Scholia in Euclidem Scholia in Euclidis optica (scholia vetera) 20

[20] 20. Κείσθω πρὸς τῷ ∠ γωνία ὀρθὴ ἡ Α∠Ε· διάμετρος ἄρα ἡ ΑΕ. ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΓ∠ γωνία ὀξεῖα καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα
καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΗΓ∠. ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ Γ∠ ἡ ΚΓ δηλαδὴ ἐντὸς πεσεῖται. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα, ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒΕ καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΖΒΑ. ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ ΑΒ ἐκτὸς πεσεῖται ἡ ΘΒ δηλονότι.
ἐκβεβλήσθωσαν ἡ ΘΒ καὶ ΚΓ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν ΘΒ καὶ ΚΓ ἐκβεβλημένας ἡ ΛΜ, ΛΝ· τέμνουσιν ἄρα ταύτας δίχα κατὰ τὰ M, Ν σημεῖα διὰ τὸ γʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων. ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ, ΑΚ.
καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αὗται· ἐκ κέντρου γὰρ τοῦ Λ· καὶ ὑποτείνουσιν ὀρθὰς γωνίας τὰς πρὸς τῷ Μ καὶ Ν, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΘ ἴσον ἔσται τοῖς ἀπὸ ΘΜ, ΜΛ, ὡσαύτως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΚΝ, ΝΛ. ἀλλὰ ἡ ΘΜ τῇ ΚΝ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΛΝ ἴση.
ἴσαι ἄρα ἡ ΘΒΞ, ΚΓΠ. ἂν δὴ τοίνυν ἴσας ταύταις ἑτέρας δύο εὐθείας ἀγάγωμεν· δυνατὸν γάρ· τὴν Α∠ τυχὸν καὶ PΣ τεμνούσας πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΒΖ, ΚΓΠ κατά τε τὰ Β, Γ καὶ Τ, Υ σημεῖα, καὶ ἴσων ἀφαιρεθεισῶν τῶν ΓΒ, ΒΤ ἴσαι γὰρ διὰ τὴν ἴσην ἀπὸ
¹ τοῦ κέντρου ἀπόστασιν· δειχθήσεται ἡ ΘΒ τῇ ΒΑ ἴση καὶ ἡ ΚΓ τῇ Γ∠.