τὰς δὲ ἀποδείξεις ὁ μὲν Ἐρατοσθένης φησὶ παρα- λείψειν. ὁ δὲ Ἄδραστος γνωριμώτερον δείκνυσιν, ὅτι τριῶν ἐκτεθέντων ὅρων ἐν ᾗ δήποτε ἀναλογίᾳ, ἐὰν
1 τρεῖς ἕτεροι ληφθῶσιν ἐκ. τούτων πεπλασμένοι ὁ μὲν τῷ πρώτῳ ἴσος, ὁ δὲ σύνθετος ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου, ὁ δʼ ἑνὸς πρώτου καὶ δύο δευτέρων καὶ τρίτου, οἱ ληφθέντες οὕτως πάλιν ἔσονται ἀνάλογον. καὶ ἐκ τῆς
ἐν ἴσοις ὅροιρ ἀναλογίας γεννᾶται ἡ ἐν διπλασίοις ἀνα- λογία, ἐκ δὲ τῆς ἐν διπλασίοις ἡ ἐν τριπλασίοις, ἐκ δὲ ταύτης ἡ ἐν τετραπλασίοις, καὶ ἑξῆς οὕτως αἱ ἐν τοῖς ἄλλοις πολλαπλασίοις οἷον ἐκκείσθω ἐν τρισὶν ὅροις ἴσοις ἐλαχίστοις ἀναλογία ἡ τῆς ἰσότητος, τουτέστιν ἐν
μονάσι τρισίν. ἀλλὰ καὶ εἰλήφθωσαν ἄλλοι τρεῖς ὅροι τὸν εἰρημένον τρόπον, ὁ μὲν ἐκ πρώτου, ὁ δὲ ἐκ πρώ- του καὶ δευτέρου, 〈ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων〉 καὶ τρίτου· γενήσεται α β΄ δ΄, ἅ ἐστιν ἐν λόγῳ διπλα- σίῳ. πάλιν ἐκ τούτων συνεστάτωσατ ἕτεροι κατὰ τὸν
αὐτὸν τρόπον, ὁ μὲν ἐκ πρώτου, ὁ δὲ ἐκ πρώπου καὶ δευτέρου, ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων καὶ τρίτου· ἔσται α΄ γ΄ θ΄, ἅ ἐστιν ἐν λόγῳ τριπλασίῳ. ἐκ δὲ τού- των ὁμοίως συστήσονται α΄ δ΄ ιϚ΄ ἐν λόγῳ τετραπλασίῳ, καὶ ἐκ τούτων α΄ ε΄ πε΄ ἐν λόγῳ πενταπλασίῳ, καὶ ἑξῆς
οὕτως ἐπʼ ἄπειρον ἐν τοῖς ἐχομένοις πολλαπλασίοις.
1 τρεῖς ἕτεροι ληφθῶσιν ἐκ. τούτων πεπλασμένοι ὁ μὲν τῷ πρώτῳ ἴσος, ὁ δὲ σύνθετος ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου, ὁ δʼ ἑνὸς πρώτου καὶ δύο δευτέρων καὶ τρίτου, οἱ ληφθέντες οὕτως πάλιν ἔσονται ἀνάλογον. καὶ ἐκ τῆς
ἐν ἴσοις ὅροιρ ἀναλογίας γεννᾶται ἡ ἐν διπλασίοις ἀνα- λογία, ἐκ δὲ τῆς ἐν διπλασίοις ἡ ἐν τριπλασίοις, ἐκ δὲ ταύτης ἡ ἐν τετραπλασίοις, καὶ ἑξῆς οὕτως αἱ ἐν τοῖς ἄλλοις πολλαπλασίοις οἷον ἐκκείσθω ἐν τρισὶν ὅροις ἴσοις ἐλαχίστοις ἀναλογία ἡ τῆς ἰσότητος, τουτέστιν ἐν
μονάσι τρισίν. ἀλλὰ καὶ εἰλήφθωσαν ἄλλοι τρεῖς ὅροι τὸν εἰρημένον τρόπον, ὁ μὲν ἐκ πρώτου, ὁ δὲ ἐκ πρώ- του καὶ δευτέρου, 〈ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων〉 καὶ τρίτου· γενήσεται α β΄ δ΄, ἅ ἐστιν ἐν λόγῳ διπλα- σίῳ. πάλιν ἐκ τούτων συνεστάτωσατ ἕτεροι κατὰ τὸν
αὐτὸν τρόπον, ὁ μὲν ἐκ πρώτου, ὁ δὲ ἐκ πρώπου καὶ δευτέρου, ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων καὶ τρίτου· ἔσται α΄ γ΄ θ΄, ἅ ἐστιν ἐν λόγῳ τριπλασίῳ. ἐκ δὲ τού- των ὁμοίως συστήσονται α΄ δ΄ ιϚ΄ ἐν λόγῳ τετραπλασίῳ, καὶ ἐκ τούτων α΄ ε΄ πε΄ ἐν λόγῳ πενταπλασίῳ, καὶ ἑξῆς
οὕτως ἐπʼ ἄπειρον ἐν τοῖς ἐχομένοις πολλαπλασίοις.
De utilitate mathematicae. Theon Smyrnaeus. ed. Eduardus Hiller. United States. 2016.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.