Search the Perseus Catalog for:

← Previous

Προτάσεις.

[1] α΄. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα τα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ
καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα.

Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα, πόλοι ¹²³⁴ δὲ αὐτῆς τὰ Α Β σημεῖα, καὶ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ λέγω ὅτι πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους
τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα.

Εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Γ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν κάθετος ἡ Γ∠, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν
πόλων τῶν Α Β καὶ τῆς Γ∠ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ ⁵ τομὴν κύκλον. ἔστω αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΑΒ εὐθείας περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, συμπεριενεχθήσεται αὐτῷ καὶ ἡ Γ∠ εὐθεῖα
κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν τοῦ ΑΓΒ ἡμικυκλίου διαμένουσα τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθάς, καὶ γράψει κύκλον ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὐ κέντρον ἔσται τὸ ∠ σημεῖον, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ ΑΒ ἄξονι [διὰ τὸ καὶ τὴν Γ∠ αἰεὶ διαμένειν τῇ ΑΒ πρὸς
ὀρθάς]. καὶ φανερὸν ὅτι τὰ ΑΒ σημεῖα πόλοι ἔσονται ⁶ τοῦ γραφέντος κύκλου, ἐπειδήπερ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετος ἦκται καὶ ἐκβέβληται ἡ ΑΒ ἕως τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα,
ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει πρὸς ὀρθὰς τῷ ΑΒ ἄξονι τοὺς αὐτούς πόλους ἔχοντας τῇ ⁷⁸
⁹ σφαίρᾳ. οἱ δὲ περὶ τοὺς αὐτούς πόλους ὄντες ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσί· πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν
ἄξονα.

[2] βʹ. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξέρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται.

Σφαῖρα γὰρ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ, πόλοι δὲ τῆς σφαίρας ἔστωσαν τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς
σφαίρας τὰ Γ ∠ λέγω ὅτι τὰ ∠ σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξἐρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται.

¹⁰

Ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧν φέρεται τὰ Γ ∠ σημεῖα οἱ ΓΕ ∠Ζ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῆς ΑΒ καὶ τοῦ Ι ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον. ἔστω δὲ αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ ἤτοι δὴ ἐλεύσεται καὶ διὰ τοῦ ∠ ἢ οὔ.

¹¹¹²¹³

Ἐρχέσθω πρότερον καὶ ἔστω τὸ ΑΓ∠Β, καὶ ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας μετακεκινήσθω τὸ ΑΓ∠Β (ε) ἡμικύκλιον, καὶ ἐχέτω θέσιν ὡς τὴν ΑΕΖΒ. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσὶν οἱ ΓΕ ∠Ζ, καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν
οἱ ΑΓ∠Β ΑΕΖ Β, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ∠ Ζ περιφερείᾳ· λέγω οὖν ὅτι ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γʹ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Ζ.

Μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ μὲν Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον παραγιγνέσθω τὸ δὲ ∠
ἐπὶ τὸ H στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, καὶ τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Η καὶ τὸ (Ϛ) ΑΓ∠Β ἡμικύκλιον θέσιν ἔξει ὡς τὴν ΑΕΗΒ΄. καὶ ἐπεὶ μέγιστός ἐστιν ἑκάτερος τῶν ΑΕΖΒ ΑΕΗΒ΄. κύκλων, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Βʹ ἐπιζευγνυμένη
εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τῆς σφαίρας. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἐπʼ ἄλλο τι
πλὴν ἐπὶ τὸ Ζ σημεῖον.

Μὴ ἐρχέσθω δὴ τὸ ἡμικύκλιον τὸ διὰ τῶν ΑΓΒ διὰ τοῦ ∠, ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ
ἔστω παράλληλος κύκλος καθʼ οὗ ¹⁴¹⁵¹⁶ έρεται τὸ ∠ σημεῖον ὁ ∠ΔΘΖ, καὶ κείσθω τῇ ΓΕ ¹⁷ ὁμοία ἡ ∠Η. ἀλλʼ ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΘΖ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία· καὶ ἡ ∠Η ἄρα τῇ ΘΖ ἐστὶν ὁμοία. ¹⁸ καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Η ¹⁹ περιφέρεια τῇ ΘΖ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ
∠ ἐπὶ τὸ παραγίγνεται καὶ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ζ. ἐν ὅσῳ δὲ χρόνῳ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, καὶ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Ε παραγίγνεται καὶ τὸ ∠ ἐπὶ τὸ Η.

²⁰

[3] γʹ. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς
ἄξονα, ἃς ἐν ἴσῳ χρόνῳ περιφερείας διεξέρχεται σημεῖά τινα τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται, αὗταί ὅμοιαί εἰσιν.

Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, πόλοι δὲ τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας
τῆς σφαίρας τὰ Γ ∠, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧβ φέρεται τὰ Γ ∠ σημεῖα οἱ ΓΕ ∠Ζ, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Γ Ε περιφέρειαν διαπορευέσθω ²¹ καὶ τὸ ∠ σημεῖον τὴν ∠Ζ περιφέρειαν· λέγω ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ∠ περιφερείᾳ.

Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁμοία ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΔΖ, ²² ἔστω ὁμοία ἡ ΓΕ τῇ ∠Η ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ σημεῖον τὴν ΓΕ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ ∠ τὴν ∠Η. ἀλλὰ καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γ τὴν ΓΕ διαπορεύεται ²³²⁴²⁵²⁶²⁷
²⁸ καὶ τὸ ∠ τὴν ∠Ζ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ ∠ τὴν ∠Ζ διαπορεύεται καὶ τὸ ∠ τὴν ∠Η. καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Η τῇ ∠Ζ, ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· οὐκ ἄρα ὁμοία ἐστὶν ἢ ΓΕ τῇ ∠Η. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι
οὐδὲ ἄλλῃ τινὶ πλὴν τῇ ∠Ζ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΔΖ.

²⁹

[4] δʹ. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁρίζῃ τό τε ἀφανὲς καὶ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον τῆς σφαίρας, στρεφομένης τῆς σφαίρας
περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐδὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὕτε ἀνατελεῖ, ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ αἰεί ἐστι φανερά, τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ αἰεί ἐστιν ἀφανῆ.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ
πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές· λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐ. δὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς
σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὕτε ἀνατελεῖ.

³⁰

Ὅ ἐστιν ἐπὶ τῆς μυλοειδοῦς κινήσεως· τότε γὰρ καὶ ὁ ἰσημερινὸς ὁρίζων γίνεται, καὶ ἓξ μηνῶν ἡ ἡμέρα καὶ ἓξ μηνῶν ἠ νύξ.

³¹³²

Εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Γ, καὶ ἔστω [παράλληλος] κύκλος καθʼ ου ³³ φέρεται τὸ Γ σημεῖον ὁ Γ∠ ὁ Γ∠ ἄρα κύκλος πρὸς ³⁴ ὀρθάς ἐστιν τῷ ἄξονι. ἀλλὰ καὶ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ∠ κύκλος τῷ ΑΒ κύκλῳ. εἰ ἄρα τὸ Γ
σημεῖον δύσεται ἢ ἀνατελεῖ, συμβαλεῖ ὁ Γ∠ κύκλος ³⁵ τῷ ΑΒ ὁρίζοντι, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· ἔστιν γὰρ αὐτῷ παράλληλος· οὐκ ἄρα τὸ Γ σημεῖον δύσεται ἢ ἀνατελεῖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς
ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα οὕτη δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ, ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ διὰ παντός ἐστιν ἐν τῷ φανερῷ, τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ διὰ παντός ἐστιν ἐν τῷ ἀφανεῖ.

³⁶

[5] ε΄. Ἐὰν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ὁρίζῃ τό τε φανερὸν καὶ τὸ ἀφανές, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα στρεφομένης αὐτῆς καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα.

Διὰ γὰρ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ο ΑΒΓ ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές· λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐν τῇ περιφορὰ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας
σημεῖα καὶ δύνει καὶ ἀνατέλλει.

³⁷³⁸³⁹⁴⁰⁴¹

Ἔστω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ ∠, καὶ ἔστω παράλληλος κύκλος καθʼ οὗ ⁴² φέρεται τὸ ∠ σημεῖον ὁ Β∠ΓΕ· ἐν τῇ ἄρα περιφορᾷ τῆς σφαίρας τὸ ∠ σημεῖον, ὅταν μὲν κατὰ τὸ Γ γένηται, ⁴³ ἀνατέλλει, ὅταν δὲ κατὰ τὸ Β, δύνει. καὶ ἐπεὶ
ὁ ΑΒΓ κύκλος τὸν Β∠ΓΕ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΒΕΓ Β∠Γ· τὸ ∠ ἄρα σημεῖον αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ΑΒΓ κύκλου καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ
καὶ τὸν ἴσον χρόνον. ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα καὶ δύσεται
καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα.

⁴⁴

[6] ϛ΄. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος μένων ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὤν
πρὸς τὸν ἄξονα, ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις, καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ ἔσται φανερός, ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἀφανής.

⁴⁵⁴⁶
⁴⁷

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές· λέγω ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις, καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ
ἔσται φανερός, ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἔσται ἀφανής.

Ἐστω γὰρ ὁ πόλος τῆς σφαίρας ὁ φανερὸς ὁ ∠, καὶ διὰ τοῦ ∠ καὶ τῶν τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ Α∠Ε, καὶ κείσθω τῇ Α∠ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ πόλῳ τῷ ∠ διαστήματι δὲ
τῷ Α∠ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΗ, πόλῳ δὲ τῷ Ε διαστήματι δὲ τῷ ΕΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΘΚ ⁴⁸ φανερὸν δὴ ὅτι ὁ ΑΖH κύκλος τῷ ΓΘΚ κύκλῳ ἴσος τε καὶ παράλληλός ἐστιν καὶ ἔτι ὁ ΑΒΓ κύκλος τῶν ⁴⁹ ΑΖΗ ΓΘΚ κύκλων ἐφάπτεται· λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁ
⁵⁰⁵¹⁵² μὲν ΑΖΗ κύκλος αἰεί ἐστι φανερός, ὁ δὲ ΓΘΚ αἰεί ἐστιν ἀφανής.

Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁ ΑΖΗ κύκλος αἰεὶ φανερὸς ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας, ὁ ΑΖΗ κύκλος συμβαλεῖ τῷ ΑΒΓ ὁρίζοντι. συμβαλλέτω κατὰ τὸ Λ σημεῖον,
⁵³ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ ∠Λ ΑΓ. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ Α∠Γ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. καὶ ὁ Α∠Γ κύκλος ὀρθός
ἐστι πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον· κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν
τὸ Α∠Γ καὶ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος περιφέρεια εἰς ἄνισα τέμνεται κατὰ τὸ ⁵⁴ ∠, καὶ ἔστιν ἐλάσσων
ἡ Α∠ (τοῦτο γὰρ φανερόν )· ⁵⁵ ἡ ἄρα Α∠ εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ∠ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν· ὥστε ἐλάσσων ⁵⁶ ἐστὶν ἡ Α∠ εὐθεῖα τῆς ∠Λ εὐθείας. ἀλλὰ καὶ ἴση
(πόλος γάρ ἐστιν τὸ ∠ σημεῖον τοῦ ΑΖΗ κύκλου), ⁵⁷⁵⁸
⁵⁹⁶⁰ ὅπερ ἄτοπον· ἐν ἄρα τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ ΑΖΗ κύκλος οὐ δύσεται. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ὁ ΓΘΚ ἀνατελεῖ· ὁ μὲν ΑΖΗ ἄρα κύκλος αἰεί ἐστιν φανερός, ὁ δὲ ΓΘΚ αἰεί ἐστιν ἀφανής.

[7] ζ΄. Ἐὰν ὁ ὁρίζων ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλος τό τε φανερὸν
τῇς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς πρὸς τὸν ἄξονα, οἱ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρθὰς ὄντες κύκλοι καὶ τέμνοντες ⁶¹ τὸν ὁρίζοντα κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται, ἔτι δὲ καὶ ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁρίζων τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς ὁ ΑΒ∠Γ λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα, οἱ δὲ τῷ ἄξονι πρὸς
ὀρθὰς ὄντες κύκλοι ἔστωσαν οἱ ΑΒ Γ∠ λέγω ὅτι οἱ ΑΒ Γ∠ κύκλοι κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς
καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται καὶ διὰ μὲν τῶν ∠ Β σημείων τάς ἀνατολὰς ποιοῦνται, διὰ δὲ τῶν Α Γ τὰς δύσεις.

⁶²

Μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ποιείσθω ὁ ΑΒ κύκλος διʼ ἄλλου τινὸς σημείου τὴν ἀνατολὴν τοῦ Ε, διὰ δὲ τοῦ Α τὴν δύσιν, καὶ ἔστω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων
κύκλων τὸ σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ καὶ τῶν τοῦ ΑΒ∠Γ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ⁶³⁶⁴⁶⁵ ΗΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΗΖ ΖΕ ΖΒ. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΗΖΘ κύκλον τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΑΒ∠Γ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τοῦ ΑΒ∠Γ κύκλου. καὶ ὁ ΓΖΘ κύκλος ὀρθός
ἐστι πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον· κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒ∠Γ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΗΘ τμῆμα κύκλου ὀρθὸν ἐφέστηκεν τὸ ΗΖΘ, καὶ ἡ τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος τοῦ ΗΖΘ περιφέρεια εἰς ἄνισα τέτμηται κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, ⁶⁶ καὶ ἔστιν ἐλάσσων ἡ ΖΗ περιφέρεια ἢ ἡμίσεια· ἡ ΖΗ
⁶⁷ ἄρα εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶν πασῶντῶν ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον προσπιπτουσῶν εὐθειῶν· καὶ ἡ ἔγγιον ἄρα τῆς ΖΗ ἐλάσσων ἐστίν· ἐλάσσων ἄρα ⁶⁸ ἐστὶν ἡ ΖΕ τῆς ΖΒ. ἀλλὰ καὶ ἴση, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος διʼ ἄλλου τινὸς σημείου ἢ διὰ
τοῦ Β τὴν ἀνατολὴν ποιήσεται, διὰ δὲ τοῦ Α τὴν δύσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ὁ Γ∠ κύκλος διὰ μὲν τοῦ ∠ τὴν ἀνατολὴν ποιήσεται, διὰ δὲ τοῦ Γ τὴν δύσιν· ὥστε οἱ ΑΒ Γ∠ κύκλοι αἰεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται.

⁶⁹⁷⁰⁷¹⁷²
⁷³⁷⁴⁷⁵

Λέγω δὴ ὅτι καὶ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ ὁρίζοντα.

⁷⁶

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ Γ∠ ΚΜ ΛΝ. ἐπεὶ ὁ ΗΖΘ κύκλος τοὺς ΑΒ Γ∠ ΑΓ∠Β κύκλους διὰ τῶν πόλων τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτοὺς τεμεῖ· ὁ ΓΖΘ
ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν ΑΒ Γ∠ ΑΒ∠Γ κύκλων· ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν ΑΒ ΑΒ∠Γ ⁷⁷ κύκλων ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΗΖΘ καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ ἡ τῶν ΑΒ Γ∠ΒΑ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστιν πρὸς τὸν ΗΖΘ κύκλον· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς
ἁπτομένας αὐτῆς ἐν τῷ ΗΖΚΘ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν ἡ ΑΒ. ἅπτεται δὲ τῆς ΑΒ ἑκατέρα τῶν ΗΘ ΚΜ οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΗΖΘ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΑΒ ἄρα ⁷⁸ πρὸς ἑκατέραν τῶν Ηθ ΚΜ ὀρθή ἐστιν· ὥστε ⁷⁹⁸⁰⁸¹⁸²
⁸³⁸⁴ ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜΘ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν ἐν ᾗ κέκλιται ⁸⁵ ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνία ἐστὶν ἡ κλίσις ἔν ᾗ κέκλιται ὁ Γ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΑΒ Γ∠ ὑπό τινος ἐπιπέδου
⁸⁶ τοῦ ΖΘ τέμνεται, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ αἱ ΚΜ ΛΝ εὐθεῖαι παράλληλοί εἰσιν· ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜΝ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνίᾳ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ὑπὸ τῶν ΚΜΘ γωνία ἡ κλίσις ἣν κέκλιται ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον, ἡ
δὲ ὑπὸ τῶν ΛΝΘ γωνία ἡ κλίσις ἣν κέκλιται ὁ Γ∠ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον· οἱ ΑΒ Γ∠ ἄρα κύκλοι ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι πρὸς τὸν ΑΒ∠Γ κύκλον.

[8] η΄. Οἱ τῶν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι μέγιστοι κύκλοι, ὧν καὶ ὁ ὁρίζων ἅπτεται, στρεφομένης τῆς σφαίρας
ἐφαρμόσουσιν ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα.

⁸⁷⁸⁸⁸⁹

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, μέγιστος δὲ τῶν μὲν αἰεὶ ἀφανῶν ἔστω ὁ ΛΕ, τῶν δὲ αἰεὶ φανερῶν ἔστω ὁ Α∠, ὧν ἐφάπτεται ὁ ΑΒΓ ὁρίζων, καὶ γεγράφθω τις μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τῶν Α∠ ΛΕ ὁ ∠ΒΕΓ· λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας ὁ ∠ΒΕΓ
κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν ΑΒΓ ὁρίζοντα.

Γεγράφθω γάρ τις τῷ Α∠ παράλληλος κύκλος ὁ ⁹⁰ ΗΖΘ· ἀσύμπτωτον δή ἐστιν τὸ ἀπὸ τοῦ ∠ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ Γ Ζ Ε μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Α ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Η Β Λ μέρη. ἐπεὶ οὖν παράλληλοί εἰσιν κύκλοι
οἱ Α∠ ΖΗΘ, καὶ γεγραμμένοι εἰσὶν κύκλοι μέγιστοι οἱ ΑΒΓ ∠ΒΕΓ ἑνὸς μὲν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι τοῦ. Α∠, τὸν δὲ ΗΖΘ τέμνοντες, καὶ εἰσὶν μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων ἡμικυκλίων αἱ ∠ΚΑ ΖΗ ΛΕ περιπεριφέρεια ⁹¹ φέρειαι, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ∠ΚΑ περιφέρεια τῇ ΖΗ
⁹² καὶ τῇ ΛΕ περιφερείᾳ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ ∠ τὴν ∠ΚΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγίγνεται καὶ τὸ Ζ τὴν ΖΗ διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται καὶ ἔτι τὸ Ε τὴν ΛΕ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Λ παραγίγνεται· ὥστε ἐν τῇ περιφορᾷ τῆς σφαίρας, ὅταν το
∠ ἐπὶ τὸ Α παραγένηται, τότε καὶ τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Η παρέσται καὶ τὸ Ε ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐφαρμόσει ἡ ∠ΖΕ ⁹³⁹⁴
⁹⁵⁹⁶ ἐπὶ τὴν ΑΗΛ ὥστε καὶ ὅλος ὁ ∠ΒΚΓ κύκλος ἐφʼ ὅλον τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐφαρμόσει· εἰ γὰρ οὐκ ἐφαρμόσει, δύο κύκλοι τεμοῦσιν ἀλλήλους κατὰ ⁹⁷ πλείονα σημεῖα, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ἐφαρμόσει ὁ ∠ΒΕ κύκλος ἐπὶ τὸν ΑΒΓ
κύκλον.

[9] Θ΄. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὣν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, τῶν ἅμα ἀνατελλόντων σημείων τὰ πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ ὕστερον δύνει, τῶν δὲ ἅμα δυνόντων
τὰ πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ πρότερον ἀνατέλλει.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανέρὸν
τῆς σφαίρας καὶ τὸ. ἀφανές, καὶ εἰλήφθω δύο σημεῖα τὰ Γ Ε ὁμόσε ἀνατέλλοντα, καὶ ἔστω ἔγγιον τοῦ φανεροῦ
πόλου τὸ Γ ἤπερ τὸ Ε λέγω ὅτι τὰ Γ Ε σημεῖα οὐχ ὁμόσε δύσεται, ἀλλʼ ὕστερον δύσεται τὸ Γ τοῦ Ε.

Ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧν φέρεται
τὰ ΓΕ σημεῖα οἱ ΓΖΘ ΕΗΚ. ἐπεὶ ὁ ΑΒΓ ὁρίζων λοξός ἐστιν πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ πρὸς τοὺς παραλλήλους ⁹⁸⁹⁹¹⁰⁰ λοξός ἐστιν· ἡ ΓΖ ἄρα περιφέρεια τῆς ΕΗ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. ἔστω τῇ ΕΗ ὁμοία ἡ ¹⁰¹ ΓΛ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Λ παραγίγνεται καὶ τὸ Ε ἐπὶ τὸ Η. ἀλλʼ ὅταν μὲν τὸ Ε ἐπὶ τὸ Η παραγένηται, δύνει τὸ Ε, ὅταν δὲ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Λ παραγένηται, οὐδέπωδύνει τὸ Γ, ἀλλʼ ἔτι ὑπὲρ γῆν ἐστιν· πρότερον ἄρα δύνει τὸ Ε τοῦ Γ· ὥστε ὕστερον δύνει τὸ Γ τοῦ Ε.

Πάλιν δὲ δυνέτω τὰ ΖΗ ἄστρα ὁμόσε· λέγω ὅτι
οὐχ ἅμα ἀνατέλλει, ἀλλὰ πρότερον τὸ Ζ τοῦ Η.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς ΕΗ περιφερείας ¹⁰² μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘΓ λοιπῆς τῆς ΗΚΕ ἐλάσσων ἐστὶν ὁμοία. ἔστω ἡ ΖΘΓ ὁμοία τῇ ΗΚ. ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΖΘΓ περιφέρεια τῇ ΗΚ
περιφερείᾳ, στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ἅμα τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγίγνεται καὶ τὸ Η ἐπὶ τὸ Κ. πρότερον δὲ τὸ Η ἐπὶ τὸ Κ παραγίγνεται ἤπερ ἐπὶ τὸ Ε· πρότερον ἄρα καὶ τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγίγνεται ἤπερ τὸ Η ἐπὶ τὸ Ε. ἀλλʼ ὅταν μὲν τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγένηται,
ἀνατέλλει τὸ Ζ, ὅταν δὲ τὸ Η ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, ἀνατέλλει τὸ Η· πρότερον ἄρα ἀνατέλλει τὸ Ζ τοῦ Η.

¹⁰³¹⁰⁴¹⁰⁵

[10] ι΄. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁριζέτω
τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὥν ¹⁰⁶ πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ ἔστω μέγιστος τῶν αἰεὶ φανερῶν ὁ ΑΖΕ κύκλος, ὁ δὲ φανερὸς πόλος τῆς σφαίρας ἔστω ὁ ∠, ὁ δὲ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἔστω ὁ Β∠Γ λέγω ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ Β ∠Γ
κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒΓ ὁρίζοντα.

Γεγράφθω γὰρ διὰ τῶν Α ∠ σημείων μέγιστος ¹⁰⁷ κύκλος ὁ Α∠Θ ἤξει δὴ καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν ¹⁰⁸¹⁰⁹¹¹⁰ Ζ∠Η Α∠Ε τὸν ΑΖΗ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΗ περιφερείᾳ· ¹¹¹ ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΖΑ περιφέρειαν διελεύσεται καὶ τὸ Η τὴν ΗΕ· στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ Ζ τὴν ΖΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ
τὸ Α παραγένηται, καὶ τὸ τὴν ΗΕ διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, ἡ Ζ∠Η περιφέρεια ἐφαρμόσει ἐπὶ ¹¹² τὴν Α∠Ε περιφέρειαν· ὥστε καὶ ὅλος ὁ Β∠Γ κύκλος ¹¹³ ἐφʼ ὅλον τὸν Α∠Θ κύκλον ἐφαρμόσει. ἀλλʼ ὁ Α∠Θ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον· καὶ ὁ
Β∠Γ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. πάλιν δὴ στρεφομένης τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τὴν ΕΖΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγένηται, τότε καὶ τὸ Ζ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α σημείου τὴν ΑΗΕ περιφέρειαν
διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παρέσται, καὶ ἐφαρμόσει ἡ ΖΔΗ περιφέρεια ἐπὶ τὴν Α∠Ε περιφέρειαν· ὥστε καὶ ὅλος ὁ Β∠Γ κύκλος ἐφʼ ὅλον τὸν Α∠Θ κύκλον ἐφαρμόσει. ¹¹⁴¹¹⁵¹¹⁶¹¹⁷¹¹⁸¹¹⁹ ὁ δὲ Α∠Θ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον· καὶ ὁ Β∠;Γ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. πάλιν δὴ ὅταν τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν ΑΗ διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγένηται, καὶ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ παρέσται,
καὶ ὁ Β∠ΓΘ κύκλος θέσιν ἕξει ἣν εἶχεν ἐξ ἀρχῆς ὥστε οὐκ ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα πλέον ἢ δὶς ἔσται· ἐν μιᾷ ἄρα περιφορὰ τῆς σφαίρας ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

[11] ιά. Ἐἀν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ¹²⁰ ἀφανές, ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος μειζόνων ἄπτηται ἢ ὧν ὁ ὁρίζων ἄπτεται, κατὰ πᾶσαντὴντοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων
ών ἐφάπτεται τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὢν πρὸς, τὸν ἄξονα ὁριζέτω
τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, καὶ ἐφαπτέσθω τινὸς κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ
ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος ὁ ΓΖ μειζόνων ἁπτέσθω τῶν ΖΓ ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ Ζ Η ¹²¹
δυτικὰ δὲ τὰ Β Γ· λέγω ὅτι ὁ ΖΓ κύκλος αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΗ περιφερείας ἀνατελεῖ, διὰ δὲ τῆς ΒΓ δύσεται.

Είλήφθω γάρ τινα σημεῖα ἐπὶ τῆς ΖΓ περιφερείας τυχόντα τὰ Θ Κ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθʼ ών φέρεται τὰ
Θ Κ σημεῖα οἱ ΑΘΜ ΜΚΞ ἐπεὶ τὸ Ζ ¹²² σημεῖον αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ Ζ ἀνατέλλει διὰμ δὲ τοῦ Β δύνει, τὸ
δὲ Θ αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ Μ ἀνατέλλει διὰ δὲ τοῦ Λ δύνει, ἡ ΖΘ ἄρα περιφέρεια αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΜ
ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΒΛ δύνει· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ περιφέρεια διὰ μὲν τῆς ΜΞ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΛΜ δύνει, ἡ δὲ ΚΓ διὰ μὲν τῆς ΞΗ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΝΓ δύνει· ὅλον ἄρα τὸ ΖΓ ἡμικύκλιον αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖH περιφερείας ἀνατέλλει
διὰ δὲ τῆς ΒΓ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον· ὥστε ὅλος ὁ ΖΓ κύκλος αἰεὶ κατὰ πᾶσαν τὴν τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξύ τῶν παραλλήλων κύκλων τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται.

ιβʹ. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος φερόμενόν τινα κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ αἰεὶ δίχα τέμνῃ, μηδέτερος δὲ αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, ἑκάτερος αὐτῶν μέγιστος ἔσται.

¹²³

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος ὁ ΑΒΓ, φερόμενον δέ τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων τὸν Γ∠Β αἰεὶ δίχα τεμνέτω, μηδέτερος δὲ αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας· λέγω ὅτι ἕκάτερος τῶν ΑΓΒ Γ∠Β κύκλων μέγιστός ἐστιν.

Ἕστω γὰρ αὐτῶν κοινὴτομὴ ἡ Β ἡ ΒΓ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ Γ∠Β κύκλου. τετμήσθωε ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον· τὸ Ε ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ
τοῦ Γ∠Β κύκλου. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Ε σημεῖον αἰεί ἐστιν ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδω καὶ κατὰ πᾶσαν περιφορὰν τῆς σφαίρας· λέγω δὴ ὅτι τὸ Ε σημεῖον ἐπὶ
τοῦ ἄξονός ἐστιν.

¹²⁴

Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας τὸ Ε σημεῖον γράψει κύκλον πρὸς ὀρθὰς τῷ ἄξονι. γραφέτω τὸν ΕΖΗ. ἐπεὶ τὸ Κ σημεῖον αἰεὶ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶν καὶ φέρεται
κατὰ κύκλου τοῦ ΕΖΗ, ὁ ΚΖ ἄρα κύκλος αἰεί ἐστιν ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ. καὶ ἔστιν ὁ ΕΖΗ κύκλος ὀρθὸς πρὸς τὸν ἄξονα· καὶ ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ἄξονα, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· οὐκ ἄρα τὸ Ε σημεῖον οὐκ ἔστιν ἐπὶ τοῦ
ἄξονος· ἐπὶ τοῦ ἄξονος ἄρα ἐστίν.

Λέγω δὴ ὅτι κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τὸ Ε σημεῖον.

Μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἔστω κέντρον τῆς σφαίρας ¹²⁵
τὸ Θ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ ἄξων ἄρα ἐστὶ τῆς σφαίρας ἡ ΘΚ εὐθεῖα (ἑκάτερον γὰρ τῶν Θ Ε σημείων ἐπὶ τοῦ ἄξονός ἐστιν). καὶ ἔπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἔστὶν ὁ ΓΔΒ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ Θ
ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ Γ∠Β κύκλου ἔπέζευκται εὐθεῖα ἡ ΘΕ, ¹²⁶ ἡ ΘΕ ἄρα ὀρθή ἔστι πρὸς τὸν Γ∠Β κύκλον· ὥστε καὶ ὁ Γ∠Β κύκλος ὀρθός ἔστι πρὸς τῆ
ΘΕ. καὶ ἔστιν ἡ ΘΕ ἄξων· ὁ Γ∠Β ἄρα κύκλος ὀρθός ἔστιν πρὸς τὸν ἄξονα, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· οὐκ ἄρα τὸ Θ σημεῖον κέντρον ὲστὶ τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλο τι πλὴν τοῦ Ε τὸ Ε ἄρα σημεῖον
κέντρον ἔστὶ τῆς σφαίρας.

Καὶ ἔστιν ἔν ἑκατέρῳ τῶν ΑΒΓ ΓΔΒ κύκλων· ¹²⁷ μέγιστος ἄρα ἔστὶν ἑκάτερος τῶν ΑΒΓ Γ#8736;Β κύκλων.

¹²⁸¹²⁹

De Sphaera Quae Movetur. Autolycus. ed. Friedrich Hultsch. United States. 2016.

Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.

Current edition First1KGreek

De Sphaera Quae Movetur (Greek) (Autolycus. Autolyci De sphaera quae movetur liber De Ortibus et Occasibus Libri Duo. Hultsch, Friedrich, editor. Leipzig: Teubner, 1885.)

Notes on the current edition

De Sphaera Quae Movetur

1. 1) Conf. indicem Graecitatis s. ὅμοιος.

2. 2) Hoc est peracta spacia temporibus proportionalia sunt. MAUROLYCUS fol. 61r.

3. PROPOS. 1—3: Pappus collect. 6 cap. 33 (p. 518 —520).

4. 3) Nam tales circuli describuntur per rectas a punctis ad axem, super quo sphaera versatur, perpendiculares: et ideo per 9m primi sphaericorum Theodosii habent dictum axem communem et polos communes. et per 2m secundi sunt invi-

5. συύλ.(α)

6. (β)

7. (α) Διὰ τὸ α΄ ὁμοῦ καὶ ϛ΄ τοὺ α΄ τῶν θεοδοσίου σφαιρικῶν.

8. (β) Ἀπὸ τοῦ η΄ τοῦ α΄ βιβλίου τῶν σφαιρικῶν.

9. (γ)

10. (δ)

11. (γ) Διὰ τοῦ βʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν.

12. (δ) Διὰ τοὺ αʹ τούτου τοὺ βιβλίου.

13. FIGURA similis exstat in codicibus ABCE; sed semicirculus αεβ partim circulum αγδβ excedit, et deest alter semicirculus αηβʹ, et litterae δ ζ η paulo aliter dispositae sunt.

14. (ε) Διὰ τὸ ιʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν.

15. (Ϛ) Διὰ τοὺ ιαʹ τοὺ αʹ τῶν σφαιρικῶν.

16. FIGURAM secundum verba scriptoris delineavimus. ln codicibus ABC est circulus αγθβζε, ultra quem protendi-

17. (ζ)

18. (η)

19. (θ)

20. (ι)

21. (ια)

22. (ιβ)

23. (ζ) Διὰ τὸ ιʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν.

24. (η) Διότι αἱ ἐν τῷ αὐτῷ κύκλῳ περιφέρειαι ὅμοιαι ἴσαι εἰσί.

25. (θ) Διὰ τὸ ὁμαλῶς κινεῖσθαι τὰ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου σημεῖα.

26. (ι) Ἀντίστροφον

27. (ια) Διὰ τὸν βʹ ὅρον συνάγεται καὶ διὰ τὸ βʹ.

28. (ιβ)) Ὡς διᾶ τοῦ πρὸ τούτου ἀπεδείχθη.

29. (ιγ)

30. (ιγ)

31. 1) Sic enim suppositum est.

32. PROPOS. 4: Pappus collect. 6 cap. 34 (p. 520). Ad eandem Maurolycus fol. 61 adnotat: ‘Nam talis circulus manens est communis limes talium hemisphaeriorum, et per primam huius, puncta singula suos seorsum parallelos semper in alterutro hemisphaeriorum describent. Praeterea haec scholia antiqua duo affert Auria p. 27 sq.: ‘Schol. 1. Quod proponit Au-

33. (ιδ)

34. (ιε)

35. (ιϚ)

36. (ιζ)

37. (ιδ) Διὰ το αʹ τούτου.

38. (ιε) Διὰ τοῦ ιδʹ τοῦ ια΄ Εὐκλείδου.

39. (ιϛ) Οἱ γὰρ παράλληλοι οὐ συμπίπτουσιν.

40. (ιζ) Ὅ ἐστιν ἐπὶ τῆυ ὀρθῆς σφαίρας· τότε γὰρ καὶ ὁ ὁρίζων
διὰ τῶν πόλων ἐστὶ τῆς σφαίρας καὶ ἀεὶ ἰσημερία.

41. 1) Autol. propos. 1 huius (conf. σχόλιον ιδ).

42. (ιη)

43. (ιθ)

44. (κ)

45. (ιη) Εἰ γὰρ ὁ ΕΒ∠Γ κύκλος πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ ἄξονι
διὰ τὸ α΄, ὁ δὲ ΓΒΑ ἐπὶ τῆς ἑαυτοῦ ἐπιφανείας ἔχει τὸν ἄξονα, δῆλον ὅτι ὁ ΕΒ∠Γ κύκλος τέμνει τὸν ΒΑΓ, ὥστε, καθό ἐστιν ἡ τομή, κατὰ τὸ Γ ἀνατέλλει καὶ κατὰ τὸ ἕτερον τῆς τομῆς, τὸ Β, δύνει.

46. (ιθ) Διὰ τοὺ ιε΄ τοῦ α΄ τῶν σφαιρικῶν.

47. (κ) Ὅ ἐστιν ἐπὶ τῆς καθ᾿ ἡμᾶς οἰκήσεως, ὅταν ὁ πόλος τῆς σφαίρας μήτε ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ᾖ μήτε κατὰ κορυφήν.

48. (κα)

49. (κβ)

50. (κα) Διὰ τοῦ βʹ καὶ γʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν.

51. (κβ) Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Α∠ τῇ ΓΕ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ∠ ὅλη ἄρα ἡ Α∠ ὅλῃ τῇ ∠ΓΕ ἴση ἐστίν. ἡμικυκλίου δὲ ἡ Α∠Γ ἡμικυκλίου ἄρα καὶ ἡ ∠ΓΕ· κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ ∠ τῷ Ε. καὶ ἔστι τὸ ∠ πόλος τοῦ ΑΗΖ καὶ τὸ Ε
ἄρα πόλος τοὺ αὐτοῦ · κατὰ διάμετρον γὰρ οἱ πόλοι, ὡς ἐκ πορίσματος ἐν τῷ α΄. πάλιν ἐπεὶ τὸ Ε πόλος τοῦ ΓΘΚ, κατὰ διάμετρον δὲ τῷ Ε τὸ ∠, καὶ τὸ ∠ ἄρα πόλος ἐστὶ τοῦ ΓΘΚ. οἱ δὲ περὶ τοὺς αὐτοὺς ὄντες πόλους παράλληλοι. ἴσοι δέ, ἐπειδὴ αἱ ἐκ τῶν πόλων αἱ ∠Α ΓΕ ἴσαι εἰσί. καὶ ἐπεὶ δύο
κύκλοι οἱ ΑΒΓ ΑΖ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν Α∠ΓΕ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι, τούς πόλους ἔχοντες ἐπʼ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ κύκλοι.

52. FIGURA, quam codices ABCE exhibent, similiter ac prior (p. 17 adnot ) quodammodo in planum explicata est Comparet enim maior circulus αλβγ, in quem inscriptus est minor αζη, cuius centrum δ esse unus quidem codex significat. Mairoris autem circuli diametrus αγ ultra γ ad ε pertinet, et ductus est semicirculus αηε item ultra circulum αλβγ. Denique circa centrum ε descriptus est minor circulus γθκ.

53. (κγ)

54. (κδ)

55. (κε)

56. (κϚ)

57. (κγ) Διὰ τοῦ ιε΄ τοῦ αʹ τῶν σφαιρικῶν..

58. (κδ) Ἐπειδὴ ὁ ΑΗΖ ἐφάπτεται τοῦ Α∠Γ διὸ οὐ μέγιστος· ὥστε ἡ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἡ ∠Α ἐλάσσων τεταρτημορίου· διὸ ἡ διχοτομία τοῦ ΑΓ ἡμικυκλίου οὐκ ἔστι τὸ ∠.

59. (κε) Διὰ τοὺ α’ τοὺ γʹ τῶν σφαιρικῶν.

60. (κϚ) Διὰ τοὺ εʹ ὅρου τοῦ αʹ τῶν σφαιρικῶν.

61. (κζ)

62. (κη)

63. (κζ) Τουτέστι καθʼ ἃ ποιοῦσι σημεῖα οἱ παράλληλοι πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

64. (κη) Εἰ γὰρ ὁ ΑΒ κύκλος διʼ ἄλλου σημείου τὴν ἀνατολὴν
ποιήσει τοῦ Ε, καὶ διʼ ἄλλου παρὰ τὸ Α τὴν δύσιν, ἔσεται κεκλιμένος πρὸς τὸν ἄξονα τῆς σφαίρας, ὅπερ οὐχ ὑπὸκειται.

65. (κθ)

66. (λ)

67. (λα)

68. (λβ)

69. (κθ) Διὰ τοῦ ιεʹ τοῦ αʹ τῶν σφαιρικῶν.

70. (λ) Ἐὰν πόλῳ τῷ Ζ διαστήματι δὲ τῷ Η κύκλος γραφῇ· ἐφάψεται γάρ. καὶ ὁμοίως τῷ ἄνω δειχθήσεται.

71. (λα) Διὰ τοῦ αʹ τοὺ γʹ τῶν σφαιρικῶν.

72. (λβ) Ὡs ἐν τῷ πρὸ τούτου ἐδείχθη.

73. 1) Theodos. sphaer. 1, 15 (conf. σχόλιον κθ).

74. 2) Quia ex hypothesi circulus αβδγ obliquus est ad axem, et ex constructione η punctum sectionis circuli αβδγ cum circulo ηζθ propius est polo ζ quam contrarium sectionis punctum θ, punctum igitur η in circumferentia ζηθ positum est inter polum ζ et circulum aequinoctialem, cuius polus est ζ; ergo arcus ζη minor est quadrante circuli, id est minor dimidio semicirculo, id est minor arcu ζθ.

75. (λγ)

76. (λδ)

77. (λε)

78. (λε)

79. (λγ) Ἀλλʼ ἡ μὲν δεῖξις αὕτη καλῶς ἔχουσα ἐπὶ τοῦδε τοῦ
θεωρήματος, φυλαττομένου τοῦ τῆς προτάσεως προδιορισμοῦ τοῦ εἶναι λοξὸν τὸν ὁρίζοντα πρὸς τὸν ἄξονα. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἰ μὴ λοξὸς ᾖ ὁ ὁρίζων πρὸς τὸν ἄξονα, ἀλλὰ δι’ αὐτοῦ τοῦ ἄξονος, ὅπερ ἐστὶν ἐπὶ τῆς ὀρθῆς σφαίρας, ἐὰν ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος λάβωμεν τὸν πόλον τῶν παραλλήλων κύκλων τὸ
Η τυχὸν σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ τοιούτου σημείου, καθὰ καὶ πρότερον, μέγιστον κύκλον γράψωμεν, καὶ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατασκευάσαντες δείξωμεν ἴσην τὴν ἀπὸ τοὺ Η ἐπὶ τὸ Β τῇ ἀπὸ τοὺ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ τὸ ἄτοπον παραστήσωμεν. τοῦτο δὲ προδέδεικται τοῖς ἐφιστῶσι καὶ ἐν τῷ ϛʹ θεωρήματι τοῦ
παρόντος βιβλίου.

80. (λδ) Διὰ τοῦ ιεʹ τοῦ αʹ τῶν σφαιρικῶν.

81. (λε) Διὰ τοῦ ιθʹ τοῦ ιαʹ Εὐκλείδου.

82. (λϚ) Διὰ τὸν ὅρον· ἐπιπέδου γὰρ πρὸς ἐπίπεδον κλίσις ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὀξεῖα γωνία ὑπὸ τῶν πρὸς ὀρθὰς τῇ κοινῇ
τομῇ ἀγομένων πρός τῷ αὐτῷ σημείῳ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΚΜ ἐν τῷ αὐτῷ τοῦ Α Β κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς τῇ κοινῇ τομῇ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΘΜ ἐν τῷ τοῦ ΑΓ∠Β ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς τῇ κοινῇ τομῇ τῇ ΑΒ, καὶ ποιοῦσιν ὀξεῖαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΚΜΘ.

83. FIGURA in hanc propositionem tertia delineata est ad similitudinem eius quam codices exhibent (conf. adnot. ad figu-

84. (λζ)

85. (λη)

86. (λθ)

87. (λζ) Ὅτι δὲ ὀξεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΜΝ γωνία, δῆλον οὕτως· ἐὰν γράψωμεν τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΞΡΟ, ὡς ὑπόκειται, τεταρτημορίου ἔσται ὁ ΖΡ ἐκ πόλου γὰρ τοῦ ΞΡΟ
μείζων ἄρα τεταρτημορίου ἡ ΗΡ. καὶ ἔστιν ἡμικυκλίου ἡ ΗΘ ἐλάσσων ἄρα τεταρτημορίου ἡ ΡΘ · μείζων ἄρα ἡ ΗΡ τῆς ΘΡ καὶ βέβηκεν ἐπὶ
μὲν τῆς ΗΡ περιφερείας ἡ ὑπὸ ΗΣΡ, ἐπὶ δὲ τῆς P περιφερείας ἡ ὑπὸ ΡΣΘ, καὶ ἔστι κέντρον τὸ Σ πάντων τῶν μεγίστων κύκλων· μείζων ἄρα
ἡ ὑπὸ PΣΗ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΣΘ. καὶ εἰσὶ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ PΣΘ· ὥστε καὶ αἱ ΜΝ διὰ τοὺς παραλλήλους· ἴσαι γὰρ αἴ τρεῖς.

88. (λη) Ὅτε μὲν γὰρ διὰ τοῦ 5 ἀνατέλλει, ἡ ΒΖ ἐκ πόλου
ἐστίν, ὅτε δὲ διὰ τοῦ Ε, ἡ ΖΕ ἐκ πόλου· ὑπόκειται γὰρ μὴ ἀεὶ διὰ τοῦ Β, ἀλλὰ καὶ διὰ τοῦ Ε ἀνατέλλειν.

89. (λθ) Διὰ τοῦ ιϛʹ τοῦ ιαʹ Εὐκλείδου.

90. (μ)

91. (μα)

92. (μβ)

93. (μ) Δυνατὸν γὰρ καὶ ἑτέρους παραλλήλους τῷ Α∠ γράψαι, ὥστε κατὰ πλείονα σημεῖα συμβάλλειν τοὺς κύκλους.

94. (μα) Ἀπὸ τοῦ ιγ΄ τοὺ β΄ τῶν σφαιρικῶν.

95. (μβ) Ἀπὸ τοῦ β΄ τοῦ αὐτοῦ.

96. FIGURA codicum ABCE, similiter atque illae quae ad propos. 5 et 6 pertinent, in planum redacta quinque circulos ηθ ακδ αηβλγ δβεγζ (sic) λε partim tangentes inter se, partim secantes, exhibet.

97. (μγ)

98. (μγ) Ἐν τῷ ιʹ τῶν κυκλικῶν.

99. FIGURA codicum ABCE, in planum redacta, exhibet circulos θζλγ ηεκ circa centrum α descriptos et circulum αηβε (sic) hos quos dixi secantem. Littera δ abest.

100. (μδ)

101. (με)

102. (μϚ)

103. (μδ) Διὰ τοῦ κ΄ τοῦ β΄ τῶν σφαιρικῶν.

104. (με) Ἀπὸ τοῦ β΄ τούτου τοῦ βιβλίου.

105. (μϚ) Ἐπειδὴ πᾶς κύκλος παντὶ ὅμοιός ἐστιν τῷ τὰς δ΄

106. (μζ)

107. η)

108. (μζ) Τουτέστιν οὗ ἐφάπτεται ὁ ΑΒΓ κύκλος· φανερὸν γὰρ
καὶ απὸ τοὺ ϛʹ ὅτι ἐφάπτεται.

109. (μΗ) Ἀπὸ τοῦ εʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν.

110. (μθ)

111. (ν)

112. (να)

113. (νβ)

114. (μθ) Ἀπὸ τοῦ γʹ τοὺ γʹ τῶν σφαιρικῶν.

115. (ν) ∠ιὰ τοῦ βʹ τούτου.

116. (νᾷ) ∠ιὰ τοῦ ηʹ τούτου.

117. (νβ) Ὡς ἐδείχθη διὰ τοῦ εʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν.

118. 1) Hoc loco circulum αδε eundem quem antea αδθ scriptor appellat, quoniam de sectione circuli αηεζ agitur. Similiter circulus ζδη nunc dicitur qui antea βδγ notatus est.

119. "2) Scilicet propter heodos. sphaer. 1, 15 utraque circum- ferentiarum ζη αε semicirculus est. Et sunt eiusdem circuli itaque etiam inter se aequales; subtracto igitur comnmuni arcu αη restat ζα ═ ηε. Similiter demonstrabitur esse αε ═ εα, et εζ ═ αη. Scholiasta Graecus (μθ ), nescio qua rauione ductus, Theodosii sphaer. 3, 3 citat.

120. (νγ)

121. (νγ) Ὡς ὁ ζῳδιακός.

122. (νδ)

123. (νδ) Διὰ τοῦ ζ΄ τούτου.

124. (νε)

125. (νε) #8736;ιὰ τοῦ αʹ τοῦ περὶ κινουμένης σφαίρας.

126. (νϚ)

127. (νζ)

128. (νς) #8736;ιὰ τοῦ ζʹ τοῦ αʹ τῶν σφαιρικῶν.

129. (νζ) Ὡς διὰ τοὺ κέντρου, διὰ τὸ ϛʹ τοῦ αʹ τῶν σφαιρικῶν.

Autolycus De Sphaera Quae Movetur propositiones

ed. Friedrich Hultsch

Search the Perseus Catalog for:

Προτάσεις.

Current edition First1KGreek

Notes on the current edition

Stable identifiers