Antiphon of Athens Fragmenta 13

13.

[103 B.]

ARIST. phys. A 1. 185ᵃ 14 ἅμα δ’ οὐδὲ λύειν ἅπαντα προσήκει, ἀλλ’ ἢ ὅσα ἐκ τῶν ἀρχῶν τις ἐπιδεικνὺς ψεύδεται, ὅσα δὲ μή, οὔ· οἷον τὸν τετραγωνισμὸν τὸν μὲν διὰ τῶν τμημάτων γεωμετρικοῦ διαλῦσαι, τὸν δ’ Ἀντιφῶντος οὐ γεωμετρικοῦ. Vgl. soph. el. 11. 172ᵃ 7. SIMPL. phys. 54, 12 τὸν γὰρ τετραγωνισμὸν τοῦ κύκλου πολλῶν ζητούντων (τοῦτο δὲ ἦν τὸ κύκλωι ἴσον τετράγωνον θέσθαι) καὶ Ἀ. ἐνόμισεν εὑρίσκειν καὶ Ἱπποκράτης ὁ Χῖος [c. 30, 3] ψευσθέντες. ἀλλὰ τὸ μὲν Ἀντιφῶντος ψεῦδος διὰ τὸ μὴ ἀπὸ γεωμετρικῶν ἀρχῶν ὡρμῆσθαι, ὡς μαθησόμεθα, οὐκ ἔστι γεωμετρικοῦ λύειν ...

ὁ δὲ Ἀ. γράψας κύκλον ἐνέγραψέ τι χωρίον εἰς αὐτὸν πολύγωνον τῶν ἐγγράφεσθαι δυναμένων. ἔστω δὲ εἰ τύχοι τετράγωνον τὸ ἐγγεγραμμένον. ἔπειτα ἑκάστην τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν δίχα τέμνων ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὰς περιφερείας πρὸς ὀρθὰς ἦγε γραμμάς, αἳ δηλονότι δίχα ἔτεμνον ἑκάστη τὸ καθ’ αὑτὴν τμῆμα τοῦ κύκλου. ἔπειτα ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπεζεύγνυεν ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν γραμμῶν τοῦ τετραγώνου εὐθείας, ὡς γίνεσθαι τέτταρα τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν εὐθειῶν, τὸ δὲ ὅλον σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον ὀκτάγωνον. καὶ οὕτως πάλιν κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον, ἑκάστην τῶν τοῦ ὀκταγώνου πλευρῶν δίχα τέμνων ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν πρὸς ὀρθὰς ἄγων καὶ ἐπιζευγνὺς ἀπὸ τῶν σημείων, καθ’ ἃ αἱ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι ἐφήπτοντο τῶν περιφερειῶν, εὐθείας ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν διηιρημένων εὐθειῶν, ἑκκαιδεκάγωνον ἐποίει τὸ ἐγγραφόμενον. καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν πάλιν λόγον τέμνων τὰς πλευρὰς τοῦ ἑκκαιδεκαγώνου τοῦ ἐγγεγραμμένου καὶ ἐπιζευγνὺς εὐθείας καὶ διπλασιάζων τὸ ἐγγραφόμενον πολύγωνον καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιῶν ὤιετό ποτε δαπανωμένου τοῦ ἐπιπέδου ἐγγραφήσεσθαί τι πολύγωνον τούτωι τῶι τρόπωι ἐν τῶι κύκλωι, οὗ αἱ πλευραὶ διὰ σμικρότητα ἐφαρμόσουσι τῆι τοῦ κύκλου περιφερείαι. παντὶ δὲ πολυγώνωι ἴσον τετράγωνον δυνάμενοι θέσθαι, ὡς ἐν τοῖς Στοιχείοις [Eukl. II 14] παρελάβομεν, διὰ τὸ ἴσον ὑποκεῖσθαι τὸ πολύγωνον τῶι κύκλωι ἐφαρμόζον αὐτῶι, ἐσόμεθα καὶ κύκλωι ἴσον τιθέντες τετράγωνον. THEMIST. phys. 4, 2 πρὸς Ἀντιφῶντα δὲ οὐκέτ’ ἂν ἔχοι λέγειν ὁ γεωμέτρης, ὃς ἐγγράφων τρίγωνον ἰσόπλευρον εἰς τὸν κύκλον καὶ ἐφ’ ἑκάστης τῶν πλευρῶν ἕτερον ἰσοσκελὲς συνιστὰς πρὸς τῆι περιφερείαι τοῦ κύκλου καὶ τοῦτο ἐφεξῆς ποιῶν ὤιετό ποτε ἐφαρμόσειν τοῦ τελευταίου τριγώνου τὴν πλευρὰν εὐθεῖαν οὖσαν τῆι περιφερείαι. τοῦτο δὲ ἦν 〈τοῦ〉 τὴν ἐπ’ ἄπειρον τομὴν ἀναιροῦντος, ἣν ὑπόθεσιν ὁ γεωμέτρης λαμβάνει.