1
κγ. Τὸ δοθὲν χωρίον μετρῆσαι διὰ διόπτρας. ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ γραμμῆς ἀτάκτου τῆς ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν
διὰ τῆς κατασκευασθείσης διόπτρας διάγειν πάσῃ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἑτέραν πρὸς ὀρθάς, ἔλαβόν τι σημεῖον ἐπὶ τῆς περιεχούσης τὸ χωρίον γραμμῆς τὸ Β, καὶ ἤγαγον εὐθεῖαν τυχοῦσαν διὰ τῆς διόπτρας τὴν ΒΗ, καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΒΓ, καὶ ταύτῃ
ἑτέραν πρὸς ὀρθὰς τὴν ΓΖ, καὶ ὁμοίως τῇ ΓΖ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΖΘ. καὶ ἔλαβον ἐπὶ τῶν ἀχθεισῶν εὐθειῶν συνεχῆ σημεῖα, ἐπὶ μὲν τῆς ΒΗ τὰ Κ, Λ, 2 3 Μ, Ν, Ξ, Ο· ἐπὶ δὲ τῆς ΒΓ τὰ Π, Ρ· ἐπὶ δὲ τῆς ΓΖ τὰ Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω· ἐπὶ δὲ τῆς ΖΘ τὰ ϛ, 𝔮. καὶ ἀπὸ τῶν ληφθέντων σημείων ταῖς εὐθείαις, ἐφʼ ὧν ἐστὶ τὰ σημεῖα, πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον τὰς ΚϠ, ΛΑ, ΜΑ, ΝΒ, ΕΓ, Ο∠ ΠΕ, Ρϛ
ΣΖ, ΤΗ, ΥΘ, Φ∠, ΧΜ, ΨΜ, ΩΕ, ϛΜ, 4 𝔮??Μ οὕτως ὥστε τὰς ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν ἀχθεισῶν πρὸς ὀρθὰς ἐπιζευγνυμένας ἀπολαμβάνειν γραμμὰς ἀπὸ τῆς περιεχούσης τὸ χωρίον γραμμῆς σύνεγγυς εὐθείας· καὶ τούτων γενηθέντων ἔσται δυνατὸν τὸ
χωρίον μετρεῖν. τὸ μὲν γὰρ ΒΓΖΜ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιόν ἐστιν· ἔπειτα τὰς πλευρὰς ἁλύσει ἢ σχοινίῳ βεβασανισμένῳ, τουτέστιν μήτʼ ἐκτείνεσθαι μήτε συστέλλεσθαι δυναμένῳ, μετρήσαντες ἕξομεν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου. τὰ δʼ ἐκτὸς τούτου
τρίγωνα ὀρθογώνια καὶ τραπέζια ὁμοίως μετρήσομεν, ἔχοντες τὰς πλευρὰς αὐτῶν· ἔσται γὰρ τρίγωνα μὲν ὀρθογώνια τὰ ΒΚϠ, ΒΠΕ, ΓΡϛ, ΓΣΖ, ΖΩΕ, ΖϛΜ, ΘΗΜ· τὰ δὲ λοιπὰ τραπέζια ὀρθογώνια. τὰ μὲν οὖν τρίγωνα μετρεῖται τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν
πολλαπλασιαζομένων ἐπʼ ἄλληλα· καὶ τοῦ γενομένου τὸ ἥμισυ. τὰ δὲ τραπέζια· συναμφοτέρων τῶν παραλλήλων τὸ ἥμισυ ἐπὶ τὴν ἐπʼ αὐτὰς κάθετον οὖσαν, οἷον τῶν ΚϠ, ΑΛ τὸ ἥμισυ ἐπὶ τὴν ΚΛ· καὶ τῶν λοιπῶν δὲ ὁμοίως. ἔσται ἄρα μεμετρημένον ὅλον τὸ
5 6 χωρίον διά τε τοῦ μέσου παραλληλογράμμου καὶ τῶν ἐκτὸς αὐτοῦ τριγώνων καὶ τραπεζίων. ἐὰν δὲ τύχῃ ποτὲ μεταξὺ αὐτῶν τῶν ἀχθεισῶν πρὸς ὀρθὰς ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου πλευραῖς καμπύλη γραμμὴ μὴ συνεγγίζουσα εὐθείᾳ (οἷον μεταξὺ τῶν ΞΓ, Ο∠
γραμμὴ ἡ Γ ∠), ἀλλὰ περιφερεῖ, μετρήσομεν οὕτως· ἀγαγόντες τῇ Ο∠ πρὸς ὀρθὰς τὴν ∠Μ, καὶ ἐπʼ 7 αὐτῆς λαβόντες σημεῖα συνεχῆ τὰ Μ, Μ, καὶ ἀ|π᾿ αὐτῶν πρὸς ὀρθὰς ἀγαγόντες τῇ Μ∠ τὰς ΜΜ, ΜΜ, ὥστε τὰς μεταξὺ τῶν ἀχθεισῶν σύνεγγυς εὐθείας εἶναι,
8 πάλιν μετρήσομεν τό τε ΜΞΟ∠ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΜΜ ∠ τρίγωνον, καὶ τὸ ΓΜΜΜ τραπέζιον, καὶ ἔτι τὸ ἕτερον τραπέζιον, καὶ ἕξομεν τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τῆς ΓΜΜ ∠ γραμμῆς καὶ τῶν ΓΞ ΞΟ, Ο ∠ εὐθειῶν μεμετρημένον.
διὰ τῆς κατασκευασθείσης διόπτρας διάγειν πάσῃ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἑτέραν πρὸς ὀρθάς, ἔλαβόν τι σημεῖον ἐπὶ τῆς περιεχούσης τὸ χωρίον γραμμῆς τὸ Β, καὶ ἤγαγον εὐθεῖαν τυχοῦσαν διὰ τῆς διόπτρας τὴν ΒΗ, καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΒΓ, καὶ ταύτῃ
ἑτέραν πρὸς ὀρθὰς τὴν ΓΖ, καὶ ὁμοίως τῇ ΓΖ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΖΘ. καὶ ἔλαβον ἐπὶ τῶν ἀχθεισῶν εὐθειῶν συνεχῆ σημεῖα, ἐπὶ μὲν τῆς ΒΗ τὰ Κ, Λ, 2 3 Μ, Ν, Ξ, Ο· ἐπὶ δὲ τῆς ΒΓ τὰ Π, Ρ· ἐπὶ δὲ τῆς ΓΖ τὰ Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω· ἐπὶ δὲ τῆς ΖΘ τὰ ϛ, 𝔮. καὶ ἀπὸ τῶν ληφθέντων σημείων ταῖς εὐθείαις, ἐφʼ ὧν ἐστὶ τὰ σημεῖα, πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον τὰς ΚϠ, ΛΑ, ΜΑ, ΝΒ, ΕΓ, Ο∠ ΠΕ, Ρϛ
ΣΖ, ΤΗ, ΥΘ, Φ∠, ΧΜ, ΨΜ, ΩΕ, ϛΜ, 4 𝔮??Μ οὕτως ὥστε τὰς ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν ἀχθεισῶν πρὸς ὀρθὰς ἐπιζευγνυμένας ἀπολαμβάνειν γραμμὰς ἀπὸ τῆς περιεχούσης τὸ χωρίον γραμμῆς σύνεγγυς εὐθείας· καὶ τούτων γενηθέντων ἔσται δυνατὸν τὸ
χωρίον μετρεῖν. τὸ μὲν γὰρ ΒΓΖΜ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιόν ἐστιν· ἔπειτα τὰς πλευρὰς ἁλύσει ἢ σχοινίῳ βεβασανισμένῳ, τουτέστιν μήτʼ ἐκτείνεσθαι μήτε συστέλλεσθαι δυναμένῳ, μετρήσαντες ἕξομεν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου. τὰ δʼ ἐκτὸς τούτου
τρίγωνα ὀρθογώνια καὶ τραπέζια ὁμοίως μετρήσομεν, ἔχοντες τὰς πλευρὰς αὐτῶν· ἔσται γὰρ τρίγωνα μὲν ὀρθογώνια τὰ ΒΚϠ, ΒΠΕ, ΓΡϛ, ΓΣΖ, ΖΩΕ, ΖϛΜ, ΘΗΜ· τὰ δὲ λοιπὰ τραπέζια ὀρθογώνια. τὰ μὲν οὖν τρίγωνα μετρεῖται τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν
πολλαπλασιαζομένων ἐπʼ ἄλληλα· καὶ τοῦ γενομένου τὸ ἥμισυ. τὰ δὲ τραπέζια· συναμφοτέρων τῶν παραλλήλων τὸ ἥμισυ ἐπὶ τὴν ἐπʼ αὐτὰς κάθετον οὖσαν, οἷον τῶν ΚϠ, ΑΛ τὸ ἥμισυ ἐπὶ τὴν ΚΛ· καὶ τῶν λοιπῶν δὲ ὁμοίως. ἔσται ἄρα μεμετρημένον ὅλον τὸ
5 6 χωρίον διά τε τοῦ μέσου παραλληλογράμμου καὶ τῶν ἐκτὸς αὐτοῦ τριγώνων καὶ τραπεζίων. ἐὰν δὲ τύχῃ ποτὲ μεταξὺ αὐτῶν τῶν ἀχθεισῶν πρὸς ὀρθὰς ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου πλευραῖς καμπύλη γραμμὴ μὴ συνεγγίζουσα εὐθείᾳ (οἷον μεταξὺ τῶν ΞΓ, Ο∠
γραμμὴ ἡ Γ ∠), ἀλλὰ περιφερεῖ, μετρήσομεν οὕτως· ἀγαγόντες τῇ Ο∠ πρὸς ὀρθὰς τὴν ∠Μ, καὶ ἐπʼ 7 αὐτῆς λαβόντες σημεῖα συνεχῆ τὰ Μ, Μ, καὶ ἀ|π᾿ αὐτῶν πρὸς ὀρθὰς ἀγαγόντες τῇ Μ∠ τὰς ΜΜ, ΜΜ, ὥστε τὰς μεταξὺ τῶν ἀχθεισῶν σύνεγγυς εὐθείας εἶναι,
8 πάλιν μετρήσομεν τό τε ΜΞΟ∠ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΜΜ ∠ τρίγωνον, καὶ τὸ ΓΜΜΜ τραπέζιον, καὶ ἔτι τὸ ἕτερον τραπέζιον, καὶ ἕξομεν τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τῆς ΓΜΜ ∠ γραμμῆς καὶ τῶν ΓΞ ΞΟ, Ο ∠ εὐθειῶν μεμετρημένον.
Dioptra. Hero of Alexandria. ed. Hermann Schöne. United States. 2018.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.