κδ΄.
Πᾶν τμᾶμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου ταῦ τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον.
Ἔστω γὰρ τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας
καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς, τὸ δὲ ΑΒΓ τρίγωνον ἔστω τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον, τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου ἔστω ἐπίτριτον τὸ Κ χωρίον. Δεικτέον ὅτι ἴσον ἐστὶ τῷ Α△ΒΕΓ τμάματι.
καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς, τὸ δὲ ΑΒΓ τρίγωνον ἔστω τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχον τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον, τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου ἔστω ἐπίτριτον τὸ Κ χωρίον. Δεικτέον ὅτι ἴσον ἐστὶ τῷ Α△ΒΕΓ τμάματι.
Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἴσον, ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἔλασσον.
Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, μεῖζον τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα τοῦ Κ χωρίου. Ἐνέγραψα δὴ τὰ Α△Β, ΒΕΓ τρίγωνα, ὡς εἴρηται, ἐνέγραψα δὲ καὶ εἰς τὰ περιλειπόμενα τμάματα ἄλλα τρίγωνα τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό, καὶ ἀεὶ εἰς τὰ ὕστερον γινόμενα τμάματα
ἐγγράφω δύο τρίγωνα τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό· ἐσσοῦνται δὴ τὰ καταλειπόμενα τμάματα ἐλάσσονα τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ ὑπερέχει τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα τοῦ Κ χωρίου. Ὥστε τὸ ἐγγραφόμενον πολύγωνον μεῖζον ἐσσεῖται τοῦ Κ ὅπερ ἀδύνατον. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ἑξῆς κείμενα χωρία ἐν τῷ τετραπλασίονι
λόγῳ, πρῶτον μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τετραπλάσιον τῶν Α△Β, ΒΕΓ τριγώνων, ἔπειτα δὲ αὐτὰ ταῦτα τετραπλάσια τῶν εἰς τὰ ἑπόμενα τμάματα ἐγγραφέντων καὶ ἀεὶ οὕτω, δῆλον ὡς σύμπαντα τὰ χωρία ἐλάσσονά ἐστιν ἢ ἐπίτριτα τοῦ μεγίστου, τὸ δὲ Κ ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ μεγίστου χωρίου.
Οὐκ ἄρα ἐστὶν μεῖζον τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα τοῦ Κ χωρίου.
Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, μεῖζον τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα τοῦ Κ χωρίου. Ἐνέγραψα δὴ τὰ Α△Β, ΒΕΓ τρίγωνα, ὡς εἴρηται, ἐνέγραψα δὲ καὶ εἰς τὰ περιλειπόμενα τμάματα ἄλλα τρίγωνα τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό, καὶ ἀεὶ εἰς τὰ ὕστερον γινόμενα τμάματα
ἐγγράφω δύο τρίγωνα τὰν αὐτὰν βάσιν ἔχοντα τοῖς τμαμάτεσσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτό· ἐσσοῦνται δὴ τὰ καταλειπόμενα τμάματα ἐλάσσονα τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾇ ὑπερέχει τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα τοῦ Κ χωρίου. Ὥστε τὸ ἐγγραφόμενον πολύγωνον μεῖζον ἐσσεῖται τοῦ Κ ὅπερ ἀδύνατον. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ἑξῆς κείμενα χωρία ἐν τῷ τετραπλασίονι
λόγῳ, πρῶτον μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τετραπλάσιον τῶν Α△Β, ΒΕΓ τριγώνων, ἔπειτα δὲ αὐτὰ ταῦτα τετραπλάσια τῶν εἰς τὰ ἑπόμενα τμάματα ἐγγραφέντων καὶ ἀεὶ οὕτω, δῆλον ὡς σύμπαντα τὰ χωρία ἐλάσσονά ἐστιν ἢ ἐπίτριτα τοῦ μεγίστου, τὸ δὲ Κ ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ μεγίστου χωρίου.
Οὐκ ἄρα ἐστὶν μεῖζον τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα τοῦ Κ χωρίου.
Ἔστω δέ, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. Κείσθω δὴ τὸ μὲν ΑΒΓ τρίγωνον ἴσον τῷ Ζ, τοῦ δὲ Ζ τέταρτον τὸ Η, καὶ ὁμοίως τοῦ Η τὸ Θ, καὶ ἀεὶ ἑξῆς τιθέσθω, ἕως κα γένηται τὸ ἔσχατον ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾆ ὑπερέχει τὸ Κ
χωρίον τοῦ τμάματος, καὶ ἔστω ἔλασσον τὸ Ι· ἔστιν δὴ τὰ Ζ, Η, Θ, I χωρία καὶ τὸ τρίτον τοῦ Ι ἐπίτριτα τοῦ Ζ. Ἔστιν δὲ καὶ τὸ Κ τοῦ Ζ ἐπίτριτον· ἴσον ἄρα τὸ Κ τοῖς Ζ, Η, Θ, Ι καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ Ι. Ἐπεὶ οὖν τὸ Κ χωρίον τῶν μὲν Ζ, Η, Θ, I χωρίων ὑπερέχει ἐλάσσονι τοῦ I, τοῦ δὲ τμάματος μείζονι τοῦ Ι, δῆλον ὡς μείζονά ἐντι τὰ Ζ, Η, Θ, I χωρία τοῦ τμάματος· ὅπερ ἀδύνατον· ἐδείχθη γὰρ ὅτι, ἐὰν ᾗ ὁποσαοῦν χωρία ἑξῆς κείμενα ἐν τετραπλασίονι
λόγῳ, τὸ δὲ μέγιστον ἴσον ᾖ τῷ εἰς τὸ τμᾶμα ἐγγραφομένῳ τριγώνῳ, τὰ σύμπαντα χωρία ἐλάσσονα ἐσσεῖται τοῦ τμάματος. Οὐκ ἄρα τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ Κ χωρίου. Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ μεῖζον· ἴσον ἄρα ἐστὶν τῷ Κ. Τὸ δὲ Κ χωρίον ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ τριγώνου τοῦ
ΑΒΓ καὶ τὸ Α△ΒΕΓ ἄρα τμᾶμα ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
χωρίον τοῦ τμάματος, καὶ ἔστω ἔλασσον τὸ Ι· ἔστιν δὴ τὰ Ζ, Η, Θ, I χωρία καὶ τὸ τρίτον τοῦ Ι ἐπίτριτα τοῦ Ζ. Ἔστιν δὲ καὶ τὸ Κ τοῦ Ζ ἐπίτριτον· ἴσον ἄρα τὸ Κ τοῖς Ζ, Η, Θ, Ι καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ Ι. Ἐπεὶ οὖν τὸ Κ χωρίον τῶν μὲν Ζ, Η, Θ, I χωρίων ὑπερέχει ἐλάσσονι τοῦ I, τοῦ δὲ τμάματος μείζονι τοῦ Ι, δῆλον ὡς μείζονά ἐντι τὰ Ζ, Η, Θ, I χωρία τοῦ τμάματος· ὅπερ ἀδύνατον· ἐδείχθη γὰρ ὅτι, ἐὰν ᾗ ὁποσαοῦν χωρία ἑξῆς κείμενα ἐν τετραπλασίονι
λόγῳ, τὸ δὲ μέγιστον ἴσον ᾖ τῷ εἰς τὸ τμᾶμα ἐγγραφομένῳ τριγώνῳ, τὰ σύμπαντα χωρία ἐλάσσονα ἐσσεῖται τοῦ τμάματος. Οὐκ ἄρα τὸ Α△ΒΕΓ τμᾶμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ Κ χωρίου. Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ μεῖζον· ἴσον ἄρα ἐστὶν τῷ Κ. Τὸ δὲ Κ χωρίον ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ τριγώνου τοῦ
ΑΒΓ καὶ τὸ Α△ΒΕΓ ἄρα τμᾶμα ἐπίτριτόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
Quadratura parabolae. Archimède. ed. Charles Mugler. United States. 2018.
Funding provided by Harvard Library.