Hero of Alexandria Dioptra 28

κη. Τὰ δὲ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν. τραπεζίου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠, παράλληλον ἔχοντος τῇ Α∠ τὴν ΒΓ, καὶ ἔτι ἑκατέραν αὐτῶν καὶ τὴν μὲν ἐπʼ ^{2 3} αὐτὰς κάθετον δοθεῖσαν, ἀγαγεῖν παράλληλον τῇ Α∠, ὡς τὴν ΕΖ, ἀπολαμβάνουσαν τὸ Α∠ΕΖ τραπέζιον δοθὲν τῷ μεγέθει. γεγονέτω δὴ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΒΑ, Γ∠ ἐπὶ τὸ Η· καὶ κάθετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν Α∠, ΒΓ δοθεῖσά ἐστι τῷ μεγέθει,
λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς Α∠ δοθείς, ὥστε καὶ τῆς ΘΗ πρὸς ΗΚ, καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΚΗ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΘΚ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ δοθεῖσα. δέδοται οὖν καὶ τὸ Α∠Η τρίγωνον τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΗΕΖ τρίγωνον·
λόγος ἄρα τοῦ ΗΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΗΑ∠ τρίγωνον δοθείς, ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ ΛΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ ἀπὸ ΗΚ, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΗΛ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΗΛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΘ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΘ δοθεῖσά ἐστι. θέσει ἄρα
ἡ ΕΖ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΚ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΛ δοθεῖσά ἐστι. θέσει ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. συντεθήσεται ⁴ δὴ | οὕτως. ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μοιρῶν ιδ, ἡ δὲ Α∠ μοιρῶν ἑπτὰ, ἡ δὲ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος μοιρῶν ϛ. ⁵ ἐπεὶ οὖν διπλασία ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Α∠, ὅλη ἄρα ἡ
ΗΘ τῆς ΗΚ ἐστὶ διπλασίων· καὶ ἔστιν ἡ ΚΘ μοιρῶν ϛ· ἔσται ἄρα καὶ ἡ λοιπὴ μοιρῶν ϛ· ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ μοιρῶν ζ· τὸ ἄρα Α∠Η τρίγωνον ἔσται μοιρῶν κα. δέον οὖν ἔστω τὸ ἀφαιρούμενον τραπέζιον ποιεῖν μοιρῶν ιθ· ὅλον ἄρα τὸ ΗΕΖ τρίγωνον ἔσται μοιρῶν υ·
καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΚ μοιρῶν ἐστὶν ϛ, τὸ ἄρα ἀπʼ αὐτῆς μοιρῶν ἐστὶ λϛ. πολλαπλασιάζω οὖν τὰ λϛ ἐπὶ τὰ ⁶ υ· γίνεται αυμ· καὶ παραβάλλω παρὰ τὸν κα, γίνεται ξη U+2220 ιδʹ· καὶ τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ὡς ἔγγιστα η καὶ β· ἔσται οὖν ἡ ΗΛ μοιρῶν η καὶ β, ὧν ἡ ΗΚ μοιρῶν ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΛ μοιρῶν β καὶ β· ὥστʼ ἐὰν ἀπὸ τῆς καθέτου ἀφέλω μοίρας δύο καὶ β,
καὶ παράλληλον ἀγάγω, ἔσται τὸ ἀφαιρούμενον τραπέζιον μοιρῶν ιθ.