ζ΄.
Ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρίζοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν κύκλων ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, ὅταν ὁ μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν μὴ μείζων ἦ τοῦ τροπικοῦ κύκλου, καὶ τροπᾶς ποιεῖται ἐναντίως μεθιστάμενος. ὅταν μὲν γὰρ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν
μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος φαίνεται· ὅταν δὲ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος φαίνεται. καὶ ἀλλοτε ἄλλως ὕπερ ἡμᾶς ἵσταται.
μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος φαίνεται· ὅταν δὲ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος φαίνεται. καὶ ἀλλοτε ἄλλως ὕπερ ἡμᾶς ἵσταται.
ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ καὶ θερινὸς μὲν τροπικὸς
ὁ Α∠, χειμερινὸς δὲ ὁ ΒΓ, ὁ δὲ ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ∠ΕΒ, καὶ ἔστω τὸ μὲν ∠ΕΒ τμῆμα ὑπὸ γῆν, τὸ δὲ ∠ΖΒ ὑπὲρ γῆν· λέγω, ὅτι ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρίζοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει καὶ τροπὰς ποιεῖται
ἐναντίως μεθιστάμενος. ὅταν μὲν γὰρ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος φαίνεται· ὅταν δὲ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος φαίνεται. καὶ ἄλλοτε ἄλλως ὑπὲρ ἡμᾶς
ἵσταται.
ὁ Α∠, χειμερινὸς δὲ ὁ ΒΓ, ὁ δὲ ζῳδίων κύκλος θέσιν ἐχέτω τὴν ∠ΕΒ, καὶ ἔστω τὸ μὲν ∠ΕΒ τμῆμα ὑπὸ γῆν, τὸ δὲ ∠ΖΒ ὑπὲρ γῆν· λέγω, ὅτι ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρίζοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει καὶ τροπὰς ποιεῖται
ἐναντίως μεθιστάμενος. ὅταν μὲν γὰρ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος φαίνεται· ὅταν δὲ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος φαίνεται. καὶ ἄλλοτε ἄλλως ὑπὲρ ἡμᾶς
ἵσταται.
ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ ∠, Γ μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ Α, Β. ὅτι μὲν οὖν ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρίζοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, φανερόν, ἐπειδήπερ μειζόνων κύκλων ἐφάπτεται
ἢ ὧν ὁ ὁρίζων ἐφάπτεται.
ἢ ὧν ὁ ὁρίζων ἐφάπτεται.
λέγω, ὅτι καὶ τροπὰς ποιεῖται ἐναντίως μεθιστάμενος.
εἰλήφθωσαν γὰρ ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ∠Ε, ΖΒ, καὶ γεγράφθωσαν παράλληλοι κύκλοι, καθ᾿ ὧν φέρεται τὰ Ε, Ζ σημεῖα, οἱ ΗΕΘ, ΚΖΛ. ἐπεὶ ἴση
ἐστὶν ἡ ∠Ε περιφέρεια τῇ ΖΒ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΒ· ὅλη ἄρα ἡ ∠ΕΒ ὅλη τῇ ΕΒΖ ἐστιν ἴση· ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ ∠ΕΒ ἡμικύκλιον ἄρα καὶ τὸ ΕΒΖ· κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Ε σημεῖον τῷ Σ σημείῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Ε∠ περιφέρεια τῇ ∠Μ
περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΝ, ἀλλ᾿ ἡ ∠Ε τῇ ΖΒ ἐστιν 2 3 ἴση, καὶ ἡ ∠Μ ἄρα τῇ ΒΝ ἐστιν ἴση· κοινὴ προσκείσθω ἡ ΜΒ· ὅλη ἄρα ἡ ∠ΜΒ ὅλῃ τῇ ΜΒΝ ἐστιν ἴση. ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ ∠ΜΒ· ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΜΒΝ· κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Μ σημεῖον τῷ Ν
σημείῳ. καὶ ἐπεὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τὰ κατὰ διάμετρον ὄντα σημεῖα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, τοῦ ∠ ἄρα σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ ∠ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Β δύνει κατὰ τὸ Β σημεῖον καὶ τοῦ Ε ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Θ σημεῖον τὸ
κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ζ δύνει κατὰ τὸ Κ σημεῖον καὶ τοῦ Ν σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Λ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Μ δύνει κατὰ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἔτι τοῦ Β σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Γ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ ∠ δύνει κατὰ τὸ Α σημεῖον.
ὅταν ἄρα ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος φαίνεται.
ἐστὶν ἡ ∠Ε περιφέρεια τῇ ΖΒ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΒ· ὅλη ἄρα ἡ ∠ΕΒ ὅλη τῇ ΕΒΖ ἐστιν ἴση· ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ ∠ΕΒ ἡμικύκλιον ἄρα καὶ τὸ ΕΒΖ· κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Ε σημεῖον τῷ Σ σημείῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Ε∠ περιφέρεια τῇ ∠Μ
περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΝ, ἀλλ᾿ ἡ ∠Ε τῇ ΖΒ ἐστιν 2 3 ἴση, καὶ ἡ ∠Μ ἄρα τῇ ΒΝ ἐστιν ἴση· κοινὴ προσκείσθω ἡ ΜΒ· ὅλη ἄρα ἡ ∠ΜΒ ὅλῃ τῇ ΜΒΝ ἐστιν ἴση. ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ ∠ΜΒ· ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΜΒΝ· κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Μ σημεῖον τῷ Ν
σημείῳ. καὶ ἐπεὶ τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου τὰ κατὰ διάμετρον ὄντα σημεῖα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, τοῦ ∠ ἄρα σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ ∠ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Β δύνει κατὰ τὸ Β σημεῖον καὶ τοῦ Ε ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Θ σημεῖον τὸ
κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ζ δύνει κατὰ τὸ Κ σημεῖον καὶ τοῦ Ν σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Λ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Μ δύνει κατὰ τὸ Η σημεῖον, καὶ ἔτι τοῦ Β σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Γ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ ∠ δύνει κατὰ τὸ Α σημεῖον.
ὅταν ἄρα ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος φαίνεται.
λέγω, ὅτι καί, ὅταν ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος
φαίνεται.
φαίνεται.
ἀνατείλαντος γὰρ τοῦ ∠ΕΒ ἡμικυκλίου ὁ τῶν ζῳδίων κύκλος θέσιν ἕξει τὴν ΑΞΓ. καὶ ὁμοίως δείξομεν, ὅτι κατὰ διάμετρόν ἐστι τὸ μὲν Ξ σημεῖον τῷ Ο σημείῳ, τὸ δὲ Ρ τῷ Π. καὶ ἐπεὶ τοῦ Γ σημείου ἀνατέλλοντος
κατὰ τὸ Γ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Α δύνει κατὰ τὸ Α σημεῖον, τοῦ δὲ Ο σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Λ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ξ δύνει κατὰ τὸ Η σημεῖον, τοῦ δὲ Π σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Θ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ
τὸ Ρ δύνει κατὰ τὸ Κ σημεῖον καὶ ἔτι τοῦ Α σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ ∠ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Γ δύνει κατὰ τὸ Β σημεῖον, ὅταν ἄρα ὁ τῶν 4 ζῳδίων κύκλος ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος φαίνεται. ἐδείχθη δέ, ὅτι καὶ ὅταν ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος
φαίνεται.
κατὰ τὸ Γ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Α δύνει κατὰ τὸ Α σημεῖον, τοῦ δὲ Ο σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Λ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ξ δύνει κατὰ τὸ Η σημεῖον, τοῦ δὲ Π σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Θ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ
τὸ Ρ δύνει κατὰ τὸ Κ σημεῖον καὶ ἔτι τοῦ Α σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ ∠ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Γ δύνει κατὰ τὸ Β σημεῖον, ὅταν ἄρα ὁ τῶν 4 ζῳδίων κύκλος ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεθιστάμενος φαίνεται. ἐδείχθη δέ, ὅτι καὶ ὅταν ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεθίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεθιστάμενος
φαίνεται.
καὶ φανερόν, ὅτι ἄλλοτε ἄλλως ὑπὲρ ἡμᾶς ἵσταται.
ὅταν μὲν γὰρ ἡ συναφὴ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου καὶ τοῦ. θερινοῦ τροπικοῦ ἐπὶ τῆς διχοτομίας ᾖ τοῦ ὑπὲρ γῆν τμήματος τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ κύκλου, ὀρθότατος ἔσται
πρὸς ἡμᾶς· ὅταν δὲ ἐπὶ τῆς διχοτομίας τοῦ ὑπὸ γῆν τμήματος τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ, ταπεινότατος ἔσται πρὸς ἡμᾶς· καὶ ἀεὶ μὲν ποῤῥώτερον γιγνόμενος τῆς διχοτομίας τοῦ ὑπὲρ γῆν τμήματος τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ, μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος· ὁμοίως δὲ ἔσται κεκλιμένος,
ἴσον ἀπέχων ὁποτεροσοῦν τῶν διχοτομιῶν.
πρὸς ἡμᾶς· ὅταν δὲ ἐπὶ τῆς διχοτομίας τοῦ ὑπὸ γῆν τμήματος τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ, ταπεινότατος ἔσται πρὸς ἡμᾶς· καὶ ἀεὶ μὲν ποῤῥώτερον γιγνόμενος τῆς διχοτομίας τοῦ ὑπὲρ γῆν τμήματος τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ, μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος· ὁμοίως δὲ ἔσται κεκλιμένος,
ἴσον ἀπέχων ὁποτεροσοῦν τῶν διχοτομιῶν.
Phaenomena. Euclid. ed. Heinrich Menge. United States. 2017.
Sponsored by Harvard College Library.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.