1
Οἷον ὅτι τοῦ ἰσοσκελοῦς ἴσαι αἱ πρὸς τῇ βάσει
Τὸ μὲν πρόβλημα δεῖξαι τὰς πρὸς τῇ βάσει τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου δύο γωνίας ἴσας ἀλλήλαις, ὃ Εὐκλείδης μὲν ἐν τῶ πρώτῳ τῶν Στοιχείων δέδειχε διὰ τοῦ πέμπτου θεωρήματος δείξει χρησάμενος ἄλλῃ. ὁ μέντοι
Ἀριστοτέλης ἄλλως δείκνυσιν αὐτό, καὶ ἔστιν ἡ δεῖξις τοιαύτῃ· ἔστω κύκλος
ὁ Α Β Γ Δ, καὶ ἔστω κέντρον αὐτοῦ τὸ E, καὶ διήχθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέρειαν εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλήλας ἥ τε ΑE καὶ ἡ ΒE, διάμετροι οὖσαι δῆλον ὅτι τοῦ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ. βάσις δὴ ἔσται ἡ Α Β τοῦ E Α Β τριγώνου. ἔσονται δὴ πρὸς τῇ βάσει αὐτοῦ γωνίαι ἥ τε Α Γ καὶ ἡ Β Δ. ἐπεὶ οὖν ἡμικυκλίου ἐστὶν ἑκατέρα τῶν Α Γ,
Β Δ γωνιῶν, ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις· αἱ γὰρ τῶν ἴσων ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι τῷ ἐφαρμόζειν ἀλλήλαις. ὧν αἱ ὑπὸ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου καὶ τῆς περιφερείας ἀπολαμβανόμεναι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις, ἐπεί εἰσιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι· αἱ γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις, ὅτι καὶ καθόλου αἱ τῶν ἴσων τμημάτων γωνίαι ἴσαι. λοιπαὶ ἄρα αἱ πρὸς τῇ βάσει
αἱ ἀπολαμβανόμεναι ὑπό τε τῆς βάσεως καὶ ἑκατέρας τῶν τοὺ τριγώνου πλευρῶν ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις· ἄν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, καὶ τὰ λειπόμενα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις. καὶ εἰσὶν αἱ πλευραὶ τοῦ τριγώνου, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι γωνίαι, ἴσαι ἀλλήλαις· ἀπὸ γὰρ τοῦ κέντρου εἰσὶν ἀμφότεραι. τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις. ἂν δὴ
τούτου τοῦ] προκειμένου δειχθῆναι λάβῃ τις τὴν Α Γ γωνίαν τῇ Β Δ ἴσην
μὴ δείξας καθόλου, ὅτι αἱ τῶν ἴσων ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι, τὸ ζητούμενον ἄν καὶ τὸ ἐν ἀρχῇ λαμβάνοι. ἢ εἰ τοῦτο μὲν δείξειε, τὴν ὅλην τῇ ὅλῃ ἴσην, λάβοι δὲ τὰς ὑπὸ τῆς περιφερείας καὶ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου ἀποτεμνομένας γωνίας ἀπὸ τῶν ἐν τοῖς ἡμικυκλίοις γωνιῶν τῶν ὀρθῶν ἴσας ἀλλήλαις,
τὴν Γ τῇ Δ, μὴ δείξας καθόλου, ὅτι αἱ τῶν ἴσων τμημάτων γωνίαι
ἴσαι αἱ γὰρ τῶν ἴσων τμημάτων ἴσαι γωνίαι τῷ ἐφαρμόζειν ἀλλήλοις τὰ τμήματα, ὥσπερ καὶ τὰ ἡμικύκλια, διὸ καὶ <αἱ> ἐκείνων γωνίαι ἴσαι· δὲ δύο ἡμικυκλίων τῶν ὑπὸ τῶν Α, Β διαμέτρων τετμημένων κοινὸν τμῆμά 2 ἐστι τὸ ὑπὸ τῇ τοῦ τριγώνου βάσει· ἴσον οὖν αὑτῷ δηλαδὴ καὶ ἐφαρμόζον, 3 καθ’ ὃ ἑκατέρου ἀφῄρηται, δύο πως ὄν· ἴσαι ἄρα καὶ αἱ γωνίαι αὐτοῦ
ἀλλήλαις), ἄν δή τις λάβῃ τὰς γωνίας ἴσας εἶναι τὰς ἐν τῷ τμήματι μὴ δείξας, διὰ τί ἴσαι, πάλιν ἄν εἴη τὸ ἐν ἀρχῇ αἰτούμενος καὶ οὐ συλλογιζόμενος.
ἢ εἰ δείξειε μὲν καὶ τοῦτο, λαμβάνοι δὲ τὴν λοιπὴν ἴσην τὴν E τῇ Z, καὶ οὕτως ἂν τὸ ἐν ἀρχῇ λαμβάνοι, ἀλλ’ οὐ δεικνύοι ἄν, εἰ χωρὶς τοῦ ἀξιώματος ἐκείνου τεθείη τοῦ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειφθέντα
ἴσα εἶναι ἀλλήλοις. εἶπε δὲ τὰς καταλειπομένας ἀπὸ τῶν γωνιῶν τῶν ἡμικυκλίων τὰς E, Ζ, ὡς εἶναι τὰς μὲν ὅλας γωνίας τὰς τῶν ἡμικυκλίων
τὰς Α Γ, Β Δ, τὰς δὲ ἀφῃρημένας θ’ αὐτῶν τὰς τοῦ τμήματος Γ καὶ Δ, 4 τὰς δὲ καταλειπομένας ἀπ’ αὐτῶν E καὶ Z, αἳ περιέχονται ὑπό τε τῆς βάσεως καὶ ἑκατέρας τῶν πλευρῶν οὖσαι αἱ πρὸς τῇ βάσει, περὶ ὧν νῦν προκείμενον δεῖξαι, ὅτι ἴσαι. ἔσται δὴ τὸ ἐξ ἀνάγκης αἰτούμενος, ἄν τὰ δεόμενα δείξεως χωρὶς δείξεως ὡς οὕτως ἔχοντα λαμβάνῃ· αἰτήσεται γὰρ
τὸ ἴσας εἶναι τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου τὰς πρὸς τῇ βάσει, ἀλλ’ οὐ δείξει.
Ἀριστοτέλης ἄλλως δείκνυσιν αὐτό, καὶ ἔστιν ἡ δεῖξις τοιαύτῃ· ἔστω κύκλος
ὁ Α Β Γ Δ, καὶ ἔστω κέντρον αὐτοῦ τὸ E, καὶ διήχθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέρειαν εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλήλας ἥ τε ΑE καὶ ἡ ΒE, διάμετροι οὖσαι δῆλον ὅτι τοῦ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ. βάσις δὴ ἔσται ἡ Α Β τοῦ E Α Β τριγώνου. ἔσονται δὴ πρὸς τῇ βάσει αὐτοῦ γωνίαι ἥ τε Α Γ καὶ ἡ Β Δ. ἐπεὶ οὖν ἡμικυκλίου ἐστὶν ἑκατέρα τῶν Α Γ,
Β Δ γωνιῶν, ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις· αἱ γὰρ τῶν ἴσων ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι τῷ ἐφαρμόζειν ἀλλήλαις. ὧν αἱ ὑπὸ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου καὶ τῆς περιφερείας ἀπολαμβανόμεναι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις, ἐπεί εἰσιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι· αἱ γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις, ὅτι καὶ καθόλου αἱ τῶν ἴσων τμημάτων γωνίαι ἴσαι. λοιπαὶ ἄρα αἱ πρὸς τῇ βάσει
αἱ ἀπολαμβανόμεναι ὑπό τε τῆς βάσεως καὶ ἑκατέρας τῶν τοὺ τριγώνου πλευρῶν ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις· ἄν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, καὶ τὰ λειπόμενα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις. καὶ εἰσὶν αἱ πλευραὶ τοῦ τριγώνου, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι γωνίαι, ἴσαι ἀλλήλαις· ἀπὸ γὰρ τοῦ κέντρου εἰσὶν ἀμφότεραι. τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις. ἂν δὴ
τούτου τοῦ] προκειμένου δειχθῆναι λάβῃ τις τὴν Α Γ γωνίαν τῇ Β Δ ἴσην
μὴ δείξας καθόλου, ὅτι αἱ τῶν ἴσων ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι, τὸ ζητούμενον ἄν καὶ τὸ ἐν ἀρχῇ λαμβάνοι. ἢ εἰ τοῦτο μὲν δείξειε, τὴν ὅλην τῇ ὅλῃ ἴσην, λάβοι δὲ τὰς ὑπὸ τῆς περιφερείας καὶ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου ἀποτεμνομένας γωνίας ἀπὸ τῶν ἐν τοῖς ἡμικυκλίοις γωνιῶν τῶν ὀρθῶν ἴσας ἀλλήλαις,
τὴν Γ τῇ Δ, μὴ δείξας καθόλου, ὅτι αἱ τῶν ἴσων τμημάτων γωνίαι
ἴσαι αἱ γὰρ τῶν ἴσων τμημάτων ἴσαι γωνίαι τῷ ἐφαρμόζειν ἀλλήλοις τὰ τμήματα, ὥσπερ καὶ τὰ ἡμικύκλια, διὸ καὶ <αἱ> ἐκείνων γωνίαι ἴσαι· δὲ δύο ἡμικυκλίων τῶν ὑπὸ τῶν Α, Β διαμέτρων τετμημένων κοινὸν τμῆμά 2 ἐστι τὸ ὑπὸ τῇ τοῦ τριγώνου βάσει· ἴσον οὖν αὑτῷ δηλαδὴ καὶ ἐφαρμόζον, 3 καθ’ ὃ ἑκατέρου ἀφῄρηται, δύο πως ὄν· ἴσαι ἄρα καὶ αἱ γωνίαι αὐτοῦ
ἀλλήλαις), ἄν δή τις λάβῃ τὰς γωνίας ἴσας εἶναι τὰς ἐν τῷ τμήματι μὴ δείξας, διὰ τί ἴσαι, πάλιν ἄν εἴη τὸ ἐν ἀρχῇ αἰτούμενος καὶ οὐ συλλογιζόμενος.
ἢ εἰ δείξειε μὲν καὶ τοῦτο, λαμβάνοι δὲ τὴν λοιπὴν ἴσην τὴν E τῇ Z, καὶ οὕτως ἂν τὸ ἐν ἀρχῇ λαμβάνοι, ἀλλ’ οὐ δεικνύοι ἄν, εἰ χωρὶς τοῦ ἀξιώματος ἐκείνου τεθείη τοῦ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειφθέντα
ἴσα εἶναι ἀλλήλοις. εἶπε δὲ τὰς καταλειπομένας ἀπὸ τῶν γωνιῶν τῶν ἡμικυκλίων τὰς E, Ζ, ὡς εἶναι τὰς μὲν ὅλας γωνίας τὰς τῶν ἡμικυκλίων
τὰς Α Γ, Β Δ, τὰς δὲ ἀφῃρημένας θ’ αὐτῶν τὰς τοῦ τμήματος Γ καὶ Δ, 4 τὰς δὲ καταλειπομένας ἀπ’ αὐτῶν E καὶ Z, αἳ περιέχονται ὑπό τε τῆς βάσεως καὶ ἑκατέρας τῶν πλευρῶν οὖσαι αἱ πρὸς τῇ βάσει, περὶ ὧν νῦν προκείμενον δεῖξαι, ὅτι ἴσαι. ἔσται δὴ τὸ ἐξ ἀνάγκης αἰτούμενος, ἄν τὰ δεόμενα δείξεως χωρὶς δείξεως ὡς οὕτως ἔχοντα λαμβάνῃ· αἰτήσεται γὰρ
τὸ ἴσας εἶναι τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου τὰς πρὸς τῇ βάσει, ἀλλ’ οὐ δείξει.
In Aristotelis Analyticorum Priorum Librum I Commentarium. Alexander of Aphrodisias. ed. Maximilian Wallies. Germany. 2014.
Sponsored by University of Leipzig.
Funding provided by European Social Fund Saxony.