Ἔστι δὲ καὶ αὕτη ἔκθεσις σαφεστέρα τῆς προτέρας.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, καὶ μέγιστος μὲν τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ Α∠Ε, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ὁ ΗΘ, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ ΚΛ, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΒΓ, καὶ ἔστωο ὁ τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ
μὲν τὰ Λ, Γ μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ Κ, Β, ζῳδιακοῦ ὁδὲ θέσεις ἔστωσαν τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἰ ΝΞ, ΟΠ. καὶ ἀπειλήφθω ἡ Ο Π περιφέρεια μὴ μείζων ἡμικυκλίου οὖσα, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Π μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τοῦ Α∠Ε· ἐφάψεται ἄρα
καὶ τοῦ ΖΗΘ. ἤτοι δὴ διὰ τοῦ Ο σημείου ἥξει ἢ ὑπερπεσεῖται τὸ Ο σημεῖον. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΕΘΠ, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Ε ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Ε, Ξ, Π μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Α, Κ, Ρ μέρη, καὶ προςαναπεπληρώσθωσαν οἱ ΞΝ Ϛ,
ΠΟΡ κύκλοι. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ¹ ΑΒΓ καὶ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι ἀλλήλους οἱ Ϛ ΝΣ, ΡΟ ΤΠ καί ἐστιν ὁ τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ περιφερειῶν, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΣΝΥ περιφέρεια τῆς ΥΤ περιφερείας· ἡ ΤΥ ἄρα
περιφέρεια τῆς ΥΝΣ ἐλάσσων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΕΘΠ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἐφάπτονται τοῦ Α∠Ε καὶ τῷ Α∠Ε παράλληλον ὄντα τὸν ΚΛ τέμνουσι καί ἔστιν ὁ τοῦ ΑΒΓ πόλος μεταξὺ τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων, καὶ ὁ τοῦ ΕΘΠ ἄρα πόλος
μεταξύ ἐστι τῶν Α∠Ε, ΚΛ κύκλων. ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος ἐστὶ μεταξὑ τῶν ΗΖΘ, ΒΓ κύκλων. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΘ Π καὶ τὸν ΕΘΠ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΡΟ Π, Ϛ ΝΞ καί ἐστιν ὁ τοῦ ΕΘ Π πόλος μεταξὺ τῶν ΒΓ, ΗΘΖ,
μείζων ἐστὶν ἡ ΠΥ περιφέρεια τῆς ΥΝΞ περιφερείας, ὧν ἡ ΥΤ τῆς ΥΝΣ ἐλάσσσων ἐστίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΤΠ λοιπῆς τῆς ΣΞ μείζων ἐστίν. κείσθω τῇ ΣΞ περιφερείᾳ ἴση περιφέρεια ἡ ΤΧ καὶ γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι, καθʼ ὧν φέρεται τὰ Ξ σημεῖα, οἱ ΞΨ, ΩϚ·
ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ Ξ Ψ περιφέρεια τῇ Ω Ϛ περιφερείᾳ ἡ Ξ Ψ ἄρα τῆς Χ Ϛ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία· ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Ξ Ψ περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Χ τὴν Χ Ϛ. ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ ² Ξ σημεῖον τὴν ΞΨ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἔν ᾧ ἡ ΣΞ περιφέρεια ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ὁ δὲ χρόνος, ἔν ᾧ τὸ Χ σημεῖον τὴν ΧϚ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΤΧ
ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ἔν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΣΞ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΤΧ. καί ἐστιν ἡ ΣΞ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ΤΧ. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον.

ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Αἰγόκερων ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλʼ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ
αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτεροσοῦν τῶν συναφῶν.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ∠, καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ Α∠, ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ΒΕΓ, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΒΕ περιφέρεια ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Αἰγόκερων ἡμικυκλίου, ἡ δὲ ΕΓ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν
Καρκίνον, καὶ ἔστωσαν ἀνατολικὰ μὲν τὰ ∠ μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ Β, καὶ ἀπειλήφθωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗ, ΗΘ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΗ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΘ.

γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΚΛ, ΜΝ, ΞΟ,
καθʼ ὧν φέρεται τὰ Ζ, Η, Θ σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ περιφέρεια τῇ ΠΡ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΡΣ ἀλλ᾿ ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ ἔστιν ἴση· καὶ ἡ Π ἄρα τῇ ΡΣ ³ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΠΡ δύνει, ἡ ΖΗ ἀνατέλλει, κοινὸς προσκείσθω ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Π σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἴσος ὢν τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται.
ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Π σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΠΡ δύνει, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ ἡ ΖΗ περιφέρεια ἀνατέλλει καὶ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται. ἀλλʼ ὁ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Π σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ Π Ρ
δύνει, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΠΡ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΖΗ ἀνατέλλει καὶ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΛ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΖΗ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον· αἱ ΖΗ, ΠΡ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ
φανερὸν ἡμισφαίριον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ΗΘ, ΡΣ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ἡ δὲ ΠP τῆς ΡΣ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, καὶ ἀπεδείχθησαν αἱ ΖΗ, Π Ρ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσαι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον·
καὶ ἡ ΖΗ ἄρα ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΘ.

τοῦ ἄρα τῶν ζῳδίων κύκλου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾿ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον.
καὶ συναποδέδεικται, ὅτι αἰ ἴσον ἀπέχουσαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσιν.