθα δὲ καὶ τὴν τούτων ἔκθεσιν κανονικῶς καθʼ ἕκαστον κλῑμα τε καὶ δωδεκατημόριον παρατιθέντες ἐν μὲν τοῖς πρώτοις μέρεσιν τὴν ποσότητα τῶν τῆς ἐφ᾿
ἑκάτερα τοῦ μεσημβρινοῦ διαστάσεως μετὰ τὴν κατʼ αὐτὸν θέσιν ἰσημερινῶν ὡρῶν, ἐν δὲ τοῖς δευτέροις τὰς πηλικότητας τῶν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου μέχρι τῆς ἀρχῆς τοῦ ἐκκειμένου δωδεκατημορίου γινομένων, ὡς ἔφαμεν, περιφερειῶν, ἐν δὲ τοῖς τρίτοις καὶ
τετάρτοις τὰς πηλικότητας τῶν ὑπὸ τῆς προκειμένης 252 253 τομῆς κατὰ τὸν διωρισμένον ἡμῖν τρόπον περιεχομένων γωνιῶν, ἐν μὲν τοῖς τρίτοις τὰς τῶν πρὸς ἀνατολὰς τοῦ μεσημβρινοῦ θέσεων, ἐν δὲ τοῖς τετάρτοις τὰς τῶν πρὸς δυσμάς. ὡς καὶ ἐν ἀρχῇ μέντοι διεστειλάμεθα, μεμνῆσθαι δεῖ, ὅτι τῶν δύο τῶν ὑπὸ τοῦ ἑπομένου
τμήματος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου περιεχομένων γωνιῶν τὴν ἀπʼ ἄρκτων τοῦ αὐτοῦ τμήματος ἀεὶ παρειλήφαμεν τοσούτων ἐφʼ ἑκάστης αὐτῶν τὴν πηλικότητα παρατιθέντες, οἵων ἐστὶν ἡ μία ὀρθὴ ??. καί ἐστιν ἡ τῶν κανονίων ἔκθεσις τοιαύτη.
254 255
ιγ΄. Ἔκθεσις τῶν κατὰ παράλληλον γωνιῶν καὶ κεριφερειῶν.
256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268ἐφωδευμένης δὴ καὶ τῆς τῶν γωνιῶν πραγματείας, λείποντος δὲ τοῖς ὑποτιθεμένοις τοῦ τὰς ἐποχὰς τῶν καθʼ ἑκάστην ἐπαρχίαν ἐπισημασίας ἀξίων πόλεων ἐπεσκέφθαι κατὰ μῆκος καὶ κατὰ πλάτος πρὸς τοὺς
τῶν ἐν αὐταῖς φαινομένων ἐπιλογισμοὺς τὴν μὲν τοιαύτην ἔκθεσιν ἐξαιρέτου καὶ γεωγραφικῆς ἐχομένην πραγματείας καθ αὐτὴν ὑπʼ ὄψιν ποιησόμεθα ἀκολουθήσαντες ταῖς τῶν ἐπεξειργασμένων ὡς ἔνι μάλιστα τοῦτο τὸ εἶδος ἱστορίαις καὶ παραγράφοντες, ὅσας
μοίρας ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ τῶν πόλεων ἑκάστη κατὰ τὸν διʼ αὐτῆς γραφόμενον μεσημβρινόν, καὶ πόσας οὗτος τοῦ διʼ Ἀλεξανδρείας γραφομένου μεσημβρινοῦ πρὸς ἀνατολὰς ἢ δύσεις ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, διὰ τὸ πρὸς τοῦτον ἡμῖν συνίστασθαι τοὺς τῶν ἐποχῶν
χρόνους. νῦν δὲ τὸ τοσοῦτον ὡς ὑποκειμένων τῶν θέσεων ἐπειπεῖν ἀκόλουθον ἡγησάμεθα, διότι, ὁποσάκις ἄν προαιρώμεθα τὴν ἔν τινι τῶν ὑποκειμένων τόπων ὡρισμένην ὥραν σκοπεῖν, ἥτις ἦν κατὰ τὸν αὐτὸν χρόνον ἐφʼ ἑτέρου τινὸς τῶν ἐπιζητουμένων,
ὅταν διαφέρωσιν οἱ διʼ αὐτῶν μεσημβρινοί, λαμβάνειν ὀφείλομεν, ὅσας ἀπέχουσιν ἀλλήλων οὗτοι μοίρας ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, καὶ πότερος αὐτῶν ἐστιν ἀνατολικώ- 269 270 τερος ἢ δυτικώτερος, τοσούτοις τε χρόνοις ἰσημερινοῖς παραύξειν ἢ μειοῦν τὴν κατὰ τὸν ὑποκείμενον τόπον ὥραν, ἵνα ποιῶμεν τὴν ἐν τῷ ἐπιζητουμένῳ κατὰ τὸν αὐτὸν χρόνον θεωρουμένην, τῆς μὲν αὐξήσεως συνισταμένης, ὅταν ὁ ἐπιζητούμενος τόπος ἀνατολικώτερος ᾖ,
τῆς δὲ μειώσεως, ὅταν δυσμικώτερος ὁ ὑποκείμενος.
τῶν ἐν αὐταῖς φαινομένων ἐπιλογισμοὺς τὴν μὲν τοιαύτην ἔκθεσιν ἐξαιρέτου καὶ γεωγραφικῆς ἐχομένην πραγματείας καθ αὐτὴν ὑπʼ ὄψιν ποιησόμεθα ἀκολουθήσαντες ταῖς τῶν ἐπεξειργασμένων ὡς ἔνι μάλιστα τοῦτο τὸ εἶδος ἱστορίαις καὶ παραγράφοντες, ὅσας
μοίρας ἀπέχει τοῦ ἰσημερινοῦ τῶν πόλεων ἑκάστη κατὰ τὸν διʼ αὐτῆς γραφόμενον μεσημβρινόν, καὶ πόσας οὗτος τοῦ διʼ Ἀλεξανδρείας γραφομένου μεσημβρινοῦ πρὸς ἀνατολὰς ἢ δύσεις ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, διὰ τὸ πρὸς τοῦτον ἡμῖν συνίστασθαι τοὺς τῶν ἐποχῶν
χρόνους. νῦν δὲ τὸ τοσοῦτον ὡς ὑποκειμένων τῶν θέσεων ἐπειπεῖν ἀκόλουθον ἡγησάμεθα, διότι, ὁποσάκις ἄν προαιρώμεθα τὴν ἔν τινι τῶν ὑποκειμένων τόπων ὡρισμένην ὥραν σκοπεῖν, ἥτις ἦν κατὰ τὸν αὐτὸν χρόνον ἐφʼ ἑτέρου τινὸς τῶν ἐπιζητουμένων,
ὅταν διαφέρωσιν οἱ διʼ αὐτῶν μεσημβρινοί, λαμβάνειν ὀφείλομεν, ὅσας ἀπέχουσιν ἀλλήλων οὗτοι μοίρας ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, καὶ πότερος αὐτῶν ἐστιν ἀνατολικώ- 269 270 τερος ἢ δυτικώτερος, τοσούτοις τε χρόνοις ἰσημερινοῖς παραύξειν ἢ μειοῦν τὴν κατὰ τὸν ὑποκείμενον τόπον ὥραν, ἵνα ποιῶμεν τὴν ἐν τῷ ἐπιζητουμένῳ κατὰ τὸν αὐτὸν χρόνον θεωρουμένην, τῆς μὲν αὐξήσεως συνισταμένης, ὅταν ὁ ἐπιζητούμενος τόπος ἀνατολικώτερος ᾖ,
τῆς δὲ μειώσεως, ὅταν δυσμικώτερος ὁ ὑποκείμενος.
Syntaxis mathematica. Claudius Ptolemaeus. ed. J. L. Heiberg. United States. 2017.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.