| Μετὰ τὴν τῶν ἐπιφανειῶν μέτρησιν εὐθυγράμμων τε καὶ μὴ κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρητέον, ὧν καὶ τὰς ἐπιφανείας ἐν τῷ πρὸ τούτου
βιβλίῳ ἐμετρήσαμεν ἐπιπέδους τε καὶ σφαιρικάς, ἔτι τε κωνικὰς καὶ κυλινδρικάς, πρὸς δὲ τούτοις ἀτάκτους, ὧν τὰς ἐπινοίας ὥσπερ παραδόξους οὔσας τινὲς εἰς Ἀρχιμήδην ἀναφέρουσιν κατὰ διαδοχὴν ἱστοροῦντες. εἴτε δὲ Ἀρχιμήδους εἴτε ἄλλου τινός, ἀναγκαῖον καὶ
ταύτας προ συπογράψψαι, ὅπως κατὰ μηδὲν ἐνδεὴς ἡ πραγματεία τυγχάνῃ τοῖς βουλομένοις αὐτὰ μεταχειρίζεσθαι.

Στερεὸν εὐθύγραμμον ὀρθογώνιον μετρῆσαι δοθείσης ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς, μήκους τε καὶ πλάτους
καὶ βάθους ἢ πάχους· οὐδὲν γὰρ διοίσει εἰ ἢ κοῖλον ὑπάρχον μετρεῖσθαί τι σῶμα ἢ ναστόν. βάθος μὲν γὰρ καλεῖται ἐπὶ τῶν κοίλων σωμάτων, πάχος δὲ ἐπὶ τῶν ναστῶν. ἔστω δὲ τὸ μὲν μῆκος μονάδων κ, τὸ δὲ πλάτος μονάδων ιβ, τὸ δὲ πάχος μονάδων π. ἐὰν
δὴ διʼ ἀλλήλων τοὺς ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσωμεν, γίγνονται μονάδες ατ. τοσούτων δὲ καὶ τὸ στερεὸν ² ἔσται μονάδων. τούτου δʼ ἡ ἀπόδειξις φανερά. ἐὰν γὰρ τὰς τρεῖς διαστάσεις ἐπινοήσωμεν διῃρημένας εἰς μοναδιαῖα διαστήματα καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπίπεδα ἐκβάλωμεν παράλληλα τοῖς περιέχουσι τὸ στερεὸν ἐπιπέδοις, ἔσται ὥσπερ καταπεπρισμένον τὸ στερεὸν εἰς
μοναδιαῖα στερεά, ὧν τὸ πλῆθος ἔσται ὁ εἰρημένος ἀριθμός. καὶ καθόλου δὲ πᾶν στερεὸν σχῆμα πάχος ἔχον οἱονδηποτοῦν καὶ μῆκος οἱονδηποτοῦν, τὸ δὲ ὕψος πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει μετρεῖται τῆς βάσεως αὐτοῦ μετρηθείσης καὶ ἐπὶ τὸ ὕψος πολλαπλασιασθείσης.
οἷον· ἔστω τοῦ στερεοῦ βάσις ἔλλειψις, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς ὀρθὰς ἐπινοείσθω τις εὐθεῖα τῷ τῆς ἐλλείψεως ἐπιπέδῳ ὕψος ἔχουσα δοθέν. τὸ δὲ τῆς ἐλλείψεως σχῆμα φερέσθω κατὰ τῆς εἰρη|μένης ³ εὐθείας οὕτως, ὥστε τὸ μὲν κέντρον κατʼ αὐτῆς
φέρεσθαι, τὸ δὲ τῆς ἐλλείψεως ἐπίπεδον ἀεὶ παράλληλον ὑπάρχειν τῇ ἐξ ἀρχῆς θέσει. ἔσται δή τι σχῆμα ὡσπερεὶ κύλινδρος βάσιν ἔχον τὴν εἰρημένην ἔλλειψιν. τοῦ δὴ τοιούτου σχήματος τὸ ὕψος πρὸς ὀρθὰς καλῶ τῇ βάσει· ὃ δὴ μετρεῖται τῷ προειρημένῳ τρόπῳ. κἂν
ἡ βάσις δὲ ἕτερον ἔχῃ σχῆμα, τὸ δὲ ὕψος πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, ὡς εἴρηται, ὁμοίως μετρηθήσεται· ὥστε καὶ κύλινδρος ὡσαύτως μετρεῖται. κἂν μὴ δὲ τὸ ὕψος τοῦ στερεοῦ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, ἀλλὰ κεκλιμένον ᾖ, τὸ δὲ στερεὸν τοιοῦτον, ὥστε τεμνόμενον ἐπιπέδῳ
παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιεῖν τομὰς ἴσας τῇ βάσει, δοθεῖσα δὲ ᾖ ἀπὸ τῆς κορυφῆς αὐτοῦ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν βάσιν, τὸ στερεὸν ὡσαύτως λαμβάνεται. δεῖ γὰρ λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τῆς βάσεως αὐτοῦ πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον καὶ ἀποφαίνεσθαι
τοσούτου τὸ στερεόν· τὸ δὲ εἰρημένον ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιεῖ τομὰς τῇ βάσει ἴσας, γίγνεται οὕτως. ἐὰν ἐπὶ τῆς βάσεως αὐτοῦ εὐθεῖά τις ἐπισταθῇ ἤτοι ὀρθὴ ἢ κεκλιμένη πρὸς τὴν βάσιν καὶ μενούσης αὐτῆς ἡ τοῦ στερεοῦ βάσις φέρηται κατὰ τῆς εἰρημένης εὐθείας, ὥστε τὸ μὲν πρὸς τῇ βάσει
σημεῖον κατὰ τῆς εὐθείας φέρεσθαι, τὴν δὲ βάσιν ἀεὶ φερομένην παράλληλον ἑαυτῇ διαμένειν, τὸ τοιοῦτον σχῆμα τεμνόμενον ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ποιήσει τομὰς τοσαύτας τῇ βάσει ἴσας, ἐπειδήπερ τῆς βάσεως ἡ φορὰ κατὰ παράλληλον αὐτῇ θέσιν
ἐφέρετο.

α. Ἔστω δὴ κῶνον μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος η. ὕψος δὲ τοῦ κώνου καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετον ἀγομένην, ἐάν τε ὀρθὸς ὁ κῶνος ὑπάρχῃ ἐάν
⁴ τε σκαληνός. νενο|ήσθω δὴ κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. τούτου δὴ τοῦ κυλίνδρου τὸ στερεὸν ἔσται δοθέν. ἥ τε γὰρ διάμετρος αὐτοῦ τῆς βάσεως δοθεῖσά ἐστιν καὶ τὸ ὕψος δοθέν. καὶ ἔστιν, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων χκη
δ. ἀλλʼ ἐπεὶ πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου μονάδων σθ ια ὁμοίως οὖν καὶ πυραμίδος πάσης τὸ στερεὸν ληψόμεθα δοθείσης τῆς βάσεως αὐτῆς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου
ἀγομένης ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, ἐπειδήπερ πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον.

β. Ἔστω δὴ κύλινδρον σκαληνὸν μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος μονάδων η. ὕψος δὲ καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς ἐφέδρας αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον. νενοήσθω δὴ πάλιν κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως
τῷ προειρημένῳ κυλίνδρῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ· ἐπεὶ οὖν οἱ ἰσοϋψεῖς κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις, οἱ δὲ εἰρημένοι κύλινδροι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ὀρθὸς κύλινδρος τῷ σκαληνῷ. τοῦ δὲ ὀρθοῦ τὸ
στερεόν ἐστιν δοθέν· τό τε γὰρ ὕψος αὐτοῦ δοθέν ἐστιν καὶ ἡ διάμετρος τῆς βάσεως· καὶ ἔστι μονάδων χκη δ. καὶ τοῦ σκαληνοῦ ἄρα τὸ στερεὸν τοσούτου ἔσται.

γ. | Ἔστω δὴ στερεὸν παραλληλεπίπεδον μετρῆσαι
τὸ ὕψος ἔχον μὴ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει. ἔστω δὲ λόγου ἕνεκεν ἡ μὲν βάσις αὐτοῦ ἑξάγωνος, ἰσόπλευρος καὶ ἰσογώνιος ἡ ΑΒΓ∠ΕΖ, ἡ δὲ ΑΒ πλευρὰ μονάδων ι, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ἐφέδρας κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον ἔστω μονάδων η· ἡ δὲ ἐφέδρα αὐτοῦ
ἔσται ἡ ΗΘΚ ΛΜΝ. καὶ ἀπὸ τῆς ΗΘ ΚΛ ΜΝ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον αἱ ΗΞ ΘΟ ΚΠ ΛΡ ΜΣ ΝΤ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΟ ΟΠ ΠΡ ΡΣ ΣΤ ΤΞ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΞΟΠΡΣΤ ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον. ἐπεὶ οὖν τὰ ἐπὶ
τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστὶν, ἴσον ἄρα τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛΜΝ στερεὸν τῷ ΞΟΠΡΣΤΗ ΘΚΛΜΝ στερεῷ. δοθὲν δὲ τὸ ΞΟΠΡΣΤΗΘΚ ΚΛΜΝ. ⁷ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΚ ΛΜΝ. ὥστε δεήσει λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖ ἑξαγώνου πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον, τουτέστι τὰς η μονάδας, καὶ τοσούτου τὸ στερεὸν ἀποφήνασθαι. καὶ οἵαν δʼ ἂν ἔχῃ βάσιν τὸ στερεὸν, ὡσαύτως
μετρεῖται.

δ. | Ἔστω πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ εὐθεῖα. καὶ. ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ι, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων η, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΖ κορυφῆς κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓ∠
ἐπίπεδον ἔστω μονάδων ε· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τοῦ πρίσματος. συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ στερεὸν παραλληλεπίπεδον· τὸ ἄρα ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ στερεὸν παραλληλεπίπεδον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖ Η ποίσματος. δοθὲν δὲ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον·
μένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν.

ϛ. Ἔστω δὴ πυραμίδα κόλουρον μετρῆσαι τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν· ἔσται δὴ καὶ ἡ κορυφὴ αὐτῆς τρίγωνος ὁμοία τῇ βάσει. ἔστω οὖν ἡ μὲν βάσις αὐτῆς τὸ
ΑΒΓ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ, ἡ δὲ κορυφὴ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ. ἔστω δὲ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιη, ἡ δὲ ΒΓ κδ, ἡ δὲ ΑΓ λϛ, ἡ δὲ ∠Ε ιμ· ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΕΖ ιϛ, ἡ δὲ ∠Ζ κδ. ἔστω δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου κάθετος ἐπὶ τὴν
βάσιν μονάδων ι. κείσθω τῇ μὲν ∠Ε ἴση ἡ ΑΗ, τῇ δὲ ΕΖ ἡ ΓΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ, καὶ τετμήσθωσν δίχα αἱ ΒΘ ΒΗ τοῖς Κ, Λ σημείοις, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ. ἐπεὶ
οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ τρίγωνα, ὡς ἔστιν ἡ ΑΒ πρὸς ∠Ε, τουτεστι πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, τουτέστι πρὸς ΓΘ. παράλληλος ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΚ ΚΒ καὶ παράλληλοι αἱ ΚΝΜ ΒΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΝΗ τῇ ΝΘ. ἀλλὰ καὶ
ἡ ΒΛ τῇ ΛΘ. παράλληλος ἄρα ἡ ΛΝΞ τῇ ΑΒ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ τῇ ΗΘ, τουτέστι τῇ ΑΓ. παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΚΛΞ ΚΛΓΜ καὶ ἴσα ἐστίν· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΗΚ ΛΝ τῷ
ΝΚΛΘ ἴσον ἐστί. λοιπὸν τὸ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμον τῶ τῷ ΝΘΓΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΝΞ ⁹ τῇ ∠Ε, ἡ δὲ ΓΘ, τουτέστιν ἡ ΜΝ, τῇ ΕΖ | καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσιν, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΞΜ τῇ ∠Ζ.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΞ ΜΓ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΞ τῇ ΜΓ. συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΑΓ ΜΞ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ∠Ζ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΓΞ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΚΗ, συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΒΑ ΗΑ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΑΒ ∠Ε, ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΞΛ. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΓ ΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν τὸ στερεὸν τῆς κολούρου πυραμίδος σύγκειται ἔκ τε τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν βάσιν μὲν ἔχοντος τὸ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμον, κορυφὴν δὲ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν, καὶ τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις μέν
ἐστι τὸ ΜΝΘΓ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ εὐθεῖα, καὶ ἑτέρου πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ, καὶ ἔτι τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις τὸ ΒΗΘ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον· ἀλλὰ τῶν μὲν πρισμάτων, ὧν βάσις
ἐστὶ τὰ ΑΗΝΞ ΝΘΓΜ παραλληλόγραμμα, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῇ πυραμίδι τὸ στερεόν ἐστιν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΝΜΘΓ παραλληλογράμμου ἐπὶ τὴν κάθετον, τοῦ δὲ πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ, τὸ στερεόν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον
ἐπὶ τὴν κάθετον, τῆς δὲ πυραμίδος, ἧς βάσις ἐστὶ τὸ ΒΗΘ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον, τὸ στερεόν ἐστι τὸ τρίτον τοῦ τοῦ ΒΗΘ τριγώνου ἐμβαδοῦ ἐπὶ τὴν κάθετον, τὸ δὲ τρίτον τοῦ ΒΗΘ τριγώνου ἓν καὶ τρίτον ἐστὶ τοῦ ΛΝΘ διὰ τὸ ἴσα
εἶναι , τὸ δὲ τρίτον τοῦ ΛΝΘ τριγώνου τὸ δωδέκατόν ἐστι τοῦ ΒΗΘ τριγώνου· ὥστε τῆς κολούρου πυραμίδος τὸ στερεόν ἐστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΞΛΓ τριγώνου προσλαβὸν τὸ ιβʹ μέρος τοῦ ΒΗΘ τριγώνου καὶ πολλαπλασιασθὲν ἐπὶ τὴν κάθετον. καὶ ἔστιν ἡ κάθετος
θεῖσα. δεῖξαι ἄρα δεῖ, ὅτι δοθέν ἐστι καὶ τὸ ΞΛΓ τρίγωνον καὶ τὸ ιβʹ τοῦ ΒΗΘ ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστι συναμφότερος ἡ ΑΒ ∠ Ε καὶ ἐδείχθη αὐτῆς ¹⁰ ἡμίσεια ἡ ΞΛ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΞΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΓ ΓΞ ἐστὶ δοθεῖσα· ὥστε δοθέν ἐστι τὸ ΞΛΓ τρίγωνον. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν
ἑκατέρα τῶν ΒΑ ΑΗ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΘ. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσα ἑκατέρα τῶν ΑΓ ΜΞ, καὶ λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΞ ΜΓ δοθεῖσα, τουτέστιν ἡ ΗΘ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘΒ τρίγωνον· ὥστε καὶ τὸ ιβʹ αὐτοῦ δοθὲν. συντεθήσεται
δὲ οὕτως. σύνθες τὰ ιη καὶ τὰ ιβ· καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ γίγνεται ιε· καὶ τὰ κδ καὶ ιϛ· ὧν ἥμισυ γίγνεται κ. καὶ λϛ καὶ κδ· ὧν ἥμισυ γίγνεται λ. καὶ μέτρησον τρίγωνον, οὗ πλευραὶ ιε, κ, λ· γίγνεται, ὡς ἐμάθομεν, ἔγγιστα ρλα δ΄. καὶ ἄφελε ἀπὸ
τῶν ιη τὰ ιβ· λοιπὰ ϛ. καὶ ἀπὸ τῶν κδ τὰ ιϛ· λοιπὰ η. καὶ ἀπὸ τῶν λϛ τὰ κδ· λοιπὰ ιβ. καὶ μέτρησον τρίγων ον, οὗ πλευραὶ ϛ, η, ιβ· ἔσται ὁμοίως, ὡς ἐμάθομεν, κα ἔγγιστα· τούτων τὸ ιβ΄· γίγνεται αU+2220δʹ. πρόσθες ταῖς ρλα δʹ· γίγνονται ρλγ. ταῦτα ἐπὶ τὴν
κάθετον, καὶ τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς ΑΒΓ∠ΕΖ κολούρου πυραμίδος.

ζ. Στερεὸν μετρῆσαι περιεχόμενον ὑπὸ ἐπιπέδων τριγώνους ἔχον βάσεις. ἔστω τὸ εἰρημένον στερεὸν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ,
παράλληλον δὲ τῷ ΑΒΓ τὸ υ ∠ΕΖ. ἐπίπεδα δὲ ἔστω τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓ ΕΖ ΑΓ∠Ζ. καὶ δοθεῖσα ἑκάστη ¹¹ τῶν Α Α ∠Ε ΕΖ Ζ∠ καὶ ἔτι ἡ ἀ|πὸ τοῦ ∠ΕΖ ¹² ἐπιπέδου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΕΖ καὶ μείζων ἡ ΒΓ. αἱ ἄρα ΒΕ ΓΖ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η. λέγω δὴ ὅτι καὶ ἡ Α∠ ἐκβαλ λομένη συμπεσεῖται κατὰ τὸ Η.
ὅτι μὲν οὖν ἑκατέρα τῶν ΒΕ ΓΖ συμπίπτει τῇ Α∠, φανερόν διὰ τὸ εἶναι τὴν μὲν ΑΒ μείζονα τῆς ∠Ε, τὴν δὲ ΑΓ τῆς ∠Ζ. λέγω ὅτι κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ γὰρ Α∠ σημεῖα ἔν τε τῷ διὰ τῶν ΑΒ ∠Ε ἐστὶν ἐπιπέδῳ καὶ ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΓ ∠Ζ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν
ἡ Α∠Η. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον καὶ ἐμβαλλέτω κατὰ τὸ Θ, τῷ δὲ ∠ΕΖ κατὰ τὸ Κ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΘ ΖΚ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΘ τῇ ΖΚ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ. ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς
ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΗΚ. λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς ΕΖ δοθεὶς· δοθεῖσα γὰρ ἐκατέρα. λόγος ἄρα καὶ τῆς ΗΘ πρὸς ΗΚ δοθείς. ὥστε καὶ τῆς ΘΚ πρὸς ΚΗ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΘΚ ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ ∠ΕΖ ἐπιπέδου κάθετος ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον
δοθεῖσά ἐστιν· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΗ. ὥστε καὶ ἡ ΗΘ δοθεῖσά ἐστιν. ἐπεὶ οὐν πυραμίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, δέδοται ἥ τε βάσις καὶ ἡ ἀπὸ τῆ, κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἡ ΗΘ, δοθὲν ἄρα τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν.
κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, δοθέν ἐστι. λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΓ∠Ε στερεὸν δοθέν ἐστι. συντεθήσεται δὴ οὕτως. δεῖ τὴν ¹³ ΘΚ ποιῆσαι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς ΕΖ προστεθείσης τῆς ΚΗ τὴν ΘΗ πρὸς ΗΚ. καὶ εὑρόντα ἑκατέραν τῶν καθέτων τῶν ΗΘ ΗΚ καθʼ ἑαυτὰς μετρῆσαι ἑκατέραν πυραμίδα, ἧς τε βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγων ον καὶ ἧς βάσις τὸ ∠ΕΖ, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον, καὶ τὴν
ὑπεροχὴν αὐτῶν ἀποφαίνεσθαι ἴσην εἶναι τῷ ζητουμένῳ ¹⁴ στερεῷ. | καὶ καθόλου δὲ πᾶσα πυραμὶς κόλουρος βάσιν ἔχουσα οἱανδήποτε ὡσαύτως μετρεῖται· ἐκ γὰρ τοῦ λόγου, οὗ ἔχει μία πλευρὰ τῆς βάσεως πρὸς τὴν ὁμόλογον ἐν τῇ κορυφῇ οὖσαν, λέγω δὲ τῇ ἐφέδρᾳ,
εὑρεθήσεται ἡ κορυφὴ τῆς πυραμίδος, ἧς τμῆμά ἐστιν ἡ κόλουρος, καὶ ἡ κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς ἐφέδρας ἐπίπεδον. ἔχοντες οὖν καὶ τὴν ἐπὶ τὴν ἐφέδραν καὶ τὸ λοιπὸν ἕξομεν στερεὸν τῆς ἀποτεμνομένης πυραμίδος· ὥστε πάλιν τὴν ὅλην μετρήσαντες πυραμίδα ἀφελοῦμεν τὴν
ἀποτεμνομένην καὶ τὸ λοιπὸν ἀποφα ινούμεθα στερεὸν τῆς κολούρου πυραμίδος.

η. Ἔστω δὲ στερεὸν μετρῆσαι ὑπὸ εὐθυγράμμων περιεχόμενον ἐπιπέδων, οὗ βάσις ἔστω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ ΕΖΗΘ
παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ἤτοι ὅμοιον τῷ ΑΒΓ∠ ἢ μή. καὶ κείσθω τῇ μὲν ΕΖ ἴση ἡ ΑΚ, τῇ δὲ ΖΘ ἡ ΒΛ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΒΚ ΓΛ δίχα τοῖς Φ, Χ καὶ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΚΥ, ΦΜ, ΛΝ, ΧΤ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚ ΗΡ ΛΗ ΗΝ ΘΝ. τὸ δὴ εἰρημένον
στερεὸν ἔσται κατατετμημένον εἴς τε στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΡ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ ΕΗ, καὶ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ^{15 16} κορυφὴ δὲ ἡ ΖΗ εὐθεῖα, καὶ | ἕτερον πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΝΥ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δε ἡ ΗΘ εὐθεῖα, καὶ πυραμίδα, ἧς ἡ βάσις μὲν τὸ PΓ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον. ἀλλὰ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον
ὀρθογώνιον, ἴσον ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῶ, οὗ βάσις τὸ ΚΠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ τῷ στερεῷ, τὸ δὲ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΝΥ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ἴσον ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ βάσις μὲν τὸ παραλληλόγραμμον
ὀρθογώνιον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ, ἡ δὲ πυραμὶς, ἧς βάσις τὸ ΡΓ παραλληλόγραμμον, ἴση ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ βάσις μὲν ἓν καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ παραλληλογράμμου, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ· ὥστε τὸ ἐξ ἀρχῆς στερεὸν ἴσον εἶναι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ
βάσις τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ παραλληλογράμμου, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ ἐξ ἀρχῆς στερεῷ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΒΑ ΑΚ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ἔστιν αὐτῶν ἡμίσεια ἡ ΑΦ, δοθεῖσα
ἄρα ἡ ΑΦ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΧ, τουτέστιν ἡ ΦΞ δοθὲν ἄρα τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσα ἡ ΒΚ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΦ, τουτέστιν ἡ ΡΠ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΠΞ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΞΡ παραλληλόγραμμον. ὥστε καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ
δοθέν ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ τὸ ὕψος τοῦ στερεοῦ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς στερεόν. συντεθήσεται δὴ οὕτως ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει. ἔστω γὰρ ἡ μὲη ΑΒ μονάδων κ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιβ, ἡ δὲ ΕΖ μονάδων ¹⁷ τὸν λόγον ἔχει ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΚΛΜ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, ἐπειδήπερ καὶ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις τὸ ΘΛ παραλληλόγραμμον,
ὕψος δὲ τὸ πρὸς τὸ ΖΗ, πρὸς τὸν κύλινδρον, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος, ὕψος δὲ τὸ αὐτό, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει. διὰ τὰ αὐτὰ ¹⁸ δὴ καὶ ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΝΞΟΠ τε |τράγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, τὸν αὐτὸν λόγον
ἔχει πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ∠ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ στερεὸν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΛ, κορυφὴ δὲ τὸ ΝΟ, πρὸς τὸν κόλουρον κῶνον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. δοθὲν δὲ τὸ ΘΛΝΟ στερεὸν, ὡς δέδεικται· δοθεὶς ἄρα
καὶ ὁ κόλουρος κῶνος. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. σύνθες κ καὶ ιβ· ὧν τὸ ἥμισυ γίγνεται ιϛ. ἐφʼ ἑαυτὰ σνϛ, ἐπεί ἐστι τετράγωνος. καὶ ἀπὸ τῶν κ τὰ ιβ· λοιπὰ η. ὧν ἥμισυ γίγνεται δ. ἐφʼ ἑαυτὰ ιϛ· τούτων τὸ γʹ· γίγνεται εγ΄. πρόσθες σνϛ·
γίγνεται σξα γʹ· τούτων τὸ ια· γίγνεται σε γʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ι· γίγνεται βνγ γʹ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου.

ι. Ἔστι δὲ καὶ ἄλλως τὸν κόλουρον κῶνον μετρῆσαι προδηλοτέρᾳ μὲν ἀποδείξει χρησάμενον, τῇ δὲ
περὶ τοὺς ἀριθμοὺς λήψει οὐκ εὐχερεστέρᾳ τῆς προγεγραμμένης. ἔστιν κῶνος κόλουρος, οὗ κέντρα τῶν βάσεων τὰ Α, Β, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ. καὶ δοθεὶς ἔστω ὅ τε ¹⁹ ἄξων καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων. λέγω ὅτι καὶ τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου δοθέν ἐστιν. νενοήσθω γὰρ ἡ τοῦ κώνου κορυφὴ τὸ Γ· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ τοῖς Α, Β· καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον καὶ ποιείτω τομὴν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου
²⁰ κώνου τὸ Γ∠Ε τρίγωνον, | ἐν δὲ ταῖς βάσεσιν τὰς ∠Ε ΖΗ διαμέτρους. λόγος ἄρα τῆς ∠Ε πρὸς ΖH δοθείς. ὥστε καὶ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΖ, τουτέστι τῆς ΒΓ πρὸς ΓΑ· καὶ διελόντι τῆς ΒΑ πρὸς ΑΓ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΒ δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ ὥστε καὶ
ὅλη ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν, τουτέστιν ὁ ἄξων τοῦ ὅλου κώνου. δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ∠Ε διάμετρος τῆς βάσεως. δέδοται ἄρα καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον
κύκλος· κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, δοθείς ἐστι· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ κόλουρος κῶνος δοθείς ἐστι. δεήσει ἄρα ποιῆσαι ὡς τὴν ∠Ε διάμετρον πρὸς τὴν ΖΗ, προστεθείσης τῇ ΑΒ τῆς ΑΓ τὴν ΒΓ πρὸς ΓΑ· καὶ διελόντι ὡς ἡ τῶν ∠Ε ΖΗ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΖΗ, ἡ
ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΑ δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ. καὶ μετρῆσαι τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τούτου ἀφελεῖν τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. καὶ
λοιπὸν ἀποφαίνεσθαι τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου.

ια. Σφαίρας δοθείσης τῆς διαμέτρου μονάδων ι εὑρεῖν τὸ στερεόν. Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (l c. 34 corroll. vol. l p. 146 Heib.) ²¹ δείκνυσιν, ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας. ²² ὥστε κατὰ | τοῦτον τὸν λόγον δεήσει τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα λαβεῖν τῶν γενομένων τὸ ια καὶ ταῦτα ἐπὶ
τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου πολλαπλασιάσαντα, τουτέστιν ἐπὶ τὸν ι, τῶν γενομένων λαβεῖν τὸ δίμοιρον, καὶ ἀποφήνασθαι τὸ τῆς σφαίρας στερεόν· εἰσὶ δὲ μονάδες φκγ ιζ. κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον δείκνυται, ὅτι ια κύβοι οἱ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἴσοι γίγνονται
κα σφαίρα ις. ὥστε δεήσει κυβίσαντα τὰ ι· ἔστι δὲ α· τούτων λαβεῖν τὰ ια. εἰσὶ δὲ μονάδες φκγ ιζ. καὶ τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

ιβ. Ἔστω δὴ τμῆμα σφαίρας μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ιβ, ἡ δὲ κάθετος
μονάδων β. πάλιν οὖν ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν (de sph. et cyl. lI, 2 coroll. vol. l p. 200 Heib.), ὅτι πᾶν τμῆμα σφαίρας πρὸς τὸν κῶνον τὸν τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντα αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον λόγον ἔχει, ὃν ἡ τοῦ λοιποῦ τμήματος κάθετος μετὰ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου
τῆς σφαίρας πρὸς τὴν αὐτὴν κάθετον. ἔστω οὖν τμῆμα τὸ εἰρημένον τῆς σφαίρας τὸ κατὰ τὸ ΑΒΓ τοῦ κύκλου, οὗ κάθετος ἡ Β∠. καὶ ἔστω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Ζ. ὡς ἄρα τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸν εἰρημένον κῶνον, οὕτω συναμφότερος ἡ ∠Ε ΕΖ πρὸς τὴν
∠Ε καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Α∠· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Α∠, τουτέστι τὸ ὑπὸ Β∠ ∠Ε. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Β∠· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Ε· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΕ δοθεῖσά ἐστιν. ὥστε καὶ ἡ ΕΖ. καὶ συναμφότερος ἄρα ἡ ∠Ε ΕΖ δοθεῖσά ἐστιν.
ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Ε δοθεῖσ ά ἐστιν. λόγος ἄρα καὶ τοῦ ²³ κώνου, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διά|μετρον τὴν ΑΓ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ Β∠, πρὸς τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας ἐστὶν δοθείς· καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ κῶνος· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας. δεήσει δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀνάλυσιν
λαβεῖν τῶν ιβ τὸ ἥμισυ καὶ ἐφʼ ἑαυτὸ ποιῆσαι· ἔστι δὲ λϛ· καὶ ταῦτα παραβαλεῖν παρὰ τὸν β· γίγνεται ιη. καὶ προσθεῖναι τὰ β· γίγνεται κ. καὶ τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ι· ταῦτα μετὰ τῶν ιη γίγνεται κη· καὶ τὴν κάθετον δὶς ποιῆσαι, τουτέστι τὰ β·
γίγνεται δ. ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ιϛ· ταῦτα ἐπὶ τὰ κη· γίγνεται υμη· τούτων τὸ ια· γίγνεται τνη· τούτων τὸ γ΄· γίγνεται ριζ γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ τμήματος. καὶ λουτῆρα δὲ ἀκολούθως μετρήσομεν τῇ τοῦ τμήματος μετρήσει· ἔστι γὰρ δύο τμημάτων ὑπεροχή.
ἀπὸ τοῦ μείζονος οὖν ἀφελόντες τὸ ἔλασσον ἀπορα ινούμεθα τὸ τοῦ λουτῆρος στερεόν. καὶ κόγχην δὲ ὁμοίως μετρήσομεν ὡς ἡμισφαιρίου ἢ τμήματος ἥμισυ ^{24 25} ὑπάρχουσαν. αἱ γὰρ ἐν αὐτῇ ξύσται ἐν ἀδιαφόρῳ παραλαμβάνονται εἰς τὰς μετρήσεις.

ιγ. Τῶν κωνικῶν καὶ κυλινδρικῶν καὶ σφαιρικῶν σχημάτων μεμετρημένων, ἐὰν δέῃ καὶ καμάρας ἐχούσας τὰ προειρημένα σχήματα μετρεῖν ἢ θόλους, ἀκολούθως
τῇ ἐπὶ τοῦ λουτῆρος μετρήσει ποιήσομεν· τῆς γὰρ ἐντὸς ἐπιφανείας κοίλης οὔσης, τουτέστι κενῆς, πάλιν ²⁶ ἔσται ἑκάστη αὐτῶν | δύο ὁμοίων τμημάτων ὑπεροχή. ἔστω δὲ σπεῖραν μετρῆσαι πρότερον ἐκθέμενον τὴν γένεσιν αὐτῆς. ἔστω γάρ τις ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΑΒ
καὶ δύο τυχόντα ἐπʼ αὐτῆς σημεῖα. εἰλήφθω ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ μένοντος τοῦ Α σημείου περιφερέσθω κατὰ τὸ ἐπίπεδον ἡ ΑΒ, ἄχρι οὗ εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ συμπεριφερομένου καὶ τοῦ ΒΓ
∠Ε κύκλου ὀρθοῦ διαμένοντος πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. ἀπογεννήσει ἄρα τινὰ ἐπιφάνειαν ἡ ΒΓ∠Ε περιφέρεια, ἣν δὴ σπειρικὴν καλοῦσιν· κἂν μὴ ᾖ δὲ ὅλος ὁ κύκλος, ἀλλὰ τμῆμα αὐτοῦ, πάλιν ἀπογεννήσει τὸ τοῦ κύκλου τμῆμα σπειρικῆς ἐπιφανείας τμῆμα,
καθάπερ εἰσὶ καὶ αἱ ταῖς κίοσιν ὑποκείμεναι σπεῖραι· τριῶν γὰρ οὐσῶν ἐπιφανειῶν ἐν τῷ καλουμένῳ ἀναγραφεῖ, ὃν δή τινες καὶ ἐμβολέα καλοῦσιν, δύο μὲν κοίλων τῶν ἄκρων, μιᾶς δὲ μέσης καὶ κυρτῆς, ἅμα περιφερόμεναι αἱ τρεῖς ἀπογεννῶσι τὸ εἶδος τῆς τοῖς
κίοσιν ὑποκειμένης σπείρας. δέον οὖν ἔστω τὴν ἀπογεννηθεῖσαν σπεῖραν ὑπὸ τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου μετρῆσαι. δεδόσθω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων κ, ἡ δὲ ΒΓ διάμετρος μονάδων ιβ. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, ²⁷ καὶ ἀπὸ τῶν Α, Z τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ∠ΖΕ ΑΗΘ. καὶ διὰ τῶν ∠, Ε τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ∠ΗΕΘ. δέδεικται δὲ Διονυσοδώρῳ ἐν τῷ περὶ τῆς σπείρας ἐπιγραφομένῳ, ὅτι ὃν λόγον ἔχει ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος πρὸς τὸ ἥμισυ τοῦ ∠ΕΗΘ
παραλληλογράμμου, τοῦτον ἔχει καὶ ἡ γεννηθεῖσα σπεῖρα ὑπὸ τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου πρὸς τὸν κύλινδρον, οὗ ἄξων μέν ἐστιν ὁ ΗΘ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἡ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ ἐστίν, ἡ ἄρα ΖΓ ²⁸ ἔσται | μονάδων ϛ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ μονάδων η· ἔσται
ἄρα ἡ ΑΖ μονάδων ιδ, τουτέστιν ἡ ΕΘ, ἥτις ἐστὶν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως τοῦ εἰρημένου κυλίνδρου· δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ κύκλος· ἀλλὰ καὶ ὁ ἄξων δοθείς· ἔστιν γὰρ μονάδων ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ ∠Ε. ὥστε δοθεὶς καὶ ὁ εἰρημένος κύλινδρος· καὶ ἔστι τὸ ∠Θ παραλληλόγραμμον
δοθέν· ὥστε καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ἀλλὰ καὶ ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος· δοθεῖσα γὰρ ἡ ΓΒ διάμετρος. λόγος ἄρα τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου πρὸς τὸ ∠Θ παραλληλόγραμμον δοθείς· ὥστε καὶ τῆς σπείρας πρὸς τὸν κύλινδρον λόγος ἔστι δοθείς. καὶ ἔστι δοθείς ὁ κύλινδρος· δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ στερεὸν τῆς σπείρας. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ἄφελε ἀπὸ τῶν κ τὰ ιβ· λοιπὰ η. καὶ πρόσθες τὰ κ· γίγνεται κη· καὶ μέτρησον κύλινδρον, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς ἐστι μονάδων κη, τὸ δὲ ὕψος ιβ· καὶ γίγνεται τὸ
στερεὸν αὐτοῦ ζτU+A7FCβ. καὶ μέτρησον κύκλον, οὗ διάμετρός ἐστι μονάδων ιβ· γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ, καθὼς ἐμάθομεν, ριγ ζʹ· καὶ λαβὲ τῶν κη τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιδ. ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῶν ιβ· γίγνεται πδ· ²⁹ καὶ πολλαπλασιάσας τὰ μ ζτU+A7FCβ ἐπὶ τὰ ριγ ζʹ· καὶ τὰ γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν πδ· γίγνεται θϠνϛ δ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς σπείρας. δυνατὸν δέ ἐστι καὶ ἄλλως μετρῆσαι. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιδ, καὶ ἔστιν ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ ἄρα διάμετρός ἐστι
μονάδων κη· ὥστε ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου γίγνεται μονάδων πη· ἁπλωθεῖσα ἄρα ἡ σπεῖρα καὶ γενομένη ὡς κύλινδρος ἕξει τὸ μῆκος μονάδων πη· καὶ ἔστιν ἡ διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου, τουτέστιν ἡ ΒΓ, μονάδων ιβ· ὥστε τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου, ὡς
ἐμάθομεν, ἔσται μονάδων ζτU+A7FCβ. πάλιν θϠνς δ.

ιδ. | Ἔστω κυλίνδρου τμῆμα μετρῆσαι τετμημένου διὰ τοῦ κέντρου μιᾶς τῶν βάσεων· καὶ ἔστω ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἡ ΑΒ μονάδων ζ, τὸ δὲ ὕψος τοῦ τμήματος μονάδων κ· ἀποδέδειχεν Ἀρχιμήδης ἐν
τῷ ἐφοδικῷ, ὅτι τὸ τοιοῦτον τμῆμα ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸ περιγραφόμενον περὶ τὴν βάσιν τοῦ κυλίνδρου τετράγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ τμήματι. δοθὲν δὲ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ τμῆμα
τοῦ κυλίνδρου· ὅθεν δεήσει τὰ ζ ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὸ ὕψος, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κ· γίγνεται Ϡπ· καὶ τούτων τὸ ἕκτον γίγνεται ρξγ γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου.

ιε. Ὁ δʼ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ αὐτῷ βιβλίῳ δείκνυσιν,
ὅτι ἐὰν εἰς κύβον δύο κύλινδροι διωσθῶσιν τὰς βάσεις ἔχοντες ἐφαπτομένας τῶν πλευρῶν τοῦ κύβου, τὸ κοινὸν τμῆμα τῶν κυλίνδρων δίμοιρον ἔσται ^{31 32} τοῦ κύβου. τοῦτο δὲ εὔχρηστον | τυγχάνει πρὸς τὰς οὕτως κατασκευαζομένας καμάρας, αἳ γίγνονται ἐπὶ πλεῖστον ἔν τε ταῖς κρήναις καὶ βαλανείοις, ὅταν αἱ εἴσοδοι ἢ τὰ φῶτα ἐκ τῶν τεσσάρων μερῶν ὑπάρχῃ· καὶ ὅπου ξύλοις οὐκ εὔθετοι στεγάζεσθαι τοὺς τόπους.

Ἀκόλουθον δέ ἐστι καὶ τὰς τῶν πέντε σχημάτων τῶν Πλάτωνος καλουμένων, λέγω δὴ κύβου τε καὶ πυραμίδος καὶ ὀκταέδρου, ἔτι δὲ καὶ δωδεκαέδρου καὶ εἰκοσαέδρου, τὰς μετρήσεις προσεντάξαι. ὁ μὲν οὖν κύβος φανερὰν τὴν μέτρησιν ἔχει· δεῖ γὰρ κυβίσαι
τὰς διδομένας τῆς πλευρᾶς αὐτοῦ μονάδας καὶ ἀποφαίνεσθαι αὐτοῦ τὸ στερεόν.

ιϛ. Ἔστω δὲ πυραμίδα μετρῆσαι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρον τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον. ἧς ἑκάστη ς πλευρὰ ς ἔστω μονάδων ιβ.
εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου τὸ Ε· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Ε ΕΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ τουτέστι τὸ ἀπὸ τοῦ Γ∠, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Ε· καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ Γ∠ μονάδων ρμδ. τὸ ἄρα
ἀπὸ ∠Ε ἔσται μονάδων U+A7FCϛ· αὐτὴ δε ἡ ∠Ε ὡς ἔγγιστα μονάδων αθU+2220γ΄· ἐπεὶ οὖν ἑκάστη τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ δέδοται, δέδοται δὲ καὶ ἡ κάθετος ἡ ∠Ε, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος. ὥστε δεήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ ἰσοπλεύρου τριγώνου ὡς ἐμάθομεν πολλαπλασιάσαι
ἐπὶ τὰς θU+2220γ΄· καὶ τῶν γιγνομένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν.

ιζ. | Ἔστω δὲ ὀκτάεδρον μετρῆσαι, οὗ ἑκάστη πλευρά ἐστι μονάδων ζ. ἔστω τὸ εἰρημένον ὀκτάεδρον, οὗ ³⁴ γωνίαι ἔστωσαν αἱ πρὸς τοῖς ΑΒΓ ∠ΕΖ σημείοις· τοῦτο δὲ σύγκειται ἐκ δύο πυραμίδων, ὧν βάσις κοινὴ τὸ ΑΒΓ∠ τετράγωνον, κορυφαὶ δὲ τὰ Ε, Ζ σημεῖα· ἑκατέρας ἄρα αὐτῶν τριπλάσιόν ἐστι τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠, ὕψος
δὲ τὸ ἥμισυ τῆς ΕΖ· ὥστε ὅλου τοῦ ὀκταέδρου τριπλάσιόν ἐστι τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ∠ τετράγωνον, ὕψος δὲ ἡ ΕΖ διάμετρος. ἐπεὶ οὖν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ μονάδων μθ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ ἔσται U+A7FCη· ἡ ἄρα ΕΖ ὡς ἔγγιστα ἔσται
μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἐστὶ μονάδων ζ, τὸ ἄρα ΑΒΓ∠ τετράγωνον ἔσται μονάδων μθ· καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ ὕψος τοῦ στερεοῦ· τὸ ἄρα στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἔσται μονάδων υU+A7FC· καὶ ἔστι τριπλάσιον τοῦ ὀκταέδρου· τὸ ἄρα ὀκτάεδρον ἔσται ρξγ γʹ· τοσούτου
ἔσται τὸ στερεόν.

ιη. Ἔστω εἰκοσάεδρον μετρῆσαι, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἔστω μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν τὸ εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιέχεται, νενοήσθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπιζευγμέναι
³⁵ εὐθεῖαι ἐπὶ τὰς τῶν τριγώνων γωνίας· ἔ|σονται ἄρα εἴκοσι πυραμίδες ἴσαι βάσεις μὲν ἔχουσαι τὰ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνα, κορυφὰς δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας· καὶ μία αὐτῶν νενοήσθω, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω
τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου τὸ Ε. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Ε· ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετον ἀγομένην ἐπὶ ἓν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου τριγώνων λόγον ἔχει, ὃν τὰ ρκζ πρὸς τὰ U+A7FCγ, καὶ ἔστιν ἡ
οῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ μονάδων υ, ἔσται ἄρα ἡ ∠Ε κάθετος μονάδων ζ καὶ μα. ἐπεὶ οὖν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἑκάστη πλευρὰ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ἡ ∠Ε δὲ κάθετος, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον. καὶ ἕστιν εἰκοστὸν
μέρος τοῦ εἰκοσαέδρου· δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ εἰκοσάεδρον. δεήσει ἄρα τὰ
ι ἐπὶ τὰ U+A7FCγ ποιῆσαι καὶ τῶν γενομένων λαβεῖν τὸ ρκζ΄ καὶ ἔχειν τὴν
τῆς πυραμίδος κάθετον· καὶ λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἰσοπλεύρου καὶ εἰκοσάκι ποιήσαντα πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον· καὶ τῶν γενομένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου στερεόν.

ιθ. Ἔστω δὴ δωδεκάεδρον μετρῆσαι, οὗ ἑκάστη πλευρά ἐστι μονάδων ι. πάλιν οὖν, ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας νοήσωμεν ἐπιζευγμένας εὐθείας ἐπὶ τὰς τοῦ πενταγώνου γωνίας, ἔσονται ιβ πυραμίδες ³⁶ πενταγώ |νους βάσεις ἔχουσαι, κορυφὰς δὲ τὸ κέντρον
τῆς σφαίρας· λόγον δὲ ἔχει ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετον ἀγομένην ἐπὶ ἓν τῶν πενταγώνων, ὃν τὰ η πρὸς τὰ θ καὶ ἔστιν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ μονάδων ι· ἡ ἄρα ³⁷ εἰρημένη κάθετος ἔσται μονάδων ια δ΄. πάλιν οὖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου λαβόντες καὶ πολλαπλασιάσαντες ἐπὶ τὴν κάθετον καὶ τῶν γενομένων τὸ τρίτον λαβόντες ἕξομεν μιᾶς πυραμίδος τὸ στερεόν· ὃ δωδεκάκι ποιήσαντες ἕξομεν τὸ τοῦ δωδεκαέδρου στερεόν.

κ. Τῶν δὴ ἐν τάξει στερεῶν σωμάτων μετρηθέντων εὔλογον ὑπολαμβάνομεν καὶ τὰ ἄτακτα, οἷον ῥιζώδη ἢ πετρώδη, παριστορῆσαι τῇ μετρήσει, ὡς ἔνιοι ἱστοροῦσι τὸν Ἀρχιμήδη ἐπινενοηκέναι πρὸς τὰ τοιαῦτα μέθοδον. εἰ μὲν γὰρ εὐμετάφορον εἴη τὸ μέλλον μετρεῖσθαι,
δεήσει δεξαμενὴ ν πάντη ὀρθογωνίαν ποιήσαντα δυναμένην δέξασθαι, ὃ βουλόμεθα μετρηθῆναι, πληρῶσαι ὕδατος καὶ ἐμβαλεῖν τὸ ἄτακτον σῶμα. δῆλον δὴ οὖν, ὅτι ὑπερχυθήσεται τὸ ὕδωρ καὶ τοσοῦτόν γε, ὅσος ἐστὶν ὁ τοῦ ἐμβληθέντος σώματος εἰς τὸ ὕδωρ ὄγκος,
ἐξαρθέντος τοῦ σώματος πάλιν ἐκ τῆς δεξαμενῆς ἐλλιπὲς ἔσται. μετρήσαντες οὖν τὸν ἐκκεκενωμένον τόπον ³⁸ ἀποφανούμεθα τοσούτου | εἶναι τὸ στερεὸν τοῦ ἐμβληθέντος σώματος. ἢ καὶ ἄλλως δυνατόν ἐστι τὸ αὐτὸ μετρῆσαι· ἐὰν γὰρ προσπλασθῇ τὸ ἄτακτον σῶμα
κηρῷ ἢ πηλῷ, ὥστε γενέσθαι ἀποκρυβὲν πάντη ὀρθογώνιον, καὶ τοῦτο μετρήσαντες ἀφέλωμεν τὸν πηλὸν καὶ ὀρθογώνιον πλάσαντες ἐκμετρήσωμεν καὶ ἀφέλωμεν ἀπὸ τοῦ προτερου μετρηθέντος τὸ καταλειπόμενον, ἀποφανούμεθα τὸ τοῦ σώματος στερεόν· τῇ δὲ τοῦ
περιπλάσματος μεθόδῳ χρῆσθαι δεῖ ἐπὶ τῶν μὴ δυναμένων μετατίθεσθαι σωμάτων.