οἱ δὲ παλαιοὶ πρῶτον διάστημα τῆς φωνῆς ἔλαβον
τὸν τόνον, ἡμιτόνιον δὲ καὶ δίεσιν οὐχ ἡγοῦντο. ὁ δὲ τόνος εὑρίσκετο ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ ἔν τε δίσκων κατα- σκευαῖς καὶ ἀγγείων καὶ χορδῶν καὶ αὐλῶν καὶ ἐξαρ- τήσεων καὶ ἄλλων πλειόνων· τὰ γὰρ ηʹ πρὸς τὰ θʼ ἐποίει τονιαίου ἀκούειν διαστήματος. διὰ τοῦτο δὲ 1 2 πρῶτον διάστημα ὁ τόνος, ὅτι μέχρι τούτου καταβαί- νουσα ἡ φωνὴ τοῦ διαστήματος ἀπλανῆ τὴν ἀκοὴν φυ- λάσσει. τὸ δὲ μετὰ τοῦτο οὐκέτι οἵα τε ἡ ἀκοὴ πρὸς ἀκρίβειαν λαβεῖν τὸ διάστημα. ἀμέλει περὶ τοῦ ἐφεξῆς διαστήμιατος καλουμένου ἡμιτονίου διαφέρονται, τῶν
μὲν τέλειον ἡμιτόνιον αὐτὸ λεγόντων, τῶν δὲ λεῖμμα. συμπληροῦται δὲ τὸ διὰ τεσσάρων, ὅ ἐστιν ἐπίτριτον, τῷ τόνῳ, τουτέστι τῷ ἐπογδόῳ διαστήματι, οὕτω. συμι- φωνεῖται γὰρ παρὰ πᾶσι τὸ διὰ τεσσάρων μεῖζον μὲν εἶναι διτόνου, ἔλαττον δὲ τριτόνου. ἀλλʼ Ἀριστόξενος
μέν φησιν ἐκ δύο ἡμίσους τόνων αὐτὸ συγκεῖσθαι τελείων, Πλάτων δὲ ἐκ δύο τόνων καὶ τοῦ καλουμένου λείμματος. τὸ δὲ λεῖμμα τοῦτό φησιν ἀκατονόμαστον εἶναι, ἐν λόγῳ δὲ εἶναι ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ὅν ἔχει τὰ σνςʹ πρὸς σμγ. τὸ δὲ διάστημα τοῦτό ἐστι, καὶ ἡ
ὑπεροχὴ ιγ΄. εὑρεθήσεται δὲ οὕτως. τὰ μὲν Ϛʹ οὐκ ἂν εἴη πρῶτος ὅρος, ἐπειδὴ οὐκ ἔχει ὄγδοον, ἵνα ὑπʼ αὐτοῦ γένηται ἐπόγδοος. οὐδὲ μὴν ἱ ηʹ· καὶ γὰρ εἰ ἔχει ἐπόγ- δοον τὸν θʹ, πάλιν ὁ θʹ οὐκ ἔχει ἐπόγδοον. δεῖ δὲ ἐπογδόου ἐπόγδοον λαβεῖν, ἐπειδὴ τὸ διὰ τεσσάρων
ἐπίτριτον μεῖζόν ἐστι διτόνου. λαμβάνομεν οὖν τὸν πυθμένα τὸν ἐπόγδοον τὸν ηʹ καὶ θʹ, καὶ τὰ ηʹ ἐφʼ 3 4 ἑαυτά, εὑρίσκομεν ξδʹ, εἶτα τὰ ηʹ ἐπὶ τὰ θʹ, καὶ γίνεται οβʹ, εἴτα τὰ θʹ ἐφʼ ἑαυτά, καὶ γίνεται πα· ηʹ θʹ ἔδʹ οβʹ παʹ· εἶτα πάλιν τούτων ἕκαστον ληφθήτω τρίς, καὶ ἔσται τὰ μὲν ξδʹ τρὶς ρ??βʹ, τὰ δὲ οβʹ τρὶς σιςʹ, τὰ δὲ
παʹ τρὶς σμγʹ· ηʹ θʹ ξδʹ οβʼ παʹ ρ??βʹ σιςʹ σμγ· εἶτα προστίθεμεν τοῖς σμγʹ ἀπὸ τῶν ρ??βʹ ἐπίτριτον τὸν σνςʹ· ὥστε εἶναι τὴν ἔκθεσιν τοιαύτην· ἐπίγδοος πυθ- μὴν θʹ ηʹ, δεύτεροι ἐπόγδοοι ξδʹ οβʹ παʹ, τρίτοι ἐπόγ- δοοι ἀλλήλων δύο ρ??βʹ σιςʹ σμγʹ, κείσθω καὶ ὁ τοῦ
ρ??βʹ ἐπίτριτος ὁ σνςʹ, ἔσται τοῦτο τὸ ἐπίτριτον συμ- πεπληρωμένον ὑπὸ δύο τόνων καὶ τοῦ εἰρημένου λείμ- ματος. ἔνιοι δὲ πρῶτον ὅρον λαμβάνουσι τὸν τπδ΄. ??βʹ σιςʹ σμγʹ σνϚ΄ ἐπόγδοος ἐπόγδοος λεῖμμα ἐπίτριτος διὰ δ ἵνα γὰρ δύο λάβωσιν ἐπογδόους, τὸν πρῶτον ὅρον τὸν Ϛʹ ὀκταπλασιάσαντες ποιοὺσι μή, καὶ ταῦτα πάλιν 5 ὀκτάκις τπδ΄, οὗ ἐπίτριτος ὁ φιβ΄, μεταξύ δὲ τούτων δύο ἐπόγδοα, τοῦ μὲν τπδ΄ υλβ΄, τούτου δὲ υπϚ΄, ἀφʼ ὧν ἐπὶ τὰ φιβ΄ ὁ λειμματιαῖος γίνεται λόγος. τινὲς δέ τπδ΄ υλβ΄ υπϚ΄ φιβ΄ τόνος τόνος ἐπόγδοος ἐπόγδοος λεῖμμα ἐπίτριτος διὰ δ΄ φασι μὴ ὀρθῶς εἰλὴφθαι τούτους τοὺς ἀριθμούς· τὴν γαρ ὑπεροχὴν τοῦ τετάρτου ὅρου πρὸς τὸν τρίτον μὴ
γίνεσθαι ιγ΄, ὅσα Πλάτων εἴρηκε δεῖν ἔχειν τὸ λεῖμμα. οὐδὲν δὲ κωλύεικαὶ ἐφʼ ἑτέρων ἀριθμῶν τὸν αὐτὸν εὑρί- σκειν λόγον ὡς ἔχει τὰ σνϚ΄ πρὸς τὰ σμγ΄. οὐ γὰρ ἀριθ- μὸν ὡρισμένον ἔλαβεν ὁ Πλάτων, ἀλλὰ λόγον ἀριθμοῦ. ὃν δὲ ἔχει λόγον τὰ σνϚ΄ πρὸς σμγ΄, τοῦτον καὶ τὰ φιβ΄
πρὸς τὰ υπϚ΄· τὰ γὰρ φιβ΄ τῶν σνϚ΄ διπλάσια καὶ τὰ υπϚ΄ τῶν σμγ΄. ὅτι δὲ τοῦτο τὸ διάστημα τὸ τῶν σνϚ΄ πρὸς σμγ΄, τουτέστι τὰ ιγ΄, ἔλαττόν ἐστιν ἡμιτονίου, δῆλον. τοῦ γὰρ τόνου ἐπογδόου ὄντος τὸ ἡμιτόνιον δὶς ἐπόγδοον ἔσται, τουτέστιν ἐφεκκαιδέκατον. τὰ δὲ
ιγ΄ τῶν σμγ΄ ἐστιν ἐν λόγῳ πλείονι ὀκτωκαιδεκάτου, ὅ ἐστι μέρος ἔλαττον ἑκκαιδεκάτου. οὐδὲ γὰρ οἷόν τε τὸ ἐπόγδοον διαίρεσιν ἐπιδέξασθαι, εἰ καὶ οἱ μὴ λόγῳ 6 ἀλλὰ τῇ ἀκοῇ ταῦτα κρίνοντες νομίζουσιν. ἀμέλει τοῦ ἐπογδόου πυθμένος τὸ διάστημα τουτέστι τῶν θʹ πρὸς τὰ ηʹ ἡ μονὰς οὐ τέμνεται. τὸ δὲ λεγόμενον λεῖμμα εἰ τις ἐρωτῴη τίνος ἐστὶ λεῖμμα, δεῖ εἰδέναι ὅτι ἐστὶ τοῦ
διὰ τεσσάρων· τῷ γὰρ διὰ τεσσάρων λείπει πρὸς τὸ γενέσθαι δύο ἢμισυ τόνων τελείων.
τὸν τόνον, ἡμιτόνιον δὲ καὶ δίεσιν οὐχ ἡγοῦντο. ὁ δὲ τόνος εὑρίσκετο ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ ἔν τε δίσκων κατα- σκευαῖς καὶ ἀγγείων καὶ χορδῶν καὶ αὐλῶν καὶ ἐξαρ- τήσεων καὶ ἄλλων πλειόνων· τὰ γὰρ ηʹ πρὸς τὰ θʼ ἐποίει τονιαίου ἀκούειν διαστήματος. διὰ τοῦτο δὲ 1 2 πρῶτον διάστημα ὁ τόνος, ὅτι μέχρι τούτου καταβαί- νουσα ἡ φωνὴ τοῦ διαστήματος ἀπλανῆ τὴν ἀκοὴν φυ- λάσσει. τὸ δὲ μετὰ τοῦτο οὐκέτι οἵα τε ἡ ἀκοὴ πρὸς ἀκρίβειαν λαβεῖν τὸ διάστημα. ἀμέλει περὶ τοῦ ἐφεξῆς διαστήμιατος καλουμένου ἡμιτονίου διαφέρονται, τῶν
μὲν τέλειον ἡμιτόνιον αὐτὸ λεγόντων, τῶν δὲ λεῖμμα. συμπληροῦται δὲ τὸ διὰ τεσσάρων, ὅ ἐστιν ἐπίτριτον, τῷ τόνῳ, τουτέστι τῷ ἐπογδόῳ διαστήματι, οὕτω. συμι- φωνεῖται γὰρ παρὰ πᾶσι τὸ διὰ τεσσάρων μεῖζον μὲν εἶναι διτόνου, ἔλαττον δὲ τριτόνου. ἀλλʼ Ἀριστόξενος
μέν φησιν ἐκ δύο ἡμίσους τόνων αὐτὸ συγκεῖσθαι τελείων, Πλάτων δὲ ἐκ δύο τόνων καὶ τοῦ καλουμένου λείμματος. τὸ δὲ λεῖμμα τοῦτό φησιν ἀκατονόμαστον εἶναι, ἐν λόγῳ δὲ εἶναι ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ὅν ἔχει τὰ σνςʹ πρὸς σμγ. τὸ δὲ διάστημα τοῦτό ἐστι, καὶ ἡ
ὑπεροχὴ ιγ΄. εὑρεθήσεται δὲ οὕτως. τὰ μὲν Ϛʹ οὐκ ἂν εἴη πρῶτος ὅρος, ἐπειδὴ οὐκ ἔχει ὄγδοον, ἵνα ὑπʼ αὐτοῦ γένηται ἐπόγδοος. οὐδὲ μὴν ἱ ηʹ· καὶ γὰρ εἰ ἔχει ἐπόγ- δοον τὸν θʹ, πάλιν ὁ θʹ οὐκ ἔχει ἐπόγδοον. δεῖ δὲ ἐπογδόου ἐπόγδοον λαβεῖν, ἐπειδὴ τὸ διὰ τεσσάρων
ἐπίτριτον μεῖζόν ἐστι διτόνου. λαμβάνομεν οὖν τὸν πυθμένα τὸν ἐπόγδοον τὸν ηʹ καὶ θʹ, καὶ τὰ ηʹ ἐφʼ 3 4 ἑαυτά, εὑρίσκομεν ξδʹ, εἶτα τὰ ηʹ ἐπὶ τὰ θʹ, καὶ γίνεται οβʹ, εἴτα τὰ θʹ ἐφʼ ἑαυτά, καὶ γίνεται πα· ηʹ θʹ ἔδʹ οβʹ παʹ· εἶτα πάλιν τούτων ἕκαστον ληφθήτω τρίς, καὶ ἔσται τὰ μὲν ξδʹ τρὶς ρ??βʹ, τὰ δὲ οβʹ τρὶς σιςʹ, τὰ δὲ
παʹ τρὶς σμγʹ· ηʹ θʹ ξδʹ οβʼ παʹ ρ??βʹ σιςʹ σμγ· εἶτα προστίθεμεν τοῖς σμγʹ ἀπὸ τῶν ρ??βʹ ἐπίτριτον τὸν σνςʹ· ὥστε εἶναι τὴν ἔκθεσιν τοιαύτην· ἐπίγδοος πυθ- μὴν θʹ ηʹ, δεύτεροι ἐπόγδοοι ξδʹ οβʹ παʹ, τρίτοι ἐπόγ- δοοι ἀλλήλων δύο ρ??βʹ σιςʹ σμγʹ, κείσθω καὶ ὁ τοῦ
ρ??βʹ ἐπίτριτος ὁ σνςʹ, ἔσται τοῦτο τὸ ἐπίτριτον συμ- πεπληρωμένον ὑπὸ δύο τόνων καὶ τοῦ εἰρημένου λείμ- ματος. ἔνιοι δὲ πρῶτον ὅρον λαμβάνουσι τὸν τπδ΄. ??βʹ σιςʹ σμγʹ σνϚ΄ ἐπόγδοος ἐπόγδοος λεῖμμα ἐπίτριτος διὰ δ ἵνα γὰρ δύο λάβωσιν ἐπογδόους, τὸν πρῶτον ὅρον τὸν Ϛʹ ὀκταπλασιάσαντες ποιοὺσι μή, καὶ ταῦτα πάλιν 5 ὀκτάκις τπδ΄, οὗ ἐπίτριτος ὁ φιβ΄, μεταξύ δὲ τούτων δύο ἐπόγδοα, τοῦ μὲν τπδ΄ υλβ΄, τούτου δὲ υπϚ΄, ἀφʼ ὧν ἐπὶ τὰ φιβ΄ ὁ λειμματιαῖος γίνεται λόγος. τινὲς δέ τπδ΄ υλβ΄ υπϚ΄ φιβ΄ τόνος τόνος ἐπόγδοος ἐπόγδοος λεῖμμα ἐπίτριτος διὰ δ΄ φασι μὴ ὀρθῶς εἰλὴφθαι τούτους τοὺς ἀριθμούς· τὴν γαρ ὑπεροχὴν τοῦ τετάρτου ὅρου πρὸς τὸν τρίτον μὴ
γίνεσθαι ιγ΄, ὅσα Πλάτων εἴρηκε δεῖν ἔχειν τὸ λεῖμμα. οὐδὲν δὲ κωλύεικαὶ ἐφʼ ἑτέρων ἀριθμῶν τὸν αὐτὸν εὑρί- σκειν λόγον ὡς ἔχει τὰ σνϚ΄ πρὸς τὰ σμγ΄. οὐ γὰρ ἀριθ- μὸν ὡρισμένον ἔλαβεν ὁ Πλάτων, ἀλλὰ λόγον ἀριθμοῦ. ὃν δὲ ἔχει λόγον τὰ σνϚ΄ πρὸς σμγ΄, τοῦτον καὶ τὰ φιβ΄
πρὸς τὰ υπϚ΄· τὰ γὰρ φιβ΄ τῶν σνϚ΄ διπλάσια καὶ τὰ υπϚ΄ τῶν σμγ΄. ὅτι δὲ τοῦτο τὸ διάστημα τὸ τῶν σνϚ΄ πρὸς σμγ΄, τουτέστι τὰ ιγ΄, ἔλαττόν ἐστιν ἡμιτονίου, δῆλον. τοῦ γὰρ τόνου ἐπογδόου ὄντος τὸ ἡμιτόνιον δὶς ἐπόγδοον ἔσται, τουτέστιν ἐφεκκαιδέκατον. τὰ δὲ
ιγ΄ τῶν σμγ΄ ἐστιν ἐν λόγῳ πλείονι ὀκτωκαιδεκάτου, ὅ ἐστι μέρος ἔλαττον ἑκκαιδεκάτου. οὐδὲ γὰρ οἷόν τε τὸ ἐπόγδοον διαίρεσιν ἐπιδέξασθαι, εἰ καὶ οἱ μὴ λόγῳ 6 ἀλλὰ τῇ ἀκοῇ ταῦτα κρίνοντες νομίζουσιν. ἀμέλει τοῦ ἐπογδόου πυθμένος τὸ διάστημα τουτέστι τῶν θʹ πρὸς τὰ ηʹ ἡ μονὰς οὐ τέμνεται. τὸ δὲ λεγόμενον λεῖμμα εἰ τις ἐρωτῴη τίνος ἐστὶ λεῖμμα, δεῖ εἰδέναι ὅτι ἐστὶ τοῦ
διὰ τεσσάρων· τῷ γὰρ διὰ τεσσάρων λείπει πρὸς τὸ γενέσθαι δύο ἢμισυ τόνων τελείων.
De utilitate mathematicae. Theon Smyrnaeus. ed. Eduardus Hiller. United States. 2016.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.