(p. 15) 8. Ἐξήγησις τῶν ἐν Τιμαίῳ ἁρμονικῶς εἰρημένων.
η. Χρήσιμον δʼ ἐστὶν ἐνταῦθα γινομένους τὴν Πλατωνικὴν εὐκαίρως διαπτύξαι λέξιν, ἣν ἐν τῇ ψυχογονίᾳ.
προηνέγκατο εἰπὼν ,,ὥστε ἐν ἑκάστῳ διαστήματι δύο εἶναι μεσότητας, τὴν μὲν ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, τὴν δὲ ἴσῳ μὲν κατʼ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν, ἴσῳ δὲ ὑπερεχομένην. ἡμιολίων δὲ καὶ ἐπιτρίτων διαστάσεων διάστασιν
τῷ τοῦ ἐπογδόου λείμματι συνεπληροῦτο.“
προηνέγκατο εἰπὼν ,,ὥστε ἐν ἑκάστῳ διαστήματι δύο εἶναι μεσότητας, τὴν μὲν ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, τὴν δὲ ἴσῳ μὲν κατʼ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν, ἴσῳ δὲ ὑπερεχομένην. ἡμιολίων δὲ καὶ ἐπιτρίτων διαστάσεων διάστασιν
τῷ τοῦ ἐπογδόου λείμματι συνεπληροῦτο.“
Διάστημα μὲν γὰρ διπλάσιον ὁ δώδεκα πρὸς τὰ ἓξ, μεσότητες δὲ δύο, ὅ τε ἐννέα ἀριθμὸς καὶ ὁ ὀκτώ. ἀλλʼ ὁ μὲν ὀκτὼ κατὰ τὴν ἁρμονικὴν ἀναλογίαν μεσιτεύει τόν τε ἓξ καὶ τὸν δώδεκα, ὑπερέχων μὲν
τοῦ ἓξ τρίτῳ αὐτοῦ τοῦ ἓξ, ὑπερεχόμενος δὲ ὑπὸ τοῦ ιβ ῇ τρίτῳ αὐτοῦ τοῦ ιβ· διόπερ ταὐτῷ μέρει ἐν αὐτοῖς τοῖς ἄκροις θεωρουμένῳ ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι τὴν ὀκτὼ μεσότητα εἶπεν οἷα δὴ ἁρμονικῆς ὑπάρχουσαν ἀναλογίας. ὡς γὰρ ὁ μέγιστος ὅρος πρὸς τὸν
ἐλάχιστον διπλάσιος, οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγίστου παρὰ 1 2 τὸν μέσον διαφορὰ τετρὰς οὖσα πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον δυάδα οὖσαν· καὶ αὗται γὰρ ἐν διπλασίῳ λόγῳ τετρὰς πρὸς δυάδα. ἴδιον δὲ τῆς τοιαύτης μεσότητος τὸ συντεθέντων τῶν ἄκρων ἀλλήλοις
καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντων διπλάσιον ἀποτελεῖσθαι τὸ γινόμενον τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινομένου (p. 16) προμήκους. ὀκτάκις γὰρ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις τουτέστι τὰ ὀκτωκαίδεκα ποιεῖ τὸν ρμδ, ὅς ἐστι διπλάσιος τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους, τοῦτʼ ἔστι
τοῦ o β. ἡ δὲ ἑτέρα μεσότης, ἡ ἐννέα, κατὰ τὴν παρα- μέσην τεταγμένη, ἐν ἀριθμητικῇ μεσότητι ἐνθεωρεῖται πρὸς τὰ ἄκρα τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ (τρία) ὑπερεχομένη μὲν ὑπὸ τοῦ δώδεκα, ὑπερέχουσα δὲ τὰ ἕξ. ἴδιον δὲ καὶ ταύτης τὸ διπλάσιον εἶναι τὴν σύνθεσιν τῶν ἄκρων αὐτοῦ
τοῦ μέσου, καὶ τὸ μεῖζονὑπάρχειν τὸ ἀπὸ τοῦ μέσου τετράγωνον (οἷον τὸ α) τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους (τουτέστι τοῦ ο β) ὅλῳ τῷ ὑπὸ τῶν διαφορῶν τετραγώνῳ, τουτέστι τῷ τρὶς θ αὕτη γὰρ ἡ διαφορά. δύναται δέ τις καὶ τὴν τρίτην μεσότητα τὴν κυριώτερον
ἀναλογίαν λεγομένην ἐν ἀμφοτέροις ἐπιδεῖξαι τοῖς μέσοις ὅροις, τῷ θ καὶ τῷ η. ἀνὰ γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ὑπάρχει ιβ πρὸς n ὡς θ πρὸς ς, ἡμιόλιον 3 4 γὰρ ἀμφότεροι. καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρόμηκες ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, τὸ δωδεκάκις Ϛ τῷ ἐννάκις η.
τοῦ ἓξ τρίτῳ αὐτοῦ τοῦ ἓξ, ὑπερεχόμενος δὲ ὑπὸ τοῦ ιβ ῇ τρίτῳ αὐτοῦ τοῦ ιβ· διόπερ ταὐτῷ μέρει ἐν αὐτοῖς τοῖς ἄκροις θεωρουμένῳ ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι τὴν ὀκτὼ μεσότητα εἶπεν οἷα δὴ ἁρμονικῆς ὑπάρχουσαν ἀναλογίας. ὡς γὰρ ὁ μέγιστος ὅρος πρὸς τὸν
ἐλάχιστον διπλάσιος, οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγίστου παρὰ 1 2 τὸν μέσον διαφορὰ τετρὰς οὖσα πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον δυάδα οὖσαν· καὶ αὗται γὰρ ἐν διπλασίῳ λόγῳ τετρὰς πρὸς δυάδα. ἴδιον δὲ τῆς τοιαύτης μεσότητος τὸ συντεθέντων τῶν ἄκρων ἀλλήλοις
καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντων διπλάσιον ἀποτελεῖσθαι τὸ γινόμενον τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινομένου (p. 16) προμήκους. ὀκτάκις γὰρ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις τουτέστι τὰ ὀκτωκαίδεκα ποιεῖ τὸν ρμδ, ὅς ἐστι διπλάσιος τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους, τοῦτʼ ἔστι
τοῦ o β. ἡ δὲ ἑτέρα μεσότης, ἡ ἐννέα, κατὰ τὴν παρα- μέσην τεταγμένη, ἐν ἀριθμητικῇ μεσότητι ἐνθεωρεῖται πρὸς τὰ ἄκρα τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ (τρία) ὑπερεχομένη μὲν ὑπὸ τοῦ δώδεκα, ὑπερέχουσα δὲ τὰ ἕξ. ἴδιον δὲ καὶ ταύτης τὸ διπλάσιον εἶναι τὴν σύνθεσιν τῶν ἄκρων αὐτοῦ
τοῦ μέσου, καὶ τὸ μεῖζονὑπάρχειν τὸ ἀπὸ τοῦ μέσου τετράγωνον (οἷον τὸ α) τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους (τουτέστι τοῦ ο β) ὅλῳ τῷ ὑπὸ τῶν διαφορῶν τετραγώνῳ, τουτέστι τῷ τρὶς θ αὕτη γὰρ ἡ διαφορά. δύναται δέ τις καὶ τὴν τρίτην μεσότητα τὴν κυριώτερον
ἀναλογίαν λεγομένην ἐν ἀμφοτέροις ἐπιδεῖξαι τοῖς μέσοις ὅροις, τῷ θ καὶ τῷ η. ἀνὰ γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ὑπάρχει ιβ πρὸς n ὡς θ πρὸς ς, ἡμιόλιον 3 4 γὰρ ἀμφότεροι. καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρόμηκες ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, τὸ δωδεκάκις Ϛ τῷ ἐννάκις η.
Harmonicum enchiridion. Nicomachus of Gerasa. ed. Karl von Jan. United States. 2017.
Funding provided by Harvard Library Arcadia Fund.